第十二章电磁感应电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波精品PPT课件
写在最后
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谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
B 0I 2 r
第十二章 电磁感应 电磁场 课后练习二十三
6. 如图所示,长为L的导体棒OP,处于均匀磁场中
并绕OO′轴以角速度ω旋转,棒与转轴间夹角恒为θ,
磁感强度B与转轴平行,求棒在图示位置处的电动势.
解 E
L (v B) dl
0
L
0 vB cosdl
o B P dl
vB
L (B sin2 ) l d l 0
1 BL2 sin2
2
ol
v l sin
cos sin
第十二章 电磁感应 电磁场 课后练习二十三
7. 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半
圆,使这根半圆形导线在磁感强度为B的匀强磁场中以
频率f 旋转,整个电路的电阻为R,求电路中的感应电流.
(A) 静电场 (C) 稳恒磁场
(B) 涡旋电场 (D) 变化磁场
( A)
第十二章 电磁体棒是可移动的,设整 个回路处在一均匀磁场中,B=0.5T,电阻R=0.5Ω,长 度l=0.5m,ab以速率v=4.0m·s-1向右等速移动.则作用 在ab上的拉力F = 0.5N ;拉力的功率P = 2W ;感应 电流消耗在电阻上的功率P′= 2W .
Ii
E i
R
Blv R
F
BIil
B2l 2v R
第12章-电磁感应 电磁场和电磁波
0n1I1
则穿过半径为 r2 的线圈
的磁通匝数为
N2Φ21 N2B1(π r12 )
n2lB1(πr12 )
代入 B1 计算得 2 N2Φ21 0n1n2l(πr12 )I1
则
M 21
N 2Φ21 I1
0n1n2l(πr12 )
33
12-3 自感和互感
例3 上题中，若通过长度为 l2 的线圈 N2 的电流为 I2 ， 且 I2 是随时间而变化的，那么，因互感的作用，在线 圈 N1 中激起的感应电动势是多少呢？ 解 通过线圈 N1 的磁通匝数为
dV
V 2
36
12-4 磁场的能量 磁场能量密度
例1 有一长为 l 0.20m 、截面积 S 5.0cm2 的长直 螺线管。按设计要求，当螺线管通以电流 I 450mA 时，螺线管可储存磁场能量 Wm 0.10J . 试问此长直螺
线管需绕多少匝线圈？
解 由上一节可知，长直螺线管的自感为
L 0N 2S / l
i
OP Ek dl
(v
B)
dl
OP
l
p
i
设杆长为 l
i
vBdl vBl
0
o
16
12-2 动生电动势和感生电动势
例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场中,
以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转
动，求铜棒两端的感应电动势.
解 di (v B) dl
vBdl
螺线管储存的磁场能量为
Wm
1 2
LI 2
1 2
0 N 2S
l
I2
N 1 ( 2Wml )1/ 2 1.8104匝
当 dL 0 dt
大学物理电磁学 第12章 电磁感应
z
B
b
a
a
利用
d
v
B
dl
解：规定a到b为正方向，取线元dl
v
B
vB
rB
lB sin
B
z
d (v B)dl vBdl sin
b
r
B sin2 ldl L
d B sin2 ldl
a
l
dl v
B
BL2 sin2
2
0
>0 方向从 a 到 b
由于无漏磁 m21 m1
N1m1
NI21m2
m12
I
2 m2
线圈
L1
L2
1
M 2 N2m1
I1
N1m2
I2
L1L2
M L1L2
一般情况下 M k L1L2 0 k 1
N2 m2
B21
I2
线圈2
例题1：在通有电流I的长直导线附近有一半径为a，质 量为m的细小线圈，线圈可绕通过中心与直导线平行的 轴转动，直导线与细小线圈中心相距为d，设d》a，通
E感生
R2 2r
dB dt
r
O
若 dB 0 dt
E感生 〈 0
若 dB 0 dt
E感生 0
例2 如图中均匀磁场，且B以不变速率变化，求其中 线段ab内的感生电动势
L E感 dl
B dS S t
解：楞次定律
ob
ba
ao
dm
dt
a
因为 ao E感生 dl =0
O
b
ob E感生 dl 0
i
d i
b
a
第12章电磁感应电磁场
一段导体内的静电电势差不能维持稳恒电流
用电器
A
B
E
Ek
非静电力: 能把正电荷从电势较低的点（电源负 极板）送到电势较高的点（电源正极板）的作用力 ，记作 Fk 。
19
1.非静电场强:
Ek
Fk q0
表示单位正电荷受到的非静电力
电源: 能够提供非静电力的装置
非静电力做的元功为
已知：R1 、R2
解: H2Ir B2Ir
R1
dB dS2Irldr
Il
2
R2 dr
闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所
激发的磁场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量
的变化.
产生 磁通量变化
阻碍 产生 导线运动
感应电流 感应电流
a
f
b
阻碍
机械能
焦耳热
楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的
具体体现。
7
楞次定律
t2 t1
Iid
t1 t2 Rt1
idt
13
Q1 m2 Rm1
ddm tdtR 1(m2
m1)
• 测Q 可以得到m这就是磁通计的原理。
设回路有N 匝线圈
m NSB
当线圈中磁场由0→B时,不考虑Q的正负,则
Q 1 NSB R
B QR 2NS
14
思考
15
B t
r
34
二、电子感应加速器
利用涡旋电场对电子进行加速
电子得到加速 的时间最长只是 交流电流周期T 的四分之一
原理： 电磁铁线圈中交变电流，产生交变磁场 交变磁场又在真空室内激发涡旋电场
第十二章 电磁感应电磁场(二)作业答案
一. 选择题[ A ] 1 (基础训练4)、两根很长的平行直导线，其间距离为a ，与电源组成闭合回路，如图12-18．已知导线上的电流为I ，在保持I 不变的情况下，若将导线间的距离增大，则空间的(A) 总磁能将增大． (B) 总磁能将减少．(C) 总磁能将保持不变．(D) 总磁能的变化不能确定【解答】212m W L I =，距离增大，φ增大，L 增大， I 不变，m W 增大。
[ D ]2（基础训练7）、如图12-21所示．一电荷为q 的点电荷，以匀角速度作圆周运动，圆周的半径为R ．设t = 0 时q 所在点的坐标为x 0 = R ，y 0 = 0 ，以i 、j分别表示x 轴和y 轴上的单位矢量，则圆心处O 点的位移电流密度为： (A)i t R q ωωsin 42π (B) j t Rq ωωcos 42π (C) k R q 24πω (D) )cos (sin 42j t i t Rq ωωω-π 图 12-21 【解答】设在0—t 的时间内，点电荷转过的角度为ωt ，此时，点电荷在O 点产生的电位移矢量为0D E ε=, ()222000cos sin ,444rqR q q E e ti tj R R R R ωωπεπεπε=-=-=-+ 式中的r e 表示从O 点指向点电荷q 的单位矢量。
()2sin cos 4d dD q J ti tj dt R ωωωπ∴==-。
[ C ] 3 (基础训练8)、 如图12-22，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L 1的磁场强度H 的环流与沿环路L 2的磁场强度H 的环流两者，必有： (A) >'⎰⋅1d L l H ⎰⋅'2d L l H . (B) ='⎰⋅1d L l H ⎰⋅'2d L l H .(C) <'⎰⋅1d L l H ⎰⋅'2d L l H. (D) 0d 1='⎰⋅L l H .【解答】全电流是连续的，即位移电流和传导电流大小相等、方向相同。
第十二章电磁感应电磁场
第十二章电磁感应电磁场题12.1：如图所示，在磁感强度T 106.74－⨯=B 的均匀磁场中，放置一个线圈。
此线圈由两个半径均为3.7 cm 且相互垂直的半圆构成，磁感强度的方向与两半圆平面的夹角分别为 62和 28。
若在s 105.43－⨯的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？ 题12.1分析：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即⎰⋅-=-=Sd d d d d S B t t Φε但在求解时应注意下列几个问题： 1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。
2．Φ应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。
它由⎰⋅=Sd S B Φ计算。
对于均匀磁场则有θcos d SBS Φ=⋅=⎰S B ，其中⊥=S S θcos 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。
对于本题，2211cos cos θθBS BS Φ+=中1θ和2θ为两半圆形平面法线n e 与B 之间的夹角。
3．感应电动势的方向可由tΦd d -来判定，教材中已给出判定方法。
为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B 的方向满足右螺旋关系，此时Φ恒为正值，这对符号确定较为有利。
题12.1解：迎着B 的方向，取逆时针为线圈回路的正向。
由法拉第电磁感应定律V 1091.4)cos cos (cos cos d d cos cos d d d d 4221122112211-⨯=+∆∆-=+-=+-=-=θθθθθθεS S tB S S t B BS BS t t Φ）（）（0>ε，说明感应电动势方向与回路正向一致题12.2：一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为t Φ)s 100s i n ()Wb 100.8(15--⨯=π，求在s 100.12－⨯=t 时，线圈中的感应电动势。
题12.2解：线圈中总的感应电动势t t ΦN )s 100cos()V 51.2(d d 1-=-=πε当 s 100.12－⨯=t 时， ε= 2.51 V 。
第十二章 电磁感应电磁场(一)作业答案
一．选择题[ A ]1.（基础训练1）半径为a的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ，当把线圈转动使其法向与B 的夹角为α=60︒时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动时间的关系是：(A)与线圈面积成正比，与时间无关. (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比. (C) 与线圈面积成反比，与时间无关. (D) 与线圈面积成反比，与时间成正比. 【解析】[ D ]2.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解析】dt dI LL -=ε，在每一段都是常量。
dtdI ［ B ］3.（基础训练6）如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B平行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动时，abc 回路中的感应电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为(A) =0，U a – U c =221l B ω (B) =0，U a – U c =221l B ω- (C) =2l B ω，U a – U c =221l B ω (D) =2l B ω，U a – U c=221l B ω-【解析】金属框架绕ab 转动时，回路中0d d =Φt，所以0=ε。
2012cL a c b c bc b U U U U v B d l lBdl Bl εωω→→→⎛⎫-=-=-=-⨯⋅=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰［ C ］5.（自测提高1）在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半经为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且r a >>。
当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为：(A))11(220r a a R Ir +-πμ (B)ar a R Ir +ln 20πμ (C)aR Ir 220μ (D) rR Ia 220μ 【解析】直导线切断电流的过程中，在导线环中有感应电动势大小：td d Φ=εaIR q 21φφ-=感应电流为：tR Ri d d 1Φ==ε则沿导线环流过的电量为：∆Φ=⋅Φ==⎰⎰Rt t R t i q 1d d d 1daR Ir R r a I R S B 212120200μππμ=⋅⋅=⋅∆≈［ C ］6.（自测提高4）有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r 1和r 2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为1和2．设r 1∶r 2=1∶2，1∶2=2∶1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L 1∶L 2与磁能之比W m 1∶W m 2分别为：(A) L 1∶L 2=1∶1，W m 1∶W m 2 =1∶1． (B) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶1． (C) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶2． (D) L 1∶L 2=2∶1，W m 1∶W m 2 =2∶1．【解析】自感系数为l r n V n L 222πμμ==，磁能为221LI W m =［ B ］7.（附录C3）在圆柱形空间内有一磁感应强度为B 的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB/dt 变化。
大学物理《普通物理学简明教程》第十二章 电磁感应 电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场 问题12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转.解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向里，并且由2I B rμ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定．（1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向． （2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向.（2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零.12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生.12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］．CI解 在磁场中运动的导体所产生的感应电动势为()d L ε=⨯⎰v B l ⋅，在图(a)与(c)中的运动情况中，⨯v B 的方向与d l 方向垂直，铜棒中没有感应电动势．在图(b)中，铜棒绕中心轴运动，左右两段产生的感应电动势大小相等，方向相反，所以铜棒中总的感应电动势为零．12-4 有一面积为S 的导电回路，其n e 的方向与均匀磁场的B 的方向之间的夹角为θ．且B 的值随时间变化率为d d B t .试问角θ为何值时，回路中i ε的值最大；角θ为何值时，回路中iε的值最小？请解释之．解 由i d d d cos S S dt dtεθ=--⎰B B S =⋅，可得当0θ=时，回路中i ε的值最大，当90θ=时，回路中iε的值最小.12-5 有人认为可以采用下述方法来测量炮弹的速度．在炮弹的尖端插一根细小的永久磁铁，那么，当炮弹在飞行中连续通过相距为r 的两个线圈后，由于电磁感应，线圈中会产生时间间隔为t ∆的两个电流脉冲．您能据此测出炮弹速度的值吗？如0.1m r =，4=210s t -∆⨯，炮弹的速度为多少？解 带有小磁铁的炮弹飞向线圈，线圈中会产生感应电流， 测得的两个电流脉冲产生的时间间隔即炮弹飞过这两个线圈间距所用的时间. 由题意可知, 炮弹的速度为 1500m s r v t-==⋅∆12-6 如图所示,在两磁极之间放置一圆形的线圈,线圈的平面与磁场垂直.问在下述各种情况中，线圈中是否产生感应电流？并指出其方向．（１）把线圈拉扁时；（２）把其中(a)(b)(c)B一个磁极很快地移去时；（３）把两个磁极慢慢地同时移去时．解 这三种情况中, 通过的磁通量均减小,线圈中均会产生感应电流, 从上往下看, 感应电流的方向沿顺时针方向.12-7 如图所示,均匀磁场被限制在半径为R 的圆柱体内,且其中磁感强度随时间的变化率d d B t =常量,试问:在回路1L 和2L 上各点的d d B t 是否均为零？各点的kE 是否均为零？1k d L ⋅⎰E l 和2k d L ⋅⎰E l 各为多少？ 解 由于磁场只存在于圆柱体内，在回路1L 上各点d d B t 为常量，在回路2L 上各点d B t 为零.空间中各点的感生电场分布为r R < k d 2d r B E t= r R > 2k d 2d R B E r t= 可见在回路1L 和2L 上各点的k E 均不为零.对于在回路1L 11k d d d d d d L L S S t t⋅=-=-⎰⎰B B E l S ⋅ 对于回路2L 22k d d 0d L t Φ⋅=-=⎰E l12-8 一根很长的铜管铅直放置，有一根磁棒由管中铅直下落．试述磁棒的运动情况．解 长直铜管可以看作由许多铜线圈组成，当磁棒下落，每通过一个线圈，线圈中的磁通量都会发生变化，在下落过程中，铜管中始终会有感应电流产生，并且感应电流产生的磁场的方向与磁棒磁场方向相反，因此，磁棒始终受到铜管对它的阻碍作用.12-9 有一些矿石具有导电性，在地质勘探中常利用导电矿石产生的涡电流来发现它，这叫电磁勘探．在示意图中，A 为通有高频电流的初级线圈，Ｂ为次级线圈，并连接电流计Ｇ，从次级线圈中的电流变2化可检测磁场的变化．当次级线圈Ｂ检测到其中磁场发生变化时，技术人员就认为在附近有导电矿石存在．你能说明其道理吗？利用问题12-9图相似的装置，还可确定地下金属管线和电缆的位置，你能提供一个设想方案吗？解 该检测方法利用的原理是电磁感应。
电磁感应定律
·
原 i
12 - 1 电磁感应定律
第十二章 电磁感应 电磁场
（4）楞次定律是能量守恒定律的一种表现
原 N 感
原 v
S N S S
感
v
S
N N
违反能量守恒定律
不违反能量守恒定律
12 - 1 电磁感应定律
第十二章 电磁感应 电磁场
+ B
+ + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
LB
12 - 1 电磁感应定律
第十二章 电磁感应 电磁场
i
可见：1） i 与 i 反向。
ˆ n
B L
L
X
2）电动势分为两部分，一部分是由场变引 起的，一部分由导线运动所引起的。
i k
dΦ dt
国际单位制
i
Φ
伏特 韦伯
k 1
第十二章 电磁感应 电磁场 12 - 1 电磁感应定律 说明（1） “一”表示εi的方向，是楞次定律 的数学表述。
如何确定感应电动势的方向？ 选定回路的绕行方向 定回路的法线方向，与绕行方向成右手螺旋
判定 m以及
i
d m dt
截面积 S 0.5mm N 10 n 10转 / 秒
' 2
＝ .7 10 （ m） 1
8
L
a
求：1）由图示位置旋转300时， 线圈内的感应电动势
n
2）线圈转动时的最大感应电动势及该时位置 3）由图示位置转1秒时，其内的感应电动势 4）转过1800时通过线圈任一截面的电量。
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件 第12章 电磁感应与电磁场
1 2
B(
R12
R22 )
B
. .i b
边缘的电势高 于转轴的电势。
27
大学物理 第三次修订本
第12章 电磁感应与电磁场
例4 金属杆以速度 v→ 平行于长直导线移动。 求: 杆中的感应电流多大?
哪端电势高？
解: 建立如图的坐标系, 取积 分元 dx , 由安培环路定理知
v→ dx
在dx 处的磁感应强度为
判定 Ek的方向
B B 0
B
t
Ev
Ev
B 0
t
注意是Ev与
B
/
BS 0nIS
30
大学物理 第三次修订本
第12章 电磁感应与电磁场
若螺线管内的电流发生变化
l 中产生感生电动势
i
dΦ dt
0nS
dI dt
dI
G I dt
dI I
dt
B
S
l
若闭合线圈 l 的电阻为R, 感应电流
I i
R
31
大学物理 第三次修订本
第12章 电磁感应与电磁场
问题:
线圈 l 中的自由电荷是在什么力的驱动下运动？ 不是电场力：
一、动生电动势
平动衡生EF时电kim动FFOmO(势PmPe(eE的v)kv非FvedB静lBB)电 edEl场k 来源×××××i：FF洛em×××××L伦P(+O-v-+兹- ×××××力Bv)×××××dBl
L
设杆长为L, 则 i 0 vBdl vBL
i方向?
22
大学物理 第三次修订本
第12章 电磁感应与电磁场
第12章 电磁感应与电磁场
建于波多黎各的直径达305 m的射电望远镜
大学物理普通物理学简明教程第十二章电磁感应电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场问题12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下,ABCD 上的感应电动势的方向：1矩形线圈在纸面内向右移动；2矩形线圈绕AD 轴旋转；3矩形线圈以直导线为轴旋转.解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向里,并且由2IB rμ0=π可知,离导线越远的区域磁感强度越小,即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化,从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定．1线圈向右移动,通过矩形线圈的磁通量减少,由楞次定律可知,线圈中感应电动势的方向为顺时针方向．2线圈绕AD 轴旋转,当从0到90时,通过线圈的磁通量减小,感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时,通过线圈的磁通量增大,感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时,通过线圈的磁通量减少,感应电动势的方向为顺时针．从270到360时,通过线圈的磁通量增大,感应电动势的方向为逆时针方向.2由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性,所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时,通过线圈的磁通量并没有发生变化,所以,感应电动势为零.12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中,穿过铜环的磁通量增加,铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环,由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷,所以环中无感应电流和感应电场产生.12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动,试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势其方向怎样设磁感强度的方向铅直向下．１铜棒向右平移图(a)；２铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动图(b)；３铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动图(c)．CI解 在磁场中运动的导体所产生的感应电动势为()d Lε=⨯⎰v B l ⋅,在图(a)与(c)中的运动情况中,⨯v B 的方向与d l 方向垂直,铜棒中没有感应电动势．在图(b)中,铜棒绕中心轴运动,左右两段产生的感应电动势大小相等,方向相反,所以铜棒中总的感应电动势为零．12-4 有一面积为S 的导电回路,其n e 的方向与均匀磁场的B 的方向之间的夹角为θ．且B 的值随时间变化率为d d B t .试问角θ为何值时,回路中i ε的值最大；角θ为何值时,回路中i ε的值最小 请解释之．解 由i d d d cos S S dt dtεθ=--⎰B B S =⋅,可得当0θ=时,回路中i ε的值最大,当90θ=时,回路中i ε的值最小.12-5 有人认为可以采用下述方法来测量炮弹的速度．在炮弹的尖端插一根细小的永久磁铁,那么,当炮弹在飞行中连续通过相距为r 的两个线圈后,由于电磁感应,线圈中会产生时间间隔为t ∆的两个电流脉冲．您能据此测出炮弹速度的值吗 如0.1m r =,4=210s t -∆⨯,炮弹的速度为多少解 带有小磁铁的炮弹飞向线圈,线圈中会产生感应电流, 测得的两个电流脉冲产生的时间间隔即炮弹飞过这两个线圈间距所用的时间. 由题意可知, 炮弹的速度为1500m s rv t-==⋅∆12-6 如图所示,在两磁极之间放置一圆形的线圈,线圈的平面与磁场垂直.问在下述各种情况中,线圈中是否产生感应电流 并指出其方向．１把线圈拉扁时；２把其中一个磁极B B B (a)(b)(c)ne Bθ很快地移去时；３把两个磁极慢慢地同时移去时．解 这三种情况中, 通过的磁通量均减小,线圈中均会产生感应电流, 从上往下看, 感应电流的方向沿顺时针方向.12-7 如图所示,均匀磁场被限制在半径为R 的圆柱体内,且其中磁感强度随时间的变化率d d B t =常量,试问: 在回路1L 和2L 上各点的d d B t 是否均为零 各点的k E 是否均为零1k d L ⋅⎰E l 和2k d L ⋅⎰E l 各为多少解 由于磁场只存在于圆柱体内,在回路1L 上各点d d B t 为常量,在回路2L 上各点d d B t 为零.空间中各点的感生电场分布为r R < k d 2d r BE t=r R > 2k d 2d R BE r t=可见在回路1L 和2L 上各点的k E 均不为零.对于在回路1L11k d d d d d d L L S S t t ⋅=-=-⎰⎰B B E l S ⋅ 对于回路2L 22k d d 0d L tΦ⋅=-=⎰E l12-8 一根很长的铜管铅直放置,有一根磁棒由管中铅直下落．试述磁棒的运动情况．解 长直铜管可以看作由许多铜线圈组成,当磁棒下落,每通过一个线圈,线圈中的磁通量都会发生变化,在下落过程中,铜管中始终会有感应电流产生,并且感应电流产生的磁场的方向与磁棒磁场方向相反,因此,磁棒始终受到铜管对它的阻碍作用.12-9 有一些矿石具有导电性,在地质勘探中常利用导电矿石产生的涡电流来发现它,这叫电磁勘探．在示意图中,A 为通有高频电流的初级线圈,Ｂ为次级线圈,R2L 1L并连接电流计Ｇ,从次级线圈中的电流变化可检测磁场的变化．当次级线圈Ｂ检测到其中磁场发生变化时,技术人员就认为在附近有导电矿石存在．你能说明其道理吗利用问题12-9图相似的装置,还可确定地下金属管线和电缆的位置,你能提供一个设想方案吗解 该检测方法利用的原理是电磁感应;通有高频电流的初级线圈A 产生的交变磁场在导电矿石内产生涡电流,由涡电流产生的变化磁场,使其附近的次极线圈中B 产生感应电流,引起电流计Ｇ中指针偏转;在探测中要使初、次级线圈的相对位置不变,以保证次级线圈B 中感应电流的变化由导电矿石中涡电流产生的磁场引起;要确定地下金属管线和电缆的位置,可以将通有高频电流的初级线圈A 和接有电流计的次级线圈Ｂ组成一个探测仪,使探测仪沿地面运动;当靠近金属管线时,管线中由于初级线圈的作用会产生感应电流,同时使得线圈B 中产生感应电动势,电流计指针发生偏转,当电流计指针变化最大时,可以判断出管线在探测仪正下方.12-10 如图所示,一个铝质圆盘可以绕固定轴OO 转动．为了使圆盘在力矩作用下作匀速转动,常在圆盘的边缘处放一永久磁铁．圆盘受到力矩作用后先作加速运动,当角速度增加到一定值时,就不再增加,试说明其作用原理．解 我们可以把铝质圆盘看作许多根从盘中心到边缘的铝棒,当圆盘绕轴转动时,通过磁场的铝棒切割磁力线,铝棒中产生感应电动势,其方向由盘心指向边缘,同时在盘内闭合回路中产生感应电流,圆盘受到与外力矩相反的安培力力矩的作用.最初,外力矩大于安培力矩,圆盘做加速运动,角速度增大,同时安培力矩增大,导致圆盘加速度减小,当安培力力矩等于外力矩时,圆盘角加速度等于零,角速度增加到最大,安培力矩不再增加,圆盘匀速转动.12-11 如图所示,设有一导体薄片位于与磁感强度B 垂直的平面上．１如果B 突然改变,则在点P 附近B 的改变可不可以立即检查出来为什么２若导体薄片的电阻率为零,这个改变在点P 是始终检查不出来的,为什么若导体薄片是由低电阻的材料做成的,则在点P 几乎检查不出导体薄片下侧磁场的变化,这种电阻率很小的导体能屏蔽磁场变化的现象叫做电磁屏蔽解 1不能立即检测出来．电磁场改变,在导体薄片内产生涡电流,会有电磁场产生,而电磁场在导体中衰减很快,不能通过导体,即大部分电磁场都会被导体屏蔽掉,所以对于导体一边电磁场的突变,在导体另外一边不能立即检测出来.2导体电阻率越小,即电导率越高,电磁场在其中的衰减越快,导体电磁屏蔽的效果越显著,当导体薄片的电阻率为零时,电磁场能被完全屏蔽,因此,导体一边电磁场突变,在导体另外一边始终检测不出来.BP12-12 如果要设计一个自感较大的线圈,应该从哪些方面去考虑解线圈的自感只与线圈匝数、线圈大小和线圈中磁介质有关,要设计自感较大的线圈,需要用较细的导线绕制,以增加单位长度内的匝数,并选取较大磁导率的磁介质防于线圈内．12-13有的电阻元件是用电阻丝绕成的,为了使它只有电阻而没有自感,常用双绕法如图.试说明为什么要这样绕.解将电阻丝双绕成一组线圈,当通入电流,相邻两根线圈中的电流流向相反,它们产生的磁场方向相反,通过回路线圈中总的磁通量为零,因此没有自感.12-14有两个线圈,长度相同,半径接近相等,试指出在下列三种情况下,哪一种情况的互感最大哪一种情况的互感最小1两个线圈靠得很近,轴线在同一直线上；2两个线圈相互垂直,也是靠得很近；3一个线圈套在另一个线圈的外面.解互感的大小表示了两线圈的耦合程度,两线圈的互感除了跟线圈大小,形状、匝数有关,还与它们的相互位置有关. 若一线圈中电流所产生的磁场贯穿另一个线圈的部分越大,它们之间的互感越大. 在本题所述的三种情况中,第三种情况的互感最大,第二种情况中的互感最小.12-15试从以下三个方面来比较静电场和有旋电场：1产生的原因；2电场线的分布；3对导体中电荷的作用.解1静电场是由空间中的静止电荷所激发的,有旋电场是由变化的磁场产生的；2静电场中电场线是有源场,始于正电荷,终止于负电荷；有旋电场的电场线是闭合的；3它们对导体中的电荷都有作用力,但有旋电场对电荷的作用力不是库仑力,它对电荷作用促使电荷积累,形成电势差.12-16变化电场所产生的磁场,是否也一定随时间发生变化磁场所产生电场,是否也一定随时间发生变化解不一定．当电场随时间变化恒定时,它所产生的磁场恒定；当磁场随时间变化恒定时,它所产生的电场也是恒定的．习题12-1一铁心上绕有线圈100匝,已知铁心中磁通量与时间的关系为5sin100t Φ=-8.0⨯10π,式中Φ的单位为Wb ,t 的单位为s .求在21.010st -=⨯时,线圈中的感应电动势.解 线圈中总的感应电动势为 ()()1d 2.51V cos 100s d N t tΦε-=-=π 在21.010s t -=⨯时,()()12.51V cos 100s 2.51V t ε-=π=12-2 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆. 使这根半圆形导线在磁感强度为B 的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R ,求感应电流的表达式和最大值.解 由于导线的转动,通过面积为212S r =π的半圆形导线的磁通量发生改变,导线中会产生动生电动势．取初始时刻0t =时,导线平面的法线与磁场的夹角0θ=. 经过时间t 导线平面转过的角度为2f t θ=π 所以穿过回路的磁通量随时间的变化式为 ()21cos cos 22t BS r B f t Φθ==ππ 由法拉第电磁感应定律可知,回路中感应电动势为 22d sin 2d r f B f t tΦε=-=ππ 回路中感应电流为22sin 2r f BI f t Rπ=π 感应电流的最大值为 22max r f B I Rπ=12-3 有一测量磁感强度的线圈,其截面积24.0cm S =,匝数160N =匝,电阻50R =Ω.线圈与一内阻30i R =Ω的冲击电流计相连.若开始时线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直,然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行.此时从冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=⨯.问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少解 线圈平面转动前后,通过线圈的磁链变化为21NBS ψψψ∆=-=此过程中流过导体截面的电量为 ()i i NBSq I t t R R tR R ψ∆=∆=∆=+∆+由上式可知,磁感强度为 ()i 0.05T q R R B NS+==12-4 如图所示,一长直导线中通有 5.0A I =的电流,在距导线9.0cm 处,放一面积为20.10cm ,10匝的小圆线圈,线圈中的磁场可看作是均匀的.今在21.010s -⨯内把此线圈移至距长直导线10.0cm 处.求:1线圈中平均感应电动势；2设线圈的电阻为21.010-⨯Ω,求通过线圈横截面的感应电荷．解 带电直导线激发的磁场为非均匀磁场,由于线圈面积较小,我们可以认为穿过线圈的磁场为均匀磁场.当线圈在19.0cm r =、210.0cm r =处,通过线圈平面的磁链分别为01112N IS NB S r μψ==π 02222N ISNB S r μψ==π 所以线圈中平均感应电动势为 80212111 1.1110V 2N IS tt r r μψψε-⎛⎫-==-=⨯ ⎪∆π∆⎝⎭I2通过线圈横截面的感应电荷为8211.1110C q Rψψ--==⨯12-5 如图所示,把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中,当导线OP 以匀速率v 向右移动时,求导线中感应电动势的大小．哪一端电势较高解 如图所示,连接导线OP 两端,使导线构成一闭合回路,此闭合回路由直导线OP 、半圆形导线OAP 组成,由于磁场分布均匀,所以此闭合回路中的感应电动势为零,0ε=.所以半圆形导线中的感应电动势的大小与直导线OP 中的感应电动势大小相等,即 2OAP OP BRv εε=-= 由⨯v B 可知, P 端电势较高.12-6 长度为L 的铜棒,以距端点r 处为支点,并以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动．设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行,求棒两端的电势差.解 以支点为原点O ,在棒上距原点l 处取一小段线元d l , 其速度为v ,则它产生的电动势为d ()d ε=⨯v B l ⋅ 将上式积分可得1d (2)2L rAB rB l l BL L r εωω--=-=--⎰12-7 如图所示,长度为L 的导体棒OP ,处于均匀磁场中,并绕OO '轴以角速度ω旋转,棒与转轴夹角恒为θ,磁感强度B 与转轴平行. 求OP 棒在图示位置处的电动势.解 如图,在棒上距O 点为l 处取一小段线元d l ,其速度为sin v l ωθ=,所以导体棒产生的电动势为 d OP OPε=⨯⎰v B l ⋅B R O P AvA vsin cos(90)d Ll B l εωθθ=-⎰21(sin )2B L ωθ=12-8 如图所示,金属杆AB 以匀速率12.0m s v -=⋅平行于一长直导线移动,此导线通有电流40A I =．问：此杆中的电动势为多大杆的哪一端电动势较高解 如图所示,建立坐标系,在x 处取一小段线元d x ,此处的磁感强度为 2I B xμ0=π所以,杆中电动势为1.0m50.1md d 3.8410V 2AB ABIvx xμε-0=⨯-=-⨯π⎰⎰v B x =⋅电动势方向由B 指向A ,A 端电动势较高．12-9 如图所示,在一“无限长”直载流导线的近旁放置一个矩形导体线框．该线框在垂直于导线方向以匀速率v 向右移动．求在图示位置处线框中的感应电动势的大小和方向．解 矩形线框中的感应电动势为各边框导线产生的感应电动势之和．由ld ε=⨯⎰v B l ⋅可知,矩形线框中AB 、CD 与导线垂直,它们产生的感应电动势为零,所以线框的电动势为DA 、BC 两边所产生的电动势之和．在图示位置处,导线DA 、BC 中产生的感应电动势分别为222DA Il vBl v dμε0==πIIxv()212BC Il vd l με0=-π+这两边导线中电动势方向相反,此时线框中总的感应电动势为 ()1212DA BC Il l vd d l μεεε0=-=π+其方向为顺时针．12-10 如图所示,一长为l 、质量为m 的导体棒CD ,其电阻为R ,沿两条平行的导电轨道无摩擦的滑下,导轨的电阻可不计,导轨与导体构成一闭合回路．导轨所在的平面与水平面成θ角,整个装置放在均匀磁场中,磁感强度B 的方向为铅直向上．求：1导体在下滑时速度随时间的变化规律；2导体棒CD 的最大速度m v ． 解 1导体在重力的作用下,沿轨道下滑,回路中磁通量发生变化,导体中有感应电动势产生,其大小为cos Blv εθ=,导体中有感应电流通过,从而受到水平向左的安培力作用,最初,导体棒的速度较小,导体沿轨道加速运动,速度增大,同时安培力也增大,当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时,导体加速度为零,速度达到最大值．导体达到最大速度由安培定律可得,导体受到的安培力大小为22cos B l v F IBl Bl R Rεθ===所以导体下滑的动力学方程为d sin cos d vmg F m tθθ-= 由上两式可得222d d cos sin vt B l v g mRθθ=-将上式积分可得t 时刻导体棒的速度为N F222cos 222sin 1cos B l tmR mgR v e B l θθθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭- 2由上问中分析可知,当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时,导体加速度为零,速度达到最大值,即222max cos sin B l v mg Rθθ= max 222sin cos mgR v B l θθ=另外,由上问中速度与时间的关系可知,当t →∞,222cos 0B l tmRe θ→-速度达到最大 max 222sin cos mgR v B l θθ=12-11 有一磁感强度为B 的均匀磁场,以恒定的变化率d d Bt在变化．把一块质量为m 的铜拉成截面半径为r 的导线,并用它做成半径为R 的圆形回路,圆形回路的平面与磁感强度B 垂直．试证：这回路中的感应电流为 d 4d m BI d tρ=π式中ρ为铜的电阻率,d 为铜的密度．证明 由电磁感应定律可知,圆形回路中的感应电动势为 2d d d d R t t ΦBε==π 又圆形回路总电阻为22l R R R S r rρρρ2π2'===π 所以回路中的感应电流为2d 2d Rr B I R tερπ==' 又由导体总的质量222m dV r Rd ==π可知22mRr dπ=π,代入上式可得 d 4d m BI d tρ=π12-12 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场,B 的方向与圆柱轴线平行．如图所示有一长为l 的金属棒放在磁场中,设B 随时间的变化率d d Bt为常量．试证棒上的感应电动势的大小为ε=证明 变化的磁场会产生感生电场k E ,感生电场的方向与d d t-B遵从右手螺旋定则．如图,连接OA ,OB ,使OAB 成为一闭合回路,回路中的感应电动势大小为为 k k k k d d d d d d OABOABOOAABBOtΦε=⋅=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰E l E l E l E l 又OA ,OB 沿半径方向,与感生电场k E 垂直,所以OA ,OB 中感应电动势为零,所以AB 段,即金属棒上的感应电动势的大小为k d d d d d OAB OAB ABBS t tΦε=⋅==⎰E l=12-13 一半径为R ,电阻率为ρ的金属薄圆盘放在磁场中,B 的方向与盘面垂直,B 的值为()0tB t B τ=,式中0B 和τ为常量,t 为时间．1求盘中产生的涡电流的电流密度；2若0.20m R =,86.010m ρ-=⨯Ω⋅,0 2.2T B =,18.0s τ=,计算圆盘边缘处的电流密度．解 1变化的磁场会产生感生电场,从而在金属薄圆盘中产生涡电流．取圆盘中心为O ,圆盘上的感生电场线为一组以O 为圆心的同心圆,各点场强方向沿切线方向,圆盘上半径为r 的点感生电场强度大小为0d 2d 2rB r B E t τ==,该点电流密度大小为B2B Ej r ρρτ==其方向与该点电场强度的方向一致．2在边缘处,即0.20m r R ==处的电流密度为5202.0410A m 2B j R ρτ-==⨯⋅12-14 截面积为长方形的环形均匀密螺绕环,其尺寸如图所示,共有N 匝图中仅画出少量几匝,求该螺绕环的自感L ．解 设螺绕环中线圈电流为I ,以螺绕环中心为圆点O ,取半径为r 12()R r R <<的圆形回路,由安培定律可得,12R r R <<区域内的磁感强度为 02NI B rμ=π穿过螺绕环上线圈中总的磁链为 212001d d d 22R SSR NIN IhNN S r rrμμψ===ππ⎰⎰⎰B S ⋅ 2021ln2N IhR R μ=π螺绕环的自感为2021ln 2N h R L I R μψ==π12-15 如图所示,螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体,其截面积分别为1S 和2S ,磁导率分别为1μ和2μ,管长为l ,匝数为N ,求螺线管的自感设管的截面很小．解 设螺线管中线圈电流为I 由于螺线管截面很小,我们可以利用NB nI I lμμ==来求管内的磁感强度,其中μ为管内介质磁导率．本题中螺线管内由两种不同的介质填充,通过22,S N磁导率分别为1μ、2μ的介质截面的磁感强度分别为 11N B I l μ= 22N B I lμ= 则通过螺线管截面的总的磁链为()21211221122N INB S NB S S S lψψψμμ=+=+=+螺线管的自感为()21122N L S S I lψμμ==+12-16 有两根半径均为a 的平行长直导线,它们中心距离为d ．试求长为l 的一对导线的自感导线内部的磁通量可略去不计．解 长为l 、相距为d 的两平行直导线可以看作无限长、宽为d 的矩形回路的一部分,设回路中通有顺时针电流I ．如图所示,建立坐标轴Ox ,则在两平行导线间的磁感强度为 ()0022IIB xd x μμ=+ππ-则通过两导线之间的矩形宽为d 、长为l 面积的磁通量为0d d lnd aSaIld aBl x aμΦ--===π⎰⎰B S ⋅ 所以长为l 的两平行导线的自感为0lnld aL IaμΦ-==π12-17 如图所示,在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A B '',每个线圈的自感均为L ,求：1A 和A '相接时,B 和B '间的自感1L ,2A '和B 相接时,A 和B '间的自感2L ．解 1设当只有一组线圈中通有电流I 时,它穿过自身线圈回路的磁通量为LI Φ=；则当两组线圈中都通有相同的电流时,穿过两组线圈回路中总的磁通量为4Φ．当A 和A '相接,线圈AB 和A B ''中的电流方向相反,dOxl l通过线圈的磁通量也相反,总的磁通量为1Φ=0,所以B 和B '间的自感10L =.2A '和B 相接时,线圈AB 和A B ''中的电流方向相同,通过两线圈总的磁通量为2ΦΦ=4,所以A 和B '间的自感24L L IΦ4==．12-18 如图所示,一面积为24.0cm 共50匝的小圆形线圈Ａ,放在半径为20cm 共100匝的大圆形线圈Ｂ的正中央,此两线圈同心且同平面．设线圈Ａ内各点的磁感强度可看作是相同的．求：1两线圈的互感；2当线圈Ｂ中的电流的变化率为150A s --⋅时,线圈Ａ中感应电动势的大小和方向．解 1设线圈Ｂ中通有电流I ,则它在中心处的磁感强度为0B2IB N Rμ=,则通过小线圈的磁链为0B 2A A A A A IN BS N N S Rμψ==则两线圈的互感为60B6.2810H 2AA A M N N S IRμψ-===⨯2当线圈Ｂ中的电流的变化率为150A s --⋅时,1d 50A s d It-=-⋅,则线圈Ａ中的感应电动势为4d 3.1410V d A IMtε-=-=⨯ 其方向与线圈Ｂ中的电流方向相同．12-19 如图所示,两同轴单匝圆线圈Ａ、Ｃ的半径分别为R 和r ,两线圈相距为d ,若r 很小,可认为线圈Ａ在线圈Ｃ处产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈Ｃ的匝数为N 匝,则互感又为多少解 设线圈Ａ中通有电流I ,它在线圈Ｃ处产生的磁感强度为()2032222IR B R dμ=+则穿过线圈Ｃ中的磁链为()22032222C C IR r BS R dμψπ==+所以两线圈的互感为()22032222CR r M IR dψμπ==+12-20 一半径为R 的圆形回路与一无限长直导线共面,圆心到长直导线间的距离为d ,求它们之间的互感．解 如图所示,以取圆形回路中心为原点O ,建立坐标轴Oxy ．设长直导线中通有电流I ,它在线圈平面内的磁感强度为()02IB d x μ=π+在圆形回路上取平行于长直导线、宽为d x 的面元d S ,d 2sin d S R x θ=,则穿过此面元的磁通量为()0d 2sin d 2IR x d x μΦθ=π+又cos x R θ=,代入上式有 220d cos d cos I d R d R d R μΦθθθ⎛⎫-=-+ ⎪π+⎝⎭将上式积分可得2200cos d cos Id R d R d R μΦθθθπ⎛⎫-=-+ ⎪π+⎝⎭⎰(0I d μ=所以,导线与圆形线圈之间的互感为(0M d IΦμ==I12-21 一个直径为0.01m ,长为0.10m 的长直密绕螺线管,共1000匝线圈,总电阻为7.76Ω．求：1如把线圈接到电动势 2.0V ε=的电池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少磁能密度是多少2从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半,需经过多少时间解 1密绕螺线管的自感为20N SL lμ=,当接上电动势 2.0V ε=的电池后,线圈中的电流为I Rε=,则线圈中所储存的磁能为22250m 21W 3.2810J 22N S LI lRμε-===⨯ 螺线管内磁能密度为3mm W 4.17J m Sl-==⋅w2线圈接上电池ε后,线圈内的电流变化规律为1R t LI e R ε-⎛⎫=- ⎪⎝⎭当电流稳定后可达最大值m I Rε=,设线圈储存磁能为最大储存磁能的一半时,电流为I ,则有22m 111222LI LI =⋅,此时2m I I =,将其代入电流变化规律式可得此时经过的时间为4ln(1 1.5610s 2L t R -=--=⨯12-22 一无限长直导线,截面各处的电流密度相等,总电流为I ,试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为216Iμπ．解 设导体半径为R ,则在导体内部磁感强度为 022Ir B Rμ=π因此导体内部的磁能密度为22B μ=w m 则单位长度导线内所贮藏的磁能为2200m m 201W d 2d 2216RV Ir I V r r R μμμ⎛⎫==π= ⎪ππ⎝⎭⎰⎰w12-23 在真空中,若一均匀电场中的电场能量密度与一0.50T 的均匀磁场中的能量密度相等,该电场的电场强度为多少解 0.50T 的均匀磁场中的能量密度为22B μ=w m 设均匀电场中电场强度为E ,则其中电场能量密度为 2012E ε=w e 由题可知 =w w m e 则电场强度为811.5110V m E -==⨯⋅。
大学物理答案第12章
第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波12－1 一根无限长平行直导线载有电流I ，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图所示），则（ ） （A ） 线圈中无感应电流（B ） 线圈中感应电流为顺时针方向 （C ） 线圈中感应电流为逆时针方向 （D ） 线圈中感应电流方向无法确定题 12-1 图分析与解 由右手定则可以判断，在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里，磁场是非均匀场，距离长直载流导线越远，磁场越弱．因而当矩形线圈朝下运动时，在线圈中产生感应电流，感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定．因而正确答案为（B ）．12－2 将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（ ） （A ） 铜环中有感应电流，木环中无感应电流 （B ） 铜环中有感应电流，木环中有感应电流 （C ） 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 （D ） 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大分析与解 根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等， 但在木环中不会形成电流．因而正确答案为（A ）．12－3 有两个线圈，线圈1对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且ti t i d d d d 21<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）． （A ）2112M M = ，1221εε=（B ）2112M M ≠ ，1221εε≠ （C ）2112M M =， 1221εε<（D ）2112M M = ，1221εε<分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 12121=；tiM εd d 21212=．因而正确答案为（D ）．12－4 对位移电流，下述说法正确的是（ ） （A ） 位移电流的实质是变化的电场（B ） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 （C ） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律 （D ） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理分析与解 位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A ）．12－5 下列概念正确的是（ ） （A ） 感应电场是保守场（B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线（C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B ）．12－6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为t Φπ100sin 100.85⨯=，式中Φ的单位为Wb ，t 的单位为s ，求在s 100.12-⨯=t 时，线圈中的感应电动势．分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成tψt ΦN ξd d d d -=-=，其中ΦN ψ=称为磁链．解 线圈中总的感应电动势())V (π100cos 51.2d d t tΦN=-=ξ 当s 100.12-⨯=t 时，V 51.2=ξ．12－7 载流长直导线中的电流以tId d 的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势. 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律tΦd d -=ξ，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用⎰⋅=SS B Φd 来计算.为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关，即B =B (x )，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x ，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元d S =d x d y ，则上述积分实际上为二重积分）.本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式tIM d d -=ξ求解.解1 穿过面元d S 的磁通量为x d xIS B Φd π2d d 0μ=⋅=因此穿过线圈的磁通量为2ln π2d π2d 200⎰⎰===ddIdx xIdΦΦμμ再由法拉第电磁感应定律，有tI d t Φd d 21ln π2d d 0）（μξ=-=解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为2ln π20dIΦμ=线圈与两长直导线间的互感为2ln π20d I ΦM μ==当电流以tId d 变化时，线圈中的互感电动势为 tI d t I Md d 21ln π2d d 0）（μξ=-=题 12-7 图12－8 有一测量磁感强度的线圈，其截面积S ＝4.0 cm 2 、匝数N ＝160 匝、电阻R ＝50Ω．线圈与一内阻R i ＝30Ω的冲击电流计相连．若开始时，线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直，然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行．此时从冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=⨯．问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少？分析 在电磁感应现象中，闭合回路中的感应电动势和感应电流与磁通量变化的快慢有关，而在一段时间内，通过导体截面的感应电量只与磁通量变化的大小有关，与磁通量变化的快慢无关．工程中常通过感应电量的测定来确定磁场的强弱． 解 在线圈转过90°角时，通过线圈平面磁通量的变化量为NBS NBS ΦΦΦ=-=-=0Δ12因此，流过导体截面的电量为i i R R NBS R R Φq +=+=Δ则 ()T 050.0=+=NSR R q B i 12－9 如图所示，一长直导线中通有I ＝5.0 A 的电流，在距导线9.0 cm 处，放一面积为0.10 cm 2 ，10匝的小圆线圈，线圈中的磁场可看作是均匀的．今在1.0 ×10－2s 内把此线圈移至距长直导线10.0 cm 处．求：（1） 线圈中平均感应电动势；（2） 设线圈的电阻为1.0×10－2Ω，求通过线圈横截面的感应电荷．题 12-9 图分析 虽然线圈处于非均匀磁场中，但由于线圈的面积很小，可近似认为穿过线圈平面的磁场是均匀的，因而可近似用NBS ψ=来计算线圈在始、末两个位置的磁链．解 （1） 在始、末状态，通过线圈的磁链分别为1011π2r ISμN S NB ψ==,2022π2r IS μN S NB ψ==则线圈中的平均感应电动势为V 1011.111πΔ2ΔΔ8210-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==r r t IS N t μψξ 电动势的指向为顺时针方向．（2） 通过线圈导线横截面的感应电荷为C 101.11821-⨯=∆=-=t RR q ξψψ12－10 如图（ａ）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高？题 12-10 图分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由tΦE d d -=求解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式()l B d ⋅⨯=⎰lE v 求解．在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元ｄl 上的动生电动势()l B d d ⋅⨯=v E .在一般情况下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函数．矢量（v ×B ）的方向就是导线中电势升高的方向．解1 如图（ｂ）所示，假想半圆形导线O P 在宽为2R 的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或 端点P 距 形导轨左侧距离为x ，则B R Rx Φ⎪⎭⎫⎝⎛+=2π212即B R tx RB t ΦE v 2d d 2d d -=-=-= 由于静止的 形导轨上的电动势为零，则E ＝－2R v B ．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段来说端点P 的电势较高．解2 建立如图（c ）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元ｄl ，则()θR θB l θB E o d cos d cos 90sin d d v v ==⋅⨯=l B vB R θθBR E v v 2d cos d E π/2π/2===⎰⎰-由矢量（v ×B ）的指向可知，端点P 的电势较高．解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量==BS Φ常数.由法拉第电磁感应定律tΦE d d -=可知，E ＝0又因 E ＝E OP ＋E PO 即 E OP ＝－E PO ＝2R v B由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法．12－11 长为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．题 12-11 图分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是O A 棒与O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而E O A 和E O B 则可以直接利用第12－2 节例1 给出的结果．解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl ，则()()r L lB ωl lB ωE L-rrABAB 221d d --=-=⋅⨯=⎰⎰-l B v因此棒两端的电势差为()r L lB ωE U AB AB 221--==当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高解2 将AB 棒上的电动势看作是O A 棒和O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中221r ωB E OA =,()221r L B ωE OB -= 则()r L BL ωE E E OB OA AB 221--=-=12－12 如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO ′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．题 12-12 图分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律tΦE d d -= 计算（此时必须构造一个包含OP 导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO ），也可用()l B d ⋅⨯=⎰lE v 来计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．解1 由上分析，得()l B d ⋅⨯=⎰OPOP E vl αB lo d cos 90sin ⎰=v()()l θB θωlod 90cos sin ⎰-=l()⎰==L L B l l B 022sin 21d sin θωθω由矢量B ⨯v 的方向可知端点P 的电势较高．解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势QO PQ OP E E E tΦE ++==-=0d d 显然，E QO ＝0，所以()221PQ B ωE E E QO PQ OP ==-=2)sin (21θωL B = 由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效． 12－13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速12.0m s -=⋅v 平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40 A ．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？题 12-13 图分析 本题可用两种方法求解． 方法1：用公式()l B d ⋅⨯=⎰lE v 求解，建立图（a ）所示的坐标系，所取导体元x l d d =，该处的磁感强度xIμB π20=． 方法2：用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB 在一个静止的导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t ，杆AB 距导轨下端CD 的距离为y ，先用公式⎰⋅=SΦS B d 求得穿过该回路的磁通量，再代入公式tΦE d d -=，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动势．解1 根据分析，杆中的感应电动势为()V 1084.311ln 2πd 2πd d 50m1.1m 1.00-⨯-=-=-==⋅⨯=⎰⎰vv v I μx x μxl E ABAB l B 式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高．解2 设顺时针方向为回路AB CD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx 、长为y 的面元ｄS ，则穿过面元的磁通量为x y xIμΦd 2πd d 0=⋅=S B 穿过回路的磁通量为11ln 2πd 2πd 0m1.1m 1.00⎰⎰-===SIyμx y x I μΦΦ回路的电动势为V 1084.32πd d 11ln 2πd d 500-⨯-=-=-=-=Iyμt y x I μt ΦE 由于静止的导轨上电动势为零，所以V 1084.35-⨯-==E E AB式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A ，故点A 电势较高．12－14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．题 12 -14 图分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：（1）当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足()0l B =⋅⨯d v ］，因而线框中的总电动势为()()()()hg ef hgefghefE E E -=⋅⨯-⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=⎰⎰⎰⎰l B l B l B l B d d d d v v v v 其等效电路如图（ｂ）所示．（2）用公式tΦE d d -=求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设时刻t 时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c ）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有v =tξd d ．在求得线框在任意位置处的电动势E （ξ）后，再令ξ＝d ，即可得线框在题目所给位置处的电动势．解1 根据分析，线框中的电动势为hg ef E E E -=()()⎰⎰⋅⨯-⋅⨯=hgefl B l B d d v v()⎰⎰+-=2201000d 2πd 2πl l l l d I μl d I μvv ()1202πl d d l I +=1vl μ由E ef ＞E hg 可知，线框中的电动势方向为efgh ．解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为()ξξμξμ120020lnπ2d π21l Il x x Il l +=+=Φ⎰ 相应电动势为()()1120π2d d l ξξll I μt ΦξE +=-=v 令ξ＝d ，得线框在图示位置处的电动势为()1120π2l d d l l I μE +=v由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．12－15 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率tBd d 为常量．试证：棒上感应电动势的大小为2222d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=l R l t B ξ题 12-15 图分析 变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由⎰⋅=l k l E d ξ计算棒上感生电动势．此外，还可连接OP 、OQ ，设想PQOP 构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP 、OQ 沿半径方向，与通过该处的感生电场强度E k 处处垂直，故0d =⋅l E k ，OP 、OQ 两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ 上的电动势．证1 由电磁感应定律，在r ＜R 区域，⎰⎰⋅-=⋅=S B tl E k d d dd ξ tB r E r k d d ππ22-=⋅ 解得该区域内感生电场强度的大小tBr E k d d 2=设PQ 上线元ｄx 处，E k 的方向如图（b ）所示，则金属杆PQ 上的电动势为()()222202/2d d d 2/d d 2d cos d l R l t B x r l R tB r xE lk k PQ -=-==⋅=⎰⎰θξx E证2 由法拉第电磁感应定律，有22Δ22d d d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛-==-==l R l t B t B S t ΦE E PQ讨论 假如金属棒PQ 有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势？ 该如何求解？12－16 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L ．题 12-16 图分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式IΦL =计算L ．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动势E L ，由公式tI E L Ld /d =计算L ．式中E L 和t I d d 都较容易通过实验测定，所以此方法一般适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R 1 ＜r ＜R 2 范围内的磁场分布为xNI μB π20=由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为12200ln π2d π2d 21R R hI N μx h x NI μN N ψSR R ==⋅=⎰⎰S B 则1220ln π2R R h N μI ψL =若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr 倍．12－17 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1 和S 2 ，磁导率分别为μ1 和μ2 ，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感．（设管的截面很小）题 12-17 图分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B 0 ，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B 0 和μ2 B 0 ．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S 1 和S 2 的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．解 设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为I L N μnl μB 111==,I LN μnl μB 222== 通过N 匝回路的磁链为221121S NB S NB ΨΨΨ+=+=则自感2211221S μS μlN I ψL L L +==+=12－18 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d ．试求长为l 的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．题 12-18 图分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d 的矩形回路的一部分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I ，然后计算图中阴影部分（宽为d 、长为l ）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．解 在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间的磁感强度为()r d I μr I μB -+=π2π200 穿过图中阴影部分的磁通量为aa d l μr Bl ΦSad a-==⋅=⎰⎰-ln πd d 0S B 则长为l 的一对导线的自感为aad l μI ΦL -==ln π0 如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为212L L L +=．L 1 称为外自感，即本题已求出的L ，L 2 称为一根导线的内自感．长为l 的导线的内自感8π02lμL =，有兴趣的读者可自行求解．12－19 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A ′B ′，每个线圈的自感均为L ，求：（1） A 和A ′相接时，B 和B ′间的自感L 1 ；（2） A ′和B 相接时，A 和B ′间的自感L 2 ．题 12-19 图分析 无论线圈AB 和A ′B ′作哪种方式连接，均可看成一个大线圈回路的两个部分，故仍可从自感系数的定义出发求解．求解过程中可利用磁通量叠加的方法，如每一组载流线圈单独存在时穿过自身回路的磁通量为Φ，则穿过两线圈回路的磁通量为2Φ；而当两组线圈按（1）或（2）方式连接后，则穿过大线圈回路的总磁通量为2Φ±2Φ，“ ±”取决于电流在两组线圈中的流向是相同或是相反．解 （1） 当A 和A ′连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相反，通过回路的磁通量亦相反，故总通量为0221=-=ΦΦΦ，故L 1 ＝0．（2） 当A ′和B 连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相同，通过回路的磁通量亦相同，故总通量为ΦΦΦΦ4222=+=，故L IΦI ΦL 4422===． 本题结果在工程实际中有实用意义，如按题（1）方式连接，则可构造出一个无自感的线圈． 12－20 如图所示，一面积为4.0 cm 2 共50 匝的小圆形线圈A ，放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ－1时，线圈A 中感应电动势的大小和方向．题 12-20 图分析 设回路Ⅰ中通有电流I 1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M 21 ＝Φ21/I 1 ；也可设回路Ⅱ通有电流I 2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，则21212I ΦM M == ． 虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS ．反之，如设线圈A 通有电流I ，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径．解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度RIμN B B 200=,穿过小线圈A 的磁链近似为A BA A A A S RIμN N S B N ψ200== 则两线圈的互感为H 1028.6260-⨯===RSμN N I ψM A B A A （2）线圈A 中感应电动势的大小为V 1014.3d d 4-⨯=-=tIME A 互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同．12－21 如图所示，两同轴单匝线圈A 、C 的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d ．若r 很小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少？题 12-21 图解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁 感强度近似为()2/322202dR IR μB +=穿过线圈C 的磁通为()22/32220π2r dR IR μBS ψC +==则两线圈的互感为()2/3222202πdR R r μI ψM +== 若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍．12－22 如图所示，螺绕环A 中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0 cm 2 ，沿环每厘米绕有100 匝线圈，通有电流I 1 ＝4.0 ×10 －2A ，在环上再绕一线圈C ，共10 匝，其电阻为0.10 Ω，今将开关Ｓ 突然开启，测得线圈C 中的感应电荷为2.0 ×10 －3C ．求：当螺绕环中通有电流I 1 时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率μr ．题 12-22 图分析 本题与题12-8 相似，均是利用冲击电流计测量电磁感应现象中通过回路的电荷的方法来计算磁场的磁感强度．线圈C 的磁通变化是与环形螺线管中的电流变化相联系的． 解 当螺绕环中通以电流I 1 时，在环内产生的磁感强度110I n μμB r =则通过线圈C 的磁链为S I n μμN BS N ψr c 11022==设断开电源过程中，通过C 的感应电荷为q C ，则有()RSI n μμN ψR ψR qc r c c 110201Δ1=--=-= 由此得T 10.02110===SN Rq I n B Cr μμ 相对磁导率1991102==I n S N Rq Cr μμ12－23 一个直径为0.01 m ，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1 000 匝线圈，总电阻为7.76 Ω．求：（1） 如把线圈接到电动势E ＝2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：方法 1： 如回路自感为L （已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能221LI W m =，通常称为自感磁能． 方法 2： 由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即V w W Vm m d ⎰=，式中m w 为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空间．由于μB w m 22=，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分布．上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用V w LI V m d 212⎰=求解L ．解 （1） 密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感lSN L 20μ=，电流稳定后，线圈中电流REI =，则线圈中所储存的磁能为 J 1028.3221522202-⨯===lRSE N μLI W m 在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中，并为均匀磁场，故磁能密度m w 处处相等，3m J 17.4-⋅==SLW w mm （2） 自感为L ，电阻为R 的线圈接到电动势为E 的电源上，其电流变化规律⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t LR R E I e 1，当电流稳定后，其最大值R E I m = 按题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22212121m LI LI ，则R E I 22=，将其代入⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t LRR E I e 1中，得 ()s 1056.122ln 221ln 4-⨯=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=RL R L t12－24 未来可能会利用超导线圈中持续大电流建立的磁场来储存能量．要储存1 kW·h 的能量，利用1.0Ｔ的磁场，需要多大体积的磁场？ 若利用线圈中500 A 的电流储存上述能量，则该线圈的自感系数应该多大？解 由磁感强度与磁场能量间的关系可得302m 0.92/==μB W V m所需线圈的自感系数为H 2922==I W L m12－25 中子星表面的磁场估计为108Ｔ，该处的磁能密度有多大？解 由磁场能量密度21021098.32⨯==μB w m 3m /J12－26 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一 0.50Ｔ 的均匀磁场中的磁场能量密度相等，该电场的电场强度为多少？解 2021E εw e =,022μB w m =,按题意，当m e w w =时，0220221μB E ε=则1800m V 1051.1-⋅⨯==μεBE 12－27 设有半径R ＝0.20 m 的圆形平行板电容器，两板之间为真空，板间距离d ＝0.50 cm ，以恒定电流I ＝2.0 A 对电容器充电．求位移电流密度（忽略平板电容器的边缘效应，设电场是均匀的）．分析 尽管变化电场与传导电流二者形成的机理不同，但都能在空间激发磁场．从这个意义来说，变化电场可视为一种“广义电流”，即位移电流．在本题中，导线内存在着传导电流I c ，而在平行板电容器间存在着位移电流I d ，它们使电路中的电流连续，即c d I I =．解 忽略电容器的边缘效应，电容器内电场的空间分布是均匀的，因此板间位移电流2πd R j I d Sd d =⋅=⎰S j ，由此得位移电流密度的大小222m A 9.15ππ-⋅===R I R I j c d d。
九年级物理第十二章知识点
九年级物理第十二章知识点九年级物理第十二章主要讲述了电磁感应与电磁场方面的知识。
下面将为您详细介绍这些知识点。
1. 电磁感应电磁感应是指磁场中的磁通量变化会引起电场的感应，从而产生电动势和电流。
按照法拉第电磁感应定律，磁场的变化速率越大，感应电动势就越大。
电磁感应的应用包括电动机、发电机和变压器等。
2. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了电磁感应现象。
它的数学表示为：感应电动势E=-dΦ/dt，其中E表示感应电动势，Φ表示磁通量，t表示时间。
该定律说明了感应电动势的大小与磁通量变化速率成正比。
3. 感应电动势的方向根据楞次定律，感应电动势的方向与磁通量变化的方向相反，以阻止磁通量变化。
根据右手法则，当导体通过磁场运动时，电流的方向垂直于导体和磁场的平面。
4. 电磁感应实验电磁感应实验可以通过改变导体的运动状态或改变磁场的强度来观察感应电动势的产生。
常见的电磁感应实验包括导体在磁场中移动产生感应电动势、通过线圈的磁场变化产生感应电动势等。
5. 电磁场电磁场是指由电荷和电流所产生的电磁力作用所形成的电场和磁场。
电场和磁场是相互耦合的，互相转换。
6. 磁场的产生电流在导体中流动时会产生磁场。
根据奥姆定律，电流的大小和导线的长度、横截面积以及电阻的关系为I=U/R，其中I表示电流强度，U表示电压，R表示电阻。
7. 线圈的磁场当电流通过线圈时，线圈内会形成一个磁场。
线圈的磁场强度由电流强度、线圈的匝数和线圈的形状决定。
8. 磁感应强度磁感应强度是指单位面积上的磁力线数目，用字母B表示。
磁感应强度的单位是特斯拉(T)。
9. 磁感应强度的测量磁感应强度可以使用霍尔电平计进行测量。
霍尔电平计可以测量电流流经导体时产生的磁场强度。
10. 电磁感应的应用电磁感应在我们的生活中有很多应用。
例如，电动机、发电机、变压器等都是利用电磁感应原理工作的。
以上是关于九年级物理第十二章知识点的总结。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解电磁感应和电磁场的原理和应用。
12.5 麦克斯韦电磁场理论简介
12.5 麦克斯韦电磁场理论简介 麦克斯韦（1831－1879）英国物理学家 经典电磁理论的奠 基人， 气体动理论创始 人之一。 提出涡旋电场 和位移电流概念， 建立 了经典电磁理论，并预 言了以光速传播的电磁 波的存在。
大学物理 第三次修订本
1
第12章 电磁感应与电磁场
大学物理 第三次修订本
2
第12章 电磁感应与电磁场
问题的提出 在由电容器构成的放电回路中 由安培环路定理 S1
L
S2
R
H dl I
l
j dS
s
I
对曲面S1 对曲面S2
H dl I
l
H dl 0
l
矛 盾
在非稳恒电流的磁场中, 对同一环路积 分选取不同的曲面时，环流的值不同。
B
dΦe dt
A I
Φ e SD
S
d dt
4
大学物理 第三次修订本
第12章 电磁感应与电磁场
比较
jc
Ic S
d dt
d dt
dD dt
d dt
d D -
dΦe dt
S
d dt
I
+ + +j jc + D + c - dt
麦克斯韦引入位移电流 位移电流密度 位移电流强度
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3
第12章 电磁感应与电磁场
一、 位移电流 设电容器的面积为S, 传导电流为 d d dq Ic
S
dt
dt
jc
dD
dt
在电容器放电时, 极板 上的 面电荷密度 与电位移 矢量相等, 并随时间变化。
大学物理第十二章 习题答案
第十二章 电磁感应及电磁场基本方程12–1 如图12-1所示，矩形线圈abcd 左半边放在匀强磁场中，右半边在磁场外，当线圈以ab 边为轴向纸外转过60º过程中，线圈中 产生感应电流（填会与不会），原因是 。
解：线圈以ab 边为轴向纸外转过60º过程中，尽管穿过磁感应线的线圈面积发生了变化，但线圈在垂直于磁场方向的投影的面积并未发生变化，因而穿过整个线圈的磁通量并没有发生变化，所以线圈中不会产生感应电流。
因而应填“不会”；“通过线圈的磁通量没有发生变化”。
12–2 产生动生电动势的非静电力是 力，产生感生电动势的非静电力是 力。
解：洛仑兹力；涡旋电场力（变化磁场激发的电场的电场力）。
12–3 用绝缘导线绕一圆环，环内有一用同样材料导线折成的内接正方形线框，如图12-2所示，把它们放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，当匀强磁场均匀减弱时，圆环中与正方形线框中感应电流大小之比为___________。
解：设圆环的半径为a，圆环中的感应电动势1E 大小为2111d d d πd d d ΦB BS a t t t===E 同理，正方形线框中的感应电动势2E 大小为2212d d d 2d d d ΦB BS a t t t===E而同材料的圆环与正方形导线的电阻之比为12R R ==。
所以圆环与正方形线框中的感应电流之比为122I I a ==12–4 如图12-3所示，半径为R 的3/4圆周的弧形刚性导线在垂直于均匀磁感强度B 的平面内以速度v 平动，则导线上的动生电动势E = ，方向为 。
图12–5图12–4abdc图12–1Ba图12–2图12–3解：方法一：用动生电动势公式()d l =⨯⋅⎰B l v E 求解。
选积分路径l 的绕行方向为顺时针方向，建立如图12-4所示的坐标系，在导体上任意处取导体元d l ，d l 上的动生电动势为d ()d cos d B R θθ=⨯⋅B l =v v E所以导线上的动生电动势为3π3πd cos d 0BRBR θθ-===>⎰⎰v E E由于ε>0，所以动生电动势的方向为顺时方向，即bca 方向。
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bA cb 0
bA cb bc
a
a
vBdy v
0I
dy
b
b 2y
0Iv ln b 2 a
O
I
a
C
v
B
A
v
b
y
bc
bA
讨论：（1）在磁场中旋转的导体棒
（a）棒顺时针旋转
v
L
S
0 (v B) dl
L
0 Bvdl
ω
L Bl dl 1 BL2
0
2
动生电动势的方向由 O指向A 。
回路中产生的感应电动势 的大小与磁通量对时
间的变化率成正比。
k dΦm
dt
dm
dt
负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化
国际单位制中 k =1
单位: 1V=1Wb/s
若有N匝线圈，每匝磁通量相同，它们彼此串联，总电动 势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为 m
磁链数: Ψ NΦm
(2) 在磁场中旋转的线圈
在匀强磁场B 中， 面积为S 的N 匝矩形线
圈以角速度为 绕固定
的轴线作匀速转动。
在任意时刻 t，线圈平面法 线与磁场的夹角为，这时
通过线圈平面的磁链数
Nm NBS cos
ωn
d(Nm )
dt
NBS d sin NBS sin t
dt
max sin t ——交变电动势
能量的转换和守恒
外力做正功输入机械能，安培力做负功吸收 了它，同时感应电流以电能的形式在回路中输出 这份能量。
发电机的工作原理： 靠洛仑兹力将机械能转换为电能
3、动生电动势的计算
计算动生电动势的一般方法是：
1、对于不构成回路的导体，可应用公式
b
a (v B) dl
2、对于导体回路，可应用公式
1) 磁场均匀分布，且B不随
aC
时间改变；
2) 磁场非均匀变化
B=kxcost。
O
l
B
v
D
解：1) 导线ab在均匀磁场
b
中运动，产生的动生电
x
动势即为感应电动势
Bvl Bvxtan 代入x vt B tan v2t 框架中的电动势方向由a指向b 。
2) 当磁场作非均匀变化时，此时 框架中既有动生电动势，又
b a Ek dl
b (v B) dl
a
导体回路L，动生电动势Leabharlann (vB)dl
L
2、动生电动势产生过程中的能量转换
b
F
qv
B
q
a
当安培力增大到与外力相平衡时，导体棒开始 以匀速v运动。此时回路中的感应电流也达到稳定 值，载流子在导体棒中将以稳定的漂移速度u相对 于导体棒作定向运动。
变化的磁场在其周围空间激发一种新型的电 场，称之为感生电场或涡旋电场，这种电场的存 在与空间有无导体、空间有无介质都无关。
变化的磁场在周围空间激发感生电场Ei，若
有闭合导体回路存在，导体中的自由电子就会在
感生电场的作用下作定向运动，产生感应电流。
感生电场不是静电场，作用在电荷上的力是 一种非静电场。
回路的磁通量也发生变化，由此在回路中激发的 感应电动势称为感生电动势。
演示程序：变化磁场中的导体环上的感生电动势
实验发现感生电动势的大小由变化的磁场本 身引起。
建立感生电动势的非静电力是什么呢？
感生电动势的非静电力不可能是洛仑兹力!
Maxwell：感生电动势的现象预示着有关电磁场 的新的效应。
在1861年提出如下假设
d N dm
dt
dt
（2）感应电动势方向
由于电动势和磁通量都是标量，它们的“正负” 相对于某一指定的方向才有意义。
12.1.3 楞次定律 (1834年楞次提出一种判断感应电流的方法)
闭合回路中感应电流的方向总是使得它所激发 的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。
v
S N
v
G B S v
用另一根导线将a、b端连起来构成闭合回路，在回路 中就出现了感应电流，a、b两端因电流而减少的电荷 在失去平衡的洛仑兹力作用下获得不断补充。
在磁场中运动的导线ab是一个电动势源，产生电 动势对应的非静电场力是洛仑兹力。
导体在磁场中运动产生的电动势称为动生电动势
Ek
Fk q
qv
B
v
B
q
ab上的动生电动势
tan
dΦm
dt
C a
Bv y
O
D
b
d
x
1 kx3 sint tan kx2v cost tan
3
kv3 tan 1 t3 sin t t 2 cost
3
若 > 0，则 的方向与所设正绕方向一致；反之，
相反。
12.2.2 感生电动势
1、 感生电动势与感生电场 当线圈（导体回路）不动而磁场变化时，穿过
产生的动生电动势为：
di (v B) dl
OI
v
B
a
b
A
dl v
建立如图坐标
C
y
di vBdl cos vBdy
i
di
a vBdy v a 0I dy 0Iv ln b
b
b 2y
2 a
方向由C指向A，即A点电势高
或补回路，对此回路
d 0 0
dt
AC边不产生感应电动势，则
12.1.1 电磁感应现象 S Nv
k
G
演示动画：现象1
G
演示动画：现象2
（1）线圈固定，磁场变化
B
S v
B
G
G
演示动画：现象3
演示程序：在磁场中旋转的线圈
（2）磁场不变，线圈运动
当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，不 管这种变化是什么原因引起的，在导体回路中就会
产生感应电流。这就是电磁感应现象。
12.2.1 动生电动势的产生
一段导线ab在稳恒磁场 B中运动，导线在某时刻的 速度为v，导线中载流子的 电量为q(设为正电荷)，载 流子在洛仑兹力的作用下， 从a端向b端运动
b
F
qv
B
q
a
导线中所有的载流子都作同样的运动，结果使b端 积累正电荷，在a端出现负电荷。
当两端的正负电荷在导体内产生的电场作用于载 流子的电场力和载流子受到的洛仑兹力平衡时，载流 子的上述运动才停止。
（b）棒单位时间切割磁力线的条数
i
d
dt
d dt
(BS)
B
d dt
(1 2
L2 )
1 2
BL2
作业
12－1、2、8
演示程序：在磁场中旋转的导体棒
如果是转动的是金属盘，可以将金属棒想象为 由无数根并联的金属棒组合而成，每根金属棒都与 OA类似。
因这些金属棒是并联的，所以金属盘从边缘到中心 的动生电动势与一根金属棒上的动生电动势相同。
第12章 电磁感应
内容： 1 . 法拉第电磁感应定律
2 . 动生电动势和感生电动势 3 . 互感 4 . 自感 5 . RL电路的暂态过程 6 . 自感磁能 磁场的能量密度 7 . 位移电流 电磁场基本方程的积 分形式
重点： 法垃第电磁感应定律
难点： 感生电动势和感生电场
12.1 法拉第电磁感应定律
线框共面，且与它的一边平行。线框以恒定速率v沿 与长直导线垂直的方向向右运动。（1）若长直导线 中的电流为I，求线框与直导线相距x时穿过线框的磁 通量、线框中感应电动势的大小和方向；（2）若长
直导线中通以交变电流I=I0sin t，求任意时刻线框中
的感应电动势。
解 (1) 电流I产生的磁感应强度 B 0I 2r
设I方向向上，则直导线右边的磁 场方向垂直纸面向内。设线框回 路的绕行方向为顺时针方向，则 穿过线框的磁通量为：
I
l1
l2 dS v
r x dr
m B dS
s
xl1 x
0I 2r
l2
dr
0l2 I 2
ln
x
l1 x
由法拉第电磁感应定律
I
l1
l2 dS v
dΦm dΦm dx
dt
在平衡时，导体棒中的载流子参与两个运动： 随导体棒以速度v平动和沿导体棒以速度u漂移。
载流子受到洛仑兹力
F
q(v
u)
B
qv
B
qu
B
P 洛F仑 (兹u力 v对) 载[q流(v子的u)功 率B] (u v)
(qv
B)
u
(qu
B)
v
qu
B
b
qv
B
q
a
第一项是产生动生电动势的非静电力的功率， 因u与qvB同方向，故非静电力做正功；
12.1.2 法拉第电磁感应定律
在电磁感应现象中，导体回路出现感应电流， 这表明回路中有电动势存在。
因回路中磁通量的变化而产生的这种电动势叫 感应电动势
思考： 仅一段导体在磁场中运动，导体内有无感
生电流？有无感应电动势？ 有感生电动势存在，而无感生电流。
（1）法拉第电磁感应定律
通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，
dm
dt
L (v B) dl
也可设计一个合适的假想回路以便于应用法 拉第电磁感应定律公式
例:一通有电流I的长直水平导线近旁有一斜向放
置的金属棒AC与之共面，金属棒以平行于电流I 的速度平动，如图，已知棒端A、C与导线的距离 分别为a、b，求棒中的感应电动势。
解：在棒上任取dl，其上
解：由场的对称性，变化磁场
所激发的感生电场的电场线是 与圆柱的轴线同轴的同心圆。 处处与圆线相切，在同一条电 场线上的大小相等。