流体力学(流体运动学)

xy = 1 (等边双曲线方程)
迹线的微分方程
dx = ux = x + t dt dy = uy = −y + t dt
(1) (2)
(1)、(2)式为非齐次常系数的线性常微分方程。 由(1)式得
dx −x=0 dt
dx = dt x
则 那么
x = A( x)e t
x ′ = A′( x)e t + A( x)e t
§3－l －
流体运动的描述方法
把流体流动占据的空间称为流场。 在流场中，每个质点均有确定的速度和压力，都是空间坐标和时间的连续函 数。流场也可以理解为速度场和压力场的综合。 表征流体运动的量，如速度、压力等统称为运动要素。
一、拉格朗日法
拉格朗日法研究对象是单个流体质点， 研究其运动要素（位置、速度） 拉格朗日法研究对象是单个流体质点，研究其运动要素（ 位置、速度 ）等的 质点 变化过程，显然是一种质点系法。 变化过程，显然是一种质点系法。拉格朗日法着眼于流体各质点本身的运动情况 ，也就是要表示出每个流体质点自始自终的运动过程。 把任一流体质点在初始时刻 t0 时的坐标（a，b，c）作为该质点的标志，则 （ ， ， ） 不同的（a，b，c）就表示流动空间的不同质点。这样，不同的（a，b，c）变数 （ ， ， ） （ ， ， ） 表示流场中的不同质点。
∂u x =0 ∂t ∂t
∂u y ∂t ∂t
=0
∂u z =0 ∂t ∂t
∂p =0 ∂t ∂t
其速度和压强表示为：
u x = u x ( x, y , z )
u y = u y ( x, y, z )
u z = u z ( x, y, z )
p = p ( x, y, z )
若流场的流动参数的全部或其中之一与时间变化有关，即随时 间变化而改变，则这类流场的流动称为非恒定流，其速度和压强的 描述为
u x = u x ( x, y , z , t )
u y = u y ( x, y , z , t )
p = p ( x, y, z, t)
u z = u z ( x, y , z , t )
实际中，恒定流只是相对的，绝对的恒定流是不存在的。本课 程主要研究恒定流动问题。
二、迹线和流线
1、迹线 、
随时间的变化率，称为当地加速度（时变加速度）。后三项之和 则表示流体质点在同一时间内，因坐标位置变化而形成的加速度， 称为位变加速度（迁移加速度）。
同理可得：
ay =
duy dt
=
∂uy ∂t
+ ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
du z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z az = = + ux + uy + uz dt ∂t ∂x ∂y ∂z
流线的微分方程表达式为
v i
v j
v k
dx dy dz = = ux uy uz
迹线与流线的比较：
①流线由无穷多个质点组成的，它是表示这无穷多个流体质 点在某一固定瞬间运动的曲线。迹线则表示在一段时间过程中同一 流体质点运动的曲线。 ②流线与迹线方程是不相同的，迹线方程式以时间t为自变量， 由此决定其运动轨迹。流线方程式中，时间t是给定量，随时间t不 同，流线方程式也不相同。 ③在恒定流中，流线与迹线相重合。即流线和迹线是一致的， 没有区别。
(3) (4)
将(3)、(4)式代入(1)式得 A′( x)e t + A( x)e t = A( x)e t + t
A′( x)e t = t
A′( x) = te − t
得
dA( x) = te − t dt
(分部积分公式：∫ uv ′dx = uv − ∫ vu ′dx )
用分部积分得
A( x ) = −(te − t − ∫ e − t dt ) = −te − t − e − t + A
三、一维、二维、三维流动 一维、二维、
流体的运动要素是空间坐标和时间的函数。按照流体运动要素 与空间坐标有关的个数（维数），可以把流体分为一维流、二维流 、三维流。 一维（一元）流动，若流场中的运动参数仅与一个空间自变量 有关，这种流动称为一维流动。即
u = u ( x, t)
之为二维流动。
p = p ( x, t )
边界急剧变化处，液体质点受惯性作用会脱离固体边界，主流 与边界之间产生旋涡区。 而且随着边界的变化，流线有疏有密。流线密，表示流速大， 流线疏，表示流速小。
★流线微分方程
在流线上过任意点取微元有向线 r v 段 ds ，d s = {dx , dy , dz } ，过该点
v v 的速度与该点切线重合，即 u // ds 。 v v 则有 d s × u = 0
v 设 u = { x , u y , u z }得 u
dy dz v dx dz v dx dy v v v ds × u = dx dy dz = i− j+ k u y uz ux uy ux uz ux u y uz v v v = (u z dy − u y dz )i − (u z dx − u x dz ) j + (u y dx − u x dy )k = 0
ρ = ρ ( x, t )
二维（二元）流动，若流动参数与两个空间自变量有关，则称 在直角坐标系中，二维空间是个平面，因而二维流动又称平面 流动。 三维（三元）流动，运动参数与三个空间自变量有关，则称为 三维流动（空间流动）。
四、流管、流束及总流 流管、
1、流管 在流场中取任意封闭曲线，通过这个闭合曲线上各点作流线， 这些流线所围成的管，称为流管。
§3 －2
流场的基本概念
恒定流与非恒定流 迹线和流线 一维、二维、 一维、二维、三维流动 流管、 流管、流束及总流 过流断面、 过流断面、流量和平均流速 均匀流和非均匀流
§3－2
流场的基本概念
一、恒定流与非恒定流（定常流与非定常流） 恒定流与非恒定流（定常流与非定常流）
恒定流动是指流场中流动参数不随时间变化而改变的流动。 它满足下列条件：
u x = u x ( x, y, z, t )
ρ = ρ ( x, y, z, t )
uz = uz ( x, y, z, t ) p = p ( x, y , z , t )
u y = u y ( x, y , z , t )
加速度可用速度对时间的导数来表示，由全导数公式有
du x ∂u x ∂u x dx ∂u x dy ∂u x dz ax = = + + + dt ∂z dt ∂t ∂x dt ∂y dt
dx，dy，dz表示在无穷小一段时间内流体质点的位移分量，由 ， ， 位移分量对时间的导数得出速度分量表达式
则
dx dy dz ux = uy = uz = dt dt dt dux ∂u x ∂u x ∂u x ∂u x ax = = + ux + uy + uz dt ∂t ∂x ∂y ∂z
式中，右边第一项表示流体质点在某一点（x，y，z）的速度 （ ， ， ）
用矢量表示
r r ∂u r r + (u ⋅ ∇)u a= ∂t
式中
r r r r a = ax i + a y j + az k
哈密尔顿算子(Hamiton)
r r v r u = uxi + u y j + uz k
∂ r ∂ r ∂ r ∇= i + j+ k ∂x ∂y ∂z
对比拉格朗日法和欧拉法的不同变量，就可以看出两者的区别： 前者以a、b、c为变量，是以一定质点为对象；后者以x、y、z为变 、 、 、 、 量，是以固定空间点为对象。 只要对流动的描述是以固定空间，固定断面，或固定点为对象， 应采用欧拉法，而不是拉格朗日法。
uz = dz dt
y A
B z x y x
dx、dy、dz为ds在各坐标轴上的投影，由上式得
dx dy dz = = = dt ux u y uz
(3-1)
上式为迹线的微分方程，表示质点M的轨迹。
2、流线 流线是在同一时刻流场中连续不同位置质点的流动方向线。 流线的特点： ①流线上各质点的流速都与流线相切。 ②流线不能相交，即某瞬时通过流场中 固定点只能有一条流线。 ③恒定流时，流线与迹线重合。 ④流线是光滑曲线不能转折。
例：流体运动的速度函数为 ux＝x＋t，uy＝－y＋t，uz＝0 求t＝0时过M(－1，－1)点的流线和迹线。 解：流线的微分方程为
积分得 即
dx dy = x+t − y+t
ln( x + t ) = − ln(− y + t ) + ln C
( x + t )( − y + t ) = C
当t＝0时，x＝－1，y＝－1代入上式得： C＝－1。 当t＝0时，过M(－1，－1)点的流线是
ρ = ρ (a , b, c, t )
二、欧拉法
物理学中场定义为物理量在空间的分布，如速度场、压力场等。流体力学 中，流场 流场是指流体质点运动经过的全部空间。欧拉法以流场为研究对象，以空间 流场 点为着眼点，研究空间点上各质点的运动要素及其变化规律，来获得整个流场的 运动特性。 欧拉法不是跟踪个别质点，而是在同一时间研究流场中各质点的流速、压力 的变化。质点的流速、压力和密度均是空间坐标（x，y，z）和时间 t 的函数， （ ， ， ） 变量 x，y，z，t 统称为欧拉变量 欧拉变量。即 ， ， ， 欧拉变量
将(5)式代入(3)式得 同理
(5)
x = Ae t − t − 1 y = Be − t + t − 1
当t＝0时，x＝－1，y＝－1代入上式得A＝B＝0。 当t＝0时，过M(－1，－1)质点的迹线为
x = −t − 1
消去t后得
ห้องสมุดไป่ตู้
y = t −1
x + y = −2
(直线方程)
由此可见，当流动与时间t有关时，流线和迹线是不相重合的。
2、流束 充满在流管内部的全部流体，称为流束。断面无穷小的流束， 称为微小流束或元流。 3、总流 在流动周界内全部微小流束（元流）的总和称为总流。
五、过流断面、流量和平均流速 过流断面、
1、过流断面（过水断面）
垂直于所有流线的流体横断面 称为过流断面。 如果流线互相平行，这时过流 断面为平面，否则过流断面为曲面。
迹线是流体质点在一段时间过程中运动的轨迹线。 迹线的特点是：对于每一个质点都有一个运动轨迹，所以迹线 是一族曲线。 如图所示AB曲线是质点M的迹线，在这一迹线上取微元长度ds 表示该质点M在dt时间内的微小位移，则其速度为
ds u= dt
z u c ds
速度的分量为
dx ux = dt
dy uy = dt
第三章
流体运动学
流体运动的描述方法 流场的基本概念 流体微团的运动 连续性方程
引言
静止（包括相对静止） 静止（包括相对静止）是流体的一种特殊的 存在形态，运动（或流动） 存在形态，运动（或流动）才是流体更普遍的存 在形态，也更能反映流体的本质特征。 在形态，也更能反映流体的本质特征。因此相对 流体静力学而言， 流体静力学而言，研究流体的运动规律及其特征 具有更加深刻的意义。这也为流体动力学——研 具有更加深刻的意义。这也为流体动力学 研 究在外力作用下流体的运动规律， 究在外力作用下流体的运动规律，打下了理论的 基础。 基础。
2、流量
单位时间内流经过流断面的流体量，称为流量。 通常用体积流量Q，质量流量M和重力流量G表示，其相应的 单位是m3/s，kg/s和N/s。 ，
运动开始前，质点的起始坐标为（a，b，c），经过时间t，它运动到（x，y， （ ， ， ） （ ， ， z）。x、y、z表示任一流体质点经过时间t的位置，是（a，b，c）及t的函数，即 ） 、 、 （ ， ， ）
x = x ( a , b, c, t ) y = y ( a , b, c, t ) z = z (a, b, c, t )
流体质点的加速度
∂ 2 x (a , b, c, t ) ax = ∂t 2
ay ∂ 2 y (a, b, c, t ) = ∂t 2
∂ 2 z (a, b, c, t ) az = ∂t 2 流体质点的压力p和密度ρ也同样是（a，b，c）和的函数 ， ，
p = p ( a , b, c , t )
这种通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法，称为拉格朗日法 拉格朗日法。 拉格朗日法 表达式中的自变量（a，b，c），称为拉格朗日变量 拉格朗日变量。 （ ， ， ） 拉格朗日变量 流体质点的速度为
∂x (a , b, c, t ) ux = ∂t ∂y ( a , b, c, t ) uy = ∂t ∂z (a , b, c, t ) uz = ∂t