1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似

A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
2
1 0 1
,
1
2 2.
0
于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
k 2 , k 3是不全为零的实数.
(3)若A PB P 1 ,则 Ak P Bk P 1 ,
( A) P (B) P 1 .
特别地,若有可逆阵P, 使 P 1 AP 为对角阵,
则有 Ak P k P 1 , ( A) P () P 1 .
(4) A 能对角化的充分必要条件是 A有 n个线 性无关的特征向量．
(5) A有n个互异的特征值，则 A与对角阵相似．
可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. 矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；
(3)传递性．
１０ 有关相似矩阵的性质
(1)若 A与 B相似，则 A与 B的特征多项式 相同，从而 A 与 B 的特征值亦相同．
(2)若A与对角矩阵
1
Leabharlann Baidu
2
n
相似,则 1 , 2 ,, n是A的n个特征值.
P1(i E A)P i ,
(i E P1 AP) P1 i P1(i E A)P P1 i P1(i E A) i 0,
即 ( P1 AP )( P1 i) i ( P1 i), 故 P1 i 是 P1 AP属于 i的特征向量.
五、求方阵 A 的特征多项式
例5 设A是n阶方阵,其特征多项式为
从而A的全部特征向量为k1 1;k 2 2 k 3 3 ,这
里 k1 0为实数, k 2 , k 3是不全为零的实数.
四、已知A 的特征值，求与 A相关矩阵的特征值
例4 设n阶方阵A的全部特征值为 1 , 2 ,, n ,属 于 i的特征向量为 i ,求 P 1 AP的特征值与特征向
量. 解 首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明 它们有相同的特征多项式.
的一个基础解系.
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
数).
同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
n阶方阵A有n个特征值.若A (aij)的特征值为
1, 2 ,, n ,则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann; (2)1 2 n A .
７ 有关特征值的一些结论
设是A
(a
ij
) nn
的特
征值,
则
(1)也是 AT 的特征值;
(2) k 是 Ak的特征值(k为任意自然数); ( )是
三、特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
例3
计算3阶实矩阵A
3 2
2 0
4 2
的全部特征值
4 2 3
和特征向量.
解 第一步 计算A 的特征多项式
第五章 矩阵的特征值和特征向量
一、主 要 内 容 1、矩阵的特征值与特征向量及 方阵的相似
６ 方阵的特征值和特征向量
定义 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成立,那么, 这样的数称为方阵A的特征值,非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
A E 0称为方阵A的特征方程. f ( ) A E 称为方阵A的特征多项式.
１１ 实对称矩阵的相似矩阵
(1)实对称矩阵的特征值为实数. (2)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向 量必正交.
( 3)若是 实 对 称 矩 阵A的r重 特 征 值, 则 对 应
的必有r个线性无关的特征向量. (4)实对称矩阵必可对角化.即若A为n阶实对
称阵,则必有正交阵P, 使得 P 1 AP ,其中是 以A的n个特征值为对角元素的对角阵.
f A( ) E A n an1 n1 a1 a0 ,
求 : (1)求 AT 的特征多项式; (2)当A非奇异时,求 A1的特征多项式.
解 (1) f AT ( ) E AT (E A)T E A f A( ),
A与 AT 有相同的特征多项式.
(2)设 1, 2 ,, n是A的全部特征值,则
f P1AP ( ) E P1 AP P1 P P1 AP
P1 E A P E A f A( ), 1, 2 ,, n就是 P1 AP的全部特征值. 其次求 P1 AP属于 i的特征向量. A i i i , 即 (i E A) i 0, 又 ( i E P1 AP ) i (i P1 P P1 AP) i
( A)的特征值.其中 ( ) a0 a1 am m ,
( A) a0 E a1 A am Am .
(3)当A可逆时, 1
是
A1的
特征值;
1
A是
A的
特征值.
８ 有关特征向量的一些结论
定理 设 1 , 2 ,, m 是方阵A的m个特征值,
p1 , p2 ,, pm 依次是与之对应的特征向量,如果
1 , 2 ,, m 各不相等,则 p1 , p2 ,, pm 线性无关.
即属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
９ 相似矩阵
定义 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P, 使 P 1 AP B,
则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似. 对A进行运算P 1 AP称为对A进行相似变换,
3 2 4
f ( ) E A 2 2
4 2 3
( 8)( 1)2.
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
全部特征值.
第三步 求出 A 的全部特征向量
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0