结构力学单自由度体系强迫振动
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单自由度强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和 激振下的强迫振动
所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。
设激励为 F(t)=F0sinwt ，这 里 w为激振频率，利用牛顿定 律并引入阻尼比x 可得到
F0 x 2wnx x w x sin wt m
2 n
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
xwnt
上述解的第一部分代表由初始条件引
起的自由振动;
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
7
第二部分
X 0e
xwnt
xwn sin w cos sin wd t sin cos wd t wd
代表由干扰力引起的自由振动。 这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消
失，称为瞬态响应或暂态响应；
最后只剩下第三部分
X 0 sin(w t ) ，代表
与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响 应，这才是我们最关心的。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
8
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 xwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd xw t xwn cos w sin X 0e sin wd t cos cos wd t wd
第3章 单自由度系 统强迫振动
第3章 单自由度系统强迫振动
1
系统在外部激励作用下的振动称为受
迫振动或强迫振动。
自由振动只是系统对初始扰动 ( 初始
条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象
很快就会消失。
单自由度体系的强迫振动
2）求荷载的频率
2πn 62.83s1
60
3）求动荷因数
Kd
1
2
1
2
1
1 ( 62.83)2
56
3.86
4）求最大竖向位移
ymax
y
W st
Kd
ysFt
Wl 3 48EI
Kd
Fl3 48EI
l3 48EI
(W
Kd
F)
7.26mm
5）求最大应力
max
W st
Kd
F st
l 4WZ
(W
Kd1 ysFt
Wl 3 3EI
K d1
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd1F )
7.2 mm
y2max
y
W st
Kd2
ysFt
Wl 3 3EI
Kd2
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd2
F)
6.3 5 m m
4）求两种情况中的最大弯矩。最大弯矩发生在固定
端处。最大弯矩由两部分组成：第一部分是由重力引
纯强迫振动任一时刻质点的位移为
y(t)
F
m(2
2
)
sint
F
m2 (1
2 2
)
sint
令
ysFt
F11
F
m 2
y(t)
ysFt
1
1
2 2
sint
最大动位移为
ydmax
ysFt
1
1
2 2
ysFt Kd
式中：Kd——动荷因数，即 K d
ydmax
y
F st
第二章3-单自由度系统强迫振动
积分常数的确定
x x Acosnt ， 代入微分方程：
2 n 2 n
2Bn sin nt cos cosnt sin Acosnt
2 n
从而：
cos 0
2
2 n A cos nt n A B 2n cos nt 2
方程解可以写成：
A x x0 cos nt sin nt cos t cos nt 2 n 1 x0
解的讨论
从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有 频率 n 。
A cos t 2 1
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。
A cos nt 2 1
表示激扰力引起的自由振动。
对扰力引起自由振动的讨论
令初始条件：x 0, x 0 ，微分方程的解简化为： 0 0
A x cos t cos nt 2 1
可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自 由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
齐次解的讨论
当 1 时，由前面的单自由度阻尼自由振 动可得： x1 e t B1 cos d t B2 sin d t
n
，
2 1 n 其中：d
，称为衰减振动的圆频率。
特解的讨论
由于激励为简谐的，根据微分方程的理论， x2 X cos t 上述微分方程有如下形式的特解： x2 X2 cos t x2 X sin t ， 将 x2 X cos t ， 2 2 代入 x 2n x n x n Acos t 可得：
结构力学单自由度体系强迫振动
l3 4 EI
A16 FPl3 7 4EI.
3
FFPPssiinnω3 4t t
l
3mm 2
l 2
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
l3 4 EI
A1619FPl3 7 48EI .
FI 1298FPsint
FPsint
m
l/ 2
l/ 2
4 EI
3ml 3
求质点m处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
0
t<0
FP0
t
FP(t)= FP0 0<t<u
u
0 t> u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ） y(t) = yst (1- cosωt)
FP(t)
yt2yst
sint
2
2
FP0
u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt2yst
sint
2
2
ytmax
2yst
2yst
sinu
2
2
.
U≥T/2 U≤T/2
FP(t)
• m ÿ+ k y = F P(t)
•y•(t)2yFPt
m
.
二、动荷载作用在结构的任意位置
FP(t)
••
m y
m
y
.
• 动位移方程：y(t)(m•y•)11FPt1P
若令等效荷载 FP'tFPt111P 只对质点位移等效
•y•(t)2yFP't 运动微分方程的标准
m 表达式（强迫振动）
2
3
A
l/2
l/2
2l3 3 EI
10-3单自由度体系的强迫振动
yst
=1
运动方程
y(t ) 12 FP sin t 11 (m) y 1 12 (t ) my y (t ) FP sin t
令
振幅
A
Fp
11 Fp 12 FP 11
1
11
12 FP11 12 FP 11
yst
m 2
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼) 一.运动方程及其解
Fp (t ) Fp sin t m F (t)
P
或
m(t ) k11 y(t ) Fp sin t y Fp 2 (t ) y (t ) y sin t m
这是一个二阶线性非齐次常微分方程
y(t )
yst FP11 0.722103 m
M st 1 FPl 10 kN.m 4
动位移幅值
A yst 2.45103 m
动弯矩幅值
2n / 60 52.3 1 / S
1 / m 11 g / Q 62.3 1 / S
M D M st 34kN.m
FP 0
0
u
t
0 (t 0) FP (t ) FP 0 (t 0 u ) 0 (t u )
1 u yt 0 FP 0 sin (t )d m FP 0 cos (t u ) cos t 2 m u u yst 2 sin sin (t ) 2 2
0 I
同频同步变化
有:
A 11F 1 p
成立，其中：
FI0 A 2 m 1 p Fp11
成立。
于是有:
1 ( 11 2 ) FI0 1 p 0 m
203单自由度体系强迫振动(力学)
d y (t ) = v0 (τ )
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。
结构力学A下★第10章★10-3★单自由度体系的强迫振动
10-3 Forced-Vibration of SDOF 单自由度体系的强迫振动
Forced-Vibration:强迫振动
强迫振动(受迫振动)： 结构在动荷载作用下的振动。
无阻尼条件下，单自由度体系
y k
强迫振动方程：
m
P t P t m
my ky P t
k m
M max
1 1 ( FP )l 1.552 20 4 31.04kN .m 4 4
例：简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。 I22b 3570cm4 325
在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于有偏心，转动时产 生离心力FP=10kN，FP的竖向分量为FPsinθt。忽略梁的质量， 试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）
FP(t)＝10sinθt
W
1m
1m
2m
1 ⑴ Natural Frequency 60.812 rad s m 3 l 48 EI 2n 2 500 ⑵ Force Frequency 52.36 rad s 60 60 1 ⑶ magnification factor 3.866 2 1
Ql Pl (Q P)l m ax 175.6MPa 4W 4W 4W 149.2 3 3 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 Ql Pl 对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获 max st y st 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 48EI 48EI 得较好的经济效益。 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
Forced-Vibration:强迫振动
强迫振动(受迫振动)： 结构在动荷载作用下的振动。
无阻尼条件下，单自由度体系
y k
强迫振动方程：
m
P t P t m
my ky P t
k m
M max
1 1 ( FP )l 1.552 20 4 31.04kN .m 4 4
例：简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。 I22b 3570cm4 325
在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于有偏心，转动时产 生离心力FP=10kN，FP的竖向分量为FPsinθt。忽略梁的质量， 试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）
FP(t)＝10sinθt
W
1m
1m
2m
1 ⑴ Natural Frequency 60.812 rad s m 3 l 48 EI 2n 2 500 ⑵ Force Frequency 52.36 rad s 60 60 1 ⑶ magnification factor 3.866 2 1
Ql Pl (Q P)l m ax 175.6MPa 4W 4W 4W 149.2 3 3 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 Ql Pl 对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获 max st y st 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 48EI 48EI 得较好的经济效益。 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
单自由度系统强迫振动
1.2单自由度系统强迫振动一、实验目的1． 理解与掌握单自由度系统强迫振动的基本知识2． 测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率n ω及阻尼常数ζ 3． 初步了解振动测试的仪器设备和工程实验建模方法二、实验内容1． 调节信号源和功率放大器，使系统产生共振 2． 测量系统对应的频率和振幅3． 绘制幅频曲线，得出系统的频率、阻尼等参数三、实验装置和设备单层框架系统实验装置（可视为悬臂梁），如图1所示。
扫频信号源（含功率放大器）DH-1301，激振器JZQ-2 力传感器F.Sen ，加速度传感器A.Sen ，电荷放大器DLF-3 数字式示波器TDS-210图1TDS-210DH-1301DLF-3JZQ-2F.SenA.Sen四、实验原理 1．理论知识单自由度系统在有持续激励时的振动，这类振动称为强迫振动，强迫振动是工程中常见的现象。
激励的来源可分为两类，一类是力激励，它可以是直接作用于机械运动部件上的惯性力，也可以是旋转机械或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支撑运动而导致的位移激励/速度激励以及加速度激励。
如图2所示的弹簧质量系统为对象，以静平衡位置为坐标原点，根据力系平衡原理，建立动力学方程如下：t F kx x c xm ωsin 0+−−=&&& （2.1） t F kx x c xm ωsin 0=++&&& （2.2） t F x m k x m cxωsin 0=++&&& （2.3）令m k n =2ω，mcn =2 （2.4） nnωζ=（2.5）得到t mF x x n xn ωωsin 202=++&&& （2.6）式（2.6）的稳定解为)sin(φω−=t B x（2.7）将式（2.7）带入式（2.6），求出待定系数B ，得到2222204)(ωδωω+−=n m F B （2.8） 利用共振法得到系统的固有频率n ωn m f f B →→max（2.9） n n f πω2=（2.10）通过幅频特性曲线，如图3所示，利用半功率带宽原理得到系统的阻尼系数ζ 半功率带宽：12f f f −=Δ（2.12）阻尼比ζ：nn f ff f f 2212Δ=−=ζ （2.13）10 36B /B mf (Hz) 10.707n f 1f 2f图32． 实验方法一个单层框架结构组成的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，测试系统，如图3所示，扫频信号发生器（含功率放大器）可调节激振器的激振力的频率和幅值，激振频率由扫频信号发生器直接读得，悬臂梁端部的振幅利用压电加速度传感器（压电加速度传感器是利用振动对压电晶体产生压电效应来测量振动的），经电荷放大器转化并放大，由数字式示波器读得。
§10-3--单自由度体系的强迫振动
g 48EIg Ql 3 482.110 4 7480980 354003 57.4 1 S st
2n 60 23.14500 60 52.3 1 S 1 1 2）求动力系数β 5.88 2 2 2 2 1 1 52.3 57.4
9 例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3， E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速 n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖 向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最 大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）I22b I=3570cm4 W=325cm3 解：1）求自振频率和荷载频率
1 192 EI 1 134 . 16 s m 5ml 3
2)求β
1 1
2
3)求ymax， Mmax
2
1.552
1.552 20 103 5 43 3 ymax P m 5.75 10 192 90 105 1 1 M max Pl 1.552 20 4 30.44kN .m 4 4
Байду номын сангаас
(a)
单自由度体系强迫振动 的微分方程 ky m P(t ) y
一、简谐荷载
m y
特解：y Asin t
F 2 y y m sin t 2Asin t 2Asin t
F sin t m
F ( ) Asint sint m
2 2
方法二：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
14
y (t ) y st (1 cost )
单自由度系统强迫振动
静力偏移
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
第四节单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动
因此，动力荷载、质点动位移和惯性力都按sin t 规律变化，三 者同时达到各自的最大值。这时，截面B的动转角也达到最大值。
将惯性力幅值m 2 A和动力荷载幅值M同时作用在体系上(图11-
29d)，根据叠加原理得截面B动转角的幅值
B 21m 2 A 22 M 21m(0.6)2 A 22 M
2n rad / s(或1/ s) 60
运动方程式是非齐次二阶常微分方程，其 通解包括两部分，一部分为相应齐次方程 的通解，即：
y(x) et (C1 cos t C2 sin t)
一般解
y(x) et (C1 cos t C2 sin t)
特解 y *(t) ，设为
y * (t) D1 sin t D2 cost
1 A 2 P12 P12
1 2
例11-8 图11-29a所示简支梁跨中有一质点m，梁右端作用一个动力偶 P(t)=Msint，且荷载频率与体系自振频率之比 0.6 ，不考虑梁的质量
和阻尼，试求质点动位移和支座截面B动转角的幅值.
解：设惯性力和动力荷载分别取单位力和单位力偶作用在体系上，绘出相应 的弯矩图分别如图11-29b、c所示。用图乘法可求得柔度系数
P
1
P
m(2 2 )
2 1
m2
2
由于 2 k11 1 ，故 m2 1 ，代入上式得
m m11
11
A 1 1 2
P11 yst
2
式中 yst P11代表将简谐荷载的幅值P作为静力荷载作用于结构上时
所引起质点的静力位移；而
A 1 yst 1 2 2
为质点的振幅与静力位移之比值，称为位移动力系数。
§11-4单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动
第三章单自由度系统的强迫振动
简谐激励下的的强迫振动（稳态阶段）
简谐激励是激励形式中最简单的一种，是理解 系统对其他激励的基础
如图所示的弹簧质量系 统中，质量块上作用有 简谐激振力 P=P0sinω t
m x
r
k m P=P0sinω t x
rx
kx
P
2、运动微分方程： 按牛顿第二定律： m cx kx P sin t x 0 按达朗伯原理（动静法）： m cx kx P sin t 0 x 0 最后都得到： m cx kx P sin t （1） x 0
得到： 1, 0 ,这时：
P0 1 x sin t 2 k 1
这样，我们就完全确定了特解x2 。
x (B )
P0 Ф
m 2 B t cB
x2 B sin(t )
B P0 (k m ) (c )
2 2
1
x (B)
2
t0
kB
c tg k m 2
得到： 1, ,这时：
2 ( B) x
无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当 w wn 时
P0 1 x sin(t ) 2 k 1
x x1 x2 我们知道，x的前一项代表有阻尼自由振动，
随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第 二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下， 它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B， 相位差φ 只与系统本身性质、激振力大小、频率有 关，与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。
〔注1：达朗伯原理：当一个力学 系统运动时，它的任何位置都可 以看作是平衡位置，只要我们在 原动力上再加上惯性力。这样就 可以把任何动力学问题按相当的 静力学问题来处理。〕
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
结构力学-单自由度体系的强迫振动
⑵
荷载频率Force Frequency
2n 2 500 52.36s 1 60 60 ⑶ 动力系数magnification factor
1 1
2
3.866
3.866
⑷ 最大位移与最大弯矩
W
P(t)＝10sinθt
ymax yW yP yW yst
突加荷载 短时荷载 线性递增荷载
（1）突加荷载 （Suddenly Applied Constant Load）
0 1 t y (t ) y0 cos t sin t Fp ( )sin (t )d 0 m
FP(t)
0, Fp (t ) FP 0 ,
12-3 单自由度体系的强迫振动
1. 强迫振动微分方程
强迫振动（ Forced-vibration ）： 结构在动荷载作用下的振动。
y
ky FP (t ) m y
k m
k
m
FP(t) ky
m y
y FP(t)
FP (t ) y y m
2
2. 简谐荷载下强迫振动微分方程的解
由叠加原理得静止开始一般荷载 作用下强迫振动位移为：
FP(t)
1 t y (t ) Fp ( )sin (t )d 0 m
杜哈梅(Duhamel)积分
t
d
t
具有初始速度和位移一般荷载作用下强迫振动位移为：
0 1 t y (t ) y0 cos t sin t Fp ( )sin (t )d m 0
有瞬时冲量S作用。
S Pt
单自由度体系的强迫振动
β与θ/ω的函数关系
注意
2
k 1 m m
2 1 2
F m 2
则
A
1 1
2
2
F y st
1
A y st
2 1 2 ---动力系数
对于结构内力也存在与结构位移相似的情况
计入阻尼时纯强迫振动分析
y(t )
y(t ) A sin(t )
2 ( )
2 2 4 2 2 (1 2 ) 2
F y st m 2
βmax并不出现在θ/ω=1处。
动力系数
1
2 4 2 2 (1 2 ) 2
1 时
1 2
其它与无阻尼类似
y(t ) A sin(t )
1 F F A y st A 2 2 2 2 m 4 ( 2 2 ) 2 4 2 2 2 m (1 2 ) 2 2
2
算例2：图示简支梁，跨中有一质点m，右端作用一动力偶， M (t ) Msint 荷载频率与体系自由频率之比， 0.7
不考虑梁的质量和阻尼，试求质点动位移和支座截面转动角的幅值
解:
l3 11 48EI
12 21
1 1
22
l 3EI
M (t ) Msint m
短时荷载是指短时间内 停留在体系上的常量荷载， 如图所示
FP(t) FP0
FP(t)=FP0
解：
0tu
y(t ) yst (1 cost )
tu
1 y (t ) m
0
u
t
u
0
u (t u ) cost ] yst 2 sin sin (t ) 2 2 u u u 2 sin 2 sin y max y st 2 sin 2 T 2
结构力学教程13-3
13-3 单自由度体系的强迫振动结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
图13-14a 所示为单自由度体系的振动模型，质量为m ，弹簧刚度系数为k ，承受动荷载()p F t 。
取质量m 作隔离体，如图13-14b 所示。
弹性力ky -、惯性力my- 和动荷载()p F t 之间的平衡方程为 ()p myky F t += 或写成2()p F t y y mω+=（13-11）其中ω仍是km。
式（13-11）就是单自由度体系强迫振动的微分方程。
下面讨论几种常见的动荷载作用时结构的振动情况。
1.简谐荷载设体系承受如下的简谐荷载：()sin p F t F t θ= （a ）这里，θ是简谐荷载的圆频率，F 是荷载的最大值，称为幅值。
将式（a ）代人式（13-11），即得运动方程如下：2sin Fy y t mωθ+= （b ） 先求方程的特解。
设特解为()sin y t A t θ= （c ）将式（c ）代入式（b ），得22()sin sin FA t t mθωθθ-+=因此得22()FA m ωθ=-因此特解为222()sin (1)Fy t t m θθωω=- （d ）如令2st Fy F m δω== （e ） 则st y 可称为最大諍位移（即把荷载最大值F当作静荷载作用时结构所产生的位移），而特解(d)可写为221()sin 1sty t y t θθω=- (f)微分方程的齐次解已在上节求出，故得通解如下：12221()sin cos sin 1sty t C t C t y t ωωθθω=++- （g ）积分常数1C 和2C 需由初始条件来求。
设在时的初始位移和初始速度均为零，则得1222,01st C y C θωθω=-=-代入式（g ），即得221()(sin sin )1sty t y t t θθωθωω=-- （13-12） 由此看山，振动是由两部分合成的：第一部分按荷载频率θ振动，第二部分按自振频率ω振动。
单自由度体系强迫振动.ppt
1
2 2
yst
1
2 2
,
于是有:
C2 0
于是有:
y(t)
yst
1
1
2 2
(sint sin t)
10 12
yst (sint sin t)
强迫振动的过程可分为两个组成部分,第一部分按荷载 频率作纯强迫振动,第二部分按自振频率作自由振动。 振动开始时两种振动并存，称为“过渡阶段”或“瞬 态”，由于实际振动中存在阻尼力，故经过一段时间后， 将只剩下第一部分仍在振动，第二部分则“衰减”掉了， 这一
§10-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动---动荷载引起的振动,又称受迫振动。
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
一.运动方程及其解
Fp(t) Fp sint
my(t) k11 y(t) Fp sint FP(t) m
y(t)
或
y(t)
2
y(t)
Fp
s in t 10
11
l
EI
m
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
=1
FP
运动方程
振幅
y(t) 12FP sint 11(my)
my(t) 1 y(t) 12 FP sin t
11
11
令
Fp
12 11
FP
A
Fp
m 2
Fp11
12 11
FP11
12FP
yst
my(t
稳态解
)
1
11
y (t )
y(t) Fp
Fp
m 2
sin t s in t
仍是位移动力系数 是内力动力系数吗?
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只能用“万能”解法的情况 1）动载不作用在质点上时的动内力 2）动载不作用在质点上时非质点处的动位移
FP sin t
m
y
FP sin t
m (m 2 A) sin t
(FP m 2 A)sin t
m ( FP )sin t
FP
m
FP sin t
m
y
FP sin t
(m 2 A)sin t
和差化积
sin
sin
2sin
2
cos
2
cos
cos
2cos
2
cos
2
cos
cos
2sin
2
sin
2
三、一般动荷载作用
1. FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。
2.
••
微分方程为：y(t) 2 y
FP t
m
3. 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。
动量 K mv
m
u
0 FPo sin (t )d
t
0 sin (t )d ]
u
FPo [cos(t u) cost] m 2
yst
2 sin
u
2
sin (t
u) 2
阶段Ⅱ：(13（1t9)≥ u ）
FP(t)
FP0
u
阶段Ⅱ： （ t ≥u ）
yt
2
yst
s
in
u
2
s
in
t
u 2
yt
m a x
2
FI
3 40
FP
sin
t
FP sinθt
A
EI
B
m
C
6
5
2l
l
l
5l3 A 25 5FPl3
6EI
11 6EI
FP sinθt
EI
A
2l
m
B
C 6
5
l
l
5l3
6EI
A 25 2FPl3 11 3EI
FI
144 55
FP
s in t
m
m
求：
FP sin t
1.自振频率
t<0
FP0
t
FP0 t > 0
0
y(t) 1
m
t 0
FP0
sin (t
)d
FP0
m
t 1 sin(t )d(t ) 0
FP0
m 2
(1
cost)
yst
(1
cos t )
β＝2
y t max 2 yst
（2）短期荷载 FP(t)
0
t<0
FP0
t
FP(t)= FP0 0<t<u
A 3Ml 2 16 EI
FI
6M l
sint
MC 4
动位移和动内力的“万能” 解法
——达朗贝尔原理
：将惯性力和动载同时加上计算
部分动位移和动内力还有简易解法
部分动位移和动内力还有简易解法
ytmax yst
Mt max M st
1
1
2 2
可用简易解法的情况 1）动载作用在质点上时的动位移和动内力 2）动载不作用在质点上时质点处的动位移
O τ d t
t
t
2、一般动力荷载的动力反应
FP(t)
dy FP d sin (t ) m
yt
1
m
t
0
FP
sin
(t
)d
O
杜哈梅积分
τ d t t
y(t)
y0
cost
v0
sin
t
1
m
t
0 FP ( )sin (t )d
3、讨论几种动力荷载的动力反应
• （1）突加荷载
FP(t)
0
FP(t)=
u
0 t> u
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ） y(t) = yst (1- cosωt)
FP(t)
yt
2
yst
s
in
t
2
2
FP0
u
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt
2
yst
s
in
t
2
2
yt
m a x
2
yst
2 yst
sin u
2
2
U≥T/2 U≤T/2
y(t) 1 [
三、简谐荷载 FP t FP sin t 作用
••
y(t) 2 y
FP
s in
t
m
••
y(t) 2 y
FP
sin(
t)
m
特解：
y(t)
A s in t
m
FP
2
2
s in t
齐次解： y(t) C1 sin t C2 cost
通解： y(t) C1 sint C2 cost Asint
单自由度体系的强迫振动
y
kk
m
FP t
y
一、质点运动方向上作用动荷载FP(t)
1.运动微分方程
1.柔度法（动位移方程）：y (t )
m
••
y
FP
t
y
••
k
my
m
FFPP(tt)
y
y (t )
m
••
y
FP
t
••
y(t)
2y
FP t
m
运动微分方程的标准 表达式（强迫振动）
（ - k y） （- m ÿ）
FP sint
A
2l
B
l
FP sinθt
m
C
D
l
7
6
FP sinθt
A
l
m
B
C
D
l
l
l
7
6
FP sin t
l
2
3
EI =常数
A
l/ 2
l/2
2l 3
3EI
A 9 2FPl3 5 3EI
EI =常数
l
FP sin t
2
3
A
l/ 2
l/2
2l 3
3EI
A 9 FPl 3 5 16 EI
FP(t)
• m ÿ + k y = FP(t)
••
y(t)
2y
FP t
m
二、动荷载作用在结构的任意位置
FP(t)
••
my
m
y
•
动位移方程：y
(t
)
(m
••
y)
11
FP
t
1P
若令等效荷载
FP 't
FP t 1P
11
只对质点位移等效
••
y(t)
2y
FP 't
m
运动微分方程的标准 表达式（强迫振动）
2.运动微分方程
EI=∞
3EI
ml 3
y
2m
••
y
FP
sin
t
l3 6EI
••
y
3EI ml3
y
FP sint
2m
m
m
FP sin t
求：
1.自振频率
EI
2.运动微分方程
2EI
ml 3
y
2m
••
y
FP
sin
t
l3 4EI
••
y
2EI ml3
y
FP sint
2m
积化和差
sin cos 1 sin sin
m
FP sin t
(m 2 A) sin t
m
=？
(FP ') sin
t
(1P 11
FP ) sin
t
(m 2 A)sin t
m
等效荷载
FFPPssininω443t t m2m
EI
EI
2EI
l
l
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图
FFPPssininω443t t m2m
EI
EI
2EI
l
l
l
t2
冲量 S FPdt mv2 v1
t1
1、瞬时冲量的动力反应
v0
S m
FP t m
y(t)
y0
cost
v0
sin t
y(t) FP t sin t m
FP
FP(t)
S=FP·Δt
t O Δt
FP(t)
在τ时刻作用瞬时冲量S，
FP
则在t （t ＞ τ）时刻时
的位移为：
y(t) FP d sin (t ) m
yst
sin
u
2
U≥T/2 U≤T/2
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt
m
ax
2
yst
2 yst
sin u
2
2
U≥T/2 U≤T/2
阶段Ⅱ： （ t ≥u ）
yt
m a x
2
yst
sin
u
2
U≥T/2 U≤T/2
2sin22u
U≥T/2 阶段Ⅰ U≤T/2 阶段Ⅱ
弯矩动力系数
最大动弯矩[M(t)]max 最大静弯矩M st
y(t) Asint
••
FI m y(t) mA 2 sint