中考数学专题训练二次函数压轴题

二次函数压轴题

1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与

y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0

直线AB 于点N ，交抛物线于点M . (1)求a 的值；

(2)若PN ∶MN ＝1∶3，求m 的值；

(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP 2、BP 2，求AP 2＋3

2

BP 2的最小值．

图① 图②

第1题图

解：(1)∵A (4，0)在抛物线上， ∴0＝16a ＋4(a ＋2)＋2，解得a ＝－1

2

；

(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3

2x ＋2，令x ＝0可得y ＝2，

∴OB ＝2， ∵OP ＝m ，

∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△PAN ，

∴OB OA ＝PN PA ，即24＝PN 4－m

， ∴PN ＝1

2(4－m )，

∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋3

2m ＋2，

∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4，

∴－12m 2＋32m ＋2＝4×1

2(4－m )，

解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3；

(3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝32

，

第1题解图

由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2，

∴

OP 2OB ＝3

2

，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2，

∴QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32

， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝3

2BP 2，

∴AP 2＋3

2

BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ，

∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，9

2)，

∴AQ ＝

42

＋（92）2＝1452

，

即AP 2＋32BP 2的最小值为145

2

.

2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于

A (－2，0)，

B (4，0)两点，与y 轴交于点

C ，抛物线的顶点为

D ，点P 是x

轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M . (1)求二次函数表达式及顶点D 的坐标； (2)当PM ＝MN 时，求点P 的坐标；

(3)设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE ＋HF 的值为定值，并求出这个定值．

第2题图

解：(1)∵A (－2，0)，B (4，0)在二次函数的图象上，将A ，B 点代入二次函数表达式中，

得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋（－2）b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0

， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝1

，

∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2

＋x ＋4，

将其化为顶点式为y ＝－12(x －1)2

＋92，

∴顶点D 的坐标为(1，9

2

)；

(2)由抛物线表达式得点C 的坐标为(0，4)，

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋c (k ≠0)，将点B (4，0)，点C (0，4)代入得

⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋c ＝0c ＝4，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝－1c ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4，(5分) ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，

∴设点P 的坐标为(t ，－12

t 2

＋t ＋4)(－2＜t ＜4)，

∵PN ⊥x 轴于N ， ∴点N 的坐标为(t ，0)， ∵PN 交BC 于M ，

∴点M 的坐标为(t ，－t ＋4)，(7分) ∵PM ＝MN ，点P 在点M 的上方，∴PN ＝2MN ， 即－12t 2

＋t ＋4＝2(－t ＋4)，

解得t 1＝2，t 2＝4(与B 重合舍去)，

∴当PM ＝MN 时，点P 的坐标为(2，4)；(8分)

第2题解图

(3)如解图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，设点P 的坐标为(t ，－1

2t 2＋t ＋4)，

∵DH ⊥x 轴于点H ， ∴PG ∥DH ， ∴△AHE ∽△AGP ， △BGP ∽△BHF ，

∴

EH PG ＝AH AG ，PG FH ＝BG BH

，

∴EH ＝

AH ·PG AG ，FH ＝BH ·PG

BG

，(10分) 当点G 在BH 上时，

∵AH ＝BH ＝3，AG ＝t ＋2，BG ＝4－t ，PG ＝－12t 2

＋t ＋4，

∴EH ＋FH ＝3(PG t ＋2＋PG 4－t )＝3·(－12)(t ＋2)(t －4)·4－t ＋t ＋2（t ＋2）（4－t ）

＝9，

同理，当点G 在AH 上，由抛物线对称性可知，结果相同． 综上可知，HE ＋HF 的结果为定值，且这个定值为9.(14分)

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝1

2x ＋1与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交

于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3.点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D .

(1)求a 、b 及sin ∠ACP 的值； (2)设点P 的横坐标为m .

①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值； ②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．