结构力学-单自由度体系的自由振动
结构力学(2)习题库
15 结构的动力计算判断题体系的振动自由度等于集中质量数。
（）图示体系具有1个振动自由度。
（）图示体系具有2个振动自由度。
（）图示体系具有3个振动自由度。
（）图示体系具有2个振动自由度。
（）图示体系具有2个振动自由度。
（）结构的自振频率除与体系的质量分布状况、杆件刚度有关外，还与干扰力有关。
（）自由振动是指不受外界干扰力作用的振动。
（）自由振动是由初位移和初速度引起的，缺一不可。
（）有阻尼单自由度体系的阻尼比越大，自振频率越小。
（）临界阻尼现象是指起振后振动次数很少且振幅很快衰减为零的振动。
（）惯性力并不是实际加在运动质量上的力。
（）计算一个结构的自振周期时，考虑阻尼比不考虑所得的结果要大。
（）临界阻尼振动时质点缓慢地回到平衡位置且不过平衡点。
（）阻尼力总是与质点加速的方向相反。
（）在某些情形下建立振动微分方程式时，不考虑重力的影响是因为重力为恒力。
（）图示结构的自振频率为w，在干扰力P(t)=P sin qt作用下，不管频率q怎样改变，动位移y(t)的方向总是和P(t)的方向相同。
（）计算图示振动体系的最大动内力和动位移时可以采用同一个动力系数。
（）不论干扰力是否直接作用在单自由度体系的质量m上，都可用同一个动力系数计算任一点的最大动位移。
（）单自由度体系受迫振动的最大动位移的计算公式y max=my j中，y j是质量m的重量所引起的静位移。
（）多自由度体系作自由振动，一般包括所有的振型，不可能出现仅含某一主振型的振动。
（）解得图(a)所示两个自由度体系的两个主振型为图(b)和图(c)，此解答是正确的。
（）图(a)与图(b)所示梁的自由振动频率w A、w B相比，w A>w B。
（）填空题动力荷载是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿荷载。
振动自由度的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
若要改变一个结构的自振周期，可以从两个方面着手：1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
建筑工程之结构力学讲义单自由度受迫振动(参考)
能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其
自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
w =对面于的g 本梁s例既t =，可4采避8E用免Ig较共Q小振l的，3 =截又482.1104 7345780980 354003 =5379..471S
能=获2得n 较60好=2的3经.1济4效50益0 。60=52.3
1 S
2）求动力系数β
= 1 =
1
=5.88
1 2 w 2 152.32 3597..742 1.35
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应
P(t)
瞬时冲量S引起的振动可视为
P
由设初体始系条在件t=0引时起静的止自，由振动。 由然动后量有定瞬理时：冲量S作用。
v0m0=S = Pt
v0
=
S m
=
Pt m
y0 =0
Δt τ
Δt
t' t
t t'
yk+1
wr
如 0.2 则 wr 1, = 1 wr ln yk = 1 ln yk
w
2 w yk+1 2 yk+1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
= 1 ln yk 2n yk+n
工程中常用此 方法测定阻尼
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
结构力学课件之单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的强迫振动
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y m受力图 y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
tg
1
y0 0 v
2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 y 从微分方程的解： (t) a sin(t ) 知位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间； T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数； f 1 T 2 圆频率或角频率：2 时间内的振动次数； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：
2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
0.25l 2n 2 500 52.36 / s 2. 荷载频率： 60 60 M 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不 计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。 解：解题的依据 T 2 2 m 2 m m k
结构力学-单自由度体系
应用条件：微幅振动（线性微分方程）
振动方程的建立：
y(t) P(t)
考虑图示单质点的振动过程。杆
件的刚度为EI，质点的质量为
EI
m, 时刻 t 质点的位移y(t)
1. 阻尼力
FD Cy(t) 称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括: ①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻力） ③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 ④通过基础散失的能量
其中 kyj=W 及 yj 0 上式可以简化为
myd kyd 0
或
my ky 0 .......... .......... .......... ......( b)
例题2 试建立图示结构的振动方程，质点的质量m , EI=常数
m
L
L
m
yt
myt
原理：任意时刻受力平衡
yt myt 1 P sint 2
1. 求惯性力为1时质点的位移δ1
求位移的方法：
1. 用位移法求位移
P=1
2. 用变形体系虚功原理
问题
用位移法求位移
1
R1P
R2P
r21 r11
r22 r12
MP图
M1
R1P=0, R2P= -1 , r11=10 i , r21= r12= 3i/L
R
3L
K1
2
y(t 3
)
2L
Cy(t 3
)
L
K
2
y(t) 3L
3L mdx( y(t) x) x 0
结构力学-2019郑州大学 在线测试答案 第8章节
《结构力学》第08章在线测试A BC D端的分配弯矩是A BC D、当远端为固定端时，传递系数等于A BC D、当远端为固定铰支座时，传递系数等于A BC D、一般说来，结点不平衡力矩总等于A BC DD、近端支承E、材料的性质2、力矩分配法可用来计算什么样的结构？A、连续梁B、无侧移刚架C、无结点线位移的结构D、无结点位移的结构E、横梁刚度为无穷大的结构3、结点不平衡力矩等于A、固端弯矩之和（第一轮第一结点）B、固端弯矩之和加传递弯矩（第一轮第二三……结点）C、传递弯矩（其它轮次各结点）D、总等于附加刚臂上的约束力矩E、分配弯矩之和4、下列关于力矩分配法的论述正确的是？A、单结点力矩分配法得到精确解B、多结点力矩分配法得到渐近解C、首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始D、结点不平衡力矩要变号分配E、不能同时放松相邻结点5、杆件的线刚度与什么有关？A、材料的性质B、横截面的形状C、横截面尺寸正确错误、对单结点结构，力矩分配法得到的是精确解。
正确错误、超静定力的影响线都是变形体虚位移图，是曲线。
正确错误、无剪力分配法的适用条件是结构中除了无侧移的杆，其余的杆均为剪力静定杆。
正确错误、力矩分配法的适用范围是连续梁和无侧移刚架。
正确错误《结构力学》第09章在线测试A BC D、如果体系的阻尼增大，下列论述错误的是A、自由振动的振幅衰减速度加快B、自振周期减小C、动力系数的绝对值减小D、位移和简谐荷载的相位差变大3、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力C、惯性力与弹性力的合力D、没有力4、当简谐荷载作用于无阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远小于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、阻尼力C、惯性力D、重力5、一单自由度振动体系，由初始位移0.685cm，初始速度为零产生自由振动，振动一个周期后最大位移为0.50cm，体系的阻尼比为A、0.05B、ξ＝0.10C、0.20D、ξ＝0.15第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、单自由度体系的自由振动主要计算A、频率B、周期C、振型D、动力内力E、动力位移2、具有弹性支座的梁，如要降低梁的自振频率ω，可采取下列那些措施？A、增大质量B、减小梁的刚度C、减小弹性支座的刚度D、增大荷载值E、增大荷载频率3、如果体系的阻尼数值增大，下列论述错误的是 AA、动力系数变大B、动力系数减小C、自由振动的振幅衰减速度加快D、自振周期减小E、自振频率增大4、如果体系的阻尼数值增大，则A、动力系数变大B、动力系数减小C、自由振动的振幅衰减速度加快D、自振周期增大E、自振频率减小5、引起自由振动的原因是A、初位移B、初速度C、瞬时冲量D、简谐荷载E、突加荷载第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，当频率比θ/ω大于1时，荷载与位移同向。
结构动力计算(1) 结构力学 学习资料
w
t
v0
w
sin wt
v0/ω
t
y ( t ) a sin(wt a )
－v0/ω
a
T
t
α/ω
－a
y ( t ) a sin(wt a ) a sina coswt a cosa sinwt v0 y ( t ) y0 coswt sin wt
EI
EI
h
l
k 15EI m mh3
3EI/h2
6EI/h2
k
w
3EI/h3
12EI/h3
例3 l/3
4l 27
m 2l/3 1
l 9
2l 27
3 1 l3 l 4 l ll 5 l ( 2 ) 11 EI 6 3 27 3 9 4374 EI
l 3
1
1 4374 EI w m 11 5 m3 l
m>>m梁
m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m+αm柱 I
2I
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
三个自由度体系
v( t ) θ( t )
三个自由度 水平振动时的计算体系
u(t)
三个自由度
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
二、自由振动微分方程的解 .. .. w 2 my ky 0 (a) y y 0
(w
T
y ( t ) C1 sinwt C 2 coswt y y(t) 0 v0 . y (0) v0 C1
结构力学
自由振动的解
比较两式得：
A ( y 0 ) (v 0 / w )
2 2
arctan
wy0
v0
（a）没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按 的 y0 coswt 的规律变化； （b）没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按 的 v 0 sin wt 的规律变化; w （c）既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态按 方程 y(t ) A sin(wt ) 进行。
能相差很大；
b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相
近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常 出现这样的现象。
2009-12-3
单自由度系统的动力特性
圆频率的计算公式：
w
k m 1 m g W g st
圆频率也仅与结构参数k和m有关，即仅与结构体 系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称 为固有频率或自振频率。
y A sin(wt v)
则，系统振幅和初相角为：
A y
2 0
w
2 0 y 2
,
v arc tg
w y0
0 y
因物体落到C点后才开始振动，所以
y0 yst , 0 2gh y
2009-12-3
课后练习
于是
2 gh 2 A y yst 2hyst g / yst
2009-12-3
单自由度系统的动力特性
（3）工程频率f ：
w， 单位为Hz。 f 2
计算自振周期的几种形式：
（1）由周期和圆频率的定义可知：
m T 2 k
（2）将
1 k
代入上式，得：
T 2 m
2009-12-3
结构力学动力计算单自由度自由振动课件
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3
192 EI
72EI 24EI
3mH3 mH3
A
EI
l
l3
8 EI
mP
B EI C
l2
8 EI
ml 3
EI l
m
l/2
l/2
48 EI
5ml 3
有弹簧支座时
FP(t)
t 简谐荷载
FP(t)
一般周期荷载 t
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
以上为数定荷载，确定性荷载。
非周期性的爆炸荷载
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
本课程在此只讨论数定荷载作用。
六、动力计算自由度
1 •• y y 0
m
设 2 1 m
••
y2y 0
ω为自振圆频率，简称自振频率
（2）动平衡方程（刚度法）
y
k
m
y
弹性力＝ - k y
惯性力＝- m ÿ
mÿ+ky=0
设2 k
m
••
y2y 0
1 k m m
自振频率
2、自由振动微分方程的解
yty0costv0si nt
ytA si n t
••
•
y p y qy 0
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m）
2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
结构动力学单
m
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
例题
求图示体系的自振频率。
m
l m EI
EI
l/2
2EI
l
l
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
例题
求图示体系的自振频率。 m EI1=∞
EI=C EI m
l
EI
刚度系数计算方法
— 利用位移基本体系
l
罗健
l
l
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
上面方程可写成
(t ) y(t ) 0 y
2
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
⑵、柔度法
由达朗伯尔原理，质点m在t时刻的位移y(t)可以看成是t 时刻的惯性力引起的（瞬时）静位移，可将其写成： y(t)
m
FI
1
y(t ) 11 FI (t ) (t )) 11 (m y
2
罗健
结构动力学
北京建筑 (小阻尼)情况：
1,2 i 1 2
令： d 1 2
称为有阻尼自振频率。
y(t ) et (C1 cos d t C2 sin d t )
由初始条件确定任意常数C1和C2： 设 t=0 时，
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
3.3 有阻尼体系的自由振动 无阻尼自由振动总是以动能和势能交换为特征， 没有考虑结构体系的能量耗散，即结构体系的振动过 程中总能量保持不变。 与能量大小有关的振幅始终保持不变，永不衰减。 但在实际中，任一振动过程随时间的推移，振幅总 是逐渐衰减额，最终消失。质量m静止在静力平衡位置 这种振幅随时间而减少的振动称为阻尼振动。
结构力学专题十四(近似法求自振频率)
T(t)
1 2
m2Y 2(x)
cos 2 (
t
)dx
Tmax
1 2
2
mY
2
(x)dx
U(t)
EI 2
Y ( x)2
sin 2 (
t
)dx
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx mY ( x)2 dx
m, EI
l
13.54(1/ s)
精确解 1 13.36(1/ s) 误差 1.35%
（四）、位移曲线的确定
（2）只有均布质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg产生;
动能 :
Tmax
1 2
m[Y (x)]2 2dx
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mgY (x)dx
2
mgY ( x)dx
（三）、分布质量与集中质量同时存在
设: y(t, x) Y(x)sin( t )
T(t)
1 2
m2Y 2 (x) cos2 ( t )dx
n
1 2
2
miYi2 cos2 ( t )
i 1
Tm a x
1 2
2
mY
2 ( x)dx
1 2
2
n
miYi
2
i 1
U(t)
EI 2
Y ( x)2
mY 2 ( x)dx
例3：用能量法求图示体系的频率。
设y(x)由q mg产生
m, EI
l
Y ( x)
1 24EI
mg(x4
2Lx3
《结构力学》结构动力学(2)
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下， 与 之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着 增加 增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的 值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着 增加 减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5） 时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动 。
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(ห้องสมุดไป่ตู้
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和 的差别很小。
结构力学笔记
结构力学一、结构的几何构造分析1、凡是自由度大于0的体系都是几何可变体系。
2、刚片规则一：一个刚片与一点，用不共线的两根连杆相连接，则组成几何不变无多余约束的体系。
3、刚片规则二：两个刚片用一个铰和一根连杆相连接且三铰不共线，则几何不变且无多余连接。
4、三钢片规则三：三刚片用三个铰，不在同一直线上，则几何不变且无多余连接。
5、平面自由度的计算：k j n m w ---=233注意复铰和复刚片的计算。
二、静定结构的受力分析1、受力正负号的规定：轴力拉为正，压为负；剪力：相邻点顺时针为正，逆时针为负；弯矩：下部受拉为正，上部受拉为负。
2、关于积分关系：qx dx dN -=；qy dx dQ -=；Q dx dM =;qy dxMd -=22 关于曲杆的积分关系：qs R Q ds dN -=；qr R N ds dQ --=；Q dsdM=; 3、三铰拱的合理轴线：（拱无弯矩状态的轴线称为合理轴线）。
)(42x l x lfy -=填土作用下为一悬链线；均匀水压力的合理轴线为圆弧曲线。
三、静定结构的影响线1、影响线定义：单位移动荷载作用下内力（或支座反力）变化规律的图形称为内力（或支座反力）影响线。
2、常用影响线：11影响线影响线11影响线影响线3、关于桁架的影响线，需要专门的看书解决。
4、如果移动荷载是单个集中荷载，则最不利位置，一定在影响线数据最大处。
若有多个集中荷载，则有一个集中荷载处在影响线距离最大处。
b r p a r 21+≤；br a r r 21≥+ 也可以通过tga*R 来计算，看是否变号。
四、结构位移计算1、支座位移计算公式：KkkcR ∑-+∆*12、广义力和广义荷载就是一对相反的力。
3、温度作用：h t h t h t 12210+=；12/t t t -=；⎰∑⎰∑+=∆Mds ht Nds t /0αα （其中：N 为单位荷载作用下的轴力；M 为单位荷载作用下的弯矩）。
单自由度体系的自由振动
【例10.1】 等截面简支梁［图10.9（a）］的跨长为l， 弯曲刚度EI 为常数，在距梁端A点处有一集中质量m，若 不计梁本身的质量，试求梁的自振频率和自振周期。
图10.9
【解】 该结构为单自由度体系。由式（10.12）求自振频
率ω时，须先求出体系的柔度系数 11 ，即求出在单位力
作用下体系所产生的位移。利用图乘法，由图10.9（b）， 算得
结构力学
单自由度体系的自由振动
一、自由振动的微分方程
建立运动微分方程通常有两种方法，一种方法是根据达朗贝尔 原理，利用刚度系数列出平衡方程，这种方法称为刚度法；另 一种方法是根据位移条件，利用柔度系数列出位移方程，这种 方法称为柔度法。
1. 刚度法
图10.7
2. 柔度法
FI ＋Fe= 0
my(t) k11y(t) 0
y(t) Asin(t )
v0 A cos
y0 Asin
t an1 y0
v0
A
y02
(
v0
)2
图10.8
简谐振动 振幅 相位角 初相角
三、结构的自振周期与频率
T 就是结构的自振周期
T 2π
自振周期的倒数表示每秒钟内的振动次数，称为工程频率， 以f 表示
f 1
T 2π
ω称为圆频率
图10.10
【解】 由于横梁各质点的水平位移相同［图10.10（b）］， 故结构为单自由度体系。
在本例中，体系的刚度系数较易计算。取横梁为研究 对象［图10.10（c）］，由平衡方程，得
k11
3
3EI1 h3
9EI1 h3
结构的自振频率为
k11 gk11 3 gEI1
mW
《结构力学》结构动力学(1)
结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余 弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、 b）。
y
(a)
y0
o
t
(b)
y
y0
o
t
(c)
y
T=
y0
a
a
o
a
a
t
图14-6
若令
y0 a sin ，
y0 a cos
振幅和相位角
a
y02
y02
2
tan y0
y0
则有
图14-2
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关。如图14-3所示的体系。
图14-3
§14-3 单自由度结构的自由振动
自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动， 而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。
原有平衡位置
强迫偏离位置
图14-4
和相位角 。
(2) 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自 振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结 构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。
例14-1 图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相 等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者 的自振频率。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
2. 动荷载分类
(1) 周期荷载 (2) 冲击荷载 (3) 随机荷载
3．结构动力计算的内容
(1) 确定结构的动力特性 即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。
结构力学知识点总结
结构力学知识点总结结构力学是固体力学的一个分支，主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化。
以下是对结构力学主要知识点的总结。
一、结构的计算简图结构计算简图是对实际结构进行力学分析时，经过简化抽象得到的力学模型。
它需要忽略一些次要因素，突出结构的主要特征。
在确定计算简图时，要明确结构的支座形式。
常见的支座有固定支座、可动铰支座和固定铰支座。
固定支座限制结构在水平和竖直方向的移动以及转动；可动铰支座限制结构沿支座链杆方向的移动，允许转动；固定铰支座限制结构在水平和竖直方向的移动，但允许转动。
此外，还需要确定结构的荷载类型。
荷载包括集中荷载和分布荷载。
集中荷载是作用在结构上的一个点的荷载，如重物的压力；分布荷载则是作用在结构一段长度或面积上的荷载，如梁的自重。
二、平面体系的几何组成分析这部分内容主要是判断平面体系的几何不变性。
通过计算自由度，以及运用几何不变体系的组成规则，可以确定体系是否几何不变。
自由度是指确定体系位置所需的独立坐标数。
一个刚片在平面内有三个自由度。
计算平面体系自由度的公式为：W ＝ 3m 2h r ，其中 m为刚片数，h 为单铰数，r 为支座链杆数。
几何不变体系的组成规则包括：两刚片规则、三刚片规则和二元体规则。
两刚片通过一个铰和一根不通过该铰的链杆相连组成几何不变体系；三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连组成几何不变体系；在一个体系上增加或拆除一个二元体不改变体系的几何组成性质。
三、静定结构内力计算静定结构是指在任意荷载作用下，其内力和反力都可以由静力平衡条件唯一确定的结构。
静定梁的内力包括弯矩、剪力和轴力。
计算内力的方法通常是先求出支座反力，然后通过截面法计算指定截面的内力。
弯矩使梁的受拉一侧纤维受拉为正；剪力以使隔离体顺时针转动为正。
静定刚架的内力计算方法与静定梁类似，但需要注意刚架中各杆的内力可能有弯矩、剪力和轴力。
在计算时，要正确判断各杆的内力方向。
静定桁架的内力计算通常采用节点法和截面法。
结构动力学单自由度
m3
模型。
▪ 例如：
m
m1
m2
m1x1m2x2来自mkmNmkxk
mN xN
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列 规定的位移曲线的和来表示：
▪ 适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。
▪ 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。
FD cy c 为阻尼系数，y为质量的速度。
结构体系运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度 法和柔度法。
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
y (t ) c
F(t) m
k
y (t )
FD
FI
F (t )
FS
平衡方程： FI FD FS F (t )
刚度法
取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部 外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得 到体系的运动方程。
结构的自由振动与受迫振动
y
y
t
t
定义
▪ 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动。
▪ 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种 振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动 。
固有频率
y
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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mh3 T 2 24 EI
Vibration Characteristic
y(t ) Asin( t )
Acceleration： Inertia Force：
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
这是一个齐次方程，其通解为
y(t ) C1 cost C2 sin t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 C1 y0
(0) v0 y
C2
v0
v0
,
y (t ) y0 cos t
sin t
y (t ) y0 cos t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，
而且惯性力的方向与位移的方向一致。
幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA
2
由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时
l
1 m
EA ml
st Wl T 2 2 g EAg
例: 求图示结构自振频率 。（EI 为常数，杆件自身 质量不计） [分析] 图乘法求位移
A m C l h
1 1 2 2 1 2 h2 B ( h h hl h) (h l ) EI 2 3 2 3 3EI
y y
v0
sin t
T
0
t
y cos t
-y
y
v v
y A
T t
0
v
sin t
T t
A sin t
0
-A
A y0 ( )
2
v0
2
1 tan ,
y0 v0
3. 结构的自振周期与频率
y
y(t ) A sin(t )
k 1 m m
[分析]
m l/2 l 1
T
2
l/2
l3 解： 柔度系数： 48EI
l
1 48EI m l3 m m l3 T 2 48EI 2
例2 求图示悬臂杆的水平自振周期及竖向自振周期 。（杆件 截面积 A，惯性矩 I，弹性模量 E，自身质量不计，杆顶重物重 量为W）
12-2 单自由度体系的自由振动
Free-vibration of single degree of freedom system
1.
自由振动微分方程
F
理论力学知识的回顾
物体在外力F作用下运动 m
F1
F ma
ma F 0 F1 F 0
F1 ma
达朗贝尔原理 惯性力
达朗贝尔原理：物体在运动中的任意瞬间，作用在 物体上的所有外力与惯性力处于平衡状态。
量有关？
作业
15-2、 15-4、 15-5
例.计算图示刚架的频率和周期。
m
EI1= Stiffness Coefficient I h
I
24 EI k 3 h
1
6 EI h2
12 EI h3
6 EI h2
k
12 EI h3
k 24 EI m mh3
6 EI h2
6 EI h2
1 m
3EI mh2 (h l )
1 h h
[讨论] 当AB刚度改变为无穷大，或BC 改变为无穷大，或均不改变，试比较 3 者频率大小。
思
考
为计算在任意时刻单自由度体系自由振动的位移，需
要知道那些物理量？
外界干扰（初始速度、初始位移）对自由振动的振幅、
周期、频率等有影响吗？
为什么说自振周期是结构的固有性质？它与那些固有
m y
y
m ky
ky
m y
y
ky 0 m y
刚度系数 k 由结构力学方法求解
悬臂柱－质量体系的自由振动 建立振动微分方程的 2 种思路
m
y
ky
m y
stiffness method刚度法 k：Stiffness Coefficient
根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任意瞬间，作 用在物体上的所有外力与惯性力处于平衡状态。
T
t
A
a
0
A
ω圆频率或角频率，或简称频率 Natural Frequency
k 1 g g m W st m
T自振周期 Natural Vibration Period
T 2
st m W T 2 2 m 2 2 k g g
例1
求图示体系的频率及自振周期,惯性矩I。
惯性力是虚拟的，不是真正作用在质点上的。只是引入 后，将动力学问题在形式上转化为静力学问题处理。
1.
弹簧体系
自由振动微分方程
y k m ky y
脱离体受力分析： 弹性力：-ky,与位移 y 的 方向相反
my
惯性力：my ,与加速度的方向相反
my
ky 0 m y
悬臂柱－质量体系的自由振动 y k m ky
[分析] 求水平位移和竖向位移 解：
l 3EI
3
W
1
l
1 3EI m m l3
Wl 3 T 2 3EIg 2
例2 求图示悬臂杆的水平自振周期及竖向自振周期 。（杆件 截面积 A，惯性矩 I，弹性模量 E，自身质量不计，杆顶重物重 量为W）
竖向位移
W
1
解：
l EA
对质点进行受力分析，利用平衡条件
ky 0 m y
Flexibility method柔度法
y m 对体系进行受力分析，质点位移表达式为
FI
（ m ） y
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFI
柔度系数δ
) y (m y
对单自由度体系
m y 1
y0
1 k
刚度法 柔度法
对质点进行受力分析，利用平衡条件 对体系进行受力分析，写出质点位移表达式 注意刚度系数与柔度系数的关系
2. 自由振动微分方程的解 Solution of Free-vibration equation
自由振动微分方程：
ky 0 m y
自由振动微分方程确定了体系自由振动时的运动规律
k y 0 y m
令
k m
2
y 0 y
2
2 y y 0
间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时 间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。