结构力学单自由度体系强迫振动

只能用“万能”解法的情况 1）动载不作用在质点上时的动内力 2）动载不作用在质点上时非质点处的动位移
FP sin t
m
y
FP sin t
m (m 2 A) sin t
(FP m 2 A)sin t
m ( FP )sin t
FP
m
FP sin t
m
y
FP sin t
(m 2 A)sin t
和差化积
sin
sin
2sin
2
cos
2
cos
cos
2cos
2
cos
2
cos
cos
2sin
2
sin
2
三、一般动荷载作用
1. FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。
2.
••
微分方程为：y(t) 2 y
FP t
m
3. 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。
动量 K mv
m
u
0 FPo sin (t )d
t
0 sin (t )d ]
u
FPo [cos(t u) cost] m 2
yst
2 sin
u
2
sin (t
u) 2
阶段Ⅱ：(13（1t9)≥ u ）
FP(t)
FP0
u
阶段Ⅱ： （ t ≥u ）
yt
2
yst
s
in
u
2
s
in
t
u 2
yt
m a x
2
FI
3 40
FP
sin
t
FP sinθt
A
EI
B
m
C
6
5
2l
l
l
5l3 A 25 5FPl3
6EI
11 6EI
FP sinθt
EI
A
2l
m
B
C 6
5
l
l
5l3
6EI
A 25 2FPl3 11 3EI
FI
144 55
FP
s in t
m
m
求：
FP sin t
1.自振频率
t<0
FP0
t
FP0 t > 0
0
y(t) 1
m
t 0
FP0
sin (t
)d
FP0
m
t 1 sin(t )d(t ) 0
FP0
m 2
(1
cost)
yst
(1
cos t )
β＝2
y t max 2 yst
（2）短期荷载 FP(t)
0
t<0
FP0
t
FP(t)= FP0 0<t<u
A 3Ml 2 16 EI
FI
6M l
sint
MC 4
动位移和动内力的“万能” 解法
——达朗贝尔原理
：将惯性力和动载同时加上计算
部分动位移和动内力还有简易解法
部分动位移和动内力还有简易解法
ytmax yst
Mt max M st
1
1
2 2
可用简易解法的情况 1）动载作用在质点上时的动位移和动内力 2）动载不作用在质点上时质点处的动位移
O τ d t
t
t
2、一般动力荷载的动力反应
FP(t)
dy FP d sin (t ) m
yt
1
m
t
0
FP
sin
(t
)d
O
杜哈梅积分
τ d t t
y(t)
y0
cost
v0
sin
t
1
m
t
0 FP ( )sin (t )d
3、讨论几种动力荷载的动力反应
• （1）突加荷载
FP(t)
0
FP(t)=
u
0 t> u
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ） y(t) = yst (1- cosωt)
FP(t)
yt
2
yst
s
in
t
2
2
FP0
u
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt
2
yst
s
in
t
2
2
yt
m a x
2
yst
2 yst
sin u
2
2
U≥T/2 U≤T/2
y(t) 1 [
三、简谐荷载 FP t FP sin t 作用
••
y(t) 2 y
FP
s in
t
m
••
y(t) 2 y
FP
sin(
t)
m
特解：
y(t)
A s in t
m
FP
2
2
s in t
齐次解： y(t) C1 sin t C2 cost
通解： y(t) C1 sint C2 cost Asint
单自由度体系的强迫振动
y
kk
m
FP t
y
一、质点运动方向上作用动荷载FP(t)
1.运动微分方程
1.柔度法（动位移方程）：y (t )
m
••
y
FP
t
y
••
k
my
m
FFPP(tt)
y
y (t )
m
••
y
FP
t
••
y(t)
2y
FP t
m
运动微分方程的标准 表达式（强迫振动）
（ - k y） （- m ÿ）
FP sint
A
2l
B
l
FP sinθt
m
C
D
l
7
6
FP sinθt
A
l
m
B
C
D
l
l
l
7
6
FP sin t
l
2
3
EI =常数
A
l/ 2
l/2
2l 3
3EI
A 9 2FPl3 5 3EI
EI =常数
l
FP sin t
2
3
A
l/ 2
l/2
2l 3
3EI
A 9 FPl 3 5 16 EI
FP(t)
• m ÿ + k y = FP(t)
••
y(t)
2y
FP t
m
二、动荷载作用在结构的任意位置
FP(t)
••
my
m
y
•
动位移方程：y
(t
)
(m
••
y)
11
FP
t
1P
若令等效荷载
FP 't
FP t 1P
11
只对质点位移等效
••
y(t)
2y
FP 't
m
运动微分方程的标准 表达式（强迫振动）
2.运动微分方程
EI=∞
3EI
ml 3
y
2m
••
y
FP
sin
t
l3 6EI
••
y
3EI ml3
y
FP sint
2m
m
m
FP sin t
求：
1.自振频率
EI
2.运动微分方程
2EI
ml 3
y
2m
••
y
FP
sin
t
l3 4EI
••
y
2EI ml3
y
FP sint
2m
积化和差
sin cos 1 sin sin
m
FP sin t
(m 2 A) sin t
m
=？
(FP ') sin
t
(1P 11
FP ) sin
t
(m 2 A)sin t
m
等效荷载
FFPPssininω443t t m2m
EI
EI
2EI
l
l
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图
FFPPssininω443t t m2m
EI
EI
2EI
l
l
l
t2
冲量 S FPdt mv2 v1
t1
1、瞬时冲量的动力反应
v0
S m
FP t m
y(t)
y0
cost
v0
sin t
y(t) FP t sin t m
FP
FP(t)
S=FP·Δt
t O Δt
FP(t)
在τ时刻作用瞬时冲量S，
FP
则在t （t ＞ τ）时刻时
的位移为：
y(t) FP d sin (t ) m
yst
sin
u
2
U≥T/2 U≤T/2
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt
m
ax
2
yst
2 yst
sin u
2
2
U≥T/2 U≤T/2
阶段Ⅱ： （ t ≥u ）
yt
m a x
2
yst
sin
u
2
U≥T/2 U≤T/2
2sin22u
U≥T/2 阶段Ⅰ U≤T/2 阶段Ⅱ
弯矩动力系数
最大动弯矩[M(t)]max 最大静弯矩M st
y(t) Asint
••
FI m y(t) mA 2 sint
2、动力系数
1
1
2 2
的特性
0 1
1 0
相当于静载
共振。建筑上一般在 0.75≤θ/ω ≤ 1.25区域 内称为共振区，应避免。
高频振动趋向于静止
平稳振动阶段
y(t)
A s in t
m
FP
2
2
sin t
FP
m 2 1
2 2
s in
t
yst
12 2Βιβλιοθήκη s in tyst
s in
t
振幅 A yst
ytmax A yst
最大动位移
1
1
2 2
动力系数
yst FP 最大静位移
位移动力系数
最大动位移[ y(t)]max 最大静位移yst
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
l3
4EI
A 16 19 FPl3 7 48EI
FI
19 28 FP
s in t
FP sint m
l/ 2
l/ 2
4EI
3ml 3
求质点m处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
l3
3EI
A 9 5FPl3 5 48EI
FI
1 4
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图
A 9FPl 3 28 EI
FI
24 7 FP
s in t
FPsin
ω 3
t
3
FP sin 4 t
l
3mm 2
l 2
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
l3
4EI
A 16 FPl3 7 4EI
FFPPssiinn
3
ω 3
4t
t
l
3mm 2
l 2
2
cos cos 1 cos cos
2
sin sin 1 cos cos
2
两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
FP sint
Gm=35kN
A
EI
B
l/ 2
l/2
求：① β
5
6
②求跨中最大动位移及最大动弯矩图
ymax
36 11
FPl 3 48 EI
FI
25 11
FP
s in t
M sint
2
32EI ml3
m
A
EI＝常数
C
B
l/ 2
l/2
求：动弯矩幅值图和βMC
C位移 3
Ml 2 yst 16 EI