总结一阶微分方程的类型及其解法

x2
2. 齐次方程

dy y f( ) 形如 dx x 的一阶微分方程称为齐次微分 方程，简称齐次方程。齐次方程通过变量替换，可 化为可分离变量的方程来求解。

y 2 ( ) dx y2 x 2 y dy xy x 例. 求解微分方程 x2 x
易见，题设方程是齐次方程，令 则 y ux ， dx u x du
令
dy 1 1 y a ln x dx x

z
dz 1 1 z a ln x y ，则上述方程变为 dx x

a 2 解此方程得 z x c (ln x) 2

以
y
1
a 2 代z，得通解为 yx (ln x) 1 2
总结一阶微分方程 的类型及其解法
（一）总结一阶微分方程的类型及其 解法
1
可分离变量的微分方程
dy 设有一阶微分方程 dx F ( x, y ) ，如果其右端函数能 dy 分解成 F ( x, y) f ( x) g ( y) 即有 dx f ( x) g ( y ) ，
则称方程为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(y)都 是连续函数。

1 sin x y ' y 例. 求方程 x x 的通解

解：题设方程是一阶非齐次线性方程，这里 1 sin x p( x) ，Q( x) x x

sin x 于是，所求通解为 y e ( e dx c) x sin x ln x ln x e ( e dx c) x 1 1 ( sin xdx c) ( cos x c) x x
二、举例说明微分方程的应用



1.衰变问题 2.逻辑斯蒂方程 3.价格调整问题 4.人才分配问题
（1）衰变问题
例：碳-14（ c）是放射性物质，随时间而衰竭，碳-12是非 放射性物质，活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳-14 衰减损失量而保持碳-14和碳-12之比为常数，通过测量， 已知一古墓中遗体所含碳-14的数量为原有碳-14的80%。 试确定遗体的活性人体的死亡年代。

x u y


dy
于是，原方程变为

即
du u x dx u 1
dy u 2 ux dx u 1
dx
1 dx 1 ）du 分离变量，得 （ u x

两端积分，得
u ln u c ln x ，或 ln xu u c

y 将 u x
回代，
14
0.00012097 t
ln 0.8 0.00012097 t


于是
ln 0.8 0.22314 t 1845 0.00012097 0.00012097 由此可知，遗体的活性人体大约死亡于1845年前。
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1 dx x
1 dx x
4.伯努利方程

dy p ( x) y Q( x) y n 形如 dx 的方程称为伯努利方程，
其中n为常数，且
n 0.1

例. 求方程 解，以
dy y 2 (a ln x) y 的通解 dx x

y
2
除方程的两端，得 y
2

d( y 1) 1 1 y a ln x 即 dx x
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例：求微分方程
dy 2 xy 的通解 dx

dy 解 题设方程是可分离变量的，分离变量得 y 2 xdx

dy 2 xdx 得 两端积分 y
从而
ln y x c1
2

y e
x 2 c1
e e
c1
x2
记
c e
c1

则得到题设方程的通解
y ce
2
0
2

两边取自然对数，得

1 5730k= ln 2 0.69315 ,即 k 0.00012097

于是， c 含量的函数模型为 p f (t ) p0e 14 由题设条件可知，遗体中 c的含量为原含量 p0 的80%， 故有 即 0.00012097 t 0.00012097 t 0 .8 p p e 0 .8 e 0 0 两边取自然对数，得

y 则得到题设方程的通解为 ln y c x
一阶线性微分方程



dy p( x) y Q( x) 形如 dx 的方程称为一阶线性微分方程， p( x), Q是某一区间 ( x) 其中 I上的连续函数，当 dy Q( x) 0 时，方程变为 p( x) y 0 ，这个方程称为 dx dy 一阶齐次线性微分方程。相应地，方程 p ( x) y Q( x) dx 称为一阶非齐次线性微分方程。
14



解：放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符 合指数函数的变化规律。设遗体的活性人体当初死亡时 14 c 14 p p f ( t ) o 的含量为 ，t时的含量为 ,于是， c 含量的函 kt 数模型为 p f (t ) p 0 e 其中 p0 f (0) k是一常数 常数k可以这样确定：由化学知识可知， 14 c 的半衰期为 5730年，即 14 c 经过5730年后其含量衰减一半， 1 p0 5730 k 5730 k 故有 即 e pe