信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质
合集下载
第4章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质
发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球 面波的二次位相因子，因此透镜的功能就是改变 二次位相因子的大小，实际上也就是具有附加的 二次位相因子。
透镜的位相变换作用
基本假设 • 透镜是薄的, 忽略折射引起的光线的横向偏移 • 透镜无吸收, 完全透明, 均匀,折射率为n，不改 变光场振幅,仅改变位相 • 透镜孔径为无限大 (以后再考虑孔径影响)
1、透镜的位相调制作用 1.1 透镜对入射波前的作用——分析复振幅透过率
这是在傍
轴近似下的完 善成像，发散 球面波经过透 镜变换成会聚 球面波。
透镜的复振幅透过率：
tl
(
x,
y
)
U U
l( l(
x, x,
y) y)
Ul (x,y) 和Ul (x,y) 分别
是紧靠透镜前后平面上
的光场复振幅分布。
P
x,
y
1
0
透镜孔径内 其他
1、透镜的位相调制作用
于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
其中，
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P ( x, y ) 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
tl (x, y) exp j(x, y)
1、透镜的位相调制作用
tl x, y exp j x, y exp jkL x, y
L(x,y)是Q到Q之间的光程：
透镜的位相变换作用
基本假设 • 透镜是薄的, 忽略折射引起的光线的横向偏移 • 透镜无吸收, 完全透明, 均匀,折射率为n，不改 变光场振幅,仅改变位相 • 透镜孔径为无限大 (以后再考虑孔径影响)
1、透镜的位相调制作用 1.1 透镜对入射波前的作用——分析复振幅透过率
这是在傍
轴近似下的完 善成像，发散 球面波经过透 镜变换成会聚 球面波。
透镜的复振幅透过率：
tl
(
x,
y
)
U U
l( l(
x, x,
y) y)
Ul (x,y) 和Ul (x,y) 分别
是紧靠透镜前后平面上
的光场复振幅分布。
P
x,
y
1
0
透镜孔径内 其他
1、透镜的位相调制作用
于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
其中，
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P ( x, y ) 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
tl (x, y) exp j(x, y)
1、透镜的位相调制作用
tl x, y exp j x, y exp jkL x, y
L(x,y)是Q到Q之间的光程：
4透镜的Fourier变换性质
k
2 2
z u 2 ( x2 , y 2 ) e i d 0 d i
i
k1 z (1 )( x 2 y 2 ) z di di
U ( x , y )e
t 1 1
i
k z (1 ) 2 d0 d0
e
i 2 [
z ( xx yy )] d0 d1 1 1
dxdy
S
d
S
0
U ( x, y )
i
di
透镜的透过率函数为
2 2 k 1 1 U t ( x, y ) i ( )( x y ) t l ( x, y ) e 2 di d0 U i ( x, y )
1 1 由f (n 1)( )薄透镜物像关系公式 R1 R2 和tl ( x, y )＝e
2
x . f y . f
fx
fy
结论 : 平面波照射下, 正入射, 在透镜焦面上得 到t ( x1 , y1 )的d0 , 不论d0为何值, 导致一个二次位 相因子.但位相弯曲不影响光强.观察焦面上的 强度分布没有影响,仍为功率谱.
三、单色球面波照射孔径平面
a0 k 2 2 球面光场U i ( x1 , y1 ) exp{i ( x1 y1 )} 2 透射场U t ( x1 , y1 ) U i ( x1 , y1 )t ( x1 , y1 )代入 * 式 z k z 2 2 焦面光场U 2 ( x2 , y2 ) exp{i (1 )( x2 y2 )} t ( x1 , y1 ) i d i d 0 2d i d0 k z d0 z exp[i (1 )]exp[i 2 ( x1 x2 y1 y2 )]dx1dy1} 2 d d0 di
2 2
z u 2 ( x2 , y 2 ) e i d 0 d i
i
k1 z (1 )( x 2 y 2 ) z di di
U ( x , y )e
t 1 1
i
k z (1 ) 2 d0 d0
e
i 2 [
z ( xx yy )] d0 d1 1 1
dxdy
S
d
S
0
U ( x, y )
i
di
透镜的透过率函数为
2 2 k 1 1 U t ( x, y ) i ( )( x y ) t l ( x, y ) e 2 di d0 U i ( x, y )
1 1 由f (n 1)( )薄透镜物像关系公式 R1 R2 和tl ( x, y )＝e
2
x . f y . f
fx
fy
结论 : 平面波照射下, 正入射, 在透镜焦面上得 到t ( x1 , y1 )的d0 , 不论d0为何值, 导致一个二次位 相因子.但位相弯曲不影响光强.观察焦面上的 强度分布没有影响,仍为功率谱.
三、单色球面波照射孔径平面
a0 k 2 2 球面光场U i ( x1 , y1 ) exp{i ( x1 y1 )} 2 透射场U t ( x1 , y1 ) U i ( x1 , y1 )t ( x1 , y1 )代入 * 式 z k z 2 2 焦面光场U 2 ( x2 , y2 ) exp{i (1 )( x2 y2 )} t ( x1 , y1 ) i d i d 0 2d i d0 k z d0 z exp[i (1 )]exp[i 2 ( x1 x2 y1 y2 )]dx1dy1} 2 d d0 di
信息光学课件 透镜的傅里叶变换性质
P1 p2 p3
p4
P2 面的光场为 f (x, y) 对入射光的菲涅耳衍射：
UP2
U P1
h，h
1 i z
（略去相位因子 e e ikz
ik ( x2 y2 ) 2z
ikz
ei
）
UP2
1 d1
f (x, y) ei (x2 y2 ) ，
k 2d1
P3 面场分布：（U P2 乘以 P2 (x, y) ）
1 i f
ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
F
(
f
x
,
fy)
透镜后焦面物的傅立叶谱含有一位相位因子 ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
，（空间频谱
按一定比例缩放）。
2，物置于透镜前的傅立叶变换关系。
首先作向化处理：
a，忽略透镜孔径影响， P(x, y) =1。
b，单位振幅平面波垂直照明，在透镜后焦面观察衍射场。
d2 f ；
则，
g(x, y)
1
i (1 d1 )( x2 y2 )
e f f
i2 ( x y )
f ( ,)e f f d d
存在位相弯曲。
（下面讨论特殊情况）
a，物置于透镜前焦面时。
d1
f
， g(x, y) 1
i f
F( fx,
f y ) ，（
fx
x f
，
fy
y f
）
位相弯曲消失：得到准确的傅立叶变换。☆
b，物紧贴透镜前表面。
d1 0
g(x, y)
1 i f
p4
P2 面的光场为 f (x, y) 对入射光的菲涅耳衍射：
UP2
U P1
h，h
1 i z
（略去相位因子 e e ikz
ik ( x2 y2 ) 2z
ikz
ei
）
UP2
1 d1
f (x, y) ei (x2 y2 ) ，
k 2d1
P3 面场分布：（U P2 乘以 P2 (x, y) ）
1 i f
ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
F
(
f
x
,
fy)
透镜后焦面物的傅立叶谱含有一位相位因子 ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
，（空间频谱
按一定比例缩放）。
2，物置于透镜前的傅立叶变换关系。
首先作向化处理：
a，忽略透镜孔径影响， P(x, y) =1。
b，单位振幅平面波垂直照明，在透镜后焦面观察衍射场。
d2 f ；
则，
g(x, y)
1
i (1 d1 )( x2 y2 )
e f f
i2 ( x y )
f ( ,)e f f d d
存在位相弯曲。
（下面讨论特殊情况）
a，物置于透镜前焦面时。
d1
f
， g(x, y) 1
i f
F( fx,
f y ) ，（
fx
x f
，
fy
y f
）
位相弯曲消失：得到准确的傅立叶变换。☆
b，物紧贴透镜前表面。
d1 0
g(x, y)
1 i f
第四章 透镜的位相调制 和傅里叶变换
傍轴近似下单色点光源的发散球面波在平面上造成的光场分布为
U 1 ( x, y ) = A exp( jkp ) exp[ j k ( x 2 + y 2 )] 2p
球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为
k U 1' ( x,y )= Aexp( jkq )exp j (x 2 + y 2 ) 2q
照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此观察平面位 照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系 置由照明光源位置决定（当照明光源位于光轴上无穷远，即平面 波垂直照明时，这时观察平面位于透镜后焦面上） 输入平面位于透镜前焦面，由于 d 0 = f ，衍射物体的复振幅透 输入平面位于透镜前焦面 过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只 要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无 关。也就是说，不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间 频率与位置坐标的关系
= mm
50 = 463mm 3 0.6 10 180
( f d0 )(x2 + y2 ) ∞ f (x0 x + y0 y) ′ exp jk U(x, y) = c ]dx0dy0 ∫∫ t(x0 , y0 ) exp[ jk q( f d0 ) + fd0 2[q( f d0 ) + fd0 ]∞
两个特殊位置的讨论 两个特殊位置的讨论
( f d 0 )(x 2 + y 2 ) ∞ d0 d0 U ( x,y )=c ′exp jk ∫ ∫t (x0 ,y 0 )P x 0 + x,y 0 + 2f 2 f f ∞ x0 x+ y 0 y exp jk dx0 dy 0 f y ×
第四章 透镜的位相调制和FT变换性质
理解透镜位相因子的物理意义 可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的 效应，来理解透镜位相因子的物理意义
U 设： l x, y 为紧贴透镜前面的平面波光场分布， U lx, y 为紧贴透镜后面的平面上的光场复 振幅分布，
二者之间有关系如下：
U lx, y U l x, y tl x, y , 或 tl x, y U lx, y U l x, y
2 1 2 2
x2 y2 D 2 x, y D 02 R2 R x y D 02 R2 1 1 2 R2
2 2 2 2
x2 y2 x2 y2 Dx, y D 0 R1 1 1 2 R2 1 1 2 R1 R2 其中： D 0 D 01 D 02
在傍轴近似条件下： 考虑在透镜轴附近的那部分波前，即(x2+y2) 值足够小，则下列近似式成立。
x2 y2 x2 y2 1 1 2 R1 2 R12 x2 y2 x2 y2 1 1 2 R2 2 R22
上式相当于用抛物面来近似透镜傍轴区域的球面。 厚度函 数变成
x2 y2 x2 y2 R2 1 1 Dx, y D 0 R1 1 1 2 2 2 R1 2 R2 x2 y2 1 1 D0 2 R1 R2
A I f x f , y f f yy f dxdy
T0 u , v
2
2
二、 物体位于透镜之前
At0 x0 , y0 U l x, y U l x, y
1 P x, y 0 透镜孔径内 其他
光学透镜的变换总结
U 1 (x, y) ? A exp( jkp) exp[
j k (x 2 ? y 2 )] 2p
球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为
U' ?
?x,y ??
Aexp??
jkq ?exp ???
?
j
k ?q
?x
?
?
y
?
???
?
透镜的复振幅透过率或相位变换因子为
t (x, y) ? U1?(x, y) ? exp[ U1(x, y)
输入平面位于透镜前焦面，由于 d0 ? f，衍射物体的复振幅透过率与衍
射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只要照明光源和观察 平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光 源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系
???
U (x, y) ? c?
??
t( x0 , y0 ) exp(?
物在透镜之后的变换性质证明（ 2）
这个光场传输到观察平面上造成的场分布为
exp[ ? ? U (x, y) ?
1
j? (q ? d 0 )
t( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) ?0
jk
(x
?
x0)2 ? 2(q ?
(y ? d0 )
y0 )2
]dx0 dy0
经过一系列的代数演算得到：
光学透镜的变换
透镜的位相变换作用
透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的 基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质
透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和费衍射，而透镜 之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用
第四章 透镜位相调制和傅里叶变换性质
xi x0 yi y0 1 1 1 2 2 ( )( x y ) 2( ) x 2( ) y dxdy dx0dy0 di d1 f di d1 di d1
可以证明，当观察平面是照明光源S的共轭平面时，即
1 1 1 di d0 f
x y k U ( xi , yi ) C exp j ( xi2 yi2 ) t ( x0 , y0 ) exp j 2 ( i x0 i y0 ) dx0dy0 2 xi yi k 2 2 ℱ t ( x , y ) fx C exp j ( xi yi ) fy 0 0 2
xi fx f yi fy f
当透镜孔径大于物体限度时，物体上的信息全部通 过透镜，孔径没有影响；当透镜孔径小于物体限度时， 必须考虑孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱 与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。
t(x0,y0)
2.物体放在透镜后方 会聚光在物体上投影的等效孔径函数为
第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质
透镜是最基本、最重要的光学元件。众所周知，它可 以对物体进行成像，其实质是改变光波的波前。同时它还 能对物体进行傅里叶变换。
§4—1 透镜的位相调制作用
透镜一般由两个球面构成，当光线入射到不同的 位置时，由于各点厚度不同，其位相延迟是不同的。
如图所示，单位振幅平行光垂直入射在透镜的前表面，光场为
1 1 1 由于 d0 di f
x2 y2 t ( x, y ) U 0 exp( jk ) 2f
一般情况下，透镜的位相调制作用为
x2 y 2 tl ( x, y ) exp( jk ) 2f
信息光学专题知识讲座
(1)傅立叶变换。
(2)成像。
透镜一般由光密介质玻璃(n=1.5)做成。
1. 薄透镜旳位相调制作用 薄透镜：就是厚度和透镜表面曲率半径相比很小旳透镜。
对于薄透镜，能够近似
以为光线进入透镜旳位
O
I
置（x,y）与光线射出透
镜旳位置相同。
所以，一种薄透镜旳作用只是使入射波前受到延迟，延迟旳 多少正比于透镜各点旳厚度。
fy)
其中
fx
x0
f
,
fy
y0
f
与2-4-13式比较后不难发觉，这正是f(x,y)旳夫琅和费衍射 成果！正是因为这个原因，实践中夫琅和费衍射试验往往 都是经过一种正透镜来实现旳。
g( x0, y0 ) 还不是 f ( x, y) 旳傅立叶变换，它多了一种相位因子；
exp if ( fx2 f y2 )
3－1 透镜旳傅立叶变换性质
对于透镜，我们并不陌生，透镜是光学成像系统最主要旳 器件，我们这里讲透镜不是从几何光学旳角度去讨论它，而是 从波动光学旳角度去研究它，同学们会随即旳讨论中发觉讨论 旳成果和几何光学旳成果完全一致。当然，衍射旳效果是不能 用几何光学旳措施去讨论旳。 透镜有两个非常主要旳性质：
磨镜者公式：
1 f
(n
1)
1 R1
1 R2
假如用单位振幅旳平面波入射到透镜上，这时入射波复振幅，
U1(x, y) 1
出射光波复振幅，
U2(x, y)
U1( x, y)PL ( x, y)
exp i
k 2f
(x2
y2 )
2. 透镜旳傅立叶变换性质
会聚透镜最突出旳旳性质之一就是它固有旳进行二维傅立叶变换 旳本事。 假定光源是单色旳，也就是说我们所研究旳系统是相干系统。
(2)成像。
透镜一般由光密介质玻璃(n=1.5)做成。
1. 薄透镜旳位相调制作用 薄透镜：就是厚度和透镜表面曲率半径相比很小旳透镜。
对于薄透镜，能够近似
以为光线进入透镜旳位
O
I
置（x,y）与光线射出透
镜旳位置相同。
所以，一种薄透镜旳作用只是使入射波前受到延迟，延迟旳 多少正比于透镜各点旳厚度。
fy)
其中
fx
x0
f
,
fy
y0
f
与2-4-13式比较后不难发觉，这正是f(x,y)旳夫琅和费衍射 成果！正是因为这个原因，实践中夫琅和费衍射试验往往 都是经过一种正透镜来实现旳。
g( x0, y0 ) 还不是 f ( x, y) 旳傅立叶变换，它多了一种相位因子；
exp if ( fx2 f y2 )
3－1 透镜旳傅立叶变换性质
对于透镜，我们并不陌生，透镜是光学成像系统最主要旳 器件，我们这里讲透镜不是从几何光学旳角度去讨论它，而是 从波动光学旳角度去研究它，同学们会随即旳讨论中发觉讨论 旳成果和几何光学旳成果完全一致。当然，衍射旳效果是不能 用几何光学旳措施去讨论旳。 透镜有两个非常主要旳性质：
磨镜者公式：
1 f
(n
1)
1 R1
1 R2
假如用单位振幅旳平面波入射到透镜上，这时入射波复振幅，
U1(x, y) 1
出射光波复振幅，
U2(x, y)
U1( x, y)PL ( x, y)
exp i
k 2f
(x2
y2 )
2. 透镜旳傅立叶变换性质
会聚透镜最突出旳旳性质之一就是它固有旳进行二维傅立叶变换 旳本事。 假定光源是单色旳，也就是说我们所研究旳系统是相干系统。
第十四章傅里叶光学-文档资料
22 H u , v exp j d u v 0
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
信息光学(傅里叶光学)Chap4-1
x
z
y
z
在无穷远处观察到衍射屏的二维傅里叶变换. 能否在有限远处观察和利用? 可以用透镜实现. 几何光学中,透镜是折射成像 元件, 将物点变换为像点, 物、 像点均可在无穷远 物理光学中,透镜是实现位相 变换的元件, 其前后表面的光 场复振幅分布不同. 本章解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质
只要正确决定R1、R2的符号, 以上推导适合于任何透镜
透镜的焦距
1 1 f (n 1) R R 2 1
1
仅决定于透镜材料和几何参数.
此结果与几何光学一致. f >0: 凸(正)透镜; f <0: 凹(负)透镜
x2 y2 不考虑常数位相因子, 则透镜的位相变换因子为 exp jk 2f 此变换与入射波的复振幅无关, 它实现变换:
m为整数
令ar02 = u, 则复振幅透过率是u的周期函数, 周期为2p. 方波, 可以展开为复指数 1 1 sgn(cosu ) cn exp( jnu ) 形式的傅里叶级数: n (1)求出傅氏系数cn, 2 2 (2)讨论n为奇数和偶数的情形 (3)与上例的结果相比较.
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 讨论
此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换 三个透镜的直径为2l, 焦距分别为∞, -p/a和 p/a. 当单色平面 波垂直入射时, 有三部分出射光束 (1)直接透过,循原方向传播 (2)会聚到透镜后焦面处, 与透镜距离为p/a (3)从透镜前焦点p/a处发散的球面波 正、负透镜的焦距与波长有关, 即有很大的色差. 只有用单色光照明,才能得到清晰的像 三个衍射级不能完全分开
与(x,y)平面上球面波复振幅分布的位相因子相比较 f >0: Ul’(x,y)代表会聚到透镜后焦点的会聚球面波; f <0: Ul’(x,y)代表从透镜前焦点发出的发散球面波 这与几何光学的结果相同 若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函 P ( x, y ) 1 数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数), 0
z
y
z
在无穷远处观察到衍射屏的二维傅里叶变换. 能否在有限远处观察和利用? 可以用透镜实现. 几何光学中,透镜是折射成像 元件, 将物点变换为像点, 物、 像点均可在无穷远 物理光学中,透镜是实现位相 变换的元件, 其前后表面的光 场复振幅分布不同. 本章解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质
只要正确决定R1、R2的符号, 以上推导适合于任何透镜
透镜的焦距
1 1 f (n 1) R R 2 1
1
仅决定于透镜材料和几何参数.
此结果与几何光学一致. f >0: 凸(正)透镜; f <0: 凹(负)透镜
x2 y2 不考虑常数位相因子, 则透镜的位相变换因子为 exp jk 2f 此变换与入射波的复振幅无关, 它实现变换:
m为整数
令ar02 = u, 则复振幅透过率是u的周期函数, 周期为2p. 方波, 可以展开为复指数 1 1 sgn(cosu ) cn exp( jnu ) 形式的傅里叶级数: n (1)求出傅氏系数cn, 2 2 (2)讨论n为奇数和偶数的情形 (3)与上例的结果相比较.
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 讨论
此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换 三个透镜的直径为2l, 焦距分别为∞, -p/a和 p/a. 当单色平面 波垂直入射时, 有三部分出射光束 (1)直接透过,循原方向传播 (2)会聚到透镜后焦面处, 与透镜距离为p/a (3)从透镜前焦点p/a处发散的球面波 正、负透镜的焦距与波长有关, 即有很大的色差. 只有用单色光照明,才能得到清晰的像 三个衍射级不能完全分开
与(x,y)平面上球面波复振幅分布的位相因子相比较 f >0: Ul’(x,y)代表会聚到透镜后焦点的会聚球面波; f <0: Ul’(x,y)代表从透镜前焦点发出的发散球面波 这与几何光学的结果相同 若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函 P ( x, y ) 1 数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数), 0
第十四章傅里叶光学
1 1
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
信息光学原理第3章
1
焦面场是透镜前端场的傅里叶变换(空间频谱)。 如上图所示，距离透镜前端有一物体，其透过率为t(x0,y0)。若用振幅为A 的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：
U0 x0 , y0 A t x0 , y0
根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：
F U1 x, y F U 0 x0 , y0 H f x , f y
U l x, y U x, y
在傍轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的 复振幅分布为
k U l x, y A exp jkd 0 exp j x 2 y 2 2d 0
k U l x, y A exp jkd i exp j x 2 y 2 2d i
x 1
2
y2 R12
x 1
x2 y 2 1 2 R2 2 2 x y 2 x, y 02 R2 R2 2 x 2 y 2 02 R2 1 1 2 仅考虑傍轴光 R2
f
f
f
j f
2f
2
2
f
f
k 2 U 2 x, y exp j x 2 y 2 exp j xx f yy f dxdy 2f f
?
3.2 透镜的傅里叶变换性质
后焦面上的场分布为
3.1 透镜的位相调制作用
则透镜复振幅透过率表示为：
k A exp jkdi exp j x 2 y 2 U x, y 2d i tl x, y l U l x, y k 2 2 A exp jkd 0 exp j x y 2d 0
4_透镜的傅里叶变换性质
透镜的傅里叶变换
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
信息光学_第四章
x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf
Fresnel U ( x, y) exp jkz exp[j k ( x 2 y 2 )] U x , y exp[j k ( x 2 y 2 )]exp[ j 2 ( xx yy )]dx dy 0 0 0 0 0 0 0 0 jz 2z 2z z 公式：
exp[ jk ( p q)]
常数相位因子，改变光波整体的位相分布，可略掉
k 1 1 调制项，影响观察面上位相的相对分布， exp[ j ( x 2 y 2 )( )] 把发散球面波变换成会聚球面波 2 p q
透镜成像的高斯公式：
1 1 1 p q f
所以，透镜的位相变换因子为：
k ( x 2 y 2 )] 2f
将公式
U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j
代入上式
x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf
exp jkf k 2 2 2 U f (x f , y f ) exp[j ( x f y f )] U1 x, y exp[ j ( xx f yy f )]dxdy jf 2f f
xf yf
Uf
U 2 ( x, y)
透镜位相变换因子
• 透镜后端面光场复振幅
k U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j ( x 2 y 2 )] 2f
• 透镜焦平面上光场复振幅 U f ( x f , y f )
透镜后端面光场
透镜后焦面光场， 属于Fresnel衍射。
令：
exp jkf k 2 2 U f (x f , y f ) exp[ j ( x f y f )] j f 2f U 2 x, y exp[ j
4透镜相位调制与傅里叶变换性质
U l x, y 1
透镜将平面波变成球面波
略去透镜的常量位相延迟，紧靠透镜后 的平面上的复振幅分布为
k ' 2 2 U l ( x, y ) U l ( x, y ) tl ( x, y ) exp j x y 2f'
旁轴近似下，这是一个球面波的表达式。
(孔径+透镜)(有限大小,有衍射作用,位相变换作用) + 光在自由空间的传播(菲涅耳衍射) 逐面计算,在不同的几何配置下可以得到傅里叶变换或成像
信息光学
INFORMATION OPTICS
4.1 透镜的位相调制作用
几何光学中,透镜是折射成像元件, 将物点变换为像点, 物、 像点均可在无穷远。 物理光学中,透镜是实现位相变换的元件, 其前后表面的光场 复振幅分布不同。
物体紧靠透镜的傅里叶变换光路
' l
于是有：
k 2 2 U ( x, y ) U l ( x, y ) tl ( x, y ) At ( x, y ) exp j x y 2f'
光波从透镜传播 f’ 距离后，到达后焦面上所产生的场分布可根 据菲涅耳公式计算。
S1
x-y
2. S1、S2面是同一x-y 平面的前后表面
S2
信息光学
INFORMATION OPTICS
4.1.1 透镜对于入射波前的作用
S1面是发散球面波分布： S2面是会聚球面波分布: 略去常数位相因子 透镜的复振幅透过率 或相位变换因子为：
k 2 2 U l ( x , y ) A exp( jkd 0 ) exp j ( x y ) 2d 0
第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 1
R1
R2
tl x, y exp jkn0 exp jk n 1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1 f
n
1
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
x,
y
传播：光波由一个平面向另一个平面传播一段距离，用菲
涅尔衍射处理
U0 x0 , y0 Ul x, y Ul x, y U f x f , y f
Ul x, y
1 k
j d1
exp
j
2d1
x2 y2
F U0
x0 ,
y0
exp
j
k 2d1
x02 y02
xf
d
,
fy
yf
d
透镜后焦面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af
d 2
2
T
xf
d
,
yf
d
2
知识点回顾
透镜的复振幅透过率
tl (x, y) exp[ j
k 2f
(x2
y2 )]
1 f
n
1
1 R1
1 R2
考虑透镜孔径
tl (x, y)
exp[
(x,
y)
exp
j
2
f
x2 y2
U f
xf , yf
exp
j
jkf f
exp
j
《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质
tl x, y exp jk 0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x
2
y2 1 1 2 R1 R2
x2 y 2 1 1 tl x, y exp jkn0 exp jk n 1 2 R1 R2
1 1 1 n 1 f R1 R2
(n为透镜材料的折射率)
k tl x, y exp jkn0 exp j x 2 y 2 2f
常数项
透镜位相因子
1、透镜的位相调制作用
以上推导的关系适用于各种形式的薄透镜，而且是在旁轴近似条件下推
1
焦面场是透镜前端场的傅里叶变换(空间频谱)。 如上图所示，距离透镜前端有一物体，其透过率为t(x0,y0)。若用振幅为A 的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：
U0 x0 , y0 A t x0 , y0
根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：
F U1 x, y F U 0 x0 , y0 H f x , f y
x 1
2
y2 R12
x 1
x2 y 2 1 2 R2 2 2 x y 2 x, y 02 R2 R2 2 x 2 y 2 02 R2 1 1 2 仅考虑旁轴光 R2
则
tl x, y exp jk 0 exp jk n 1 x, y
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)， 就可以根据该式得到其位相调制。
Chap4-3——信息光学课件PPT
exp j
k 2f
1
d0 f
(
x
2 f
y
2 f
)
fx
xf
f
1
exp
jk
(
x
2 f
y
2 f
)
2 f
fy
yf
f
exp
jk
(
x
2 f
y
2 f
2d
)
exp
jk
(
x
2 f
2f
y
2 f
)
fx
xf d
,
fy
yf d
fx
xf
f
,
fy
yf
f
照明光源
?
(5)?
的像面
§4-2 透镜的傅里叶变换性质
§4-2 透镜的傅里叶变换性质: 小结
Summary
照明光源 位置
轴上无穷远 点源
同上
同上
同上
同上 轴上有限远
点源
物平面 位置 透镜前,与透 镜距离为d0 特例: d0= f 特例d0= 0
物体紧靠透镜
透镜后, 后 焦面前d处
特例: d= f
透镜后
谱面 位置
二次位相 因子
频谱缩放 比例
后焦面 后焦面 后焦面 后焦面 后焦面
lL 2d0
0
M
l
d0
f
则衍射波完全能通过透镜, A,B点能准确反映t的频谱值.
A
O z
B
若 tan
tan M
lL 2d0
则衍射波完全不能通过透镜, A,B 处频谱值消失
若< <M, 则A,B点的复振幅不能准确反映相应的频谱值.
信息光学中的傅里叶变换
包括线性性、时移性、频移性、共轭 对称性等，这些性质在信号处理和图 像处理等领域有广泛应用。
傅里叶变换的物理意义
频域分析
通过傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率成分 和频率变化。
时频分析
傅里叶变换可以用于时频分析，即同时分析信号的时域特性和频域特性，对于 非平稳信号的处理尤为重要。
信息光学中的傅里叶变换
目 录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 傅里叶变换在信息光学中的应用 • 傅里叶变换的实验实现 • 傅里叶变换的未来发展与展望
01 傅里叶变换基础
定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过使用傅里叶级数或傅里叶积 分进行转换。
傅里叶变换的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
核磁共振成像等，能够提供更准确的图像分析和诊断。
通信技术
02
傅里叶变换在通信技术领域中用于信号调制、解调以及频谱分
析等方面，有助于提高通信系统的性能和稳定性。
地球物理学
03
傅里叶变换在地球物理学领域中用于地震信号处理和分析，有
助于揭示地球内部结构和地质构造。
傅里叶变换面临的挑战与机遇
数据安全与隐私保护
傅里叶变换的应用领域
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理领 域应用广泛，如滤波、频 谱分析、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像压缩、图像增强、 图像去噪等。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号的调制和解调， 以及频谱分析和频分复用 等。
02 信息光学基础
信息光学的定义与特点
傅里叶变换的物理意义
频域分析
通过傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率成分 和频率变化。
时频分析
傅里叶变换可以用于时频分析，即同时分析信号的时域特性和频域特性，对于 非平稳信号的处理尤为重要。
信息光学中的傅里叶变换
目 录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 傅里叶变换在信息光学中的应用 • 傅里叶变换的实验实现 • 傅里叶变换的未来发展与展望
01 傅里叶变换基础
定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过使用傅里叶级数或傅里叶积 分进行转换。
傅里叶变换的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
核磁共振成像等，能够提供更准确的图像分析和诊断。
通信技术
02
傅里叶变换在通信技术领域中用于信号调制、解调以及频谱分
析等方面，有助于提高通信系统的性能和稳定性。
地球物理学
03
傅里叶变换在地球物理学领域中用于地震信号处理和分析，有
助于揭示地球内部结构和地质构造。
傅里叶变换面临的挑战与机遇
数据安全与隐私保护
傅里叶变换的应用领域
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理领 域应用广泛，如滤波、频 谱分析、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像压缩、图像增强、 图像去噪等。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号的调制和解调， 以及频谱分析和频分复用 等。
02 信息光学基础
信息光学的定义与特点
《信息光学》第四章 透镜的位相调制和剖析
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
jk
n
1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1 f
n
1
1 R1
1 R2
(n为透镜材料的折射率)
tl
x,
y
exp
jkn0
相因子，
能够对入射波前施加位相调制的结果。
1、透镜的位相调制作用
1）若在非旁轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将 偏离理想球面波，即透镜产生波像差。
2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函 数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即
P
x,
y
1 0
透镜孔径内 其他
于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：
本章主要内容
1、透镜的位相调制作用 2、透镜的傅里叶变换性质 3、光学频谱分析系统
0、序 言
透镜是一种非常重要的光学元件，其主要功能包括：成像和傅里 叶变换。
1）透镜的成像功能
2）透镜的傅里叶变换功能
（夫琅和费衍射）
f
f f
Question: 透镜为什么具有这样的功能？
1、透镜的位相调制作用
1.1 透镜对入射波前的作用
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
则
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
L(x,y)
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)， 就可以根据该式得到其位相调制。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+)
实现位相变换:
y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
Ul '(x',
y')
Ul (x',
y') exp
jk
x'2 y'2 2f
透镜光瞳函数：P(
x',
y')
1 0
透镜孔径内 其它
2
)
P2面是会聚球面波分布:
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q
(x2
y
2
)
略去常数位相因子 透镜的复振幅透过率 或相位变换因子为：
t(x,
y)
Ul(x, Ul (x,
y) y)
exp
j
k 2
(x2
y2 )
11 1 qp f
f 为透镜的像方焦距。
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]circ
x2 y2 l
设a>0, 分别考察圆括号中的三项:
exp[
ja(x2
y2)]
exp
jk
x2
y2
2
k 2a
exp[ ja(x2 y2 )] exp jk
x2 y2
2
k 2a
代表正透镜
焦距f = k/2a = p/al
解:
t(x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar
2
)
circ
r l
1
2
1 2
e jar2
e 2
jar 2
circ
r l
1
2
1 4
exp[
ja( x 2
y2
)]
1 4
exp[
ja( x 2
y2
)]
circ
x2 y2
l
t(x,
y)
1
2
1 4
exp[
ja(x2
只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对Ul(x,y)进行相 位变换。
任何衍射屏,若其复振幅透过率可写为 看成一个焦距为 f 的透镜！
exp jk
x2 y2
2f
的形式,都可
例题（作业4.8）
屏的复振幅透过率:
t ( x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar 2
)circ
r l
问: 1. 是否类似透镜? 2. 焦 距? 3. 成像的波长特性?
波垂直入射时, 有三部分出射光束
(1)直接透过,循原方向传播
(2)会聚到透镜后焦面处, 与透镜距离为p/al (3)从透镜前焦点p/al 处发散的球面波
正、负透镜的焦距与波长有关, 即有很大的色差。 只有用单色光照明,才能得到清晰的像。
用全息方法很容易实现上述透过率函数, 此屏即为同轴全息透 镜, 是球面波与平面波干涉的结果
第四章 透镜的 位相调制和傅里叶变换性质
从单透镜的位相变换作用入手,导出透镜 的傅里叶变换性质和成像性质；
将透镜成像看成线性不变系统的变换， 研究评价透镜成像质量的频域方法。
分析方法 (孔径+透镜)(有限大小,有衍射作用,位相变换 作用) + 光在自由空间的传播(菲涅耳衍射)逐 面计算,在不同的几何配置下可以得到傅里叶 变换或成像
传播
光波由一个平面(x0,y0)向另一个平面(x,y)传播一段距离(z)
x0
U0 (x0,y0)
y0
x
U (x,y)
z
z
y
有限距离的传播用菲涅耳衍射处理.在空域有二种表达形式：
菲涅耳衍射公式
观察平面
空域 U(x, y)
孔径平面
U(x0, y0)
U (x, y)
无像差的正薄透镜对点光源的成像过程：
薄透镜近似：
1.忽略折射引起的光线
S’ z 的横向偏移
SS
O1 O2
2. P1、P2面是同一xy平 面的前后表面
p
x-y
q
P1 P2
从几何光学的观点看，图示 的成像过程是点物成点像
从波面变换的观点看 透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。
发散球面波在给定平面上的的复振幅分布为：
U (x,
y)
a0 z
exp(
jkz) exp
j
k 2z
[( x
x0 )2
(y
y0 )2 ]
定义透镜的复
振幅透过率:
S’ z
SS
O1 O2
t(x, y) Ul '(x, y)
Ul (x, y)
p
x-y
q
P1 P2
P1面是发散球面波分布：Ul
(x,
y)
Aexp(
jkp)
exp
j
k 2p
(x2
y
代表负透镜
焦距f = -k/2a = -p/al
1 2
1 2
exp
jk
x2
y2
代表平镜, 焦距f =∞, 无焦度, 仅衰减振幅 circ(r0/l)是孔径函数P(x,y), 代表直径为l的圆孔.
此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换
三个透镜的直径为2l, 焦距分别为∞, -p/al和 p/al。当单色平面
4.1 透镜的位相调制作用
几何光学中，透镜是折射成像元件， 将物点变换为像点， 物、像点均可在无穷远。
物理光学中，透镜是实现位相变换的元件， 其前后表面 的光场复振幅分布不同。 需要首先解决: 透镜的位相变换，透镜的F.T.性质
基本假设 ●透镜是薄的, 忽略折射引起的光线的横向偏移 ●透镜无吸收, 完全透明, 均匀,折射率为n,不改变光场振幅,仅改 变位相 ●透镜孔径为无限大 (以后再考虑孔径影响)
U
' l
(
x,
y)
exp
jk
x2 y2 2f
这是一个球面波的表达式
与几何光学的结果相同
实际透镜有一孔径，透镜孔径函数（光瞳函数）为
1， 透镜孔径内 P(x, y) 0， 其它 透镜的相位变换因子为 t(x, y) P(x, y) exp[ j k (x2 y2 )]
2f 透镜对光波的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定的， 与入射光波复振幅Ul(x,y)的具体形式无关。 Ul(x,y)可以是平面波的复振幅，也可以是球面波的复振幅， 还可以是某种特定分布的复振幅.
透镜的相位变换因子可简单地表为 t(x, y) exp[ j k (x2 y 2 )]
2f
此变换与入射波的复振 幅无关, 它实现变换:
Ul '(x, y) Ul (x, y) exp
jk
x2 y2
2f
单位振幅的平面波垂直入射，P1面上的复振幅分布Ul(x,y)=1， 在平面P2上造成的复振幅分布为:
#
4.2 透镜的傅里叶变换特性
目的 证明: 平面型透明片，在单色光照明下，通过透镜的
位相调制作用，在照明光源的共轭平面上可以得到透明片的 傅里叶变换。
光学系统的一般描述
光学系统由孔径和透镜组成,光波由一个平面向另一个平面传播
孔径:真实开孔,屏,透明片等 用复振幅透过率t(x0,y0)描述
透镜: Ul (x’,y’) Ul’ (x’,y’)