高二数学椭圆的几何性质
3.1.2椭圆的简单几何性质(离心率、焦半径公式)+课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
a3 3
课堂练习：
2、已知椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别是F1, F2,
P是椭圆上一点.若 | PF1 | 2 | PF2 |,求椭圆的离心率的取值范围。
法二：解：| PF1 | | PF2 | 2a,| PF1 | 2 | PF2 |
求 | PF2 | • | PF1 | 范围
H
y
P
分析：| PF2 | a ex,| PF1 | a ex
F1 O
x F2
| PF2 | • | PF1 | (a ex)(a ex)
x a2
c
a2 (ex)2, x [a, a]
当x 0时，| PF2 | • | PF1 |max a2 当x a时，| PF2 | • | PF1 |min a2 c2 b2
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
课前练习：
已知椭圆
x2
my 2
1的离心率
c
a
解：设d是点M到直线l : x a2 的距离，M (x, y). c
y
M
H
则动点M满足 | MF | c d a
oF
x
(x c)2 y2 c | a2 x | ac
整理得 x2 a2
y2 a2 c2
1
动点M的轨迹是椭圆。
2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
高二选修一椭圆的知识点
高二选修一椭圆的知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。
本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。
2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。
3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。
4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。
二、椭圆的方程表达椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。
椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。
四、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。
椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。
五、椭圆与切线椭圆上的任意一点处都存在切线。
椭圆的切线与椭圆的法线垂直。
六、椭圆的重要参数椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。
七、椭圆的应用椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
高二数学椭圆的简单几何性质
教学内容：椭圆的简单几何性质【基础知识精讲】22a x +22by =1(a ＞b ＞0)；范围：椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里；即｜x ｜≤a ；｜y ｜≤b.2.对称性：椭圆关于x 轴；y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心；即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a ；0)；A 2(a ；0)；B 1(0；b)；B 2(0；-b)4.离心率：e=ac；(o ＜e ＜1)；e 越接近于1；则椭圆越扁；e 越接近于0；椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e ＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点；定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x 0；y 0)是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的任意一点；F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点；则｜PF 1｜=a+ex 0；｜PF 2｜=a-ex 0.⎩⎨⎧==ϕϕϕsin )(cos b y a x 是参数 本节学习要求：椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b 和二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0相交；所得弦长可由下法求之；由两方程中消去y ；得ax 2+bx+c=0；记△=b 2-4ac ；则弦长=ak )1(2+△;若弦过焦点；则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目；灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.【重点难点解析】通过“圆的方程”的学习我们知道；圆的几何性质问题用代数的方法解题简便；计算量小的特点；同样；椭圆也有类似的几何性质；那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程；在此基础上来学习椭圆的几何性质；掌握椭圆的性质；标准方程；及椭圆的第二定义.例1 设直线l 过点P(-1；0)；倾角为3π；求l 被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦长. 解：直线l 的方程为y=3x+3；代入椭圆方程；得7x 2+12x+2=0；∵△=144-4×7×2=88∴弦长=7)31(88+=7224 例2 求椭圆252x +812y =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cos θ；9sin θ)；则 d=564sin 36cos 53-θ+θ⨯=564cos 15sin 36-+θθ=564)125arctan sin(39-+θ∴d max =564139-⨯例3 已知椭圆42x +32y =1内有一点P(1；-1)；F 是右焦点；M 是椭圆上的动点；求|MP|+2|MF|的最小值；并求此时M 的坐标.解：过M 作右准线x=4的垂线；垂足为M 1；由椭圆第二定义；有1MM MF =21∴2｜MF ｜=｜MM 1｜∴｜MP ｜+2｜MF ｜=｜MP ｜+｜MM 1｜过P 作右准线的垂线交椭圆于N ；垂足为N 1；垂线方程为y=-1.显然｜MP ｜+｜MM 1｜≥｜NP ｜+｜NN 1｜(当M 与N 重合时等号成立)而｜NP ｜+｜NN 1｜=｜PN 1｜=3由方程组⎩⎨⎧==+1124322y y x 得N(362；-1)∴｜MP ｜+2｜MF ｜的最小值是3；此时M 的坐标是(362；-1)【难题巧解点拨】例1 P 是椭圆方程为162y +92x =1上的任意一点；F 1；F 2是椭圆的两个焦点；试求｜PF 1｜·｜PF 2｜的取值范围.解：设｜PF 1｜=t ；则t ∈［a-c ；a+c ］；即t ∈［4-7；4+7］且｜PF 2｜=2a-t=8-t. ∴｜PF 1｜·｜PF 2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t ∈［4-7；4+7］当t=4时；取最大值为16 当t=4±7时；取最小值为9.∴所求范围为［9；16］ 例2 F 1、F 2是椭圆的两个焦点；过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点；使PF 1⊥PQ ；且｜PF 1｜=｜PQ ｜；求椭圆的离心率e.解：如下图；设｜PF 1｜=t ；则｜PQ ｜=t ；｜F 1Q ｜=2t ；由椭圆定义有：｜PF 1｜+｜PF 2｜=｜QF 1｜+｜QF 2｜=2a∴｜PF 1｜+｜PQ ｜+｜F 1Q ｜=4a 即(2+2)t=4a ；t=(4-22)a ∴｜PF 2｜=2a-t=(22-2)a 在Rt △PF 1F 2中；｜F 1F 1｜2=(2c)2∴［(4-22)a ］2+［(22-2)a ］2=(2c)2∴22ac =9-62 ∴e=a c =6-3例3 已知P 是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的一点；F 1F 2为两焦点；且F 1P ⊥F 2P ；若P到两准线的距离分别为6和12；求此椭圆方程.解：(利用椭圆第二定义求解)∵点P 到两准线的距离分别是6和12∴2·ca 2 =6+12 即a 2=9c由椭圆第二定义知；e=11d PF =22d PF∵d 1=6；d 2=12 ∴｜PF 1｜=6e ；｜PF 2｜=12e又∵PF 1⊥PF 2 ∴｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F 1F 2｜2∴36e 2+144e 2=4c 2∵e=ac ∴a 2=45 又a 2=9c ∴c=5 ∴b 2=a 2-c 2=20∴所求椭圆的方程的452x +202y =1例4 在椭圆3x 2+4y 2=12上；是否存在相异的两点A 、B 关于直线y=4x+m 对称并说明理由.解：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)；AB 的中点M(x 0；y 0) 直线AB ：y=-41x+t ；将AB 的方程代入椭圆的方程消去y 得；13x 2-8tx+16t 2-48=0 ∴△=(-8t)2-4×13×(16t 2-48)＞0 ∴-213＜t ＜213①且x 1+x 2=138t又AB 的中点M 在直线y=4x+m 上； ∴1312t=4×134t+m ∴t=-413m 代入①式得： -13213＜m ＜13213 解法二：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)是椭圆上关于直线l :y=4x+m 对称的两点；则421x +321y =1 ① 422x +322y =1 ② ①-②得42221x x -+32221y y -=0∴2121x x y y --=)(4)(32121y y x x +-+而K AB =2121x x y y -- =-41故有)(4)(32121y y x x +-+=-41设AB 的中点为(x ；y)；则有x 1+x 2=2x ；y 1+y 2=2y 代入即得AB 中点的轨迹方程为y=3x. 由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+==my mx m x y x y 343 由于AB 的中点在椭圆内部∴4)(2m -+3)3(2m -＜1⇒m 2＜134⇒-13213＜m ＜13213 故当m ∈(-13213；13213)时；椭圆C 上有不同的两点关于直线对称. 例5 椭圆92522y x +=1上不同三点A(x 1；y 1)；B(4； 159)；C(x 2；y 2)与焦点F(4；0)的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ；求直线BT 的斜率k. 解：由题知a=5；b=3；c=4. (1)由椭圆的第二定义知：12x ca AF -=a c ⇒｜AF ｜=a-ac x 1=5-54x 1同理有｜CF ｜=5-54x 2 ∵｜AF ｜+｜CF ｜=2｜BF ｜ 且｜BF ｜=159 ∴(5-54x 1)+(5-54x 2)=518 即x 1+x 2=8(2)∵线段AC 的中点为(4；221y y +) ∴它的垂直平分线方程为y-221y y + =1221y y x x --(x-4)又点T 在x 轴上；设其坐标为(x 0；0)；代入上式得；x 0-4=)(2212221x x y y -- ①点A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)都在椭圆上∴y 21=259(25-x 21)；y 22=259 (25-x 22) ∴y 21-y 22=-259(x 1+x 2)(x 1-x 2) 将此式代入①并利用x 1+x 2=8得 x 0-4=-2536 ∴k BT =04059x --=45【命题趋势分析】1.熟练掌握椭圆的第二定义；两种形式的标准方程及几何性质；运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时；椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1(m ＞0；n ＞0)；这样计算简洁；还可避免对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时；常用点差法.例1 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1；F 2；点P 在椭圆上；如果线段PF 1的中点在y 轴上；那么｜PF 1｜是｜PF 2｜的( )A.7倍B.5倍C.4倍解：设F 1(-3；0)；e=23；P(x 0；y 0) ∵线段PF 1的中点的横坐标为0；∴230-x =0 即x 0=3 ∴｜PF 1｜=a+ex 0=23+23×3=273∴｜PF 2｜=2a-｜PF 1｜=43 -273 =23 ∴｜PF 1｜=7｜PF 2｜ 故选A例2 设椭圆的中心是坐标原点；长轴在x 轴上；离心率e=23；已知点P(0；23)到这个椭圆上的点的最远距离为7；求这个椭圆方程；并求椭圆上到P 的距离等于7的点的坐标.解：设所求椭圆方程为22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)由e 2=22a c =222ab a - =1-22a b 和e=23得a=2b 设椭圆上的点(x ；y)到P 点的距离为d ；则d 2=x 2+(y-23)2=a 2(1-22by )+y 2-3y+49=-3(y+21)2+4b 2+3 (-b ≤y ≤b) 若b ＜21时；则当y=-b 时；d 2(从而d)有最大值；由题设得(7)2=(b+23)2；由此得b=7 -23＞21与b ＜21矛盾.若b ≥21时；当y=-21时；d 2有最大值；从而d 有最大值；有(7)2=4b 2+3；∴b=1；a=2∴所求椭圆方程为42x +y 2=1；椭圆上的点(-3；-21)；点(3；-21)到P 点的距离都是7.说明：本题体现了数学的转化与函数思想；本题关键是讨论距离函数d 2=-3(y+21 )2+4b 2+3在区间［-b ；b ］上的最值；二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.例3 已知椭圆的中心在原点O ；焦点在坐标轴上；直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ；且OP ⊥OQ ；｜PQ ｜=210.求椭圆方程. 分析 设P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2；)由OP ⊥OQ 知x 1x 2+y 1y 2=0；再结合弦长公式与韦达定理求解.解：设椭圆的方程为22a x +22by =1(a ＞0；b ＞0；a ＞b 或a ＜b)；点P 、Q 的坐标别为P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2).由⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y b y a x 消去y 得 (a 2+b 2)x 2+2a 2x+a 2-a 2b 2=0；当△=(2a 2)2-4(a 2+b 2)(a 2-a 2b 2)＞0时由韦达定理得x 1+x 2=-2222ba a +；x 1x 2=22222b a b a a +-. 且y 1=x 1+1；y 2=x 2+1； ∵OP ⊥OQ ；∴11x y ·22x y=-1；即y 1y 2+x 1x 2=0； ∴(x 1+1)(x 2+1)+x 1x 2=0；∴2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0；①又｜PQ ｜=210；由弦长公式有： 211+｜x 2-x 1｜=210； ∴2［(x 1+x 2)2-4x 1x 2］=410； ∴4(x 1+x 2)2-16x 1x 2-5=0②解由①、②组成的方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,32,412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=•21412121x x x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-32241)1(2222222b a a b a b a ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+-,212,41)1(2222222b a a b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==23222b a故所求椭圆方程为22x +322y =1或322x +22y =1【同步达纲练习】A 级一、选择题22a x +22b y =1与22a x +22by =k(a ＞b ＞0；k ＞0)一定具有相同的( )A.长轴B.焦点 C .离心率23；且过点(2；0)的椭圆标准方程为( ) A. 42x +y 2=1B. 42x +y 2=1或x 2+42y =1C. x 2+412y =1D. 42x +y 2=1或42x +162y =1m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆；则实数m 的取值范围是( )A.(-16；25)B.(29；25) C.(-16；29) D.(29；+∞) 4.若圆(x-a)2+y 2=9与椭圆92x +42y =1有公共点；则实数a 的取值范围是( )A.(-∞；+∞)B.［-6；6］C.［-35；35］ D.φ5.若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离；则椭圆的离心率为( )B.51C.3D.33二、填空题42+m x +82y =1的离心率e=21；则实数m 的值为 .52-k x +ky -32=-1表示椭圆；则实数k 的取值范围是 . 8.若椭圆的长轴长、短轴长；焦距依次成等差数列；则其离心率e= .三、解答题92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项；求P 点坐标.92x +42y =1上的点；且∠F 1PF 2=90°；求△F 1PF 2的面积.AA 级一、选择题1.不论k 为何值；直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆72x +my 2=1有公共点；则实数m的范围是( )A.(0；1)B.(0；7) C .［1；7］ D.(1；7］ 2.椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分；则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )A.4π B.3π C.2π D.32π 1、F 2是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点AB 是过F 1的弦；则△ABF 2的周长是( ) D.2a+2b4.已知(0；-4)是椭圆3kx 2+ky 2=1的一个焦点；则实数k 的值是( )B.61D.241 2为圆心作圆；使这圆过椭圆的中心；且交椭圆于M 点；若直线MF 1是圆F 2的切线；则椭圆的离心率是( )A. 3-13C.22 D.23二、填空题6.以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点；若顺次连接四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形；则椭圆的离心率e= .1F 2是椭圆两焦点；P 是椭圆上一点；△PF 1F 2满足∠PF 1F 2：∠PF 2F 1：∠F 1PF 2=1∶2∶3；则此椭圆的离心率e=8.已知A(1；1) B(2；3)；椭圆C:x 2+4y 2=4a 2；如果椭圆C 和线段AB 有公共点；则正数a 的取值范围是 .三、解答题9.已知A 、B 是椭圆22a x +22925a y =1上的两点；F 2是椭圆的右焦点；若｜AF 2｜+｜BF 2｜=58a ；AB 中点到椭圆左准线距离为23；求椭圆方程.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ；若椭圆上存在一点P ；使∠OPA=2π；求椭圆离心率的取值范围.【素质优化训练】一、选择题1.已知M 为椭圆上一点；F 1F 2是两焦点；且∠MF 1F 2=2α；∠MF 2F 1=α(α≠0)；则椭圆的离心率是( )α α α α-12+y 2=1上的点到直线y=3x-4的距离的最小值是( ) A. 3102- B. 3105- C. 432+ D.4108- 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)的一个焦点；PQ 是过其中心的一条弦；则△FQP 面积的最大值是( ) A.21ab22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的离心率等于53；若将此椭圆绕右焦点按逆时针方向旋转2π后；新位置的椭圆有一条准线方程是y=316；则原椭圆方程是( ) A.1292x +482y =1 B. 1002x +642y =1 C.252x +162y =1 D. 162x +92y =1 122x +62y =1的一个焦点为F 1；点P 在椭圆上；若线段PF 1的中点M 在y 轴上；则M 的纵坐标是( )A.±43B.±23C.±22D.±43二、填空题6.已知圆柱底面的直径为2k ；一个与底面成30°角的平面截这个圆柱；则截面上的椭圆的离心率是22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)上的点；且∠F 1PF 2=θ；则△F 1PF 2的面积是8.点P(0；1)到椭圆22x +y 2=1上点的最大距离是 .三、解答题9.已知椭圆长轴｜A 1A 2｜=6；｜F 1F 2｜=42；过椭圆焦点F 1作一直线；交椭圆于M 、N 两点；设∠F 2F 1M=α(0≤α≤π)；问当α取何值时；｜MN ｜等于椭圆的短轴长.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)与x 轴交于AB 两点；F 1F 2为焦点. (1)过一焦点F 2作垂直于长轴的弦MN ；求∠AMB 的大小范围(2)若椭圆上有一点P ；使得∠APB=120°；求P 点的纵坐标；并求椭圆离心率满足什么条件时；这样的点P 才存在.【生活实际运用】要把一个边长分别为52cm 和30cm 的矩形板锯成椭圆形；使它的长轴和短轴长分别为52cm 和30cm 用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.参考答案：【同步达纲练习】A 级 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6. 323或517 7.3＜k ＜5且k ≠4 8. 53 AA 级 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6. 3 -1 7.3-1 8.［25； 102+925y 2=1 10.22＜e ＜1 【素质优化训练】 1.D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.212tan 2θ 8.2 9.α=6π或65π 10.(1) 2π＜∠AMB ＜π-arccot2 (2)e ∈［36；1］。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
最新-高二年级数学学科知识要点——椭圆[原创] 精品
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高二年级数学学科知识要点椭 圆一、椭圆的定义1.椭圆的第一定义：平面内与两定点F 1、F 2)02(21>=c F F 的距离和等于常数)0(2>>c a a 的点的轨迹叫做椭圆。
2. 椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到定直线l 的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹叫椭圆，定点F 为椭圆的一个焦点，定直线l 是此焦点F 的相应的准线，e 为椭圆的离心率。
二、椭圆的方程1.中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是12222=+b y a x ),0(222c abb a -=>>其中2.中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是12222=+bx ay ),0(222c abb a -=>>其中3.椭圆的参数方程：椭圆12222=+by ax )0(>>b a 的参数方程为为参数）ααα(,sin cos ⎩⎨⎧==b y a x四、直线与椭圆的位置关系1.若0>∆，则直线与椭圆相交，有两个公共点2.若0=∆，则直线与椭圆相交，有一个公共点3.若0<∆，则直线与椭圆相交，没有公共点 五、直线与椭圆相交形成的弦的弦长设直线与椭圆相交于),(111y x P 、),(222y x P 两点直线P 1P 2的斜率为k ，则弦长||1||21221x x kP P -+=，或||11||21221y y kP P -+=六、直线与椭圆相交形成的弦的中点 设直线l 与椭圆12222=+by ax )0(>>b a 相交于P 、Q 两点，),(11y x P 、),(22y x Q ，线段PQ 的中点为),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax by a x ，将两式相减得2212122121))(())((a x x x x b y y y y -+-=-+，当21x x ≠时，得直线l 的斜率02022121y a x b x x y y k -=--=七、一些解题思路1.焦点在x 轴上的椭圆12222=+by ax 的两条焦半径可分别表示为：PXa c a PF +=||左，PXa c a PF -=||右焦点在x 轴上的双曲线12222=-by ax 的两条焦半径可分别表示为：PXac a PF +=||左，PXac a PF -=||右焦点在x 轴上，开口向右的抛物线px y 22=的焦半径可分别表示为2||p XMF M+= 焦点在x 轴上，开口向左的抛物线px y22-=的焦半径可分别表示为2||p XMF M+-=2.直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交后产生的弦长公式为2122)(1x x k -⋅+，即2121224)(1x x x x k-+⋅+椭圆 参考练习1．（01全国春5）已知1F 、2F 是椭圆191622=+yx的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点A 、B ，若5||=AB ，则=+||||11BF AF （ ） A.11B.10C.9D.162．（04湖北理6）已知椭圆191622=+yx的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.29B.3C.779D.493．（18北京春15）F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是__________ 4．（04湖南理16）设F 是椭圆16722=+yx的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i =1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为__________ 5．（2004年湖南高考·文史类第15题）F 1，F 2是椭圆C ：14822=+yx的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________ 6.（00全国14）椭圆14922=+yx的焦点F 1、F 2，点P 为其上的动点，当△F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________7．[2004年全国高考（山东山西河南河北江西安徽）·理科数学第7题]椭圆1422=+yx的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A.23B.3C.27 D.48.下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线cax 2=和定点)0,(c F 的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点)0,(c F -和定直线cax 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线cax 2=和定点)0,(c F 的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹是椭圆9．[2004年全国高考（陕西广西海南西藏内蒙古）·理科数学第21题]设椭圆1122=++ym x的两个焦点是)0,(1c F -与)0(),0,(2>c c F ，且椭圆上存在一点P ，使得直线1PF 与2PF 垂直。
课时1 椭圆的简单几何性质+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
从椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等从整体
上把握曲线的形状、大小和位置
1.范围
问题3：范围：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、
最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．
由椭圆的标准方程
+
= > > 可知，椭圆上任意一点的坐标
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(难点)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(重点)
复习导入
问题1 椭圆的定义是什么?
平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于||）的点的轨
迹叫做椭圆
+ = ( > )
叫作椭圆的离心率．
因为 > > ，所以 < < ．
注：因为
=
+
，所以
=
=
( ) =
−
=
−
越接近，越接近， = − 越小，椭圆越扁平；
越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆.
.
知识梳理
焦点的位置
(－，)，(，)，(，－)，(，)是椭圆的四个顶点
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
长为
叫作长半轴长
椭圆的短轴：线段
长为
叫作短半轴长
3.对称轴与对称中心
问题5：对称性：椭圆图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心．
高中数学---椭圆知识点小结
高二数学椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和by ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by ax )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节椭圆的简单几何性质
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的顶 点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴： 线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和
A1
短轴。长轴长2a,短轴长2b.
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长半轴 长和短半轴长。
- B2(0, b)
性质4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 c 叫做椭圆的离心率,用e
表示，即 e c .
a
y
a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆 扁
b
x
●c
a
O
当e c 0, c 0, a
b a2 c2 a,椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重
(2)已知椭圆x2 + (m+3)y2 =m(m>0)的离心率为 3
2
求m的值及椭圆长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
题型二：利用椭圆的性质求标准方程
例2．过合适下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
A2 123 4 5 x
-2
-3 B1
-4
题型一：椭圆方程的基本计算问题
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1，
高二数学椭圆的简单几何性质
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
b
a
oc
F2
ห้องสมุดไป่ตู้
B1 (0,-b)
A2 (a，0)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
离心率
a、b、c的 关系
e c a
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
高二数学人教A版选修2-1ppt课件：.2椭圆的简单几何性质
2、椭圆的离心率对椭圆形状的影响： 椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作 e＝22ac＝ac. ∵a>c>0，∴0<e<1.
e 越接近于 1，则 c 就越接近于 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此
椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近于 0，从而 b 越接 近于 a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当 a＝b 时，c＝0，这 时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为 x2＋y2＝ a2.
圆的离心率.
y
0<e<1
o
x
e越接近1，椭圆越扁； e越接近于0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
4、椭圆的离心率：用a和b表示椭圆的离心率e
e 2c c 2a a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b a
2
b→0，e→1，椭圆越扁； b→a，e→0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
5、通径：过椭圆的焦点作垂直于长轴的弦叫做通径.
1 (2)若
的左焦点F1到直线AB
题型四 分类讨论的思想
2
用焦点三角形面积公式 题型二 由椭圆的几何性质求标准方程
通径、焦点三角形面积公式 方程的左边是平方和，右边是1.
3、设椭圆
的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围.
题型三 求椭圆的离心率 通径、焦点三角形面积公式
称轴的四个交点，叫 做椭圆的顶点.
长轴、短轴：线段
A1A2、B1B2分别叫做 椭圆的长轴和短轴.
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长.
y B2(0,b)
o
A2(a,0)x
椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质课件高二上数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);
3
(2)离心率e= 5 ,焦距为12.
分析:焦点位置不确定,分两种情况利用待定系数法求解.
解:(1)若椭圆的焦点在 x
2
轴上,则设其标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0),
2
2 = 5 × 2,
= 5,
2
由题意,得 25 0
解得
故所求椭圆的标准方程为25 +y2=1;
2
=1;
64
+
2
=1.
64
2
=1.
64
反思感悟 根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤
(1)基本方法:待定系数法.
(2)一般步骤:
【变式训练2】 已知椭圆以坐标轴为对称轴,长轴长是短轴长的3倍,并且
过点P(3,0),求椭圆的标准方程.
2
解:若椭圆的焦点在 x 轴上,则设方程为 2
32
1
=
1
或4,当
3
,解得
2
1
1- .
m=4,这时长轴长为 2a=2.
0<m<1 时,焦点在 y 轴上,b=1,a=
1
-1
1
,c=
1
,c=
1
-1.
1
m=4,此时长轴长为
m=4 时,长轴长为 2,当
2a=4.
1
m=4时,长轴长为
4.
探究二
由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
2
答案:
3
3
椭圆的简单几何性质+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
单几何性质
一、情境导入:
若“神舟”十四号宇宙飞船在进入运行轨道后，
绕地球运行轨迹是以地球的中心为一个焦点的椭
圆，
16
在运行过程中离地球中心的最近距离是 R，最远
15
4
距离为 R（地球的半径为R），求飞船运行轨道
3
的标准方程.
二、复习回顾:
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数（大于
焦点的
位置
顶点
轴长
焦点
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
(a，0)， (-a，0) (b，0)，(-b，0)
(0，b)， (0，-b) (0，a)，(0，-a)
2b
2a
短轴长＝__________，长轴长＝__________
(c，0)，(-c，
________________
0)
(0，c)，(0，________________
；
a
c
y
用e表示，即 e
a
2.你能运用三角函数的知识解释，
c
为什么 e 越大,椭圆越扁平？
a
c
e 越小，椭圆越接近于圆吗？
a
3、离心率的取值范围：
e (0,1)
F1
o
a
c
F2
x
c
cos
a
12
四、类比推理：
焦点在 x 轴、y 轴上的两类椭圆的几何性质的对比
焦点的
位置
图形
焦点在 x 轴上
b
可以刻画椭圆的扁平程度.
a
问题2：能用
c b
的大小刻画椭圆的扁平程度吗？
椭圆几何性质总结
高二数学椭圆几何性质总结一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3．参数方程 ：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )(为参数θ4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④ 准线方程：c a x 2±=；或ca y 2±=⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
高二数学《椭圆的简单几何性质》PPT课件
► 椭圆标准方程表示的椭圆是关于x轴、y轴及
原点对称的 ► 此时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆 的对称中心即椭圆的中心。
4.离心率
2c c e ► 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 2a a ► e的取值范围：0<e<1
► 椭圆性质
:离心率e
► 离心率e表示椭圆的圆扁度，e越接近1椭圆越
扁，e越接近于0，椭圆就越圆。
四、课堂小结
►比较两种不同的椭圆标准方程所表示的
椭圆几何性质的异同
方程
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y
y2 x2 2 1 2 a b
y
a b 0
图 性
O x O x
象
质
顶点坐标 范 围
（±a，0）、（0，±b）
（0，±a）、（±b，0）
-a≤x≤a -b≤y≤b (±c，0)
2 2
2
2.范围
观察图形
y b
-a
F1
O
F2
a
x
-b
利用方程来判断
椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里
3.对称性
观察图形 ► 利用方程判断椭圆（曲线）的对称性： 若以－y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若以－x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若以－y代y，以－x代x，方程不变，则曲线关于原点对称。
8.2椭圆的简单几何性质 （一）
一、复习
► 椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。
► 焦点在x轴上的椭圆的标准方程
x2 y2 2 1 2 a b
二、讲授新课
a b 0
高二椭圆数学知识点总结
高二椭圆数学知识点总结椭圆是解析几何中非常重要的一个曲线。
在高二数学课程中，我们学习了椭圆的一系列性质和定理。
本文将总结高二椭圆数学知识点，帮助大家系统地理解和掌握椭圆的相关内容。
1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以通过两个焦点和所有到这两个焦点距离之和等于常数的点的集合来定义。
其中，两个焦点分别为F1和F2，到焦点的距离之和为2a，a为椭圆的长半轴，中点O为短半轴b。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
若椭圆的长轴与x轴平行，则方程化简为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
3. 椭圆的离心率椭圆的离心率e描述了椭圆形状的圆心偏移程度。
离心率的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到圆心的距离。
离心率决定了椭圆的扁平程度，当e<1时，椭圆更加扁平，当e=1时，椭圆退化为圆。
4. 椭圆的几何性质（1）焦点引法：椭圆上的点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
这一性质可以用来解决直线和椭圆的切点问题。
（2）弦长定理：椭圆内任意两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)的连线段P1P2的长度为2a * sqrt(1 - e^2 * cos^2θ)，其中θ为P1P2与椭圆长轴的夹角。
（3）切线定理：椭圆上任一点P处的切线斜率等于y轴上点P 到两焦点连线的斜率的相反数。
（4）四边形面积定理：以椭圆的两焦点F1、F2及椭圆上两点A、B为对角线的四边形面积为2ab，其中A、B为椭圆上的点。
5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数，范围为0到2π。
6. 椭圆的焦点和直线的关系对于给定的椭圆和直线，若直线不经过椭圆的焦点，则直线与椭圆相交于两个点；若直线与椭圆相切，则有且仅有一个交点；若直线经过椭圆的焦点，则直线与椭圆没有交点。
椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3、顶点
问题3:已知椭圆方程为
，F1，F2是两个焦点，下列各点的坐标
(1)F1
; F2
.
(2)A1
; A2
.
(3)B1
; B2
.
3、顶点
长轴
线段A1A2，长轴长: |A1A2|=2a
短轴
线段B1B2，短轴长: |B1B2|=2b
追问：现在你能说说a,b,c的几何意义吗？
a
椭圆的长半轴长
b
椭圆的短半轴长
研究他们的几何性质.
1、范围
问题1：观察可得，椭圆上的点都在一个特定的矩形内．为确定其具
体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究：
x2 y2
由方程 2 2 1(a b 0)可知，
a
b
x2 y2
x2
1 2 2 0， ∴ 2 1，
a
b
a
-a ≤ x ≤ a； -b ≤ y ≤ b
c
椭圆的半焦距长
①焦点必在长轴上.
②椭圆上点到焦点的最短距离是 a-c ,最长距离是 a+c .
4、离心率
问题4.根据前面所学有关知识画出下列图形
2
x2 y2
1
（2）
25 4 y
2
x
y
1
（1）
25 16
y
A1
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
B2
A1
A2
1 2 3 4 5
a
a
说明： (1) 离心率的取值范围：因为a > c > 0，所以0 < e < 1.
3.1.2椭圆的简单几何性质(第一课时)课件高二上学期数学人教A版选择性
-1
1
,c=
1
,c=
1
-1.
1
m=4,此时长轴长为
m=4 时,长轴长为 2,当
2a=4.
1
m=4时,长轴长为
4.
【例3】 (1)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线
交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则该椭圆的离心率
是
.
解析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,
综上，椭圆关于x轴、y轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，
原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
3．顶点
研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置．
思考
2
2
x
y
你认为椭圆 2 2 1(a b 0)上哪些点比较特殊 ? 为什么? 如何得
a
b
到这些点的坐标 ?
y
当
1
0< <1,即
1
=1,则应有 m>0,且 m≠1.
m>1 时,焦点在 x 轴上,a=1,b=
因为离心率为
1
当 >1,即
2
1
1-
3
,所以
2
1
=
3
,解得
2
因为离心率为
3
,所以
2
综上可知,m 的值为 4
1
Байду номын сангаас
=
1
或4,当
3
,解得
2
1
1- .
m=4,这时长轴长为 2a=2.
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高二数学椭圆的几何性质
第二课时椭圆的简单几何性质
教学目标
1、进一步掌握椭圆的几何性质
2、理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的几何意义。
3、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。
4、培养分析问题和解决问题的能力
教学过程
1、复习回顾前一节学习了椭圆的几何性质，大家回忆一下：⑴椭圆的几何性质的内容是什么？
椭圆16x2+ 9y2 = 144中x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，顶点及焦点坐标。
—3w x<3,—4W y w4,长轴长2a= 8,短轴长2b= 6,离心率，
顶点坐标(0, —4),(0,4),( —3,0),(3,0) ,焦点坐标
注意：椭圆的焦点一定在椭圆的长轴上。
⑵什么叫做椭圆的离心率？
e= c/a 离心率的几何意义是什么呢？我们先来看一个问题：
点M(x,y)与定点F(c,O)的距离和它到定直线I : x = a2/c的
距离的比是常数e=c/a(a >c>0)，求点M的轨迹。
2、探索研究
( 按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师书写)
解：设d是点M到直线I的距离，根据题意，所求轨迹就是
集合
由此得
将上式两边平方，并化简，得
(a2 —c2)x2 + a2y2 = a2(a2 —c2)
设a2 —c2 = b2,就可化成x2/a2 + y2/b2 = 1,这是椭圆方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，长轴长为2b，焦点在x轴上的椭圆。
小结：
⑴椭圆的第二定义：当点M与定点F的距离和它到定直线I 的距离的比是常数e=c/a(0 v e v 1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆
的离心率。
⑵对于椭圆x2/a2 + y2/b2 = 1,相应于焦点F2(c,0)的准线
方程是I : x = a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(—
c,0)的准线方程是I : x=—a2/c ;对于椭圆x2/ b 2 + y2/ a
2= 1,相应于焦点F2(0,c)的准线方程是I : y = a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(0, —c)的准线方程是I : y =—a2/c 。
⑶离心率的几何意义是：椭圆上的点M与焦点F和它到准线
l( 与焦点F 相对应的准线)的距离的比。
指导学生归纳知识一览表(见几何画板)
3、反思应用
例1求椭圆4x2+ y2 = 1的x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，准线方程。
分析：—1/2 <x w 1/2, - Ky w 1, 2a = 2, 2b= 1,顶点
(0, ±1),( ±1/2,0), 焦点，，
准线方程
例2 已知椭圆X2/100 + y2/36 = 1上一点P到其左、右焦点距离的比为1 : 3,求点P到两条准线的距离。
分析：由椭圆标准方程可知a= 10, b= 6, —c= 8, e= c/a
=4/5。
T|PF1| + |PF2| = 20, |PF1| : |PF2| = 1 : 3,：|PF1| = 5, |PF2| =15
设点P到左准线的距离为d1,点P到右准线的距离为d2, 根据椭圆的第二定义，有
二d1= |PF1|/e = 25/4 , d2= 75/4。
变：⑴已知椭圆X2/100 + y2/36 = 1上一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，求|PF1| 、|PF2| 。
分析：由椭圆标准方程可知a= 10, b= 6, —c= 8, e= c/a
=4/5 , 左准线方程x =-25/2，右准线方程x = 25/2，设点P到左准线的距离为d1, 点P 到右准线的距离为d2, 则d1= 5－(－25/2 ) = 35/2 , d2= 5-25/2 = 15/2，二|PF1| = ed1 = 14, |PF2| =6。
小结：点P(x0,y0) 是椭圆x2/a2 ＋y2/b2 =1 上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1,点
P到右准线的距离为d2,贝U d1 = a2/c + x0, d2 = a2/c - x0,|PF1| =ed1=a＋ex0，|PF1| =ed2=a-ex0。
⑵已知椭圆X2/100 + y2/36 = 1内有一点P(2, - 3), F2为椭
圆的右焦点，在椭圆上有一点M,使
的值最小，求点M的坐标。
分析：设M在右准线I上的射影为M1,
由椭圆标准方程可知
a= 10,b = 6, —c= 8,e = c/a = 4/5,
由椭圆第二定义，有|MF2|/|MM1|=4/5,即|MF2| = 4|MM1|/5 •••|MP| + |MF2| = |MP| + |MM1|，当MP、M1 三点共线时，|MP| + |MM1|有最小值。
过P作右准线的垂线y = -3,由方程组，解得
例3 求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是x= 3，离心率为的椭圆方程。
解：设椭圆方程为，根据题意有解得，二所求椭圆方程是
4、归纳总结
数学思想：数形结合、分类讨论、类比的思想、特殊到一般数学方法：图象法、公式法、待定系数法、
知识点：范围、顶点、对称性、离心率、椭圆第二定义、焦
半径
5、作业
P103 习题8.2 8、9、10
预习：
⑴曲线参数方程的定义是什么？
⑵在椭圆的参数方程中，常数a、b的几何意义是什么？
⑶椭圆的参数方程化为普通方程的关键是什么？。