平面几何中的向量方法(1)
2.5.1_平面几何中的向量方法(1)
C
1 1 1 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3 故AT=RT=TC
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力， 你能从数学的角度解释这种现象吗？
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一 个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运 动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释 这种现象吗？
=a² +2a · b+ b ² 同理
- 2a DB ²= a ² · b+ b ²
A
B
AC ² + DB ²= 2( a ² +b² ) = 2 ( AB ² + AD ²)
平行四边形两条对角线长的平方和等于 两条邻边长的平方和的两倍.
利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问 题； （2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、 夹角等问题；
B. | v1 || v2 |
C . | v1 || v2 |
D. | v1 || v2 |
2、已知作用在A点的三个力 F1 (3, 4) , F2 (2, 5)
F3 (3,1) ，A(1，1)则合力 F F1 F2 F3 的终点坐
标是（ B ） A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系？
A B
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积
AB ² AD ² AC ² DB ²
分析：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b， AB ² = a ² AD ² = b ² AC ² =AC+AC=(a+b) ·(a-b) =a ·a+b ·b+b ·b ·a+a D C
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法指的是运用向量及其相关性质和操作解决几何问题的方法。
1. 向量的表示首先，我们需要了解向量的表示方式。
在平面直角坐标系中，向量\overrightarrow{v}可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x和y分别为向量在x 轴和y轴上的投影长度。
向量的起点为坐标原点，终点为(x,y)点。
2. 向量的加减向量的加减操作即是将两个向量的相应分量相加减。
例如向量\overrightarrow{a}=(a_x,a_y)和\overrightarrow{b}=(b_x,b_y)的和可以表示为\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)，差可以表示为\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)。
3. 向量的数量积向量的数量积（或内积）指的是两个向量的对应分量相乘再相加的结果。
例如，向量\overrightarrow{a}=(a_x,a_y)和\overrightarrow{b}=(b_x,b_y)的数量积可以表示为\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_xb_x+a_yb_y。
4. 向量的模长向量的模长（或长度）指的是向量的起点到终点的距离，可以用勾股定理求得。
向量\overrightarrow{v}=(x,y)的模长可以表示为\overrightarrow{v}=\sqrt{x^2+y^2}。
5. 向量的法向量对于给定的向量\overrightarrow{v}=(x,y)，它的法向量\overrightarrow{n}=(-y,x)垂直于\overrightarrow{v}，满足\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0。
可以通过旋转向量\overrightarrow{v}90度得到法向量\overrightarrow{n}。
6-4-1平面几何中的向量方法(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
(1)因为E→D＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， B→C＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， 所以E→D＝B→C，所以E→D∥B→C，即DE∥BC。 (2)连接MB，MD。
因为M为EC的中点，所以M0，12， 所以M→D＝(－1,1)－0，12＝－1，12，M→B＝(1,0)－0，12＝1，－12。 所以M→D＝－M→B，所以M→D∥M→B。 又M→D与M→B有公共点M， 所以D，M，B三点共线。
作业: P52 3 三维设计P37-38
第 6章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 6.4.1 平面几何中的向量方法
温故知新
导入新课
➢ 平面几何中的向量方法
例1 如图所示,DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC,
分析：这是初中我们学习过的一个重要定理（三角形中位线定理），
证明时要添加辅助线，有一定的难度。如果用向量方法证明
➢ 求长度
例3
在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
例2.如图，已知 ABCD中, AC、BD是 ABCD的两条对角线，求证：AC2 BD2 （2 AB2 AD2）.
解 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b， 而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b ＝ 5－2a·b＝2，
D A
C B
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12， 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
➢ 求角度
【例 3】 如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点 D 在线段 BC 上,且 BD=12DC。 求:
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法一、向量的定义和运算在平面几何中，向量可以用带方向的线段来表示。
向量的表示常用字母的小写形式，如a、b，放在一个有顺序的大括号中，如{a}，表示向量a。
向量的运算包括向量的加法、减法、数乘和点乘等。
向量的加法：向量的加法满足：{a}+{b}={c}即向量a和向量b的和为向量c，向量的加法满足平行四边形法则。
向量的减法：向量的减法可以用向量的加法和数乘来表示：{a}-{b}={a}+(-1){b}。
向量的数乘：向量的数乘满足：k{a} = {ka}即向量a和实数k的乘积为向量ka，其中k为实数。
向量的点乘：向量a和b的点乘表示为a·b，满足：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。
二、向量的性质和定理1.向量的零向量：零向量是长度为0的向量，用0或{0}表示，它的任何向量和都等于它本身。
2.向量的相等：向量a和b相等，当且仅当它们的模长相等且方向相同。
3.向量的平行：向量a和b平行，当且仅当它们的夹角θ为0或π。
4.向量的共线：向量a和b共线，当且仅当它们可以表示成同一向量的倍数。
5.向量的模长公式：a，=√(a·a)向量a的模长等于a与自己的点乘的平方根。
6.向量的加法交换律和结合律：向量的加法满足交换律：{a}+{b}={b}+{a}；和结合律：{a}+({b}+{c})=({a}+{b})+{c}。
以上是平面几何中常用的向量性质和定理，这些性质和定理为后续向量方法的应用提供了基础。
三、向量方法的应用1.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以表示成坐标形式，即用有序数对表示。
设向量a的起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)，则向量a可以表示为：{a}={AB}={x2-x1,y2-y1}。
2.向量的线性组合：向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加所得到的新向量。
设有n个向量a1, a2, ..., an和n个实数k1, k2, ..., kn，则它们的线性组合为：k1{a1} + k2{a2} + ... + kn{an}。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法引言平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的点、线、面等几何对象以及它们之间的关系与性质。
向量方法是解决平面几何问题的一种常用方法，通过引入向量概念，可以简化计算过程，提高问题求解的效率。
本文将介绍平面几何中的向量方法，并通过具体例子进行说明，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
向量的定义和表示向量定义在平面几何中，向量是具有大小和方向的量。
它可以表示从一个点到另一个点的箭头，并且箭头长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向。
向量表示在平面几何中，通常使用字母加上箭头来表示一个向量。
例如，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示从点A 指向点B 的向量。
另外，还可以使用坐标来表示一个向量。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则从A 指向B 的向量可以表示为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2−x1,y2−y1)。
向量运算向量加法在平面几何中，两个向量可以进行加法运算。
假设有两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的加法结果可以表示为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
即将第二个向量的起点放在第一个向量的终点，连接第一个向量的起点和第二个向量的终点，得到一个新的向量。
向量减法在平面几何中，两个向量可以进行减法运算。
假设有两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的减法结果可以表示为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
即将第二个向量取负后进行加法运算。
向量数量乘法在平面几何中，一个向量可以与一个实数相乘。
假设有一个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和一个实数k ，则它们的数量乘积可以表示为k ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(kx,ky )，其中x 和y 是向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标。
内积在平面几何中，两个非零向量之间定义了内积运算。
假设有两个非零向量A=(x 1,y 1)和B⃗ =(x 2,y 2)，它们的内积可以表示为A ⋅B ⃗ =x 1x 2+y 1y 2。
平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B
0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝
_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤
(教学设计)平面几何中的向量方法(第一稿)
《平面几何中的向量方法》教学设计广州市花都区圆玄中学陈苑莉【教学目标】1、知识与技能通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。
2、过程与方法：学生通过自主探究，明白平面几何图形中的有关性质,如平行、垂直、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。
3、情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.【教学重点】用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”【教学难点】如何将几何等实际问题化归为向量问题.【教学设计说明】1、教材分析：（1）本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.（2）研究几何可以采取不同的方法,有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.2、学情分析在此之前，学生已经掌握向量的线性运算、基本定理、坐标表示、数量积等内容，但是在动手操作与实际运用等方面，发展不均衡，有待加强。
3、教学策略与手段1）突出重点：通过将例1条件具体化、问题细化的一个探究题目；让学生发现向量与几何有密切联系，向量方法可以解决几何问题。
平面几何中的向量方法 (解析版)
《平面几何中的向量方法》教案数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的. 重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用； 难点：如何将几何问题化归为向量问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学过程一、 情景导入1. 平面向量的运算在几何中的运用（1）证明线线平行和点共线问题此类问题常用向量共线基本定理：若()()1122,,,a x y b x y ==,其中0b ≠,则1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=.（2）证明垂直问题 此类问题常用向量数量积的运算性质：112200a b a b x y x y ⊥⇔⋅=⇔+=,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==.（3）求夹角问题 此类问题可利用夹角公式：21cos a ba b x θ⋅==+,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==. （4）求线段的长度此类问题可以用向量的模的计算公式：若(),a x y =,则22||a a x ==+2．中点坐标公式和三角形重心坐标公式：（1）中点坐标公式：若111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，，且P 为12P P 的中点：则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ； （2）三角形重心坐标公式：若ABC ∆的三个顶点坐标为：111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，，( )P x y ，为ABC ∆的重心，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩；注意：重心分ABC ∆的中线为2:1的性质. 拓展：定比分点的坐标公式设111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，,因为12P P PP λ=，所以：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩注意：根据这个公式可以在111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，三个量中，知道两个求第三个；3．平移和平移公式：点的平移公式：设( )P x y ，是旧点，它按() a h k =，平移后的新点是'(' ')P x y ，，则它们的坐标有如下关系： ''x x hy y k =+⎧⎨=+⎩；注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题.四、典例分析题型一 向量在平面几何证明问题中的应用例1 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .[证明] 证法一：∵∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，CD ＝DA ＝12AB ，故可设AD →＝e 1，DC →＝e 2，|e 1|＝|e 2|，则AB →＝2e 2. ∴AC →＝AD →＋DC →＝e 1＋e 2，BC →＝AC →－AB →＝(e 1＋e 2)－2e 2＝e 1－e 2.而AC →·BC →＝(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝|e 1|2－|e 2|2＝0，∴AC →⊥BC →，即AC ⊥BC .证法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)．∴BC →·AC →＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0. ∴AC ⊥BC .变式训练1： 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .【答案】见解析．【解析】证明 法一：设AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12b ，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0. 故AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→＝(1，－2)．因为AF ―→·DE ―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．变式训练2： 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明 设AB →＝m ，AD →＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝FA →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . 所以FO →＝OE →.又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上.题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)． [解] (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n,0)． ∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2.∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m ，设F (x,0)，则AF →＝(x ，－m )． ∵A ，E ，F 三点共线，设AF →＝λAE →， 即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，x ＝n 3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0，∴|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a |2＝a 2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.变式训练3：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ， 而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.∴|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6， ∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业1、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .2 在正ABC ∆中，D 是边BC 上的点，且1,3==BD AB ，则AD AB ⋅的值为 .BCC 1解：如图，过D 作AB D D ⊥'于D '，则2160cos =='BD D B ， ∴25213=-='D A ， 由数量积的几何意义得D A AB AD AB '⋅=⋅215=． 3 在ABC ∆中，90=∠BAC ，6=AB ，D 在斜边BC 上， 且DB CD 2=，则AD AB ⋅的值为 .4 在ABC ∆中，AB AD⊥,BC =1=,则=⋅AD AC .这是一道有相当难度的高考题，但若从向量的几何意义出发展开思考， 不仅思路自然，而且过程简单．B C D。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法首先，我们来看一下向量的定义。
在平面几何中，向量通常用有向线段来表示，记作→AB。
其中A称为向量的起点，B称为向量的终点。
向量的模表示为|→AB|，即有向线段的长度。
而方向则由起点指向终点的方向确定。
两个有相同模和相同方向的向量被认为是相等的。
接下来，我们来介绍一些向量的基本性质。
向量具有可加性，即两个向量可以相加得到一个新的向量。
设有向线段→AB和→BC，则它们的和记作→AC，即两个向量相加的结果是一个新的向量，其起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
此外，向量还具有数量乘法的性质，即一个向量可以与一个实数相乘得到一个新的向量，其模的大小为原向量模的大小与实数的绝对值的乘积，方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
在几何问题中，向量方法可以简化求解过程，使得问题的解决变得更加直观。
例如，在求解平面几何图形的重心时，可以利用向量的方法来进行计算。
设有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则三角形的重心G的坐标可以表示为G((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)。
通过向量的方法，我们可以简洁地得到三角形的重心坐标，而不需要进行繁琐的计算。
此外，向量方法还可以用于证明几何关系。
例如，在证明平行四边形的对角线互相平分的问题中，可以利用向量的方法进行证明。
设有平行四边形ABCD，其对角线AC和BD的中点分别为M和N，则可以利用向量的加法和数量乘法来证明向量AM等于向量MC，向量BM等于向量MD，从而得到对角线互相平分的结论。
在平面几何中，向量方法具有广泛的应用，可以简化问题的求解过程，使得复杂的几何关系变得清晰而直观。
通过向量方法，我们可以更加方便地进行几何问题的分析和求解，为我们的几何学习和研究提供了有力的工具。
希望本文对你在平面几何中的向量方法有所帮助。
平面几何中的向量方法
如图,如果绳子的最大的拉力为F,物体受到的重力为G你 ,
能否用向量的知识分 , 析绳子受到的拉力1F的大小与两绳 之间的夹角θ的关系.
1.当 θ 增 大 时|F1|的 大 小 怎 样 变化 ?
F1 F1
2.当θ 为 何值 时|,F1|最 小,最 小值 是多 少?
3 . 当 θ 为 何 值 时|,F1 ||G | ?
2、已知：如图AD、BE、 CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于 一点
2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点
分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证 CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF F 过点H
只须证 AB CH
A HE
由此可设 BC a CA b
平面几何中的向量方法
向量法解决平面几何的步骤：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转 化为向量问题
（2）通过向量的运算，研究几何元素之间 的关系
（3）把运算结果翻译成几何关系
例 1： 平 行 四 边 形 A是C 表 示 向 量 加 法 与 减 法的 集 合 模 型 . 如 下 图 ，AC AB AD，DB AB AD， 你 能 发 现 平 行 四 边 形 的 对 角 线 长 度 与 两条 邻 边 长 度 之 间 关 系 吗？
•C
v1
v
B•
D•
1350
v2
•A v2
如图，一条河的两岸平行，河宽d=500m，一船从A 出发航行到河的对岸D处，BD=500m，船速为 |v1|=10km/h，水速为|v2|=4km/h，那么v1,v2的夹角θ多 大时，船才能到达D处？船行驶多少时间？
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法平面几何是研究平面上点、线、圆等几何要素之间的关系和性质的数学分支。
在平面几何中，向量方法是一种被广泛应用的工具，可以简化和推广许多几何性质的证明和运算。
本文将详细介绍平面几何中的向量方法。
向量是平面几何中的重要概念。
向量表示了空间中一个点的移动方向和位移量。
在平面几何中，向量通常用一个带箭头的线段来表示，箭头指向表示的方向，线段长度表示表示的位移量。
向量的长度称为向量的模，记作，AB，表示从点A到点B的距离。
向量可以进行一系列的运算。
最基础的是向量的加法和减法。
向量的加法表示了两个向量的叠加效果，两个向量相加得到一个新的向量，其起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
向量的减法表示了两个向量的差的方向和位移量，即将两个向量的起点重合，终点相连得到的向量。
在平面几何中，向量的加法和减法可以应用于线段、向量和多边形等几何图形的运算。
例如，如果有两个平行线段AB和CD，向量的加法和减法可以帮助我们证明它们的长度相等，即，AB，=，CD。
此外，还可以通过向量的加法和减法证明线段的平分线、垂直平分线等性质。
在向量方法中，向量的数量积和向量的叉积是两个重要的概念。
数量积表示了两个向量的数值乘积，其结果是一个标量。
向量的数量积可以用于计算向量的模、向量的夹角、平行四边形的面积等。
叉积表示了两个向量的叉乘结果，其结果是一个向量。
向量的叉积可以用于计算向量的方向、面积等。
通过向量的叉积可以推导出平面几何中的重要性质和定理。
例如，可以利用向量的叉积证明平面中的四边形的对角线互相垂直，或者证明平行四边形的面积等。
向量的叉积还可以用于计算三角形的面积，通过将三角形的边向量进行叉积运算，可以得到三角形的有向面积。
向量方法还可以应用于解决线性方程组和解析几何等问题。
在解决线性方程组问题中，可以将向量表示为线性方程的系数矩阵，通过求解方程组的解向量，可以得到平面几何中的交点、共线关系等信息。
在解析几何中，可以将平面几何中的点、线、圆等几何要素表示为向量的形式，通过向量的运算和性质，可以进行求交、判定共线、判定相交等问题。
人教a版必修4学案：2.5.1平面几何中的向量方法(含答案)
2.5.1平面几何中的向量方法自主学习知识梳理1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b ⇔__________⇔__________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_______________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为____________，法向量为__________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为__________，法向量为__________．自主探究在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．对点讲练知识点一利用向量证明平行问题例1如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF 相交于点M.求证：MN∥AD.回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无公共点．与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．变式训练1△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC.知识点二 利用向量证明垂直问题例2 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC于E ，求BEEC的值．回顾归纳 利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．变式训练2 已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .知识点三 直线方向向量的应用例3 在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．回顾归纳 直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．变式训练3 在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→就是直线l 的一个方向向量，λP 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B ).课时作业一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．如图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ等于( )A.a·b |a|2B.a·b |a||b|C.a·b |b |2D.|a||b|a·b4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－13二、填空题6．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是 ____________.7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝______.8．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是______．三、解答题9. 如图所示，已知四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线． 求证：AC ⊥BD .10．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连结DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 自主探究证明 在平行四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB → ∴AC →2＝(AB →＋AD →)2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →； BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AB →·AD →. ∴AC →2＋BD →2＝2AB →2＋2AD →2. 即|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)．∴平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍． 对点讲练例1 证明 ∵EF ∥AB ，∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN＝μ，AE →＝(μ－1)EN →，同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →， ∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN .变式训练1 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝AC →－AB →＝b －a ，又M 、N 分别为AB 、AC 的中点．∴AM →＝12a ，AN →＝12b .△AMN 中，MN →＝12b －12a ＝12(b －a )，∴MN →＝12BC →，即MN →与BC →共线，∴MN ∥BC .例2 解 方法一 (基向量法) 设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2.a·b ＝|a||b |cos 60°＝1，BD →＝a ＋b . 设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a .由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0. 即(λb －a )·(a ＋b )＝0.解得λ＝25，∴BE EC ＝2535＝23.方法二 以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B (0,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎫12，32，D ⎝⎛⎭⎫52，32.又设E (m,0)，则BD →＝⎝⎛⎭⎫52，32，AE →＝⎝⎛⎭⎫m －12，－32.由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0.即52⎝⎛⎭⎫m －12－32×32＝0， 得m ＝45，∴BE EC ＝4565＝23.变式训练2 证明以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy (如图所示)，设正方形边长为1，|OP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∵|P A →|＝⎝⎛⎭⎫－22λ2＋⎝⎛⎭⎫1－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF .例3 解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35 ＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.变式训练3 ⎝⎛⎭⎫－105，3105解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.课时作业1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ， OC ⊥AB ，∴O 为垂心．]3．A [BC →＝OC →－OB →＝λa －b .∵BC ⊥OA ，∴BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，即λa 2－a·b ＝0.∴λ＝a·b|a |2.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴A ，B ，C 是同一矩形的三个顶点，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．x ＋3y －7＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上任一点，直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(－1，－3)， 由(x －1，y －2)·(－1，－3)＝0得x ＋3y －7＝0. 7．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16； CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 8．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．9．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴|AB →|＝|AD →|，又∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD . 10．证明如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)， AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →， 得BF →·AD →＝0， 即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →， 而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0， 即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，∴F ⎝⎛⎭⎫23，43，DF →＝⎝⎛⎭⎫23，13，DC →＝(0,1) DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ，∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55，又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ， 故∠ADB ＝∠FDC .。
数学：2.5.1《平面几何中的向量方法》课件(1)(新人教A版必修4)
2.5 平面向量应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ D C
A B 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素 之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元 素。 NhomakorabeaG
B
E
C B
F
G
E
C
D
A
规律总结:重心的计算
F
G
已知 ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ),则重心 G的B 坐标为 ________
x1 x2 x3 y1 y2 y3 ( , ) 3 3
E
C
D
2 1 OG OA AG OA AD OA ( AB AC ) 3 3 1 OA OB OC OA (OB OA OC OA) 3 3
回顾作业：
1、设向量OA ( k ,12), OB (4,5), OC (10, k ),当k为何值时 , A、B、C 三点共线 ?
AB (4 k ,7), BC (6, k 5)
k 2或11
由于向量的线性运算和数量积 运算具有鲜明的几何背景,平面几 何图形的许多性质,如平移、全等、 相似、长度、夹角等都可以由向量 的线性运算及数量积表示出来，因 此，可用向量方法解决平面几何中 的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何 中的运用。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法平面几何是几何学的一个分支，主要研究在平面上的点、直线、曲线等几何对象及其性质。
向量方法是平面几何中一种重要的解题方法，通过引入向量的概念和运算，可以简洁地描述和推导几何问题。
向量是平面几何中的基本概念之一，它是有大小和方向的量。
在平面几何中，一般用有向线段表示向量，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
两个向量如果大小相等且方向相同，则称为相等向量。
向量的表示方法有多种，最常见的是用坐标表示。
在平面直角坐标系中，设向量AB的起点为A，终点为B，向量AB的坐标表示为∑(x,y)，其中x和y分别是B点的横坐标和纵坐标减去A点的横坐标和纵坐标。
例如，向量AB的坐标表示为(2,3)。
向量的运算是指对向量进行加法、减法、数乘等操作，得到新的向量。
向量的加法满足向量的三角形法则：将两个向量的起点置于同一点，然后将它们依次相接，新向量的起点是原向量的起点，终点是最后一个向量的终点。
向量的减法可以通过向量加法和数乘来表示，即AB-AC等于向量AB加上向量(-AC)。
向量的数乘是指用一个数乘以一个向量，新向量的大小等于原向量的大小乘以这个数，方向与原向量的方向相同（当数大于0时）或相反（当数小于0时）。
向量方法在平面几何中有广泛的应用。
首先，向量可以表示平面上的直线。
设直线是向量a的全体平移向量，即过直线上一点P的所有点的位置向量都可以表示为P加上向量a的倍数，即r+λa（λ∈R），其中r是向量a的起点。
这样，通过引入向量，我们可以用向量方程来表示直线，方程形式简洁明了。
其次，向量方法可以用来判断平面上的点是否共线。
若三个点A、B、C在同一条直线上，则向量AB与向量AC平行。
因此，我们可以通过计算向量的平行关系来判断点的共线性。
此外，向量方法还可以用来求解直线的方程、交点等问题。
例如，设平面上有两条直线L1和L2，要求求出它们的交点P，则可以先求出直线L1上一点到直线L2的距离为零的位置向量p，即满足l1+pμ1=l2+pμ2（μ1,μ2∈R），得到方程组，进而求解μ1和μ2的值，将其代入到直线L1和L2的方程中即可求出交点P的坐标。
平面几何中的向量方法 高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
向量具有“几何”与“代数”的双重身份
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的 几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？
B A
O D
A
B C
O B
A B
)
O
A
数量积性质？
求模 求夹角 证垂直
2、向量的代数身份是通过什么来实现的？坐标表示
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数” 的计算
又有公共点 P，则 A,C, P 三点共线．所以 B 正确．
故选：B
5．(多选)点 P 是ABC 所在平面内一点,满足
PB PC PB PC 2PA 0 ,则ABC 的形状不可能是
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【详解】∵P 是 ABC 所在平面内一点，且
，∴ ， | PB PC | | PB PC 2PA | 0
例 7．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点，求：
(1) DE CB 的值；(2) DE DC 的最大值．
（2）因为 DE 1, x, DC 0,1 ，所以 DE CB 1 0 x 1 x ， 因为0 x 1， 所以 DE DC 的最大值是 1.
例 8．如图，在
(1)当 a ， b 满足什么条件时，a b a b ? (2)当 a ，b 满足什么条件时， a b a b ?
（2）由（1）可得， a b AC, a b BD a b a b ，即 AC BD ，此时四边形 ABCD 为矩 形从而可得 AB AD a b 时， a b a b .
（5）、两向量垂直的充要条件：向量 a b a •b 0
人教A版高中数学必修第二册-第六章 -6-4-1平面几何中的向量方法
高中数学 必修第二册 RJ·A
方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则 A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，
则A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2).
， 因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2) ＝2－2＝0
所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
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跟踪训练
一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三 个力的合力所做的功为_－__4_0____.
解析 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵A→B＝(－1,4)， ∴F·A→B＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即52m－12－ 23× 23＝0， 解得 m＝45，
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二 利用平面向量求几何中的长度问题
例2 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
→
→
→
→
解 设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b， →
而|BD|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b ＝ 5－2a·b＝2，
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知识点二 向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有 力、速度、加速度、位移 等. (2)向量的加减法运算体现在 力、速度、加速度、位移的合成与分解 . (3)动量mv是向量的 数乘 运算. (4)功是 力F 与 所产生的位移s的数量积.
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平面几何中的向量方法
a b x1 x2 y1 y2
二、向量模的计算方法：
设 a ( x , y ), 则 | a | x2 y2
三、两个向量垂直的坐标表示：
a b x1 x2 y1 y2 0
设s
四、求向量夹角公式的坐标表示：
x1 x2 y1 y2
2 2 x12 y12 x2 y2
巩固练习
1.已知a (2,1),求与 a平行的单位向量 . 2.已知a (2,1),求与 a垂直的单位向量 .
例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何 模型.如图, AC AB AD, DB AB AD 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边 长度之间的关系吗?
D C B
“三步曲”
A
图 2。 5-1
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2.通过向量运算，研究几元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； 3.把运算结果“翻译”成几何关系
例2。如图2.5-2，连接□ABCD的一个顶点至AD、DC 边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点， 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ F 利用实数与向量的积 D C T E 证明共线、平行、长 R 度问题
O A
图 2.5-4
B C
B
利用向量的数量积可解决 长度、角度、垂直等问题
O A
图 2.5-4
C
练3:如图2.5-5，AD、BE、CF是△ABC的三条高 求证：AD、BE、CF相交于一点 A
F H B D
图 2.5-5
E
C
作 业
教材Ｐ125
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AR AE ER
8
AR AE ER r 1 b m(a 1 b )
2
2
n(a b ) 1 b m(a 1 b )
D
F
C
2
2
即(n m)a (n m 1)b 0
ER
T
2
由于向量a, b不共线
A
B
n m 0
n
m 1 2
A
证明： 设 AO a,OC b 则AC a b,CB a b
AC CB a ba b
22
2
2
a b a b
r2 r2
0
即 AC CB 0，∠ACB=90°
思考：能否用向量坐标形式证明？
y C
B
O
x
16
已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行
则实数m的值为 （ D）
7
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的
关系吗？
解：设 AB a, AD b, AR r ,
D
F
C
则AC a b
ER
T
AR与AC共线
设r n(a b ), n R A
B
又 ER与EB共线
A.-1
B.1
C.2
D.-1或2
A 利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直
B
D
C
17
练习
1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为 已知船可垂直到达对岸，则（ ）B
，水v速1 为
v2
A. | v1 || v2 | B. | v1 || v2 | C. | v1 || v2 | D. | v1 || v2 |
2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？
当θ=0， | F最1 小| ，最小值是
|G| 2
3.为何值时，F1 G ？
当 θ 2时，
3
| F1 || G |
F
θ
F1
F2
G
13
例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发
到 问河行对驶| v岸航2 |， 程 已 最2k知 短m船 时/ h的，速所度用时间是多少？，(精水确| v流1到|速0.1度10mkimn)/ h
0
解得：n m 1 3
AR 1 AC ,同理TC 1 AC ,于是RT 1 AC
3
3
3
故AT=RT=TC
9
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力， 你能从数学的角度解释这种现象吗？
10
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包， 夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小 越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？
，
B
D
解：由已知条件得v v2 0
v1 v
v v1
| v | | v1 |2 | v2 |2 96(km / h), v2 A v2 C
所以 t d 0.5 60 3.1(min). | v | 96
思考：要使船行驶的时间最短，所用时间是多少？
15
例3 证明直径所对的圆周角是直角
已知：如图所示，已知⊙O，AB为 直径，C为⊙O上任意一点。 求证：∠ACB=90°
2、已知作用在A点的三个力
F3 (3,1)，A(1，1)则合力
标是（ B）
F1 (3, 4) , F2 (2, 5) F F1 F的2 终F点3 坐
A.(8,0)
B.(9,1)
C.(-1,9)
D.(3,1)
18
3、一个物体受到两个相互垂直的力
f的1 ,作f2用，两边
大小都为 5 3N，则两个力的合力的大小为（ ） C
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
1
非 向量零 的相向 关概量 念及a其形（ 式 x1，y1），b （x2，y2）
数量积运算 向量的模
向量的夹角 垂直的判定
定义形式
a b a b cos a aa
cos a b
ab ab 0
坐标形式
a b x1x2 y1 y2
AB ² AD ² AC ² DB ²
5
分析： 设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，
AB ²= a ² AD ²= b ²
D
AC ²=AC+AC=(a+b) (a·-b)
=a·a+a ·b+b ·a+b b·
= a ²+2a·b+ b ²
A
同理 DB ² = a ²- 2a·b+ b ²
2
∴当θ由0°～180°逐渐增大时， 由0°～90°
逐渐增大，而 cos 的值逐渐缩小，因此
逐渐增大
2
F
θ
F1
F2
G
即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力
12
例3. 在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅 行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹 角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件
a⊥b ⇔a b 0 x1x2 y1y2 . 0.
3
(3)求夹角问题 利用夹角公式 ，
cos a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12
x
2 2
y22
(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模
|a|=
a
或|AB|=2|AB|=
a a
a
x2 y2
a
x2 y2
cos x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
x1 x2 y1 y2 0
共线的判定 相等的判定
a=λb
ab
x1 y2 x2 y1 0
x1 x2且y1 y2
2
向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量
平行（共线）的条件
a∥b ⇔a b x1y2 -x2y1 0(b. 0)
C B
AC ²+ DB ²= 2( a ²+ b ²) = 2 ( AB ²+ AD )²
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条 邻边长的平方和的两倍.
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利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角 等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
F
θ
F1
F2
1.当 逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？
2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？
G
3.为何值时，F1 G ？
11
1.当 逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？
解：设 | F1 || F则2 |由向量的平行四边
形法则、力的平衡及直角三角形的知
识可知
| F1 |
|G|
2 cos
，
v1
v
v2
分析：如图，已知v v1 v2，v1 10km / h, v2 2km / h， v v2，求t.
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例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发
到 问河行对驶| v岸航2 |，程 已最2k知短m船时/ h，的所速用度时间是多少？，(精水确| v流1到|速0.1度10mkimn)/ h
A.10 3N B.0N
C.5 6N
56 D. N
2
4、三个力 F1、F2、同F3时作用于点O且处于平衡状态，
已知 F1与F的3 夹角为120°，又
| F1|=|F2|，=2则0N
| F3 | 20N
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.
(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2
4
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图， AC AB AD, DB AB 你A能D发, 现对角
线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？ 对角线DB？
D
C
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系？
A
B
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积