一元二次方程的解法大全
九年级数学 一元二次方程解法大全
一元二次方程有哪些解法?解法怎么用?1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]怎样求解一元二次方程（四种）怎样求一元二次方程aX²+bX+c=0(a≠0)的在实数域上的解（即实根）？我提供四种方法一、公式法二、配方法三、直接开平方法四、因式分解法下面我一一讲解！•一元二次方程aX²+bX+c=0(a≠0)1.1先判断△=b²-4ac，若△<0原方程无实根；2. 2 若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；3. 3 若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。
一元二次方程方程解法
一元二次方程方程解法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，例如因式分解、配方法、求根公式等。
本文将以解一元二次方程为主题，详细介绍其中的几种解法。
一、因式分解法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果能够将其因式分解成两个一次因式的乘积，则可以通过使得两个因式分别等于0来求得方程的解。
具体步骤如下：1. 将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，得到(ax + m)(nx + n) = 0；2. 使得(ax + m) = 0和(nx + n) = 0分别成立，得到两个一次方程的解；3. 求得的解即为原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果无法直接因式分解，可以使用配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程ax^2 + bx + c = 0左右两边同时乘以一个适当的常数k，使得方程左边的二次项系数变为一个完全平方；2. 将方程左边的三项进行配方，得到一个完全平方；3. 化简方程，得到一个关于x的一次方程；4. 解一次方程，求得的解即为原方程的解。
三、求根公式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来直接求解。
求根公式是指根据方程的系数a、b、c，通过公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a来计算方程的解。
具体步骤如下：1. 根据方程的系数a、b、c，计算出判别式D = b^2 - 4ac；2. 判断判别式D的值，若D > 0，则方程有两个不相等的实数根，若D = 0，则方程有两个相等的实数根，若D < 0，则方程无实数根；3. 根据求根公式，计算出方程的解。
四、完全平方式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果无法直接因式分解，也无法使用配方法，可以通过完全平方式来求解。
一元二次方程的几种解法
第一节解一元二次方程的几种方法
1.直接开平方法：利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。
例题1. 解方程(x+3)2=81
解：两边开平方，得x+3=8
即x+3=8或x+3=-8
所以x=5或x=-11
2.因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段求出方程解的方法。
例题2. 解方程x2+4x+3=0
解：原方程变形为（x+1）（x+3）=0
即x+1=0或x+3=0
所以x=-1或x=-3
3配方法：对于一个一元二次方程，首先利用恒等变形，通过配方把它花为一边含有未知数的完全平方形式，另一边是非负数，再用开平方法解方程的方法就是配方法。
例题3 解方程x2-6=4x
解：移项得x2+4x=6
配方得x2+4x+22=6+22
即（x+2）2=10
x+2=10
±
所以x=-12或x=8
4公式法：由一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，应用配方
法可推出一元二次方程的求根公式为X=
a ac
b b
2
4 2-
±
-例题4 解方程x2+5x+6=0
b2-4ac=52-4×6=1
x=(﹣5±1)/2
即x=﹣3或x=﹣2。
一元二次方程的解法总结
x a 0或x a 0
x1 a
形如
2
x2 a
的式子运用完全平方公式得：
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
例1 解下列方程
16(2 x) 9 0 （1） 解：原方程变形为： 9 2 (2 x) 16
解：提公因式得：
(3x 2)( x 6) 0
(3x 5)( x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
3x 2 0或x 6 0
2 x1 3
5 x1 3
x2 6
x2 2
平方差公式与完全平方公式
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
2
（2） x( x 2) 1 0 解：原方程变形为：
直接开平方得：
x2 2 x 1 0
( x 1)2 0
3 2 x 4 11 5 x2 x1 4 4
x1 x2 1
2 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘 积的形式，且p + q = 一次项系数。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2
例题讲解
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
一元二次方程的几种解法
写成（）2 的形式，得
x2 4x 4 5.
x 22 5.
x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 22 5.
x2 4x 1 0.
（3）3x2 5x 2. 3x2 5x 2 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4）2x 13x 2 3. 6x2 4x 3x 2 3,
6x2 x 5 0.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
开平方，得
x 2 5.
x1 2 5, x2 2 5.
解这两个方程，得
怎样配方：常数项是一次项 系数一半的平方.
a2±2ab+b2=(a±b)2.
解：
3x2 12x 3 0.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
x2 2 y 3 0 （不是一元方程）
2xx 3 2x2 1 （不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
一元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程的几种解法
系数一半的平方，得
2 4 4 2
写成（）2 的形式，得
x
7 2
49
24 .
4 16 16
开平方，得
x 7 25 .
4
16
2
x1 , x2 3.
1
解这两个方程，得
44
44
x1 , x2 .
75
75
解法2：配方法
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式； 5、开平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
2
2x 22 5.
解：系数化1，得 x 22 5 ,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
2
2
x1 2 10 , x2 2 10 .
解法1：直接开平(a≠0, ac<0) 或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
解： 3x2 7,
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3 21
(完整版)一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。
一元二次方程的解法汇总
一元二次方程的解法汇总一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程是数学中非常重要的一部分，它在实际问题中的应用广泛，如物理、经济学等领域。
本文将对一元二次方程的解法进行汇总，包括求解公式、配方法、因式分解法和图像法等。
1. 求解公式法求解公式法是最常用的解一元二次方程的方法。
根据一元二次方程的定义可知，其解可以通过求根公式来得到。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示两个解，分别对应加号和减号。
这个公式又称为二次方程的根公式，可以直接带入方程的系数a、b、c来计算方程的解。
2. 配方法当一元二次方程的系数不方便使用求解公式的时候，可以采用配方法来求解。
配方法的基本思想是将一元二次方程的二次项与一次项相乘，使其变为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：- 将一元二次方程写成a(x^2 + b/a*x) + c = 0的形式，其中b为一次项的系数。
- 将方程中的b/a*x一项配方，即加上一个常数使其变为一个完全平方的形式。
- 将方程中的常数项与刚刚配方得到的项合并，得到一个完全平方的二次项。
- 将方程进行因式分解，得到一个一次项与一个完全平方的二次项相乘的形式。
- 令一次项与完全平方的二次项分别等于0，解得方程的解。
3. 因式分解法因式分解法是一种利用因式分解的方法来解一元二次方程的方法。
当一元二次方程的系数较为复杂时，可以尝试使用因式分解法来求解。
具体步骤如下：- 将一元二次方程写成(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式，其中a1、a2、b1、b2为已知常数。
- 将方程进行因式分解，得到两个一次项相乘的形式。
- 令每个一次项等于0，解得方程的解。
4. 图像法图像法是一种通过观察二次函数的图像来求解一元二次方程的方法。
根据二次函数的图像特征，可以直观地确定一元二次方程的解。
一元2次方程4种解法
一元2次方程4种解法
标题：四种解法揭示一元二次方程的奥秘
引言：一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决很多实际问题。
本文将介绍四种不同的解法，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。
第一种解法：因式分解法
当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因子时，我们可以通过将方程两边因式分解后，令每个因子等于零来求解方程。
这种解法适用于一元二次方程的解为整数或分数的情况。
第二种解法：配方法
对于一元二次方程，如果无法直接因式分解，我们可以采用配方法。
通过将方程两边用合适的常数进行配方，将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
这种解法适用于无理数根的情况。
第三种解法：求根公式法
一元二次方程的求根公式是解决方程的重要工具。
该公式是通过将方程转化为标准形式后，利用公式计算出方程的根。
这种解法适用于无法通过因式分解或配方法求解的复杂方程。
第四种解法：图像法
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以直观地看出方程的解。
根据图像的形状和位置，我们可以判断方程有几个解，以及解的范围。
这种解法适用于对方程的整体特征有较好了解的情况。
结论：通过以上四种解法，我们可以更全面地理解和应用一元二次方程。
无论是因式分解法、配方法、求根公式法还是图像法，都可以帮助我们解决不同类型的一元二次方程。
掌握这些解法，可以提高我们解决实际问题的能力，并在数学学习中更加得心应手。
一元二次方程解法
01一元二次方程有四种解法，它们分别是直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
有四种解法，它们分别是直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
1、直接开平方法例：解方程（3x+1）2=7；（3x+1）2=7；∴（3x+1）2=7；∴3x+1=±√7（注意不要丢解符号）；∴x=﹙﹣1±√7﹚/3。
2、配方法例：用配方法解方程x²+4x-8=0：将常数项移到方程右边x²+4x=8；方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²+4x+4=8+4；配方：（x+2）2=12；直接开平方得：x+2=±√12；∴x=-2±√12。
3、公式法例：用公式法解方程2x²-8x=-5；将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0；∴a=2，b=-8，c=5；b²-4ac=（-8）²-4×2×5=64-40=24>0；∴x=[（-b±√（b²-4ac）]/（2a）。
4、因式分解法例：用因式分解法解方程y2＋7y＋6＝0；方程可变形为（y＋1）（y＋6）＝0；y＋1＝0或y＋6＝0；∴y1＝-1，y2＝-6。
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法如下：
1、因式分解法：将一元二次方程化成 ax^2+bx+c=0 的形式，先将两边同乘以a后，即a(x^2+ b/ax + c/a)，然后将此形式拆解为（x+()）(x+(/))的形式，得到两个一元一次方程，求出x的值，即可求出原方程的解。
2、公式法：用公式法求解一元二次方程，即通过求解公式：x=(-
b±√(b^2-4ac))/2a来求解，此公式中，b和c为方程的系数，a为系数前的系数。
3、图像法：使用图像法求解一元二次方程，即作出ax^2+bx+c=0方程图象，然后根据图象上的交点判断出方程的解。
4、判别式法：此法根据一元二次方程的判别式来求解，即当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不等实根；当判别式b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根。
5、求根公式法：此法可以用来求解一元二次方程的实根，即用求根公式x1=(-b+ √(b2- 4ac))÷2a和x2=(-b-√(b2- 4ac))÷2a，其中，b 为系数前的系数，a和c分别为方程的系数。
6、特殊值法：此法适用于一元二次方程中特殊的系数或解。
如当
a=0，系数b和c任意时，可将该方程化为一元一次方程，求解即可；当a=b=0时，可直接算出方程的解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、定义及一般形式1.1 一元二次方程：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的方程。
1.2 一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，且a≠0）二、解一元二次方程的常用方法2.1 因式分解法2.1.1 提取公因式法2.1.2 十字相乘法2.1.3 公式法（完全平方公式、平方差公式）2.2 公式法2.2.1 求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.2.2 判别式：Δ = b^2 - 4ac2.2.3 根与系数的关系：•两根之和：x1 + x2 = -b/a•两根之积：x1 * x2 = c/a2.3 图像法2.3.1 抛物线的开口方向与a的符号有关：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。
2.3.2 抛物线与x轴的交点即为方程的解。
三、特殊类型的一元二次方程3.1 含绝对值的一元二次方程3.2 含平方根的一元二次方程3.3 含分式的一元二次方程四、一元二次方程的应用4.1 实际问题与一元二次方程4.2 几何问题与一元二次方程4.3 函数问题与一元二次方程五、练习与提高5.1 巩固题型：基本的一元二次方程求解。
5.2 提高题型：复杂的一元二次方程求解，如含绝对值、平方根、分式的方程。
5.3 综合题型：结合实际问题、几何问题、函数问题等，运用一元二次方程解决实际问题。
习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
答案：x1 = 2，x2 = 3。
解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (x -2)(x - 3) = 0，从而得到两个一元一次方程 x - 2 = 0 和 x - 3 = 0，解得 x1 = 2，x2 = 3。
2.习题：解方程 2x^2 - 9x + 12 = 0。
答案：x1 = 2/3，x2 = 6。
解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (2x -3)(x - 4) = 0，从而得到两个一元一次方程 2x - 3 = 0 和 x - 4 = 0，解得 x1 = 2/3，x2 = 6。
一元二次方程全部解法
一元二次方程全部解法一元二次方程是高中数学中常见的一个概念，它由形如ax^2+bx+c=0的方程组成，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、因式分解法等。
本文将以一元二次方程的全部解法为题，详细介绍这些解法的原理和步骤。
一、公式法解一元二次方程公式法是解一元二次方程最常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以使用以下公式求解：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)该公式中的±表示两个解，分别对应方程的两个根。
当b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b^2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b^2-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
解一元二次方程的步骤如下：1. 根据方程的系数a、b、c，计算出b^2-4ac的值；2. 判断b^2-4ac的正负情况，确定方程的解的性质；3. 使用上述公式计算方程的解。
二、配方法解一元二次方程配方法也是解一元二次方程常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
配方法的步骤如下：1. 将方程的常数项c拆分成两个数的乘积，使得这两个数的和等于方程的一次项系数b；2. 将方程的二次项系数a移到方程的一边，并在另一边配方；3. 将配方后的表达式转化为完全平方；4. 对方程两边同时开根号，得到方程的解。
三、因式分解法解一元二次方程对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法来求解。
这种方法适用于方程的二次项系数为1的情况。
因式分解法的步骤如下：1. 将方程移项，使方程等于0；2. 将方程分解为两个一次因式的乘积；3. 令每个一次因式等于0，解出方程的根。
四、其他方法解一元二次方程除了公式法、配方法和因式分解法外，还有一些其他的方法可以用来解一元二次方程。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法一元二次方程是中考的重点内容，也是初中数学学习的重点，解一元二次方程是重要的应用，不管是直接开平方，还是配方法、公式法、因式分解法等等方法解方程，四种解法各有不同，不同的依据，不同的适用范围，都需要同学们重点掌握的，然后根据题目的实际情况，选择最佳的解题方法。
下面我们通过实例讲解一元二次方程的四种解法，让同学们在考试中得心应手，同时也希望同学们谨记各部分的注意事项，记住各种方法的适用方位，在考试中灵活运用，避免出现错误。
一、直接开平方法：依据的是平方根的意义，步骤是：①将方程转化为x=p或（mx+n)=p的形式；②分三种情况降次求解：①当p>0时；②当p=0时；③当p<0时，方程无实数根。
需要注意的是：直接开平方法只适用于部分的一元二次方程，它适用的方程能转化为x=p或（mx+n)=p的形式，其中p为常数，当p≥0时，开方时要取“正、负。
二、配方法：把一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≥0)左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解。
一般步骤：移项、二次项系数化成1，配方，开平方根。
配方法适用于解所有一元二次方程。
三、公式法：利用求根公式，直接求解。
把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。
一般步骤为：(1)把方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b-4ac的值；(4)当b-4ac≥0时，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b-4ac<0时，方程没有实数根。
需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来。
求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免繁杂的配方过程。
因此没有特别要求，一般不会用配方法解方程。
四、因式分解法：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
一元二次方程组的解法
一元二次方程组的解法在数学中，一元二次方程组是指由两个一元二次方程组成的方程组。
一元二次方程组的解法可以通过多种方法实现，下面将介绍几种常见的解法。
一、图解法通过图像来解一元二次方程组是一种直观的方法。
首先，将每个方程都转换为二维坐标系上的直线或曲线，然后找出它们的交点，这个交点就是方程组的解。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：y = x^2 - 4x + 4方程2：y = -x^2 + 2x + 1我们可以将这两个方程绘制在同一个坐标系上，通过观察它们的交点来求解方程组。
在图中，我们可以看到两个方程的图像相交于点(2,1)，因此方程组的解为x=2，y=1。
二、代入法代入法是一种常用的解一元二次方程组的方法。
该方法的思想是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的变量的函数，然后代入另一个方程，得到一个只含有一个变量的一元二次方程，从而求解该方程。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：x^2 + y^2 = 10方程2：x + y = 5我们可以将方程2中的y表示为x的函数：y = 5 - x，然后将其代入方程1得到x^2 + (5 - x)^2 = 10。
将该方程化简后得到2x^2 - 10x + 15 = 0，进一步求解该方程可得到x的解，再将x的解代入方程2中求得对应的y的值，即可得到方程组的解。
三、消元法消元法是一种通过相加或相减来消去一个变量的方法。
该方法的思想是通过对方程进行线性组合，消去方程组中的一个变量，从而得到只含有一个变量的一元二次方程。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：x^2 + 2xy + y^2 = 10方程2：x - y = 1我们可以通过将方程1的两边减去方程2的两边来消去变量y，得到x^2 + (2x - 1)^2 = 10。
将该方程化简后，我们可以得到一个只含有一个变量的一元二次方程，从而可以求解得到x的解，再将x的解代入方程2中求得对应的y的值，即可得到方程组的解。
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② 公式法虽然是万能的，对任何一元二 次方程都适用，但不一定是最简单的， 因此在解方程时我们首先考虑能否应用 “直接开平方法”、“因式分解法”等 简单方法，若不行，再考虑公式法（适 当也可考虑配方法）
用最好的方法求解下列方程 1)（3x-2）² -49=0 2)（3x-4）² =（4x-3）²
3 3) 4y=1y² 2
一元二次方程的解法复习
时间：2016.9.1
1、你还记得一元二次方程的概念吗?
只含有一个未知数（即“元”），并 且未知数的最高次数为2（即“次”）
的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的标准形式
ax bx c 0(a 0)
2
1.关于y的一元二次方程2y(y-3)= 2 -4的一般形式是___________, 2y -6y+4=0 它 的二次项系数是_____, 2 一次项系 -6y 常数项是_____ 数是_____, 4
（3）3x2+2x-1=0（公式法）；
（4）(2x+1)2= -3
(2x+1) （因式分解法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ②、⑥ ； 适合运用因式分解法 ③、⑤、⑨ ； 适合运用公式法 ①、⑦ ； 适合运用配方法 ④、⑧ .
选择适当的方法解下列方程:
16 2 1 x 1 25 2 3 3x (x 2) 9x
2
5 x(3x 7) 2x
（6） 2 x 5x 3 0
1、
ax2+c=0
ax2+bx=0
====> 直接开平方法
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
4 100 4 10 ∴ x 23 6
∴
x 1 1, x 2
7 3
按括号中的要求解下列一元二次方程： （1）4(1+x)2=9（直接开平方法）； （2）x2+4x+2=0（配方法）；
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x1 a, x2 a
例:解方程
１、 (x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3 ∴ x=-2±3 ∴ x1=1, x2=-5 右边开平方 后，根号前 取“±”。
2、4x2-9=0
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
提取公因式法 平方差公式、完全平方公式 十字相乘法
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方; 4.变形:化成 ( x + m ) = a
2
5.开平方，求解
★一化、二移、三配、四化、五解.
例题讲解
解方程 x 6x 7 2 x +6x-7=0 2 解：x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
例1. 用配方法解下列方程 2
练习：解方程 4x 8x 5 0
2
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2. b 4ac 0
2
b 即x ( 0) 2a
例：解方程
3x2=4x+7
先变为一般 形式，代入 时注意符号。
用适当的方法解下列方程（25 4=100）
（1）4 x +12 x 9 81
(2)2 x 3 x 3
(3) x(2 x 5) 4 x 10
(4)18 x 16 x 2 8 x
2
2
2
我的发现
① 一般地，当一元二次方程一次项系数 为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方 法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选 用因式分解法；若一次项系数和常数项 都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式， 看一边的整式是否容易因式分解，若容 易，宜选用因式分解法，不然选用公式 法；不过当二次项系数是1，且一次项系 数是偶数时，用配方法也较简单。
2、下列方程是一元二次方程的是 （ B）
A x 2 y 1 3 2 C x 8 x
B x 5 0 D 3x 8 6x 2
2
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a=
2
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法 公式法
因式分解法
配方法
你能说出每一种解法的特点吗?
2. 将方程化成(ax+b)(cx+d)=0形式
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 把y+2看作一个未 知数，变成 (y+2)(y-1)=0 (ax+b)(cx+d)=0形 y+2=0 或 y-1=0 式。 ∴y1=-2 y2=1
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方 法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般 形式再选取合理的方法。