多元线性回归分析
多元线性回归分析
3
二、多元线性回归模型的建立
由于二元线性回归方程是最典型的多元线性回归方程， 通过观察求解二元线性回归方程的参数的过程，就可了 解其他类型的多元线性回归方程参数的求解方法。设有 二元线性回归方程： yc a b1x1 b2 x2
统计学
一、多元线性回归分析的意义
粮食亩产量受播种量、施肥量、降雨量等 因素的影响；又如，彩电的销售额受彩电 价格、广告费支出、消费者购买力等因素 的影响；再如，企业产品成本受原材料价 格、原材料消耗、产量、质量、工艺技术 水平等因素的影响。
对于上述情况，如果只用一个自变量来进 行回归分析，分析的结果就存在问题，如 果将影响因变量的多个因素结合在一起进 行分析，则更能揭示现象内在的规律。
2
二、多元线性回归模型的建立
多元线性回归分析研究因变量和多个自变量间的线性关 系因，变这 量种 Y与线自性变关量系可用数学模型x来1, 之x表2,间x示3,存。,在设xn线因性变关量系为，Y,可 用多元线性回归方程来表示这种关系。设多元线性回归 方程为：yc a b1 x1 b2 x2 b3 x3 bn xn
要确定该回归方程，须先求解a、b1、b2三个参数。用最
小二乘法求解得x1方y y程a组nax如1 b1下b1：x1x12b2
x2 b2
x1x2
x2 y a
x2 b1
x1x2 b2
x22
4
统计学Biblioteka
回归分析(1)多元线性回归
k 1
k 1
n
xkm ( yk y) k 1
（2.9）
§ 2.3 回归模型中参数的最小二乘估计
又由
n
n
xki ( xkj x j ) ( xki xi )( xkj x j ) (i, j 1,2,, m)
k 1
k 1
n
n
xki ( yk y) ( xki xi )( yk y) (i 1,2,, m)
…… y2 0 1 x21 2 x22 m x2m 2
超定方程组
yn 0 1 xn1 2 xn2 m xnm n
（2.2）
其中，
为 个待定参数，
0, 1, 2,, m m 1
个相互独立的且服从同一正态分布
为
1,2,,n n
的随机
N (0, 2 )
变量，式（2.2）称为多元（m元）线性回归数学模型。
14
S2 y ( xk2 x2 )( yk y) 3 036.6 k 1
多元线性回归分析的应用
于是得正规方程组为
5 3
251.7b1 499.9b1
3 2
499.9b2 550.9b2
4 3
401.1 036.6
解此方程组得
b1 0.522, b2 0.475
又由
b0 y b1 x1 b2 x2 16.011
小。yˆ i yi
yˆ i yi
§ 2.3 回归模型中参数的最小二乘估计
于是对全部观察值（试验值）有
n
min ( yi yˆ i )2 i 1
多元函数求 极值问题
min ( yi b0 b1 xi1 b2 xi2 bm xim )2
minQ(b0 , b1,, bm )
多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
多元线性回归分析
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
多元线性回归
回归分析中两个或两个以上的自变量
01 概念
03 估计方法
目录
02 公式 04 相关的软件
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相 联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合 实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以 上自变量的回归称为多元线性回归 。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般 在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
谢谢观看
估计方法
1.普通最小二乘法 普通最小二乘法(Ordinary Least Square, OLS)通过最小化误差的平方和寻找最佳函数。通过矩阵运算求 解系数矩阵： 2.广义最小二乘法 广义最小二乘法(Generalized Least Square)是普通最小二乘法的拓展，它允许在误差项存在异方差或自 相关，或二者皆有时获得有效的系数估计值。公式如右， 图1..广义最小二乘法公式 其中，Ω是残差项的协方差矩阵。
相关的软件
SPSS（Statistical Package for the Social Science）－－社会科学统计软件包是世界著名的统计分析 软件之一。20世纪60年代末，美国斯坦福大学的三位研究生研制开发了最早的统计分析软件SPSS，同时成立了 SPSS公司，并于1975年在芝加哥组建了SPSS总部。20世纪80年代以前，SPSS统计软件主要应用于企事业单位。 1984年SPSS总部首先推出了世界第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向， 从而确立了个人用户市场第一的地位。同时SPSS公司推行本土化策略，已推出9个语种版本。SPSS/PC+的推出， 极大地扩充了它的应用范围，使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影 响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称 赞。已经在国内逐渐流行起来。它使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，使用对话框展 示出各种功能选择项，只要掌握一定的Windows操作技能，粗通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研 工作服务。
多元回归分析
模型诊断
• Jackknife 验证法(Jackknife validation)
• 适用于样本量不是很大时 • 利用n-1个样本进行参数估计，并根据所估计的参数
计算剩余1个样本的预测值 • 计算拟和优度，并与利用全部样本时的拟和优度进
行比较。如果拟和优度降低，则说明该拟和优度可 能是更客观的，原本的高拟和可能是“机会”引起 的
• 多元回归分析引入多个自变量. 如果引入的自变量个数较少,则 不能很好的说明因变量的变化;
• 并非自变量引入越多越好.原因: – 有些自变量可能对因变量的解释没有贡献 – 自变量间可能存在较强的线性关系,即:多重共线性. 因而不能 全部引入回归方程.
多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
多元线性回归分析中的自变量筛选
• SPSS操作：options选项:
– stepping method criteria:逐步筛选法参数设置. • use probability of F:以F值相伴概率作为变量进入和剔除方 程的标准.一个变量的F值显著性水平小于entry(0.05)则进 入方程;大于removal(0.1)则剔除出方程.因此:Entry<removal • use F value:以F值作为变量进入(3.84)和剔除(2.71)方程的 标准
U ns tandardi zed Coeff icients
B
Std. Error
10396.060
625.869
539.803
60.961
6840. 963
633.280
统计学中的多元线性回归分析
统计学中的多元线性回归分析多元线性回归分析是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及分析步骤。
1. 多元线性回归的基本原理多元线性回归分析是建立在线性回归的基础上的。
线性回归分析是研究一个自变量对一个因变量的影响关系，而多元线性回归分析则是研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
在多元线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X1、X2、...、Xn之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是通过样本数据来估计回归系数，以便预测因变量Y。
2. 多元线性回归的应用场景多元线性回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
以下是一些常见的应用场景：2.1 经济学领域在经济学领域，多元线性回归可以用于分析各种经济变量之间的关系。
例如，研究GDP与劳动力、资本投入等因素之间的关系，或者研究物价与通货膨胀、货币供应量等因素之间的关系。
2.2 社会学领域在社会学领域，多元线性回归可以用于分析社会现象与各种因素之间的关系。
例如，研究教育水平与收入、社会地位等因素之间的关系，或者研究犯罪率与社会福利、失业率等因素之间的关系。
2.3 医学领域在医学领域，多元线性回归可以用于分析疾病或健康状况与各种因素之间的关系。
例如，研究心脏病发病率与吸烟、高血压等因素之间的关系，或者研究生存率与年龄、治疗方法等因素之间的关系。
3. 多元线性回归的分析步骤进行多元线性回归分析时，通常需要按照以下步骤进行：3.1 数据收集首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实地调查、问卷调查、实验等方式获得。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
如何理解和使用多元线性回归分析
如何理解和使用多元线性回归分析多元线性回归分析是一种统计分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
它基于线性假设，假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法估计未知参数。
多元线性回归可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，相比于一元线性回归，具有更多的灵活性和应用场景。
以下是关于多元线性回归分析的理解和使用。
一、理解多元线性回归分析：1.模型表达：多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1～Xn是自变量，β0～βn是回归系数，ε是误差项。
2.线性假设：多元线性回归假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即因变量的期望值在给定自变量的条件下是一个线性函数。
3.参数估计：根据最小二乘法原理，通过使残差平方和最小化来估计回归系数。
最小二乘估计量是使得残差平方和最小的回归系数。
4.假设检验：在多元线性回归中，常用的假设检验包括回归系数的显著性检验、模型整体的显著性检验和多重共线性检验等。
二、使用多元线性回归分析：1.确定研究目标：明确研究目标，确定自变量和因变量。
了解问题背景、变量间关系，并结合实际情况选择合适的方法进行分析。
2.数据收集与整理：收集需要的数据，包括自变量和因变量的观测值。
对数据进行验证和清洗，排除缺失值、异常值等。
3.变量选择：根据研究目标和变量间的相关性，进行自变量的筛选。
可以通过相关分析、方差膨胀因子(VIF)等指标来评估自变量间的共线性。
4.模型建立与估计：根据选定的自变量和因变量，使用统计软件进行模型建立和回归系数的估计。
多元线性回归可以通过扩展一元线性回归的方法来计算。
5.模型诊断与改善：对建立的模型进行诊断，检验残差的正态性、独立性、同方差性等假设。
若存在违反假设的情况，则需要考虑进一步改善模型。
6.模型解释与预测：解释回归系数的含义，明确变量间的关系。
利用模型进行预测和决策，对未知因变量进行估计和预测。
7.模型评价与报告：评估模型的拟合程度，包括R方、调整R方、残差分析等指标。
多元线性回归模型分析
ˆ 样本矩（用样本矩估计总体矩）： 满足相应的矩条
件：
1
T
T
(Yt ˆ ) 0
t 1
▪ 同理，方差的估计量是样本的二阶中心矩。
▪ 现在，考虑一元线性回归模型中的假设条件：
E(t ) 0 E(xtt ) 0
▪ 其所对应的样本矩条件分别为：
1
T
T
ˆ t
1 T
T
(yt - b0 - b1xt ) 0
常数项的作用在于中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
关键问题是选择的估计量b，使得残差平方和最小。
过度识别
▪ 则必须想办法调和出现在过度识别系统中相互冲突 的估计。那如何解决呢？
广义矩估计的思想是使得样本矩与总体矩的加权距 离（即马氏距离）最小。主要是考虑到不同的矩所 起的作用可能不同。
设样本矩 X (X(1),...,X(R))/ ，总体矩 M (M(1),...,M(R))/ ，其中 R k 则马氏距离为：
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε
多元线性回归分析
量Y 的平均改变量。 为随机误差，又称残差（residual），
它表示 Y 的变化中不能由自变量 X ii1,2, m 解释的部
分。
2021/6/16
5
y
Y ˆb0b1X1b2X2
x1
x2
2021/6/16
6
应用条件：
多元线性回归模型应满足以下条件：
2021/6/16
9
例14.1
27名糖尿病患者的血 清总胆固醇（x1）、 甘油三酯（x2）、空 腹胰岛素（x3）、糖 化血红蛋白（x4）、 空腹血糖（y）的测量 值列于表中，试建立 血糖与其它几项指标 关系的多元线性回归 方程。
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10
各变量的离差矩阵
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11
求解后得 b1 0.1424， b2 0.3515， b3 0.2706， b4 0.6382
第十四章 多元线性回归分析
Multivariate linear regression
2021/6/16
1
一个变量的变化直接与另一组变量的变化有关：
如：
➢人的体重与身高、胸围
➢血压值与年龄、性别、劳动强度、饮食习惯、吸烟 状况、家族史
➢糖尿病人的血糖与胰岛素、糖化血红蛋白、血清总 胆固醇、甘油三脂
(1) Y 与 X1 , X 2 ,X m 之间具有线性关系；
(2)各观测值Yj j 1,2,,n之间相互独立； (3)残差 服从均数为 0、方差为 2 的正态分布，
它等价于对于任意一组自变量 X1 , X 2 ,X m ，应
变量 Y 均服从正态分布且方差齐。
注意：虽然模型要求因变量是连续数值变量，但对自变量的类型不限。若 自变量是分类变量，特别是无序分类变量，要转化为亚变量才能分析。对 于自变量是分类变量的情形，需要用广义线性回归模型分析。
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：
多元线性回归分析基础
03
伪逆矩阵
当自变量和因变量之间存在不完全的线性关系时，最小二乘法的解可能
不唯一。在这种情况下，可以使用伪逆矩阵来求解参数，它能够给出参
数的一个稳定解。
多元线性回归模型的假设检验
总结词
利用多元线性回归分析，可以预测一个地区或国家的人口数量变化趋势，为政策制定提 供依据。
详细描述
人口数量受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、移民率等。通过收集这些因素的数 据，并利用多元线性回归分析建立模型，可以预测未来一段时间内的人口数量变化趋势。 这种预测结果可以为政府制定相关政策提供依据，例如资源分配、教育医疗等公共服务
多元线性回归模型的基本形式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
多元线性回归模型的参数估计
01 02
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化预测值与实际值之 间的残差平方和来估计参数。这种方法基于一系列观测数据，通过数学 优化技术求解参数值。
梯度下降法
医学研究
在生物医学领域，多元线性回归分析可用于研究疾病的发生和发展与 多个基因和环境因素之间的关系。
02
多元线性回归模型
多元线性回归模型的概述
多元线性回归模型的定义
多元线性回归模型是一种用于探索和预测多个自变量与因变量之间关系的统计方法。通过将多个自变量纳入模型， 可以分析它们对因变量的联合影响。
的规划等。
05
多元线性回归分析的注意事项
数据质量与预处理
多元线性回归分析
多元线性回归模型（二）
设因变量为y，自变量为xi（i= 1,….,m），m元线 性回归方程为： ŷ=a+b1*x1+b2*x2+….+bm*xm， 或y=ŷ+e。 ŷ 是y的估计值或预测值； e是残差，不能由现有的自变量决定的部分； a为常数项或截距； bi为样本偏回归系数，即在其它自变量固定不变 情况下，xi改变一个单位，因变量平均改变bi 个单 位。对应的总体偏回归系数为βi，若βi =0，则该 自变量xi与因变量y之间无线性关系，即xi对因变 量y无影响 。
自变量的贡献（一）
偏回归系数反映了自变量对应变量的作用大小；但在多元 回归方程中，偏回归系数是随自变量所带单位的不同而改 变。所以，要比较不同自变量对应变量的作用大小，不能 直接比较它们的偏回归系数大小，必须将其标准化，使之 成为无量纲的标准偏回归系数，直接比较大小。 bi’：标准化偏回归系数，比较度量衡单位不同的自变量对 因变量的贡献大小。 bi’ = bi *(ιii1/2 / ιyy1/2 )。 标准偏回归系数反映的是自变量对因变量y的直接作用。
回归分析的步骤
1、建立线性回归方程； 2、回归方程的假设检验； 3、偏回归系数的假设检验与区间估计； 4、比较自变量对因变量的作用大小； 5、因变量的区间估计； 6、残差分析。 Analyze→Regression → Linear
建立线性回归方程（一）
即计算截距a和回归系数bi ，应用最小二乘 法原理，即要求残差平方和达到最小。 以 PAN.sav为例，作身高、体重对肺活量影 响的多元线性回归分析。 选择变量的方法有强迫引入法(系统默认)、 强迫剔除法、向前引入法、向后剔除法、 逐步回归法。
回归方程有统计学意义，并不等于方程中每个变 量都有统计学意义，因此要分别检验每个偏回归 系数是否均为0，用t检验： H0： βi =0 ，H1： βi≠0 ；α = 0.05。 t i= bi / s bi ，得P值大小，若P≤ 0.05，则拒绝H0， 接受H1，说明该变量有统计学意义；若P＞ 0.05， 则不拒绝H0，说明该变量无统计学意义。 对应SPSS的结果中标题为“Coefficients”的表格， 经t检验，身高变量无统计学意义，而体重变量有 统计学意义。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
多元线性回归分析
' j
=
X
j
− X Sj
j
标准化回归方程
标准化回归系数 bj ’ 的绝对值用来比较各个自变量 Xj 对 Y 的影响程度大小； 绝对值越大影响越大。标准化回归方程的截距为 0。 标准化回归系数与一般回归方程的回归系数的关系：
b 'j = b j
l jj l YY
⎛ Sj ⎞ = b j⎜ ⎜S ⎟ ⎟ ⎝ Y⎠
R = R2
^
�
说明所有自变量与 Y 间的线性相关程度。即 Y 与 Y 间的相关程度。联系了回归和相关
-5-
�
如果只有一个自变量，此时
R=r 。
3) 剩余标准差（ Root MSE ）
SY |12... p =
∑ (Y − Yˆ )
2
/( n − p − 1)
= SS 残 （n − p − 1 ） = MS 残 = 46.04488 = 6.78564 反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好
（SS 残） p Cp = − [n − 2(p + 1)] （ MS 残） m p≤m
2
P 为方程中自变量个数。 最优方程的 Cp 期望值是 p+1。应选择 Cp 最接近 P+1 的回归方程为最优。
5、决定模型好坏的常用指标和注意事项：
• 决定模型好坏的常用指标有三个：检验总体模型的 p-值，确定系数 R2 值和检验每一 个回归系数 bj 的 p-值。 • 这三个指标都是样本数 n、模型中参数的个数 k 的函数。样本量增大或参数的个数增 多，都可以引起 p-值和 R2 值的变化。但由于受到自由度的影响，这些变化是复杂 的。 • 判断一个模型是否是一个最优模型，除了评估各种统计检验指标外，还要结合专业知 识全面权衡各个指标变量系数的实际意义，如符号，数值大小等。 • 对于比较重要的自变量，它的留舍和进入模型的顺序要倍加小心。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：样本数据是独立采样的。
3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。
4.正态分布：误差项服从正态分布。
5.同方差性：误差项的方差是常数。
参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。
残差是观测值与模型估计值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。
模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。
拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。
我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。
预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。
通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。
预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。
总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。
通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。
多元线性回归模型分析
多元线性回归模型分析多元线性回归模型是一种用于分析多个自变量对于一个目标变量的影响的统计模型。
在多元线性回归模型中，通过使用多个自变量来预测目标变量的值，可以帮助我们理解不同自变量之间的关系，以及它们与目标变量之间的影响。
在多元线性回归模型中，假设有一个目标变量Y和k个自变量X1，X2，...，Xk。
我们的目标是通过找到一个线性函数来描述目标变量Y与自变量之间的关系。
这个线性函数可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，β0,β1,β2,...，βk是回归系数，代表自变量对于目标变量的影响程度。
ε是误差项，表示模型不能完全解释的未观测因素。
1.数据收集：收集自变量和目标变量的数据。
这些数据可以是实验数据或观测数据。
2.数据预处理：对数据进行清洗和处理，包括处理缺失值、异常值和离群值等。
3.变量选择：通过相关性分析、方差膨胀因子(VIF)等方法选择最相关的自变量。
4.拟合模型：使用最小二乘法或其他方法，拟合出最佳的回归系数。
5. 模型评估：通过各种统计指标如R-squared、调整R-squared等评估模型的拟合程度。
6.模型解释与推断：通过解释回归系数，了解各自变量对于目标变量的影响程度，并进行统计推断。
在多元线性回归模型中，我们可以利用回归系数的显著性检验来判断自变量是否对目标变量产生重要影响。
如果回归系数显著不为零，则表明该自变量对目标变量具有显著的影响。
此外，还可以利用F检验来判断整体回归模型的拟合程度，以及各自变量的联合影响是否显著。
同时，多元线性回归模型还可以应用于预测和预测目的。
通过使用已知的自变量值，可以利用回归模型来预测目标变量的值，并计算其置信区间。
然而，多元线性回归模型也有一些限制。
首先，模型的准确性依赖于所选择的自变量和数据的质量。
如果自变量不足或者数据存在误差，那么模型的预测结果可能不准确。
此外，多元线性回归模型还假设自变量之间是线性相关的，并且误差项是独立且具有常量方差的。
多元线性回归分析在统计学中的应用
多元线性回归分析在统计学中的应用引言：在统计学中，多元线性回归分析是一种重要的方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它不仅可以揭示变量之间的相互作用，还可以预测和解释因变量的变异。
本文将介绍多元线性回归分析在统计学中的应用，并探讨其优势和不足之处。
1. 多元线性回归分析的基本原理多元线性回归分析是一种建立因变量与多个自变量之间关系的数学模型的技术。
该方法假定因变量与自变量之间存在线性关系，并利用最小二乘法估计回归方程的系数。
在多元线性回归分析中，我们希望找到最佳拟合直线，使得因变量的预测值与观测值之间的残差平方和最小。
2. 多元线性回归分析的应用领域多元线性回归分析在统计学中被广泛应用于各种科学、社会科学和经济学领域的研究中。
下面将介绍一些常见的应用领域：2.1 经济学和金融学在经济学和金融学领域，多元线性回归分析用于研究不同因素对经济或金融变量的影响。
例如，研究GDP增长率与投资、消费、政府支出和净出口之间的关系。
通过分析这些因素的影响，可以为政府制定经济政策和投资策略提供决策依据。
2.2 教育研究在教育研究中，多元线性回归分析可用于探究学生的学业成绩与多个影响因素之间的关系，如：学生背景、家庭环境、学习时间等。
这些因素的影响可以帮助学校和教育政策制定者优化教学方法和资源分配，提高学生的学业成绩。
2.3 医学和健康研究多元线性回归分析在医学和健康研究中也被广泛应用。
例如，研究心脏病发病率与各种生活习惯、遗传因素和环境因素之间的关系。
通过分析这些因素对心脏病发病率的影响程度，可以制定预防心脏疾病的健康政策和建议。
3. 多元线性回归分析的优势和不足多元线性回归分析具有以下优势和不足：3.1 优势多元线性回归模型可用于探究多个自变量与因变量之间的关系，即使存在多个自变量之间的相互影响。
此外，多元线性回归分析还可以进行变量筛选，识别出哪些自变量对因变量的解释最为有效。
3.2 不足多元线性回归分析在使用过程中也存在一些不足之处。
第三章 多元线性回归分析
CONSP：人均居民消费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。
表 2.5.1 中国居民人均消费支出与人均 GDP（元 /人） 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 人均居民消费 CONSP 395.8 437.0 464.1 501.9 533.5 572.8 635.6 716.0 746.5 788.3 836.4 779.7 人均 GDP GDPP 675.1 716.9 763.7 792.4 851.1 931.4 1059.2 1185.2 1269.6 1393.6 1527.0 1565.9 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 人均居民消费 CONSP 797.1 861.4 966.6 1048.6 1108.7 1213.1 1322.8 1380.9 1460.6 1564.4 1690.8 人均 GDP GDPP 1602.3 1727.2 1949.8 2187.9 2436.1 2663.7 2889.1 3111.9 3323.1 3529.3 3789.7
解该k个方程组成的线性代数 方程组，即可以得到 k个 待估参数的估计值
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X
1i 2 1i
X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 1 0 ˆ X 11 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k 1
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多元线性回归模型
多元线性回归数学模型： y平均值 0 1x1 2 x2 p x p 相应的由样本估计而得到的回归模型： ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 bp x p
其中Ỷ表示Y的总体平均值的估计值， b0为常数项，也称为截 距,bi为Xi的偏回归系数，表示当方程中其他自变量不变时， 自变量Xi变数.
非同质性资料合并
哑变量设置
多元线性回归分析中自变量可以是连续的（年龄、血压） ，也可以是二分类的（性别），不能把有序变量（高、中 、低）和无序多分类变量直接纳入分析。必须先将有序变 量或多分类无序变量转换成多个二分类变量，再进行回归 分析。
通径分析
当多元回归自变量较多时，相互间的关系十分复杂，有的自变量并不 是直接对反应变量产生影响，而是通过对其他自变量的作用间接地影 响反应变量。通径分析是一种在回归基础上的拓展，用以处理这种具 有复杂变量关系的方法。 例如：回归模型后，自变量X1 、 X2对Y贡献甚微，但从专业知识考虑 X1 、 X2是通过X3 、 X4影响Y的,这时就需要通径分析。
多元线性回归分析前体条件——LINE
（1）linear : Y与X1， X2，…, Xm之间具有线性关系。 （2）independent :各个体观测值间相互独立。 （3）normal distribution :在一定范围内，对任意一 组自变量X1， X2，…, Xm值，Y都服从正态分布。 （4）equal variance :在一定范围内，不同组自变量 对应的Y具有相同方差。
第三节、自变量的筛选
• 多元回归分析时收集的某些自变量对因变量无影 影响或影响甚微；也不敢保证自变量之间是相互 独立的，因而在建立多元线性回归方程时，需要 使回归方程尽可能包含对解释因变量有较大贡献 的自变量，而把贡献不大的或无贡献以及与其他 自变量有密切关系的自变量排除。
自变量筛选的标准和原则
• 1、残差平方和（SS残）缩小或决定系数（R2）增大 R2=1- SS残/ SS总 • 2、残差均方（MS残）缩小或调整决定系数（R2ad）增大 MS残= SS残/（n-p-1） • 3、Cp统计量减小
自变量筛选的方法
• 向前选择法 • 建模时没有自变量，逐个加入自变量。并通过F 检验加入自变量对模型的影响是否显著。显著则 保留此变量。 • 向后删除法 • 建模时加入所有自变量，通过F检验，逐个剔除 在当前模型中最不显著的自变量，直到模型的变 量都显著为止。 • 逐步筛选法 • 为上述两种方法的综合，即每次首先加入一个变 量，如果其对模型影响显著，则保留，然后对当 前模型中的所有变量进行检查，剔除不显著的变 量。直到没有显著变量加入且没有不显著变量剔 除为止。 • • • • • 最大R2改进法 最小R2改进法 R2选择法 修正R2选择法 Cp选择法
多元线性回归
(multiple linear regression)
李国奇 安贞医院
主要内容
• • • • • • 第一节：多元线性回归概念及统计描述 第二节：多元线性回归假设检验 第三节、多元线性回归自变量的筛选 第四节：多元线性回归应用 第五节：多元线性回归应注意问题 第六节：实例分析(SAS)
第一节：多元线性回归概念及统计描述
概念：用于分析一个连续型因变量与多个自 变量之间的线性关系的统计学分析方法。 例：血压值与年龄、性别、劳动强度、饮食习 惯、吸烟状况、家族史 糖尿病人的血糖与胰岛素、糖化血红蛋白、 血清总胆固醇、甘油三脂
多元线性回归数据结构
假定对n例观察对象逐一测定了因变量Y与m个自变量 X1，X2,„Xm的数值。
利用PLOT语句绘制模型的残差图
proc reg data=house; model price=land ratio area; plot residual.*predicted.; run;
谢谢！
第四节：多元线性回归应用
• 定量的建立一个反应变量和多个自变量之间 的线性关系 • 筛选危险因素 • 通过较易测算的变量估计不易测量的变量 • 通过反应变量控制自变量
第五节：多元线性回归应注意问题
多重共线性 除了LINE前提条件外，多元线性回归还需要注意自变量之间的关系。当自变 量之间高度相关，则称自变量存在多重共线性。共线性可使回归系数极不稳 定，表现为回归系数标准误很大，以至于本来非常重要的自变量无统计意义 而不能进入方程，甚至使样本回归系数可大可小，可正可负，专业知识无法 进行解释。
基本思想：利用收集到的因变量 和自变量建立线性函数，使得每 一个实际测量的Yi与估计的Yi之 间的离差的平方和尽可能的小。 只有一个自变量时，回归结果 为二维平面的一条直线，而有两 个自变量时，结果为三维空间的 一个平面，有更多的自变量时， 回归的结果则是在三维以上空间 的“超平面”，无法直观图形表 达，只能想象。
占地面积 0.85 … 税率 72 … 教师学生比 卧室间数 30.76 … 4 … 总间数 7 … 居住面积 1850 … 价格 152900 …
…
…
…
…
…
…
…
SAS分析过程
采用REG过程对数据进行多元线性回归分析，编程如下：
• data house; /*建立数据集house*/ • input land tax ratio bedrooms rooms area price; /*要输入的变量*/ • cards; • 。。。。 • ; • proc reg data=house; /*采用reg过程进行多元回归分析*/ • model price=land tax ratio bedrooms rooms area; • run;
标准化偏回归系数
• 因为各自变量都有各自的计量单位以及不同的变异 度，所以不能直接用普通偏回归系数的大小来比较 方程中各个自变量对反应变量Y的影响大小。需要求 出标准化偏回归系数。 • 设：与一般回归系数bi对应的标准化偏回归系数为 Bi，则
SXi、SY分别为Xi和Y的标准差。
偏回归系数的估计--最小二乘法
最简单的处理办法就是删除变量：在相关性较强的变量中删除测量误差较大
的、缺失数据多的，专业角度看不是很重要的，也可采用主成分回归法。
交互效应 当回归模型中有多于2个的自变量，变量之间可能存在交 互作用（一自变量对应变量的作用大小与另一个自变量的 取值有关），此时可建立包含各自变量及其某些有交互作 用的自变量的乘积（ X1X2）的回归模型。 例如：A、B两种药物对帕金森综合症都有作用，而且相信 联合用药效果更好，为探讨联合用药可行性，进行了随机 对照临床试验。最终的得到的回归方程为： Ỷ=49-2.5X1+1.9X2+0.2X1X2
残差分析
• 通过残差分析可以深入了解实际资料是否符合回归模型假 设（如正态、方差齐）
多元线性回归决定系数
• 决定系数：回归平方和（SS回）在总平方和（ SS总 ）中比例。 R2=SS回/SS总
• 0≤R2≤1，R2接近1， 表示样本数据很好的拟 合了所用的线性回归模型。 R2反映了线性回
归模型能多大程度上解释Y的变异。
• • • • •
•
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 例号 X1 X2 … Xm Y ───────────────────── 1 X11 X12 … X1m Y1 2
3
X21 ┆
X22 ┆
…
…
X2m ┆
Y2 ┆
• •
n Xn1 Xn2 … Xnm Yn ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
第二节：多元线性回归假设检验
在多元线性回归模型中，由于变量众多， 需要对模型的合理性以及参数的显著性进 行检验。
一、回归方程的假设检验（F检验） H0 ：β1=β2=…=βp=0 H1: β1,β2…βp不全为0 如果H0成立，认为回归方程不显著，如果拒 绝H0 ，认为回归方程显著。
二、回归系数的假设检验（t检验） 在F检验中，如果拒绝H0假设，只能说β1,β2…βp 不全为0，还需要进一步检查每个自变量的总体 偏回归系数。 H0 : βi=0, H1 : βi≠0 (i=1,2…p) 如果H0成立，认为偏回归系数βi不显著，如果拒 绝H0 ，认为偏回归系数βi显著。
步骤：1、根据专业知识绘制变量间的通径图。2、按照通径图建立线性方程 。3、将各系数添加到通径图上。4、根据通径图计算各变量对Y的直接、间 接效应。
第六节：实例分析(SAS)
• 为分析各大学附近房屋价格及其相关因素， 统计了近期成交房屋售价和基本情况。试用 回归分析方法确定哪些因素对价格有明显影 响，并建立模型。
proc reg data=house; /*采用reg过程进行多元回归分析*/ model price=land tax ratio bedrooms rooms area /selection=stepwise; /* 采用逐步筛选法*/ run;
Price=36942+6967.58365*land+71.36620*area-63.06941*ratio