一元一次方程知识点归纳及典型例题

一、【相关概念】

1、方 程：含 的等式．．

2、方程的解：使方程．．．的等号左右两边相等．．．．

，就是方程的解．．．．[2]

。

3、解 方 程：求． 的过程叫做解方程

4、一元一次方程[3]

只．含有一个．．未知数（元）的整式方程叫做一元一次方程。 [1☆选项中是方程的是（ ）

A.3+2=5

B. a -1>2

C. a 2＋b 2－5

D. a 2+22☆下列各数是方程a 2+a+3=5的解的是（ ）A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2

3☆下列方程是一元一次方程的是（ ） A.x

2

+1=5 B. 3(m -1)-1=2 C. x-y=6 D.4★若x=4是方程a x -2

=4的解，则a 等于（ ） A. 0 B. 21

C.-3

D.-2

5★★已知关于x 的一元一次方程a x －b x=m （m ≠0）有解，则有（ ） A. a ≠b B.a>b C.a

二、【方程变形——解方程的重要依据】

1、▲等式的基本性质

·等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。

即：如果a =b ，那么a ±c =b 。

·等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。即：如果a =b ，那么ac =bc 或 如果a =b （ ），那么a/c =b/c [＃ 注：等式的性质（补充）： 等式的两边，结果仍相等。即：如果a =b ，那么b =a ＃]

2、△分数的基本的性质[4]

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：b a =bm am =m

b m

a ÷÷（其中m ≠0） [基础练习]

1☆ 利用等式的性质解方程：2x+13=12 第一步：在等式的两边同时 ，

第二步：在等式的两边同时 ，

解得：x=

2★ 下列变形中，正确的是（ ） 3★★解方程：103

.013.031.02.0=--x x

2

3,23-

==-x x B 得、由55,253==-x x x A 得、由21,4)1(2=-=-x x C 得、由23

,032==y y D 得、由

三、【解一元一次方程的一般．．

步骤】图示

说明：1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；

2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。 要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解a

b

x =

；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。 [（1）5

2

321+-=--y y y （2）)9(76)20(34x x x x --=--

解答题：利用已学知识，构造一元一次方程

1、根据绝对值或平方数相加等于零（注意：0a ≥，2

0a ≥） （1）已知()2

523360x x y --++=⎡⎤⎣⎦，求x 和y 的值.

（2）若()223340x x y ++-+=，求()2

2

1y x -+的值．

2、方程中有未知字母，根据方程的解，求未知字母 （1）已知28x =是方程111222x a a a ⎡⎤

⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

的解，求a 的值.

（2）已知2x =时，代数式2

25x x c ++的值是14，求2x =-时代数式的值．

3、根据代数式值相等、同类项或相反数的知识 （1）若代数式12x x --与代数式2

25

x +-的值相等，求x 的值.

（2）当m 、n 取什么值时，单项式231

2m n a b c

-与223

6m a bc

-是同类项？

四、【一元一次方程的应用】

▲依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题

【想想算算填填】

(1)若=-=+++y x x y 则,0)5(22 。

（2）若31392b a b a n m n ++-与是同类项，则m= ，n= 。 （3）若213y nx y mx m p +与的和为0，则m -n+3p = 。

（4）代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x 的值为 。

（5）若34+x 与5

6

互为倒数，则x= 。

建立一元一次方程模型解实际问题的步骤：

审：分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． 设：设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．

建：把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，建立方程模型． 解：解方程．

检：一检验方程的解正确吗，二检验方程的解是否符合题意． 答：给实际问题一个结论．

常见建立方程模型解实际问题的几种类型

类型基本数量关系等量关系

和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量

②总量＝倍数×倍量

抓住关键性词语

等积变

形问题

变形前后体积相等

行程问题

相遇

问题

路程＝速度×时间

甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离

追及

问题

同地不同时出发：前者走的路程＝追者

走的路程

同时不同地出发：前者走的路程＋两地

距离＝追者所走的路程

顺、逆流

问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

顺流的距离＝逆流的距离

劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语

工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1（总量）

利润问题利润＝售价－进价

%

100

⨯

=

进价

利润

利润率

售价＝进价×(1＋利润率)

利润＝进价×利润率

抓住价格升降对利润率的影响来考虑

或

抓住利润的两种计算方式

数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数

字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a

＋b

抓住数字所在的位置或新数、原数之间

的关系

年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人平等

分配问题一般分

配

此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。

比例分

配

甲∶乙∶丙＝a∶b∶c

全部数量＝各种成分的数量之和(设法

1：设一份为x；设法2：设甲、乙、丙

分别ax,bx,cx)

日历问题同一行上相邻两数，右边的数比左边的数大

1；同一列上相邻两数，下边的比上边的大7

日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，

且都是正整数