信号分析与处理(杨育霞许珉廖晓辉著)中国电力出版社习题2

x ' (t ) x" (t )
(1)
1 -1 2 t -2
1 -1 O 1
(1)
2 t
-2
-1
O
O
( −1)
( −1)
τ τ ⎤ ⎡ ⎛ ωτ ⎞ E ⎢ε (t + ) − ε (t − )⎥ ↔ EτSa⎜ ⎟ 2 2 ⎦ ⎣ ⎝ 2 ⎠
�
利用一次微分求解： x′(t ) = [ε (t + 2) − ε (t − 1)] − [ε (t − 1) − ε (t − 2)]
（3）
X 1k X 2k
A1τ 1 kπτ 1 A1τ 1 kπ sinc( ) sinc( ) T T1 T 2 A 1 = 1 = 1 = 1 = A2τ 2 kπτ 2 A2τ 2 kπ sinc( ) sinc( ) A2 3 T2 T2 T2 2
5
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| X 11 | 1 = | X 21 | 3
−
Aτ T1
Xk
2π τ
O ω1
2π τ
ω
ω1
Aτ kπτ sinc( ) T T
（1） 谱线间隔为基波角频率
ω1 =
带宽 （2）
2π 2π = rad/s, f1 = 1 MHz T 1× 10−6 2π 2π Bw = = rad/s, f w = 2 MHz τ 0.5 × 10−6 2π 2π 1 ω1 = = rad/s, f1 = MHz −6 T 3 ×10 3 2π 2π 2 Bw = = rad/s, f w = MHz −6 τ 1.5 ×10 3
（c） x (t ) = ( t + 2 ) [ε (t + 2) − ε (t + 1)] + [ε (t + 1) − ε (t − 1)] + ( −t + 2 ) [ε (t − 1) − ε (t − 2)]
6
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x (t )
1 1 1 2 t -2 -1
③利用时域移位性质求解。
A jA [1 − cos( kπ )] = − [1 − cos( kπ )] jkω 0T 2kπ
3
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A
题 5－3 图 2 参考图 2，有
x (t ) = −
X0 = − A ⎛ kπ sinc ⎜ 2 ⎝ 2
A T + x1 (t − ) 2 4
−1
(1)
τ
t
(1)
τ
t
−τ O
( −2 )
x′(t ) = δ (t + τ ) − 2δ ( t ) + δ (t − τ ) ωτ ) 2
jω X (ω ) = e jωτ − 2 + e − jωτ = 2 cos (ωτ ) − 2 = −4sin 2 ( X (ω ) =
（b） x (t ) =
指数形式：
1 j ( ak − jbk ) = − bk 2 2 − jA = ⎡1 − cos ( kπ ) ⎤ ⎦ 2kπ ⎣ − jA ⎡ k 1 − ( −1) ⎤ = ⎦ 2kπ ⎣
Xk =
=
jA ⎡ k −1) − 1⎤ ( ⎦ 2kπ ⎣
1 T
T 2 T − 2
T A − jkω1t ⎤ 1 ⎡ 0 ⎛ A ⎞ − jkω1t 2 − + e dt e dt ⎥ ⎢ ∫− T ⎜ ⎟ ∫ ∫ 0 2 T ⎣ 2⎝ 2 ⎠ ⎦ T ⎤ A ⎡ 2 − jkω1t = − e jkω1t ) dt ⎥ ⎢ ∫0 ( e 2T ⎣ ⎦ ⎤ − jA ⎡ T 2 = ⎢ ∫0 sin ( kω1t ) dt ⎥ T ⎣ ⎦ ⎛ T⎞ − jA ⎜ = − cos ( kω1t ) 2 ⎟ ⎜ ⎟ kω1T ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠
d [cos(2t )ε (t )] = −2sin(2t )ε (t ) + cos(2t )δ (t ) = −2sin(2t )ε (t ) + δ (t ) dt
x (t )
A 2
求题 2.2 图示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式） ，并画出幅度频谱。
−T
−
T 2
O
A − 2
d [cos(2t )ε (t )] dt
(1)
d −t [e δ (t )] dt
解： （2）
∫
∞ −∞
etδ (t − 3)dt = e3 = ∫ π sin c(t )δ (t ) dt = π sin c(0) = π
−∞ ∞
∫
sin(π t ) δ (t )dt −∞ t
∞
（4）
∫
∞ −∞
（4）
| X 13 | 1 = | X 23 | 3
2.10 利用傅里叶变换的性质，求题 2.10 图所示各信号的傅里叶变换。
x (t )
x (t )
x (t )
1
1
−τ O
−1
1
τ
t
−2τ
−1
O
2τ
t
-2 -1
O
1
2 t
（a）
（b） 题 2.10 图
（c）
解：(a)
x (t )
x ' (t )
1
−τ O
∞
2.3 如图 2.3 所示的周期单位冲激序列 δ T (t ) = 数。
k =−∞
∑ δ (t − kT ) ，求其指数形式和三角形式的傅里叶级
(1)
-2T -T
o
T
2T
t
题 2.3 图 解：
2 T （1）因为周期冲激序列是偶函数，则 bk = ∫ 2T δ (t − kT ) sin(kωt )dt = 0 T −2
e jωτ − 2 + e − jωτ 2 cos (ωτ ) − 2 4 ωτ = = j sin 2 ( ) jω jω ω 2
1 t[ε (t + 2τ ) − ε (t − 2τ )] 2τ
x(t )
1 2τ
x ' (t )
x′(t ) =
利用时域微
1 1 [ε (t + 2τ ) − ε (t − 2τ )] − [δ (t + 2τ ) + δ (t − 2τ )] O O 2τ −2τ −2τ t 2τ −1
A 1 + 2 T

∫
T 4 T − 4
Adt = 0
⎞ −j 2 ⎟e ⎠
kπ
Xk =
2π T ⎞ − jk T × 4 A ⎛ kπ e = sinc ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2
当 k 为偶数时 X k = 0 ；当 k 为奇数时 X k = − j
A 。 kπ
x(t ) 是奇对称奇谐函数，傅里叶级数中只含有奇次谐波。
k =1
∞
1 2 ∞ + ∑ cos( kωt ) T T k =1
4
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（2）①定义法： X k =
1 T
∫
T
x ( t ) e − jkω1t dt =
1 T
∫
T 2 T − 2
δ ( t ) e − jkω1t dt =
1 T
②利用三角式系数 X k =
1 1 ( ak − jbk ) = 2 T
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习题 2
2.1 化简以下各信号的表达式。 （1）
∫
∞
−∞
etδ (t − 3)dt
（2）
∫
sin(π t ) δ (t )dt −∞ t
∞
（3） （5）
∫
∞
−∞
ε (t + 1)δ (t − 1)dt
（4） （6）
∫
∞
−∞
e −2t [δ ′(t ) + δ (t )]dt
a0 =
1 T
∫
T
x(t )dt =
1 T
∫
T 2 T − 2
δ (t ) dt =
1 2 T 2 , ak = ∫ 2T δ (t − kT ) cos( kωt ) dt = . T T −2 T
其三角形式的傅里叶级数为：
x ( t ) = a0 + ∑ ( ak cos ( kω1t ) + bk sin ( kω1t ) ) =
Xk =
x ( t ) e − jkω1t dt =
− jA ⎡ ⎛ kω T ⎞ ⎤ 1 − cos ⎜ 1 ⎟ ⎥ ⎢ 2k π ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ jA = ⎡cos ( kπ ) − 1⎤ ⎦ 2k π ⎣ jA ⎡ k = −1) − 1⎤ ( ⎦ 2kπ ⎣ =
（二）利用一个周期的傅里叶变换求傅里叶级数的系数。 ① 取 ( − T 2, T 2) 区间的 x ( t ) 构成单周期信号，其傅里叶变换
⎡ ⎛ kω0T ⎢ cos ⎜ 2 ⎣ ⎝
⎞ ⎤ ⎟ − 1⎥ ⎠ ⎦
jA ⎡ cos ( kπ ) − 1⎤ ⎦ 2 kπ ⎣ jA 2 kπ =− sin ( ) kπ 2 （k为偶数） ⎧0, ⎪ = ⎨ jA − , (k为奇数） ⎪ ⎩ kπ
则傅里叶级数为：
x (t ) = −
jA jkω0t e k为奇数 kπ
T 2
T
t
题 2.2 图
解： （一）定义式求解 三角形式：信号奇对称 a0 = ak = 0
bk =
T ⎤ A 2 T 2 ⎡ 0 ⎛ A⎞ 2 2 x t k ω t dt k ω t dt = − + sin sin sin ( kω1t ) dt ⎥ ( ) ( ) ( ) T⎜ T ⎢ 1 1 ⎟ ∫ ∫ ∫ 0 2 T −2 T ⎣ −2 ⎝ 2 ⎠ ⎦