概率论综合练习卷 (2)

综合练习卷二 1

概率论综合练习卷二

一、单项选择题

1. 对于任意两个随机事件B A ,，则下列选项中必定成立的是 （ ）

（2） 若AB =∅，则事件A 和事件B 相互独立

（B ） 若0)(=AB P ，则事件A 与事件B 互斥

（C ） 若0)(=A P ，则事件A 和事件B 相互独立

（D ） 若AB ≠∅，则事件A 和事件B 不相互独立

2. 对于任意两个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是（ ）.

（A ） ()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的充分必要条件

（B ） ()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的充分条件非必要条件

（C ） ()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的必要条件非充分条件

（D ）()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的既非充分条件也非必要条件

3. 设随机变量X 的概率密度函数为2()e

,()x f x x -=-∞<<+∞ ，则X 的分布函数是

（ ）

（A ） 20.5e ,0,()1,0x x F x x ⎧<=⎨≥⎩ （B ） 220.5e ,0,()10.5e ,0x x x F x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ （C ） 210.5e

,0,()1,0x x F x x -⎧-<=⎨≥⎩ （C ） 220.5e ,0,()10.5e ,01,1,1x x x F x x x -⎧<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩

.

4. 设随机变量4321,,,X X X X 相互独立且均服从相同的正态分布， 即),0(~2σN X i ，0>σ.则下列随机变量中不服从2χ分布的是 （ ）

（A ）

()222342112313X X X σ⎛⎫++ ⎪⎝⎭

（B ） ()221242116561X X X σ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （C ） ()()221234211132431345X X X X σ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭

工程数学 概率统计简明教程（第二版）

2 （D ） ()()2212342111243525X X X X σ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭

二、在某外贸公司出口罐头的索赔事件中，有50%是质量问题引起的，有30%是数量短缺问题引起的，有20%是包装问题引起的.又已知在质量问题引起的索赔事件中经协商解决的占40%，数量短缺引起的索赔事件中经协商解决的占60%，包装问题引起的索赔事件中经协商解决的占75%.现在该公司遇到一出口罐头的索赔事件.

（1）求该索赔事件经协商解决的概率；

（2）若已知该索赔事件最终经协商解决，求该索赔事件不是由于质量问题引起的概率.

三、设随机变量X 的分布律为25.0)1()1(===-=X P X P ，5.0)0(==X P ，随机变量Y 服从11,3B ⎛

⎫ ⎪⎝⎭，且11(1,0),(0,1)43P X Y P X Y ======. （1）求(,)X Y 的联合分布律；

（2）求)(XY E 和),cov(Y X ；

（3）问：Y X ,是否相互独立？Y X ,是否不相关？请说明理由.

四、设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

(6),02,04,(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩

其他. （1）求常数k ；

（2）2分别求,X Y 的边缘密度函数；

（3）问：Y X ,是否相互独立？Y X ,是否不相关？请说明理由；

（4）求()4≤+Y X P .

五、设某出租汽车公司有3 600辆出租车，每辆车每年需大修的概率为0.36.各辆车每年是否需要大修是相互独立的.记X 表示每年该公司需大修的车辆数.

（1）求X 的分布律；

（2）使用中心极限定理求概率()12601332P X <≤的近似值.

六、设某小杂货店一周的销售额（单位：万元）是一个随机变量，其密度函数为

24e ,0,()0,

0,t t t f t t -⎧>=⎨≤⎩ 假设各周的销售额是相互独立的.

求：（1）二周销售额的概率密度函数； （2）二周销售额的数学期望.

七、某地交通管理部门随机抽取了10辆卡车，得到它们在最近一天的行驶里程（单位：km ）的数据1021,,,x x x ，由数据算出145km x =，样本标准差24km s =.假设卡车一天

综合练习卷二 3

中行驶里程服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和方差2σ的置信水平为0.99的双侧置信区间.

八、设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本，总体X 的密度函数为

(1)e ,e,(,)0,x x f x θθθθ-+⎧>=⎨⎩

其他其中θ为未知参数，01θ<<. （1）求出θ的最大似然估计；

（2）记1

αθ=，求参数α的最大似然估计；

（3）问：在（2）中求到的α的最大似然估计是否为α的无偏估计?请说明理由.