第4章小波变换1.ppt
一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
小波变换理论与方法ppt课件
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
小波变换简介PPT课件
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
《小波分析概述》PPT课件
Heisenberg不等式表明窗口Fourier变换的时 窗半径和频窗半径, 一个减小必然引起另一个的 增大, 不能同时减小.
窗口Fourier变换的窗函数选定以后, 其时-频 窗就固定不变了, 这样就限制了窗口Fourier变换 的实际应用. 为了提取高频分量的信息, 时窗应该 尽量地窄, 而允许频窗适当地宽; 对于低频分量, 时窗则应适当加宽, 以保证至少能包含一个周期的 过程, 频窗应当尽量缩小, 保证有较高的频率分辨率.
§4.2 窗口Fourier变换简介
窗口Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内, 将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加, 通过在时域上加上窗口来实现短时性. 通常选择在 有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t) 作为窗函数, 用平移滑动的窗函数g(t-t)与信号f (t) 相乘, 有效地抑制了t=t 邻域以外的信号, 在t 附近 开窗, 通过平移来覆盖整个时间域. 再进行Fourier 变换, 所得的结果反映了t=t 时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用.
设 f , g Lk12, k(2R是)任,意常数, 则
W (k1 f k2g) (a,b) k1 W f (a,b) k2 W g (a,b).
(2) 平移性质
设 f L2则(R),
W f (t t0 ) (a,b) W f (t) (a,b t0).
(3) 尺度法则
第四章 小波变换基础
§4.1 小波变换的背景 §4.2 窗口Fourier变换简介 §4.3 连续小波变换 §4.4 二进小波变换和离散小波变换 §4.5 多分辨分析 §4.6 Mallat分解与重构算法
主要内容
小波分析是当前数学中一个迅速发展的 新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和 频率的局域变换，因而能有效地从信号中提 取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用.
第四章小波变换
.语音增强算法研究p584.1小波理论4.1.1小波变换的定义4.1. 2小波去噪原理.4.2小波包变换语音增强方法4.2.1 小波包变换语音增强方法原理4 2. 2 Bark尺度小波包分解4.2.3闽值函数4.2.4 实验仿真4.3小波包变换和听觉掩蔽效应的语音增强方法4.3. 1小波包变换和听觉掩蔽效应的语音增强方法原理4.3. 2实验仿真第四章小波包语音增强算法小波(Wavelets)分析的起源可以追溯到20世纪初，在20世纪80年代后期开始形成一个新兴的数学分支。
小波变换是调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，是傅里叶变换发展史上的里程碑式的进展，近些年来成为国外众多学者共同关注的热点。
它在傅里叶变换的基础上发展而来，但又有极大不同。
传统的信号处理方法是建立在傅立叶变换的基础上，而傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表达信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号(如语音信号)最根本和最关键的性质。
小波分析是建立在泛函分析、傅立叶分析、样条分析及调和分析基础上的新的分析处理工具它又称为多分辨分析，在时域和频域同时具有良好配局部化特性，常被誉为信号分析的“数学显微镜”。
小波变换在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，它克服了短时傅立叶变换固定分辨率的缺点，在信号的高频部分，可以获得较好的时间分辨率，在信号的低频部分可以获得较高的频率分辨率，这就使指小波变换具有对信号的自适应性。
它能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析。
小波分析是目前国际上公认的信号信息获取与处班领域的高新技术，是信号处理的前沿课题，其中小波去噪也是小波分析的主要应用之一，对语音增强的研究不可避免的要利用小波这一有效工具。
小波包变换理论是20世纪80年代中后期逐渐成熟并发展起来的，由于可同时进行时域和频域分析，具有时频局部化和变分辨特征，而且小波函数的选取也很灵活，因此在语音增强中得到了广泛的应用。
小波变换原理与应用ppt课件
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
(整理)小波变换课件第4章小波变换的实现技术.
第4章 小波变换的实现技术4.1 Mallat 算法双正交小波变换的Mallat 算法：设{}n h h =、{}n g g =、{}n h h =、{}n g g =为实系数双正交小波滤波器。
h ，g 是小波分析滤波器，h ，g 是小波综合滤波器。
h 表示h 的逆序，即n n h h -=。
若输入信号为n a ，它的低频部分和高频部分以此为1n a -和1n d -，小波分解与重构的卷积算法：11()()n n n na D a h d D a g --⎧⎪=*⎨=*⎪⎩ n11()()n n a Uah Ud g --=*+*先进行输入信号和分析滤波器的巻积，再隔点采样，以形成低频和高频信号。
对于有限的数据量，经过多次小波变化后数据量大减，因此需对输入数据进行处理。
4.1.1 边界延拓方法下面给出几种经验方法。
1. 补零延拓是假定边界以外的信号全部为零，这种延拓方式的缺点是，如果输入信号在边界点的值与零相差很大，则零延拓意味着在边界处加入了高频成分，造成很大误差。
实际应用中很少采用。
0121,0,,,,...,,0,0,......n s s s s -2.简单周期延拓将信号看作一个周期信号,即k n k s s +=。
简单周期延拓后的信号变为这种延拓方式的不足之处在于，当信号两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的突变，也就是说简单周期延拓可在边界引入大量高频成分，从而产生较大误差。
3. 周期对称延拓这种方法是将原信号在边界上作对称折叠，一般分二1）当与之做卷积的滤波器为奇数时，周期延拓信号为2）当与之做卷积的滤波器为偶数时，周期延拓信号为4. 光滑常数延拓在原信号两端添加与端点数据相同的常数。
0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0,...s 1,...,n s -01221,,,...,,,n n s s s s s --0121,,,...,,n s s s s -21012,...,,,,,...n s s s s s -321212,,,...,,,,...n n n s s s s s s ---10012,,...,,,,...n n s s s s s --10112,,,...,,,n n n s s s s s ---5. 平滑延拓在原信号两端用线性外插法补充采样值，即沿着信号两端包络线的一阶导数方向增加采样值。
小波变换课件
学习交流PPT
29
3. 离散小波变换(续)
• 使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子 和时间关系如图所示。
• 图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶 变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时 间-频率关系图
• 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得 到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。
轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小波变换 WT(wavelet transform)的概念。 • 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
学习交流PPT
13
• Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.
• 小波变换的主要算法由法国的科学家Stephane Mallat 提出 • S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分 辨率分析(multiresolution analysis)的概念, 从空间上 形象地说明了小波的多分辨率的特性
• 提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做 Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波 基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在 经典傅立叶分析中的地位。
where:
a = scale variable －缩放因子
k = time shift
－时间平移
h* = wavelet function －小波函数
用y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet
小波变换课件第4章小波变换的实现技术
第4章 小波变换的实现技术Mallat 算法双正交小波变换的Mallat 算法：设{}n h h =、{}n g g =、{}n h h =、{}n g g =为实系数双正交小波滤波器。
h ，g 是小波分析滤波器，h ，g 是小波综合滤波器。
h 表示h 的逆序，即n n h h -=。
若输入信号为n a ，它的低频部份和高频部份以此为1n a -和1n d -，小波分解与重构的卷积算法：11()()n n n na D a h d D a g --⎧⎪=*⎨=*⎪⎩ n11()()n n a Uah Ud g --=*+*先进行输入信号和分析滤波器的巻积，再隔点采样，以形成低频和高频信号。
对于有限的数据量，通过量次小波转变后数据量大减，因此需对输入数据进行处置。
4.1.1 边界延拓方式 下面给出几种经验方式。
1. 补零延拓是假定边界之外的信号全数为零，这种延拓方式的缺点是，若是输入信号在边界点的值与零相差专门大，则零延拓意味着在边界处加入了高频成份，造成专门大误差。
实际应用中很少采用。
0121,0,,,,...,,0,0,......n s s s s -2.简单周期延拓将信号看做一个周期信号,即k n k s s +=。
简单周期延拓后的信号变成这种延拓方式的不足的地方在于，当信号两头边界值相差专门大时，延拓后的信号将存在周期性的突变，也就是说简单周期延拓可在边界引入大量高频成份，从而产生较大误差。
3. 周期对称延拓0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0,...s 1,...,n s -这种方式是将原信号在边界上作对称折叠，一般分二1）当与之做卷积的滤波器为奇数时，周期延拓信号为2）当与之做卷积的滤波器为偶数时，周期延拓信号为4. 滑腻常数延拓在原信号两头添加与端点数据相同的常数。
5. 光滑延拓在原信号两头用线性外插法补充采样值，即沿着信号两头包络线的一阶导数方向增加采样值。
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1
傅立叶变换的局限性
只能确定信号中有哪些频率，但不能确定此 频率何时发生。
2
傅立叶变换的局限性
在实际中,时变信号是常见的，如语音信号、地 震信号、雷达回波等。 在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时 刻的频率成份 在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应 着相同的频谱的例子。
14
Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到数 学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、Hardy 空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作 了理论上的准备。
15
后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。 1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正 的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波 基的统一方法－－多尺度分析。
6
(1). Gabor变换的定义 在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短 时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗 来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达 到的。
7
G f (, ) f (t)g (t )e jt dt （1）
其中 g(t )e jt 是积分核。该变换在 τ 点附近
18
为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适 当放宽。 对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽 量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。 总之，对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，高 频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小， 时窗大。
19
但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没 有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变 过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现 高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也 就限制了它的应用。
20
4.3.3 连续小波变换 1 .小波
形如下式的函数称之为小波。
a,b (t)
1 a
t
a
b
（5）
其中a为尺度参数，b是定位参数。
21
若a>1，函数 a,b (t) 具有伸展作用，
若0＜a<1，函数 a,b (t) 具有收缩作用。而其
Fourier变换 () 则恰好相反。伸缩参数a对 小波 a,b (t) 的影响见下图。小波
a,b (t) 随伸缩参数a平移参数b而变化如下图所
示。
22
a:a<1; b: a=1; c: a>1。
23
a,b (t) 2,15 (t)
0.5,10 (t)
小波 ab (t) 的波形随参数 a, b 变化的情形
24
图中小波函数为 (t) tet2。当a=2, b=15
时，
的波形
2
1
et2 / 4a a
（2）
式中a决定了窗口的宽度，g a (t) 的Fourier变换
用 Ga () 表示。
10
显然信号f(t)的Gabor变换按窗口宽度分解了 f(t)的频谱 F(ω) 。提取出它的局部信息。
当 τ 在整个时间轴上平移时，就给出了
Fourier的完整变换。
11
相应的重构公式为：
13
3.4.2 小波变换
小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地 球物理学家J.Morlet于1984年提出的。他在分析地 震波的时频局部特性时,希望使用在高频处时窗变窄, 低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难 能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数， 将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为 “Morlet小波基”。
局部测量了频率为ω 的正弦分量的幅度。通常g(t)
选择能量集中在低频处的实偶函数；
8Leabharlann D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数， 相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保 证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化 功能。
9
令窗口函数为 g a (t) 则有：
ga (t)
f (t) 1
2
Ga ()g(t ) e jtddt
（3）
窗口Fourier变换是能量守恒变换，即:
f (t) 2 dt 1
2
Ga () 2 dd
（4）
12
但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没 有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变 过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现 高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也 就限制了它的应用。
a,b (t) 2,15 (t)
(t)从原点向
右移至t=15且波形展宽，a=0.5, b=-10时，
0.5,10 (t) 则是从原点向左平移至t=-10
处且波形收缩。
25
随着参数a的减小， a,b (t) 的支撑区也随之变窄，
而
a,b (的)频谱随之向高频端展宽，反之亦然。
这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率
3
4
4.3.1 Gabor变换 由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率 局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年 D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非 平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的 信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似 之处。
5
换句话说，该变换是用一个窗函数 g(t-τ) 与信号f(t)相乘实现在 τ 附近开窗和平移， 然后施以Fourier变换，这就是Gabor变换也称 短时Fourier变换或加窗Fourier变换。Gabor 变换的定义由下式给出：对于 f(t) ∈L2(R)
增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于
提高时域分辨率，反之亦然。
26
小波 (t) 的选择既不是唯一的，也不是任意的。 这里 (t) 是归一化的具有单位能量的解析函数， 它应满足如下几个条件： (1)定义域应是紧支撑的(Compact Support)，换句 话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就 是函数应有速降特性。
16
从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得 一提的是比利时女数学家I.Daubechies的“Ten lectures on Wavelet”一书对小波的普及应用起 了重要的推动作用。
17
小波变换的快速算法——Mallat
1986年S.Jafferd、Y.Meyer与从事信号处理的 S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统 一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造 的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波 基的一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快 速分解与重构算法，现在称之为Mallat算法。