正比例与性质函数的图像
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
正比例函数的图像和性质
1 1 y x y x 的图象。 在同一坐标系中画出 2 与 2
y
y
1 x 2
函数名称
函数解析式 函数图象 的形状 函数 K>0 图象 的 位置 K<0
正比例函数
x
y=kx（K 0）
过（0，0),（1 ， k）的一条直线 位于第三、一象 限 位于第二、四象 限
y
x
y 1 x 2
思考:经过原点和 5 4 (1,k)的直线是哪个 3 函数的图象?画正比 2 例函数的图象时 ,怎 1 样画最简单 ? 为什么 ? -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
0 12345
y
y=2x 发现:两个函数
图象都是经过 正比例 原点 ___.y=2x 函数y= kx 的图象从左向 (k≠0) 的图 右___,经过第 4 5 x 象是经过 ____ 象限 ; y=原点(0,0)点 2x的图象从左 和(1,k)点 向右 ___, 经过 y=-2x 的一条直 第___ 象限 . 线。
1．正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第 ________象限，函数值随自变量的增大而_________． 2 2．若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk 是正比例函数，则 k=_________． 3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A．y=4x+1 B．y=2x2 C．y=-x D．y=1/x 4．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且 x1>x2，则y1与y2• 的大小关系是（ ） A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．以上都有可能 5．若函数y=（1-m）x+m-3是正比例函数，则m的值是（ ） A．m=-3 B．m=1 C．m=3 D．m>-3
正比例函数、一次函数的图像与性质
正比例函数与一次函数的图象与性质1，正比例函数2，一次函数y=kx+b的性质（对比正比例函数的性质和图像的性质）3，函数是通过的观念研究已学过或未学过的知识。
4，变量的定义是：常量的定义是：5，函数的定义：则函数的本质是：6，在函数的定义中，自变量x在“在某一范围内”取值，这就是自变量的取值范围，它有两层含义，分别是：（1）（2）7，函数解析式是式子，写函数解析式必写8，函数的表示方法有种，它们分别是：；在运用时不是单独运用某一种，而综合运用它们。
9，由函数解析式画函数图像，一般步骤是10，一次函数的定义是正比例函数的定义是11，一次函数y=kx+b的平移：1）在y轴如何平移2）在x轴如何平移12，正比例函数是一次函数的特例，特殊在什么地方13，一次函数y=kx+b的趋势是由什么决定的如何决定的14，函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2： 1）平行的条件2）相交的条件3）重合的条件15，作图与作题正比例函数的图像是由决定的而一次函数的图像是由决定的16，一次函数是函数中最简单、最基本的一种函数。
函数与方程不同，方程是从静态的角度看待问题，是求方程所代表的未知数，如x+y=1，就方程而言一个二元一次方程没有意义，要想有意义就要是方程组，才能有一对实数解，这个解用平面直角坐标系来解释就是一个点；而函数是运用运动的观念来研究问题的，是从动态的角度看待问题的，也就是说自变量在某一变化过程中有一定的取值范围，从函数图像上看其就是点的集合，运用方程思想或方法只能求出一点，因此要想确定函数解析式或画出函数图像就要知道函数解析式中自变量的系数与常数即可，这就是待定系数法的由来。
17，待定系数法的定义是：待定系数法是解出函数解析式的方法，是运用方程思想解出函数解析式中未知的系数与常数，其步骤有：（1）根据图像或条件设定函数解析式；（2）运用方程思想方法解出未知的系数与常数。
那么一次函数系数的确定需要的条件是：正比例函数系数的确定需要的条件是：18，一次函数与二元一次方程组二元一次方程组有解是二元一次方程组无解是阅读——函数与方程的联系与区别：区别：（1）方程有若干个未知数，而函数则有若干个变量；（2）方程用等式表示若干个未知数的关系，而函数既可以用等式表示变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系。
正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
19.2 正比例函数图像及性质 课件1
1.由正比例函数解析式（根据k的正、负）， 来判断其函数图像分布在哪些象限
2 (1) y x y随x的增大而增大 一、三象限 3 一、三象限 (2) y 2x y 随x的增大而增大
2 (3) y x 3
y随 x的增大而减小 二、四象限
2.填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是 一条直线 它一定经过点 (0,0) 和 (1,k) .
一：自主探究：
1，分别画出下列函数的图像 1 （1） y =2x y =-2x (2) y x y 1 x 2 2 2,小组讨论，你画的这两个函数的图像再与课本 例1中所画的两组正比例函数图象比较分析一下正 比例函数的图像是怎样的线？都经过那个点？它 们分别经过哪些象限？它们的图像从左往右分别 呈——（上升或下降）趋势，y随x的增大而—— （增大或减小） 3，思考一下：正比例函数的图像是什么样的线？ K的符号对图像有何影响？ 4，总结一下正比例函数有何性质？ 5，画正比例函数图像有没有简便方法？
人教版初中数学八年级下册 第十九章《一次函数》
19.2.1
正比例函数
第2课时
复习提问
1，正比例函数的定义：
正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0） 的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数。
比例系数 y= k x （k≠0的常数）
2，画函数图象的一般步骤是： （1) 列表 （2）描点 （3）连线
画正比例函数 y 2 x 的图象 y=-2x y 解：1. 列表
x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 2 0 -2 -4 … x … 0 1 y … 0 -2 … …
-3 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3
正比例函数的图像与性质课件
（2）画出这个函数的图象；
解 当 t = 0 时，h = 0； 当 t =100时，h = 300. 在平面直角坐标系中描出点O(0,0)和A(100,300). 过这两点作线段OA，线段OA即函数h = 3t (0 ≤ t ≤100) 的图象，如图4-10.
做匀速运动（即速度 保持不变）的物体，走过 的路程与时间的函数关系 的图象一般是一条线段.
D.m≥1
3.下列函数(1)y=5x,(2)y=-3x,(3)y=1/2x,(4)y=-1/3x中，
(2) (4) y随x的增大而减小的是————
4. 已知正比例函数y＝（１－２m）xm2-3的图象经过 第二、四象限，求m的值。
随堂测试试
1.函数y=－7x的图象在第 二、四 象限内,
经过点(0, 而 减少 0 )与点(1, －7 . ),y随x的增大
如图,三个正比例函数的图像分 别对应的解析式是 ①y=ax② y=bx ③ y=cx,则a、b x
A.a>b>c C.b>a>c
B.c>b>a D.b>c>a
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y
k y= kx (k＞0)
y= kx (k＜0)
y
0 1
2.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、
三象限，则m的取值范围是（ B ） A.m=1 B.m＞1 C.m＜1 D.m≥1
随堂练习
5.函数y=－7x的图象在第 二、四象限内,经过点(0, 0
与点(1,－7 ),y随x的增大而 减少 . 3 6.函数y= 2 x的图象在第 三、一 象限内,经过点 3 (0, ０ )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 .
4.3.1正比例函数的图象和性质
y＝3x；
【教材P85 习题4.3 第5题】
6. 小明是这样理解“函数y＝x的图象是一条经过原点的直线”
的：如图，当x＝0时，y＝0，所以原点（0，0）在函数y=x的图
象上；当x＝t时，y＝t，即 MN＝ON，∠MON=45°，而这个结论
对任意的 t 值都正确，所以函数 y = x 的图象是一条经过原点、与
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标
系中描出相应的各点
按照横坐标由小到大的顺序把这些点顺次
连接起来
知识点2
正比例函数的图象
正比例函数的图象:正比例函数 y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0,0）
的直线，我们称它为直线 y=kx.
y=2x
例1 画出正比例函数 y=2x 的图象.
在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标
y=2x
第二象限
第一象限
第三象限
第四象限
正比例函数y＝kx（k≠0）的图
原点（0,0）
象是一条经过_____________
直线
的______.
知道了正比例函数图象的特点，有没有更简
便的正比例函数图象的绘制方法？
两点作图法
正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原
点（0，0）的直线，只要再确定一个点即可确定函数
观察比较，两个函数的图象
有什么相同点，有什么不同点？
不同点
相同点
y=﹣3x
y=2x
第二象限
第一象限
①函数图象都经过原点（0,0） 第三象限
第四象限
① y =2x 经过一、三象限，
② y =﹣3x 经过二、四象限.
②函数图象都是一条直线.
y=﹣3x
正比例函数的图像和性质
正比例函数的图像和性质
正比例函数是指函数的值与自变量成正比关系的函数，通常表示为y=kx，其中k为比例常数。
正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
这是因为当自变量为0时，函数的值也为0，所以直线经过原点。
正比例函数的性质包括：
1. 随着自变量的增大，函数的值也随之增大或减小；随着自变量的减小，函数的值也随之减小或增大。
2. 自变量为0时，函数的值为0，即函数通过原点。
3. 函数的图像是一条经过原点的直线。
4. 如果k>0，则函数是递增函数；如果k<0，则函数是递减函数。
5. 函数的图像在第一象限和第三象限的部分为正值，而在第二象限和第四象限的部分为负值。
6. 正比例函数的图像是关于原点对称的，即改变自变量的正负会导致函数的正负改变。
值得注意的是，正比例函数的定义域和值域都可以是整个实数集合。
第九讲 一次(正比例)函数图像及其性质(解析版)
第九讲 一次（正比例）图像及其性质目录必备知识点........................................................................................................................................1考点一 函数的概念理解................................................................................................................1考点二 一次函数概念的理解........................................................................................................4考点三 一次函数图像....................................................................................................................5考点四 一次函数图像性质1.........................................................................................................9考点五 一次函数图像性质2. (13)必备知识点知识点1 正比例函数图像（y=kx ）1.正比例函数图像是一条经过原点的直线。
2.性质（1）正比例函数图像必过（2）k>0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而 （3）K<0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而知识点2 一次函数图像（y=kx+b ）1.一次函数图像是一条直线。
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培养学生积极参与数学活动， 勇于探究， 发现数学的现象和 规律，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。
2学情分析
教材分析：
正比例函数图象是在学习正比例函数解析式的后续内容，这
一节内容是正比例函数与直角坐标系的完美结合。学生在这节课
中如果能内化和感悟数形结合的思想，将会为以后研究更为复杂
的反比例函数及二次函数的图象打下坚已经较好的拥有了解决平面坐标系 的一些基本问题的能力，理解了变量以及常量和代数式的内容， 因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，形成了较理想的
先决条件，但学生运用数学知识解决实际问题以及推理总结的能 力有待进一步加强。
3重点难点
3、画函数图象的一般步骤
(1)列表(2)描点(3)连线
学生回答后：
教师引导：现在我们已经知道正比例函数的意义及画图象的 步骤，那么正比例函数的图象有什么特征呢？
出示课题
活动2(二) 探究正比例函数的图象和性质
例1、画出下列正比例函数的图象。
(1)y=x(2)y=2x
(2)学生练习画出函数y=-x和y=-2x的图
(3)提出问题
师：观察图象回答：正比例函数y=x与y=2x的图象是什么 图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是 下降？
生甲：一条直线
生乙：过原点的直线，y=2x的图象过一、三象限，y=－2x的图象过二、四象限。
师：点评学生后,总结出正比例函数的图象性质:
（1）当k>0时，正比例函数的图象经过第一、三象限，自变 量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。
4、正比例函数y=(nn-1)x的图象过一、三象限，贝U m的
取值范围是( )
A、m=1B、rm>1C、m< 1D 1
教学重点：正比例函数图象的画法及性质的探索。
教学难点：发现、归纳正比例函数的性质。
4教学过程
教学活动
活动1【导入】（一）温故知新，引入课题
1、下列函数哪些是正比例函数？
4
2y——
⑴y「-8（2）y=8x（3）x （4）y--3x（5）y=4x-1
2、(学生回答完上述问题后提问概念)
一般地，形如y=kx(kz0)的函数，叫正比例函数，其中k叫做比例系数。
19.2.2正比例函数的图象和性质
教学目标
（一）知识与能力
1、进一步巩固正比例函数的概念， 会画正比例函数的图象， 进一步熟悉函数图象作图步骤。
2、能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并 会简单运用。
（二）过程与方法
通过实例函数图象画法的学习， 发现并总结正比例函数图象 的常用画法。
通过观察、探究、分析、引导学生发现正比例函数的性质。 培养学生善于观察问题发现结论， 了解数形结合及由一般到特殊 的数学思想。
数y=kx的图象叫直线y=kx，以后画y=kx图象时通常选取(0，0)和(1、k)两点。
活动3【练习】(三)学生动手实践“两点法”画正比例函
数图象。
(1)y=3/2x (2)y=3x
评论(0)活动4【练习】巩固练习
若A(-1,y1),B(3,y2)都在直线 上，贝U y1与y2的大小
关系是( )
Ay1<y2B、y仁y2 C、y1<y2D、y1>y2
（2）当k<0时，正比例函数的图象经过第二、四象限，自变 量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。
思考：
师：通过前面的探讨， 同学们发现画正比例函数图象有更简 单的方法吗？为什么？
生乙：过原点画一条直线。
生丙：过原点和（1、k）两点画一条直线。
师：点评后师生共同归纳出一般规律：一般地，正比例函数
y=kx（k工0）的图象过（0,0）和（1、k）两点的直线，我们把函