人教版数学高二A版选修4-5 3.3排序不等式
2014年人教A版选修4-5课件 3.排序不等式
证明: a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn 是两组实数, c1, c2, …, cn 是 b1, b2, …, bn 的任一排列.
则不同的 c1, c2, …, cn 有 n! 个. 乱序和 S=a1c1+a2c2+…+ancn ①
(1) 若 c1b1, 而 ck=b1 (k>1), 则交换 c1, ck 得 S=a1ck+a2c2+…+akc1+…+ancn (ck≤c1). ② ②-①得 ≥0, S S =a ch = =( (a ah a a2)( )(c c2 c ch)) 2 ≥0, S S = a2c ch+ +a ahc c2 a a2c c2 a ahc
n
Ai
An
A
问题2. 如图, 在∠AOB 的边 OA 上依次取 n 个点 A1, A2, …, An, OB 上也依次取 n 个点 B1, B2, …, Bn. 选取 Ai (i=1, 2, …, n) 与 Bj (j=1, 2, …, n) 连接 起来, 这样连成了 n 个三角形 AiOBj. 如何连接, 这 些三角形的面积之和最大或最小? Bn B 设 OA1=a1, OA2=a2, …, Bj OAn=an; OB1=b1, OB2=b2, B2 …, OBn=bn; ∠AOB=a. B1 1 S1 = sina (a1bn + a2bn1 + + anb1 ); 2 O Ai An A 1 A1 A2 S2 = sina (a1b1 + a2b2 + + anbn ). 2 由猜想得 a1bn+a2bn1+…+anb1<a1b1+a2b2+…+anbn. (问: 由问题 1 和问题 2, 你能得出什么样的猜想?)
高二数学人教A版选修4-5课件：3.3排序不等式
【例 1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商品中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼 品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解】 由题意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3) ＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；
花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．
规律技巧 利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应 的两个数组，并且要排列出大小顺序，这是解决问题的关键．
【变式训练 1】 设 a1，a2，a3 为正数，且 a1＋a2＋a3＝1， 求a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值．
a3 a1 a2
解 不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12， 所以 a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a33＋aa1a12＋aa3a22＝a1＋a2＋a3＝1， 顺序和 S′＝a1a2＋a2a3＋a3a1.
思考探究 使用排序不等式的关键是什么？ 提示 使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数 (或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
1．排序原理的本质含义 两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘 积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最 小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．
3.3 排序不等式
必修4-5
本节目标
1.了解排序不等式并理解乱序和、反序和、顺序和的概念． 2．掌握排序不等式的推导和证明过程． 3．会利用排序不等式解决简单的不等式问题.
预习反馈
1．已知 x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则 M 与 N 的大小关系是( )
高中数学第三讲三排序不等式学案含解析新人教A版选修4_5
三排序不等式考纲定位重难突破1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理．3.理解排序不等式的简单应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简单应用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]一、顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…a n b n为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．二、排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．[双基自测]1．已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2的大小关系是()A．a5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3a2B．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2C．a5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3a2D．a5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．设两组数1,2,3,4和4,5,6,7的顺序和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________ s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41授课提示：对应学生用书第32页探究一 利用排序不等式证明不等式[例1] 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] 由题意不妨设a ≥b ≥c >0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．1．利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．2．若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题．1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ac ≥1ab>0， ∴由顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ac ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .①又∵a 11≥b 11≥c 11，1c ≥1b ≥1a ，∴由乱序和≥反序和，得a 11b ＋b 11c ＋c 11a ≥a 11a ＋b 11b ＋c 11c ＝a 10＋b 10＋c 10，②由①②两式得：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.探究二 利用排序不等式求最值[例2] 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．[解析] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．2．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解析：令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝ca (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝ba (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.探究三 利用排序不等式解决实际问题[例3] 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[解析] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．利用排序不等式解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造排序不等式的模型．3．某座大楼共有n 层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v 1，v 2，…，v n (他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排？(假设每两层楼的楼梯长都一样)解析：设两层楼间的楼梯长为s ，则第一层需要走的路程为s ，第二层需要走的路程为2s ，…，第n 层需要走的路程为ns .不妨设v ′1>v ′2>…>v ′n 为v 1，v 2，…，v n 从大到小的排列，显然1v ′1<1v ′2<…<1v ′n ，由排序不等式，可得ns 1v ′1＋(n －1)s 1v ′2＋…＋s 1v ′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．在运用排序不等式时不能准确找到相应有序数组致误[典例] 一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，几何平均数G n ＝na 1a 2…a n ，算术平均数A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，利用排序不等式可以判断G n ，A n 的大小关系为________．[解析] 令b i ＝a iG n (i ＝1,2，…，n )，则b 1b 2…b n ＝1，故可取x 1≥x 2≥…≥x n >0，使得b 1＝x 1x 2，b 2＝x 2x 3，…，b n －1＝x n －1x n ，b n ＝x nx 1.由排序不等式有：b 1＋b 2＋…＋b n ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1≥x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n＝n ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号，所以a 1G n ＋a 2G n ＋…＋a nG n ≥n ，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥G n ，即A n ≥G n . [答案] A n ≥G n[规律探究] (1)利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为n ，使得问题得以解决．(2)利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确．(3)运用排序不等式的解题步骤是①构造两组有序数组使之满足排序不等式的条件；②运用排序不等式得到不等关系；③找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.[随堂训练] 对应学生用书第34页1．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，由排列不等式可知a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3. 当且仅当a ′1＝a 1，a ′2＝a 2，a ′3＝a 3时等号成立． 答案：A2．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E <F B ．E ≥F C ．E ＝FD ．E ≤F解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F . 答案：B3．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a >1b ，x >y ，则x x ＋a ________yy ＋b (填“>”或“<”)．解析：∵1a >1b ，a >0，b >0，∴b >a >0，又x >y >0，∵bx >ay ， ∴bx －ay >0， 又x ＋a >0，y ＋b >0，∴x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0， 即xx ＋a >y y ＋b . 答案：>。
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式 Word版含答案
三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。
高中数学选修4-5第三讲排序不等式
所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
类型 3 排序不等式的实际应用
[典例 3] 某座大楼共有 n 层，在每层有一个办公室， 每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为 v1， v2，…，vn(他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上 下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排(假设每两层 楼的楼梯长都一样)?
利用排序不等式，有aa12＋aa23＋…＋aan－n 1≥bc11＋bc22＋… ＋bcnn－－11≥12＋23＋…＋n－n 1.
所以原不等式成立．
归纳升华 1．在不等式的证明方法中，配凑法比较常见，如在 运用基本不等式、柯西不等式时，常常先将不等式的一侧 (或已知等式的一侧)进行配凑，使之满足基本不等式或柯 西不等式的应用条件．在运用排序不等式时，常常根据题 目条件，配凑构造出所需要的有序数组．
解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱 序和也可能是 35 或其他等．由排序不等式可知(4)正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．有两组数 1，2，3 与 10，15，20，它们的顺序和、
反序和分别是( )
A．100，85
B．100，80
C．95，80
D．95，85
所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使 上下楼的时间最短．
归纳升华 在解决一些规划预算问题时，往往只需确定最小值与 最大值，以进行合理规划与正确预算，结合排序不等式 “顺序和最大，反序和最小”，可以方便快捷地处理，方 法巧妙，步骤灵活，过程简单．
[变式训练] 某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对 其维修分别需要 45 min，25 min 和 30 min，每台电脑耽 误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条 件下，按怎样的顺序维＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值 为 a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9 ×10＋12×11＝304.
人教A版选修4-5 3.3排序不等式 作业
课后导练基础达标1若A=x 12+x 22+…+x n 2,B=x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1, 其中x 1,x 2,…,x n 都是正数,则A 与B 的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A ≥BD.A ≤B解析:依序列{x n }的各项都是正数,不妨设x 1≤x 2≤…≤x n ,则x 2,x 3,…,x n ,x 1为序列{x n }的一个排列.依排序原理,得x 1x 1+x 2x 2+…+x n x n ≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1,即x 12+x 22+…+x n 2≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1. 答案:C2设a,b 都是正数,P=(b a )2+(a b )2,Q=b a +ab,则( ) A.P ≥Q B.P ≤Q C.P>Q D.P<Q 解析:∵a,b 都是正数,∴a b 、b a 22与b 1,a 1顺序相同.∴b a 2·b 1+a b 2·a 1≥b a 2·a 1+a b 2·b1. ∴(b a )2+(a b )2≥b a +ab,即P ≥Q. 答案:A3设a,b,c ∈R ,则cabb ca a bc ++____________a+b+c. 解析:设a ≥b ≥c ≥0,则bc ≤ca ≤ab,a 1≤b 1≤c1,∴c ab b ca a bc ++≥ac ·c 1+a ab +bbc =a+b+c. 答案:≥4若△ABC 的三内角为A,B,C,三边为a,b,c,则c b a cC bB aA ++++___________3π.解析:设a ≤b ≤c,A ≤B ≤C.作序列a,a,a,b,b,b,c,c,c,A,A,A,B,B,B,C,C,C. aA+aA+aA+bB+bB+bB+cC+cC+cC ≥(aA+aB+aC)+(bA+bB+bC)+(cA+cB+cC), ∴3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C),即c b a cC bB aA ++++≥3C B A ++=3π.答案:≥5设a,b,c ∈R ,求证:a a b b c c ≥(abc)3c b a ++.证明:∵a,b,c ∈R ,∴lg(a a b b c c )=alga+blgb+clgc, lg(abc)3cb a ++=3cb a ++(lga+lgb+lgc). 设a ≤b ≤c,作序列a,a,a,b,b,b,c,c,c,lga,lga,lga,lgb,lgb,lgb,lgc,lgc,lgc. 3(alga+blgb+clgc)≥a(lga+lgb+lgc)+b(lga+lgb+lgc)+c(lga+lgb+lgc), 即alga+blgb+clgc ≥3cb a ++(lga+lgb+lgc), ∴a a b bc c ≥(abc)3c b a ++.综合运用6设a,b,c 是某三角形的三边长,证明a 2b(a-b)+b 2c(b-c)+c 2a(c-a)≥0,并问何时取等号? 证明:不妨设a ≥b ≥c,此时 a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),于是由排序不等式可得c 1·a(b+c-a)+a 1·b(c+a-b)+b1·c(a+b-c)≤a 1·a(b+c-a)+b1·b ·(c+a-b)+c 1·c(a+b-c)=a+b+c,即c 1a(b-a)+a 1b(c-b)+b1c(a-c)≤0, a 2b(a-b)+b 2c(b-c)+c 2a(c-a)≥0, 上式当且仅当a 1=b 1=c1,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c 时取等号. 7已知a 1,a 2,…,a n 是n个两两互不相等的正整数,求证:a 1+n na a a n 1312113222322++++≥+++ΛΛ.证明 :注意到22221312111n≥≥≥≥Λ,所以2232232n a a a n +++Λ可以看作一个乱序和,将a 1,a 2,…,a n 排序后就可以利用排序原理.因为a 1,a 2,…,a n 是n 个两两互不相等的正整数,可将它们从小到大排列,不妨设b 1<b 2<…<b n ,从而b k ≥k(k 为正整数),由排序不等式可得2232232n a a a n +++Λ≥b 1+2232232nb b b n +++Λ nn n 13121133221222++++≥++++≥ΛΛ 8设x i ,y i 是实数(i=1,2,…,n),且x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n ,又z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的任一排列,证明2121)()(∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x.证明:由排序不等式,得∑∑==≥ni iini iizx y x 11,则∑∑==-≤-ni i i ni ii z x yx 1122.又∵∑∑∑∑====+=+ni i ni i ni i ni i z x y x 12121212,∴∑∑∑∑∑∑======+-≤+-ni i i n i i ni i n i ni i i i ni iz z x x y y x x121121121222,即2121)()(∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x.拓展探究9若α,β,γ均为锐角,且满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1, 求证:cot 2α+cot 2β+cot 2γ≥23. 证明:∵cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1, cos 2α=1-sin 2α, ∴sin 2α+sin 2β+sin γ=2. 又sin α2+cos 2α=1, ∴1+cot 2α=α2sin 1. ∴3+cot 2α+cot 2β+cot 2γ =γβα222sin 1sin 1sin 1++, (sin 2α+sin 2β+sin 2γ)(γβα222sin 1sin 1sin 1++) ≥［sin α·γγββαsin 1sin sin 1sin sin 1•+•+］2=9, 即2·(γβα222sin 1sin 1sin 1++)≥9(柯西不等式). ∴3+cot 2α+cot 2β+cot 2γ≥29.∴cot 2α+cot 2β+cot 2γ≥23. 备选习题10设a,b,c 是某三角形的三边长,证明a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤3abc. 证明:不妨设a ≥b ≥c,容易验证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),由排序不等式可得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c),① 及a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c),②①+②并化简即得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤3abc.11设a,b,c 均为正数,求证:a+b+c ≤abcc b a 444++.证明:不妨设a ≥b ≥c>0,则有a 2≥b 2≥c 2,ab ≥ac ≥bc,由排序不等式得a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 3c+b 3a+c 3b.又a 3≥b 3≥c 3且a ≥b ≥c,再由排序不等式得a 3c+b 3a+c 3b ≤a 4+b 4+c 4. 从而a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 4+b 4+c 4,两边同除以abc 即得所证不等式.12设a k 是两两互异的自然数(k=1,2,…),证明对任意自然数n,均有∑∑==≥nk nk k kk a 1121.证明:设b 1,b 2,…,b n 是a 1,a 2,…,a n 的一个排列,使b 1<b 2<…<b n ,则从条件知对每个1≤k≤n,b k ≥k,于是由排序不等式可得∑∑∑===≥≥nk n k k nk k kk b k a 112121.13已知x i ∈R (i=1,2,…,n;n ≥2)满足∑=ni i x 1||=1,∑=ni i x 1=0,求证:|∑=ni i i x 1≤21-n21.证明:设i 1,i 2,…,i s ,j 1,j 2,…,j t 是1,2,…,n 的一个排列,且使得t s j j j i i i x x x x x x ≥≥≥>≥≥≥≥ΛΛ21210.又设a=i i i i x x x +++Λ21,b=-(t j j j x x x +++Λ21),根据已知条件,有a-b=0,a+b=1,所以=b=21. 不妨设∑=ni i i x 1≥0,(否则,若∑=ni i i x1<0,取y i =-x i ,i=1,2,…,n,此时y 1,y 2,…,y n 仍满足∑=ni iy1||=1,∑=ni i y 1=0,且|∑=ni i i x 1|=∑=ni i iy1>0)由排序不等式,有 1·x 1+21·x 2+…+n 1·x n ≤1·1i x +21·2i x +…+s 1s i x +11+s ·1j x +21+s ·2j x +…+n1·t j x ≤(1i x +2i x +…+s i x )+n 1(1j x +2j x +…+t j x )=21-n21.从而|∑=ni i i x 1|≤21-n21.。
(部编本人教版)最新版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式试题 新人教A版选修4-5【必
三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,∴a1a2+b1b2<.∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和17.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.S21≥8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).9.设a,b均为正数,求证.a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式性质,得>0.则由排序不等式,可得,即.10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<00<α<β<γ<,所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+·x+x n·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。
人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入 下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n
高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式3排序不等式人教A版选修4_5
[自主解答] 不妨设 0<a≤b≤c，则 a3≤b3≤c3， 0<b1c≤c1a≤a1b， 由排序原理：乱序和≤顺序和，得 a3·c1a＋b3·a1b＋c3·b1c≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b， a3·a1b＋b3·b1c＋c3·c1a≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b.
将上面两式相加得 a2＋c b2＋b2＋a c2＋c2＋b a2≤2bac3＋cba3＋acb3 ， 将不等式两边除以 2， 得a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 .
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给 出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限 定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限 定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．
合作探究 提素养
用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 【例 1】 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12.
[精彩点拨] 由于题目条件中已明确 a≥b≥c，故可以直接构造 两个数组．
[自主解答] (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b. 又 c>0，∴1c>0，从而b1c≥c1a， 同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c， ∴a>0，∴1a>0，于是得c1a≥a1b， 从而b1c≥c1a≥a1b.
即按注满时间为 4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待 的总时间最少．
人教版高中数学选修4-5课件：3.3排序不等式
c
b
a a
c
b
ca
b
.
又S
a
bc
b
c
gab
b
ac
a
cgbc
ab
ca
bgac
a
b b
c
b
c
a
c
c
a，
a b林老师网络编辑整理
26
两式相加得: 2S 1 1 1 3g3 1 3. a b c abc
所以S≥ 3即， 2
x2 x3
...
xn x1
1
1
1
x1
x2
xn
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43
当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以a1 a2 ... an
Gn Gn
Gn
≥n,即 a1 a2 ≥..G.ann.即An≥Gn.
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10
2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是 否最大?反序和是否最小? 提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28, 乱序和S=1×4+2×6+3×5=31, S=1×5+2×4+3×6=31, S=1×5+2×6+3×4=29,
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11
S=1×6+2×4+3×5=29, 顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32. 由以上计算知S1<S<S2, 所以顺序和最大,反序和最小.
三 排序不等式
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2020年高中数学学习方略选修4-5人APPT：3.3排序不等式
(2)定顺序:当已知数组位置对称,没有大小顺序时,可 指定一个次序,然后再利用排序不等式求解. 提醒:运用排序原理求最值时,一定要验证等号是否成 立,若等号不成立,则取不到最值.
【习练·破】
已知x,y,z是正数,且x+y+z=1,求t= x2 ＋ y2 ＋z2 的最小
yzx
值.
【解析】不妨设x≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2, 1 1 1 .
bc ca ab
小值.
世纪金榜导学号
【思维·引】由对称性,不妨设a≥b≥c>0,注意到 b
bc
c =1,设法构造数组,利用排序不等式求解.
bc
【解析】不妨设a≥b≥c>0,
则a+b≥a+c≥b+c, 1 1 1 ，
bc ca ab
由排序不等式得,
a b c b c a， bc ca ab bc ca ab
zyx
由排序不等式,乱序和≥反序和.
x2 ＋ y2 ＋z2 x2 g1＋y2 g1＋z2 g1＝x＋y＋z.
yzx
x yz
又x+y+z=1,
所以 x2 ＋ y2 ＋z2 1，
yzx
当且仅当x=y=z=1 时,等号成立.
3
故 t＝ x2 ＋ y的2 ＋最z2小值为1.
yzx
1. c
【思维·引】本题考查排序不等式及不等式的性质、 证明不等式等基本知识,考查推理论证能力.解答此题 只需根据a≥b≥c,直接构造两个数组,利用排序不等式 证明即可.
【证明】(1)由已知a≥b≥c,所以 1 1 1 ,所以有两
cba
组数 1 1 , 1 1 ,由排序不等式得 1 1 1 .
人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析
人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析第三讲柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题a1a2a31．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则值为( )A．3 C．9B．6 D．12＋＋的最小a1′a2′a3′111解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，a3a2a1由乱序和不小于反序和知， a3a1a2a3所以＋＋≥＋＋＝3，a1′a2′a3′a1a2a3a1a2a3a1a2所以＋＋的最小值为3，故选A. a1′a2′a3′答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元 D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N C．M＜N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a・a4＋b・b4＋c・c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N. 答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则aA．1B．233b＋bc＋ca的最大值是( )B．M＝N D．M＞NC．3 D. 解析：设a≥b≥c≥0，所以由排序不等式可得ab＋ba ≥c＋cb ≥ a≤ac. a＋bb＋cc.而(a＋bb＋c所以aa＋bc≤3. b＋bb＋cc)2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aac＋ca≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零 C．小于零B．大于等于零 D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3・a＋b3・b＋c3・c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1ab＋cbc7．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________． c＋aa＋b感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课前导引素材新人教A版选修4-5(2021学年)
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３.3 排序不等式课前导引情景导入有１0人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=１，2,…，１０)个人的水桶需要t i 分钟，假定这些ｔi各不相同。
问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少？要解决这个问题,需用到一个重要的不等式——排序不等式.知识预览1。
定理（排序不等式,又称排序原理)设ａ1≤a２≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c１,c２，…,cｎ是b1，b2，…,bｎ的任一排列。
那么a1b n+a２b n—1+…+aｎb1≤a1ｃ1+ａ2c２+…＋ａn c n≤ａ1b１+a2b2+…+a n bｎ，当且仅当ａ１=a2=…=a n或b1=b2=…=bｎ时,反序和等于顺序和。
2。
排序原理又可用文字表示为反序和≤乱序和≤顺序和。
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人教版数学高二A版选修4-5素材3.3排序不等式
庖丁巧解牛知识·巧学排序不等式Sequence Inequality(又称排序原理)(1)排序原理的内容：设有数组A ：a 1≤a 2≤…≤a n ，及数组B ：b 1≤b 2≤…≤b n .称a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 为顺序和，a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-2+…+a n b 1为倒序和，a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 为乱序和(其中c 1,c 2,…,c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的一个排列).则有：顺序和≥乱序和≥倒序和，其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n 时成立. 记忆要诀以S=∑=n i i i ba 1表示顺序和，以∑=+-=n i i n ib a S 11表示倒序和，以S 1=∑=n i i ic a 1表示乱序和（其中，c 1，c 2,…,c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的任一排列）,则有S ≤S 1≤S.(2)排序原理的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列.学法一得由排序原理，我们可以得到这样一个推论：对于实数，a 1,a 2,…,a n ,设a i1,a i2,…,a in 为其任一个排列,则有a 1a i1+a 2a i2+…+a n a in ≤a 12+a 22+…+a n 2.证明：不妨设满足a 1≤a 2≤…≤a n ,取b k =a k (k=1,2，…,n),因此b 1≤b 2≤…≤b n ,且a 1,a 2,…,a n 是b 1,b 2,…,b n 的一个排列,由排序原理知,a 11i a +a 22i a +…+a n n i a ≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 12+a 22+…+a n 2. (3)排序原理的意义：在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）a 1,a 2,…,a n 的数学问题时，如果根据对称性，假定它们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解.这就是数学中的排序思想.联想发散根据排序原理的定义，在处理积问题时，有时我们可以通过“逐步调整”的方法，使最后的积总的最大.而且所进行操作的步骤是有限的.排序原理的思想：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以将它们按一定顺序排列起来，往往十分有助于解题，这在不等式中应用尤为广泛.典题·热题知识点一： 用排序不等式证明不等式例1 在△ABC 中，h a ,h b ,h c 为边长a,b,c 上的高，求证：asinA+bsinB+csinC≥h a +h b +h c . 思路分析：解题关键是将h a ，h b ，h c 结合已知量转化为积的形式，进而运用排序原理去求证. 证明：如下图,h a =bsinC;h b =csinA,h c =asinB,不妨设a≥b≥c;由大角对大边可知A≥B≥C.①若A≤90°，则有sinA≥sinB≥sinC,由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.②若A>90°,此时,sinA=sin(B+C),因为B+C 为锐角,故亦有sinA≥sinB≥sinC.由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.综上可知,asinA+bsinB+csinC≥h a +h b +h c 成立.巧妙变式用A 、B 、C 表示△ABC 的三内角的弧度数，a 、b 、c 表示其对边，求证c b a cC bB aA ++++≥3π. 证明：由对称性，不妨设a≥b≥c,于是A≥B≥C ，于是由顺序和≥乱序和，可得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cC≥aB+bC+cA,aA+bB+cC≥aC+bA+cB.将上面三式相加可得3（aA+bB+cC ）≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c).因为a+b+c>0，所以c b a cC bB aA ++++≥3π. 例2 a,b,c ∈R +，求证: a+b+c≤abc ca b bc a b a c a c b c b a 233222222222++≤+++++. 思路分析：本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在处理该类式子中，经常对每个式子采用同样的处理方法即可（即轮换技巧）.中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a≥b≥c ，则a 2≥b 2≥c 2,c 1≥b 1≥a 1,则a 2·c 1+b 2·a 1+c 2·b 1（乱序和）≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c1（倒序和），同理a 2·c 1+b 2·a 1+c 2·b 1（乱序和）≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c1（倒序和）.两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组a 3≥b 3≥c 3及bc 1≥ac 1≥ab 1，仿上可证第二个不等式.方法归纳证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，这些操作包括一些添项、拆项，及一定的构造,而变形的主要依据是不等式的性质.因此在学习中，应该认真把握这个定理的内容形式.知识点二： 用排序不等式证明重要公式例3 证明切比雪不等式：若a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≤b 2≤…≤b n ,则∑=n i i i b a n 11≥(∑=n i i a n 11)·(∑=ni i b n 11).思路分析：排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.证明：由排序不等式有：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1,a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2，……a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b n +a 2b 1+…+a n b n -1.将以上式子相加得：n(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )≥a 1(b 1+b 2+…+b n )+a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+a n (b 1+b 2+…+b n ), ∴∑=ni i i b a n 11≥∑=ni ia n 11)·(∑=ni i b n 11).巧妙变式a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≥b 2≥…≥b n ,则∑=n i i i b a n 11≤(∑=n i i a n 11)·(∑=ni i b n 11).例4 请利用排序不等式证明G n ≤A n .（一般地，对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ；几何平均G n =n n a a a 21，算术平均A n =n a a a n+++ 21）思路分析：由排序不等式可以衍生出很多的定理与性质，及一些有用的式子.证明：令b i =niG a(i=1,2, …,n)，则b 1b 2…b n =1，故可取x 1,x 2, …,x n >0，使得b 1=21x x,b 2=32x x , …,b n -1=n n x x 1-,b n =1x xn .由排序不等式有：b 1+b 2+…+b n =13221x x x x x x n ++（乱序和）≥x 1·11x +x 2·21x +…+x n ·nx 1（倒序和）=n ， ∴nn n n G a G a G a +++ 21≥n,即n a a a n++21≥G n .方法归纳对,1,121a a …，n a 1各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，G n ≤A n .问题·探究思想方法探究问题 如何形象地理解排序原理，并正确地运用它？探究过程:理解排序原理的正确性，令a 1=2,a 2=7,a 3=8,a 4=9,a 5=12,另令b 1=3,b 2=4,b 3=6,b 4=10,b 5=11,记c 1,c 2,c 3,c 4,c 5是b 1,b 2,b 3,b 4,b 5的一个重排列，来计算a 1c 1+a 2c 2+…+a 5c 5的值,至多可以得到5！=120个不同的数.易验证出a 1b 1+a 2b 2+…+a 5b 5最大,值为304;而a 1b 5+a 2b 4+…+a 5b 1最小,值为212.排序不等式应用较为广泛，它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式，如a,b,c ∈R +时,a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a a 2·a+b 2·b+c 2·c≥a 2·b+b 2·c+c 2·a,此处依据的是顺序和≥乱序和;a c c b b a 222++≥a+b+c ⇔a 2·b 1+b 2·c 1+c 2·a 1≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c1,此处依据的是乱序和≥倒序和.在运用排序定理时，首先要特别注意“序”，应注意所给项的一个大小问题，这是排序不等式与别的不等式的一个显著区别所在.我们以前学过的一些有用的不等式，如对a>0,有a+a 1≥2，完全可以改写为这样一个形式，对a>0,有a·1+1·a 1≥a·a1+1·1，这时，运用的就是顺序和≥反序和，可谓异曲同工.探究结论:排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得.交流讨论探究问题 平均的概念，在人们的日常生活和生产实践中是经常遇到的.除了上述谈到的算术平均数和几何平均数之外，还常会用到哪些平均数？探究过程:同学甲：设a 1,a 2, …,a n 为正数，则这n 个数的平方和的算术平均数的算术平方根为Q n =na a a n 22221+++ . Q n 称为这n 个数的平方平均数.平方平均数在概率统计及误差分析中有着重要的作用. 同学乙：而n 个正数的倒数的算术平均数的倒数为H n =n a a a n11121+++ .H n 称为这n 个数的调和平均数.调和平均数在物理学中的光学及电路分析中有着较多的应用.而记A n =na a a n ++21,G n =n n a a a 21. 同学丙：A n ,G n ,Q n ,H n 四个平均数的关系为H n ≤G n ≤A n ≤Q n .其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 时成立.探究结论:这些不等式，本身也可以通过排序不等式证明出，这些重要的不等式不仅应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具.。
3.3 排序不等式 课件(人教A选修4-5)
[悟一法]
在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，
必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才 可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分 类讨论．
[通一类]
1 2 3．设 a1，a2，…，an 是 1,2，…，n 的一个排列，求证： ＋ 2 3 n－1 a1 a2 an－1 ＋…＋ n ≤ ＋ ＋…＋ a . a2 a3 n
3 [答案] 2
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又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个
排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1· x＋x·2＋…＋xn－1·n＋xn· x x 1≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－ x x
1· x＋xn· 1，
得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.② 将①和②相加得
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
[研一题] [例3] 设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn. [精讲详析] 本题考查排序不等式的应用．解答本题 需要注意：题目中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有 明确，因此需要进行分类讨论． (1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn， 由排序原理：顺序和≥反序和，得 1· 1＋x· 2·2＋…＋xn·n x＋x x x ≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－1· n· x x x＋x 1， 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ①
需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序， 且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，
高中数学 二维形式的柯西不等式教案 新人教A版选修4-5
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式.2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n c d =r ，则||m =u r ||n r∵ m n ac bd •=+u r r，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g g g ，则||||||m n m n ≤u r g g . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？||ac bd + 或||||ac bd +ac bd +.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u rg . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =的最大值?要点：利用变式||ac bd +二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤u r u r u r u rg ，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++L L 讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号，假设0i b ≠） 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++L ，22212n C b b b =+++L ，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++L g 22212()n b b b +++L ≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+L . （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。
数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.3排序不等式
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当且仅当 x1＝x2＝…＝xn 时，等号成立． 答案：A
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4．顺序和、反序和、乱序和的大小关系是________． 解析：由排序不等式易知反序和≤乱序和≤顺序和． 答案：反序和≤乱序和≤顺序和
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5．有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个 人的水桶分别需要 5 s，4 s，3 s，7 s，每个人接完水后就 离开，则他们总的等候时间最短为________s.
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4
S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn 叫做数组(a1，a2，…，an) 和(b1，b2，…，bn)的乱序和．
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5
2．排序原理或排序不等式
设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1， c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，那么，a1bn＋ anbn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋… ＋anbn，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时， 反序和等于顺序和．
解：由题意不妨设 a≥b≥c＞0， 所以 ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a. 由排序原理，知 ab·1c＋ac·1b＋bc·1a≥ab·1b＋ac·1a＋bc·1c
＝a＋c＋b.
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类型 2 利用排序不等式求最值 [典例 2] 设正数 x，y，z 满足 xyz＝1，求y＋x2 z＋z＋y2x ＋x＋x2 y的最小值． 解：不妨设 x≥y≥z，则 x＋y≥x＋z≥y＋z＞0，于是 x≥y≥ z ， y＋z z＋x x＋y
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人教版A版高中数学选修4-5排序不等式
6．设a1，a2，…，an为实数，且a1≤a2≤a3≤…≤an，用排 序不等式证明：a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a＋a＋…＋a，其中c1， c2，…，cn为a1，a2，…，an的任一排列．
证明：∵a1≤a2≤…≤an， 由乱序和≤顺序和，即得 a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1·a1＋a2·a2＋…＋an·an， ∴a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a21＋a22＋…＋a2n.
又因 1＞212＞312＞…＞n12， 故由排序不等式，得
a1＋2a22＋3a32＋…＋nan2≥b1＋b222＋b332＋…＋bnn2
≥1×1＋2×212＋3×312＋…＋n·n12
＝1＋12＋13＋…＋1n.
点评：在证明不等式的过程中，往往将“n个互不 相同的正整数”进行排序，这种排序并不失一般性，是 证明中常常使用的一个技巧．本题较难之处是如何想到 构造新的排列b1，b2，…，bn，这需要考生从正确的方向 进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的 条件，挖掘条件背后更深的内容，为使用已有经典不等 式创造条件．
这个和数就是问题的数学模型，现要考虑t1，t2，…，t10 满足什么条件时这个和数最小．
解析：等待总时间(分钟)是10t1＋9t2＋…＋2t9＋t10.
根据排序不等式，当t1＜t2＜…＜t9＜t10时总时间取最小 值．这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等候的 总时间最少，这个最少的总时间是10t1＋9t2…＋2t9＋t10，其中t1 ＜t2＜…＜t9＜t10.
二层练习
7．已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证：
(1)b1c≥a1c≥a1b；
(2)ba3c53＋ab3c53＋ac3b5 3≥1a＋1b＋1c.
证明：(1)∵a≥b＞0，∴1a≤1b， 又∵c＞0，∴1c＞0，∴b1c≥c1a， 同理∵b≥c＞0，∴1b≤1c， ∵a＞0，∴1a＞0，∴c1a≥a1b，∴b1c≥a1c≥a1b；
人教数学选修4-5全册精品课件：第三讲三排序不等式
【名师点评】 本题证明关键是构造本不等式中 1 1 用到的一些数字如 1、 2、 2等，并比较出大小． 2 3
变式训练 2 设 a1，a2，„，an 为 1,2，„，n 的一 个排列． n－1 a1 a2 an－1 1 2 证明： ＋ ＋„＋ ≤ ＋ ＋„＋ . 2 3 n a2 a3 an
证明：设 b1，b2，„，bn－1 是 a1，a2，„，an－1 的一 个排列，且 b1<b2<„<bn－1. c1，c2，„，cn－1 为 a2，a3，„，an 的一个排列，且 c1<c2<„<cn－1， 1 1 1 于是 > >„> . c1 c2 cn－1
a1a2 a2a3 a3a1 顺序和 S′＝ ＋ ＋ . a3 a1 a2 a1a2 a2a3 a3a1 由排序不等式得 ＋ ＋ ≥a1 ＋a2 ＋a3 ＝ a3 a1 a2 1. a1a2 a2a3 a3a1 ∴ ＋ ＋ 的最小值为 1. a3 a1 a2
用排序不等式证明不等式
设 a1、a2„an 互不相同且为正整数，求证： 1 1 1 a2 a3 an 1＋ ＋ ＋„＋n≤a1＋ 2＋ 2＋„＋ 2. 2 3 2 3 n 【证明】 设 b1，b2，„，bn 是 a1，a2，„，an 的一个排列，且满足 b1<b2<„<bn，b1，b2，„， bn 互不相同且为正整数， ∴b1≥1，b2≥2，„，bn≥n.
a b c 3 ∴ ＋ ＋ ≥ . b＋c c＋a a＋b 2 当且仅当 a＝b＝c，等号成立． a b c 3 ∴ ＋ ＋ 的最小值为 . 2 b＋c c＋a a＋b
【名师点评】 本题的关键是构造常数， b＋c c＋a a＋b b c c a a 3＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c b＋c c＋a c＋a a＋b b ＋ . a＋b
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课后训练
1．已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )． A ．大于零 B ．大于或等于零 C ．小于零 D ．小于或等于零
2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边依次为a ，b ，c 则aA bB cC a b c ＋＋＋＋__________π
3
.(填
“≥”或“≤”)
3．已知a ，b ，c 都是正数，则
a b c
b c c a a b
≥＋＋＋＋＋________. 4．设x ，y ，z ∈R ＋，求证：
222222
0z x x y y z x y y z z x
≥－－－＋＋＋＋＋. 5．设a ，b ，c 为某三角形三边长，求证：a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤3abc. 6．设a ，b ，c 是正实数，求证：3
()
a b c
a b c
a b c abc ≥＋＋.
7．设a ，b ，c 都是正实数，用排序不等式证明：2222
a b c a b c
b c c a a b ≥＋＋＋＋＋＋＋. 8．设a 1，a 2，…，a n ；b 1，b 2，…，b n 为任意两组实数，如果a 1≤a 2≤…≤a n ，且b 1≤b 2≤…≤b n ，
求证：
11221212n n n n
a b a b a b a a a b b b n n n
≥⨯
＋＋＋＋＋＋＋＋＋当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，等号成立．
设a ，b ，c ∈R ＋，求证：222222222
222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab
≤
≤＋＋＋＋＋＋＋＋＋.
参考答案
1. 答案：B
解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3，
根据排序原理，得a 3×a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a . 又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，
所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . 所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ， 即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 2. 答案：≥
解析：不妨设a ≥b ≥c ，则有A ≥B ≥C.由排序不等式可得 aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ，
aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cA ， aA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB.
将以上三个式子两边分别相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝(a ＋b ＋c )π，
所以
π
3aA bB cC a b c ≥＋＋＋＋.
3. 答案：3
2
解析：设a ≥b ≥c ＞0， 所以
111
b c c a a b
≥≥
＋＋＋. 由排序原理，知
a b c b c a
b c c a a b b c c a b a ≥＋＋＋＋
＋＋＋＋＋＋，① a b c c a b
b c c a a b b c c a a b
≥＋＋＋＋
＋＋＋＋＋＋.② ①＋②，得3
2
a b c b c c a a b ≥＋＋＋＋＋.
4. 证明：所证不等式等价于222z y x x y x z y z ＋＋＋＋＋222
x y z x y y z z x
≥＋＋＋＋＋. 不妨设x ≤y ≤z ， 则x 2≤y 2≤z 2， x ＋y ≤x ＋z ≤y ＋z . 则
111
x y x z y z
≥≥＋＋＋. 于是上式的左边为顺序和，右边为乱序和，由排序不等式知此式成立． 5. 证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0.
易证a (b ＋c －a )≤b (c ＋a －b )≤c (a ＋b －c )． 根据排序原理，得
a 2(
b ＋
c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )
≤a ×b (c ＋a －b )＋b ×c (a ＋b －c )＋c ×a (b ＋c －a )≤3abc.
6. 证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式，有 a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ， 且a lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c ， 以上三式相加整理，得
3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c )≥
lg 3
a b c
⋅＋＋(abc )． 故3
()
a b c a b c
a b c abc ≥＋＋.
7. 证明：不妨设a ≥b ≥c ，则a 2≥b 2≥c 2，且
111
b c c a a b
≥≥
＋＋＋，由排序原理，得
222
a b c b c c a a b
＋＋＋＋＋ 222b c a b c c a a b
≥＋＋，＋＋＋ 222a b c b c c a a b ＋＋＋＋＋222
c a b b c c a a b
≥＋＋＋＋＋， 两式相加得2222a b c b c c a a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＋＋＋＋＋222222
b c c a a b b c c a a b ≥
＋＋＋＋＋＋＋＋.(*) 又由柯西不等式得(1·b ＋1·c )2
≤(12＋12)(b 2＋c 2)，
∴222
b c b c
b c ≥＋＋＋. 同理，222222
c a c a a b a b
c a a b ≥≥＋＋＋＋，＋＋. 因此，代入(*)式得2222a b c b c c a a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
＋＋＋＋＋
≥a ＋b ＋c ，
因此，不等式得证．
8. 证明：由题设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ， 则由排序原理得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n
＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n －1b 1＋a n b 2，…
a 1
b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1． 将上述n 个式子相加，两边同除以n 2，得：
11221212n n n n
a b a b a b a a a b b b n n n
≥⨯
＋＋＋＋＋＋＋＋＋当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，等号成立．
9. 证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0，于是a 2≥b 2≥c 2，111
c b a
≥≥， 应用排序不等式，得
a 2×
1a ＋b 2×1b ＋c 2×1c ≤a 2×1b ＋b 2×1c ＋c 2×1a ， a 2×1a ＋b 2×1b ＋c 2×1c ≤a 2×1c ＋b 2×1a ＋c 2×1b
.
以上两个同向不等式相加再除以2，
即得
222222
222
a b b c c a
a b c
c a b
≤
＋＋＋
＋＋＋＋.再由数组a3≥b3≥c3＞0，
111
bc ca ab
≥≥，
仿上可证
2222
22
a b b c
c a
＋＋
＋
22222
2
c a a b c
b b
c ca ab
≤
＋
＋＋＋.
综上，可证
222222222
222
a b b c c a a b c
a b c
c a b bc ca ab
≤≤
＋＋＋
＋＋＋＋＋＋.。