任意凸轮曲线的极坐标式等速CNC磨削
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图 1 所示为在极坐标式数控磨床上磨削平面凸 轮的加工模型 。 图中 , O 为凸轮轴心 , 也是机 床的 绝对零点 ;O1 为砂轮中心 ;P 为凸轮与砂轮的接触 点 ;T 为凸轮在 P 点的单位切矢量 ;C 为 OO1 与 O 轴的夹角 ;R 为砂轮半径 。
磨削过程中出现的主要问题为 :①凸轮角速度
半径为 R 的刀具进行切削时 , R 值必须满足条件 :R
≤Rmax =1/max[ k(t)] (R max是 R 的最大值), 否则会 因 R 过大出现干涉现象 。
需要说明的是 , 式(16)可能在 r(t)的定义域内 出现 ¨r(t )不连续的情况 , 这时可以不连续点为界 , 将 r(t)分为若干段分别处理 , 在若干个 R max中选出
最小值作为整个 r(t )的 Rmax 。 由于确定砂轮半径 的工作一般在实时加工磨削之前完成 , 因此 ¨r(t )的
不连续不影响插补运算 。
6 应用实例
下面以三个常见实例说明上述理论的一般应用 方法 。
例 1.三次曲线 图 3 所示的砂轮磨削曲线的凹面为一立方抛物
图3
线 , 可表示为
r(t)={3t -t3 , 3t2} (-1≤t ≤1)
x·(t )2 +y·(t)2 ≠0 , 且具有 C1 连续性 。
r(t)在 P 点的单位法线方程为
N(t)={-y·(t), x·(t)}/ x·(t)2 +y·(t)2
(2)
若以极坐标 ρ=ρ(t )的形式表示 P , 则有
x(t)=ρ(t)cost y(t)=ρ(t)sin t
(3)
由以 上 推导 过 程 可以 看 出 , 由 式(7)计算 的 {ΔX , ΔY }不能保证 O1 的轨迹为等步长 , 但能保证 P 的轨迹 r(t )为等步长 。 虽然 P 前进时的实际步 长与理论给定步长由于式(10)的近似性而存在微小
误差 , 但插补轨迹只有弓高误差而没有累积误差 , 因 此该方法是实用可行的 。
时 , 符号则正好相反 。后面举例中如无特别申明 , 一
般按前者取 。
3 X —Y 平面等步长插补方法
在给出 O1 的轨迹曲线表达式 r1(t)后 , 随着参
数 t 增加到 t +Δt , r1(t)则对应增加到 r1(t +Δt ),
r1(t)的增量可表示为
Δr1(t)=r1(t +Δt)-r1(t)
·
r
1(t)插补步长分量{ΔX
,
ΔY }对应的
Δt 。
因为对应 Δt 的 r(t)的弧长增量为
t +Δt
ΔS = ∫
x·(t)2 +y·(t)2dt
t
(8)
根据牛顿 —科特斯梯形求积公式[ 4] , 式(8)可简
化为
ΔS ≈ Δ2t[
x·(t)2 +y·(t)2 + x·(t +Δt)2 +y·(t +Δt)2]
Δt 改写为
Δ
-
t
,
并从式(8)根据牛
顿—科特斯矩形求积公式给出 Δt-的估计值表达式为
图 2
Δ t-= ΔL/ x·(t)2 +y·(t)2
(11)
需要说明的是 , 如果 x·(t)2 +y·(t )2 =常数 , 则 Δt-就是 Δt 的准确值 , 将 Δt 代入式(7)中计算 , 即
可得出机床 CNC 系统控制砂轮中心轨迹运动的插 补增量{ΔX , ΔY }。
关键词 :凸轮 , 插补 , 磨削
Polar-coordinate Constant Velocity CNC Grinding of Arbitrary Cam Curves
Lai Chuanyuan et al
Abstract :The radius change rate of cams and the large diameter of grinding wheels are main factors to effect the grinding quality during grinding enclosed profile curves of cams on the polar-coordinate CNC grinder .To solve problems of the wheel interference and the linear speed change on grinding points which has an effeet on the grinding surface roughness, a polar-coordinatebased equal step interpolating method for the grinding point trace is presented.The method can be applied to the CNC grinding of any regular curves with C1 continuity .
若以平面坐标 y =f (x)的形式表示 P , 则有
x(t)=t y(t)=f(t)
(4)
在实际磨削过程 中 , CNC 机床 对砂轮中 心 O1
10
工 具技 术
的运动进行控制 。根据 PO1 垂直于 T 的要求 , 砂轮 在磨削凸轮时 O1 的轨迹曲线为[ 3]
r1(t)=r(t)±RN(t)={X(t), Y(t)} (t0 ≤t ≤tn)(5)
2001 年第 35 卷 №3
9
任意凸轮曲线的极坐标式等速 CNC 磨削 ＊
华中科技大学机械学院(武汉 430074) 来传远 金建新 唐小琦
摘 要 :在极坐标式 CNC 磨床上磨削封闭 式凸轮轮廓曲线时 , 凸轮的半 径变化率 和砂轮的大 直径成 为影响 磨 削质 量的主要因素 。 为解决砂轮干涉及磨削点处线速度变化影响磨削表面粗糙度 的问题 , 提出了极 坐标下砂轮 磨 削点轨迹的等步长插补方法 , 该方法可应用于任 何具有 C1 连续性的正则曲线的 CNC 磨削 。
(17)
根据式(16), r(t)对应的曲率表达式为 k (t)= 2/ 3(1 +t 2)2 , 显然 , Rmax =1/max[ k (t )] =3/2 , 即最 大砂轮直径为 3 。 选定最大砂轮半径后 , 按式(6)得
对砂轮半径有限制 , 砂轮半径可按下述方法确定 。
设被加工曲线 r(t)的曲率表达式为
k(t)=
x·(t)¨Y(t)-¨x(t)y·(t) 3 x·(t)2 +y·(t)2
(16)
则砂轮半径的表达式为 R(t)=1/ k(t ), 则 R(t)的
最小值为 min[ R(t )] =1/ max[ k(t)] 。 因此 , 当选用
={X(t +Δt)-X(t), Y(t +Δt)-Y(t)}
={ΔX , ΔY}
(7)
{ΔX , ΔY}为机床 CNC 系统控制砂轮中心轨迹
运动的插补增量 。注意到不管 Δt 值怎么选择 , r1(t
+Δt)总是落在 O1 的轨迹曲线上 , 因此该插补方法
没有累积误差 。 现在的问题是如何选择 Δt , 使“ P
沿 T 方向的运动速度恒定”这一要求得到满足 。
注意到
·
r
(t )和
·
r1
(t
)的
参数
t
的意义及定义域
相同 , 取值一一对应 , 且 P 处在r·(t )上 , 则可用 P 点
沿 T 方向等速运动的原则来确定参数增量 Δt , 即给
定 r(t )的插补步长 ΔL = Δx2 +Δy 2 , 由此得出与
2 砂轮轴心轨迹曲线表达式
设凸轮的轮廓曲线(即 P 点的轨迹曲线方 程)
为
r(t)={x(t), y(t)} (t0 ≤t ≤tn)
(1)
在此 规定 r(t )为有向单值曲 线 , 即 t 单调增 大 、r(t0)为起点 、r(tn)为终点 , r(t )可以是简单曲 线 或 样 条 曲 线, 但 必 须 为 正 则 曲 线, 即
其中
X(t)=x(t) [ R y·(t)] / Y(t)=y(t)±[ R x·(t)] /
x·(t)2 +y·(t)2 x·(t)2 +y·(t)2
(6)
式(6)中的“ ”符号由如下原则确定 :当砂轮轴
心处于 r(t)前进方向的左边时 , 第一式取“ -” , 第
Βιβλιοθήκη Baidu二式取“ +” ;当砂轮轴心处于 r(t)前进方向的右边
Keywords:cam, interpolation , grinding
1 引言
平面凸轮是一种常见的机械传动零件 , 由于其 轮廓曲线复杂 , 一般需在极坐标式数控机床上进行 加工 。 为了保证凸轮的表面粗糙度要求 , 最后一道 工序通常采用磨削加工 。 关于平面凸轮的 CNC 磨 削加工国内已有不少研究成果[ 1, 2] 。 由于 CNC 磨床 的砂轮直径一般较大 , 极坐标下的凸轮半径变化率 也较大 , 因此成为影响磨削质量的主要因素 , 通常表 现为砂轮对凹曲线的干涉和磨削点处线速度的变化 影响磨削表面粗糙度 。
(t )}与{X(t), 0}之间的关系为
{X(t), 0}={X(t), Y(t)}
cos[ sin[
C(t)] C(t)]
-sin[ C(t)] cos[ C(t)]
(12)
式中 C(t)表示 C 轴旋转的角度 , 逆时针为正 ,
顺时针为负 。整理式(12)后可得
C(t)=-arctan[ YX((tt))]
图1
＊国家自然科学基金资助项目(项目编号 :59975033) 收稿日期 :2000 年 11 月
的微小变化被较大的凸轮半径变化率放大为线速度 的较大变化 ;②砂轮磨削点处切线与凸轮被磨削点 处切线不重合或砂轮半径大于凹曲线处的曲率半径 而造成干涉 。
解决上述问题的途径为 :①保持 PO1 与 T 相互 垂直 , 并且在磨削凹曲线时限制 R 的大小 , 使磨削 加工时干涉最小 ;②使 P 沿 T 方向的 切削速度恒 定 , 即动点 P 在单位插补时间内的弧长增量 ΔS 或 插补步长 ΔL 恒定 。 下面介 绍解决 问题 的具 体方 法。
(13)、(14)计算出{X(t0), C (t0)}作为{X (t i-1), C
2001 年第 35 卷 №3
11
(t i -1)}的初值 , 将 t 0 作为 t i -1的初值 ;
(2)由式(10)、(11)计算出 Δt i 及 t i =t i -1 +Δt i
(i =1 , 2 , … , n);
ΔC}。下面给出具体计算方法 。
设已通过式(6)计算出 O1 点在 X —Y 平面的坐 标值{X(t ), Y (t)}, 通过 X — C 两个坐标轴的平动
和旋转 , 使 O1 始终处在 X 轴的正向上 , 即 O1 点的
坐标值在 X —Y 平面上为{X (t ), 0}, 则{X (t ), Y
(9)
如图 2 所示 , 若给定插补步长 ΔL 远远 大于弓 高误差 Δe , 则 ΔL ≈ΔS , 那么下式成立 :
Δt ≈2 ΔL/[ x·(t)2 +y·(t)2 + x·(t +Δ t-)2 +y·(t +Δ t-)2]
(10)
式(10)中 , Δt 和 Δt-本来是同一待求量, 不易解
出, 故将等式右边的
(3)由式 (6)计 算出 {X (t i), Y (t i)}, 代 入 式
(13)、(14)计算出{X(t i), C(t i)};
(4)通过下式计算出{ΔX(t i), ΔC(t i)}:
ΔX(ti)=X(ti)-X(ti -1) ΔC(t i)=C(t i)-C(t i -1)
(15)
(13)
X(t)=X(t)cos[ C(t)] -Y(t)sin[ C(t)] (14)
得出式(13)、(14)后 , 设 ti ∈[ t 0 , t n] (i =0 , 1 ,
… , n), 并给定 ΔL , 即可给出在 X —C 平面的插补
计算步骤 :
(1)由 式(6)计算 出{X (t0), Y (t0)}, 代 入式
4 极坐标平面插补方法
上述磨削过程是以 X —Y 平面插补运动为基础
的 。实际加工中 , CNC 机床在磨削凸轮类轮廓时的
运动方式为 :凸轮绕自轴心转动为 C 轴 , 砂轮轴心
沿水平方向平动为 X (用 X 以区别于 X)轴 。 在此
X —C 坐 标 下 , 插 补 控 制 需 要 计 算 的 量 是 {ΔX ,
(5)保存 ti 和{X (t i), C(t i)}作为 计算 ti +1 和
{X(t i +1), C(t i +1)}的初值 , 返回到步骤(2), 如此循
环直至插补完成 。
5 砂轮半径的确定
如果凸轮轮廓均为外凸形 , 对砂轮半径就无限
制 ;如果凸轮轮廓存在内凹部分 , 为了避免干涉 , 则
磨削过程中出现的主要问题为 :①凸轮角速度
半径为 R 的刀具进行切削时 , R 值必须满足条件 :R
≤Rmax =1/max[ k(t)] (R max是 R 的最大值), 否则会 因 R 过大出现干涉现象 。
需要说明的是 , 式(16)可能在 r(t)的定义域内 出现 ¨r(t )不连续的情况 , 这时可以不连续点为界 , 将 r(t)分为若干段分别处理 , 在若干个 R max中选出
最小值作为整个 r(t )的 Rmax 。 由于确定砂轮半径 的工作一般在实时加工磨削之前完成 , 因此 ¨r(t )的
不连续不影响插补运算 。
6 应用实例
下面以三个常见实例说明上述理论的一般应用 方法 。
例 1.三次曲线 图 3 所示的砂轮磨削曲线的凹面为一立方抛物
图3
线 , 可表示为
r(t)={3t -t3 , 3t2} (-1≤t ≤1)
x·(t )2 +y·(t)2 ≠0 , 且具有 C1 连续性 。
r(t)在 P 点的单位法线方程为
N(t)={-y·(t), x·(t)}/ x·(t)2 +y·(t)2
(2)
若以极坐标 ρ=ρ(t )的形式表示 P , 则有
x(t)=ρ(t)cost y(t)=ρ(t)sin t
(3)
由以 上 推导 过 程 可以 看 出 , 由 式(7)计算 的 {ΔX , ΔY }不能保证 O1 的轨迹为等步长 , 但能保证 P 的轨迹 r(t )为等步长 。 虽然 P 前进时的实际步 长与理论给定步长由于式(10)的近似性而存在微小
误差 , 但插补轨迹只有弓高误差而没有累积误差 , 因 此该方法是实用可行的 。
时 , 符号则正好相反 。后面举例中如无特别申明 , 一
般按前者取 。
3 X —Y 平面等步长插补方法
在给出 O1 的轨迹曲线表达式 r1(t)后 , 随着参
数 t 增加到 t +Δt , r1(t)则对应增加到 r1(t +Δt ),
r1(t)的增量可表示为
Δr1(t)=r1(t +Δt)-r1(t)
·
r
1(t)插补步长分量{ΔX
,
ΔY }对应的
Δt 。
因为对应 Δt 的 r(t)的弧长增量为
t +Δt
ΔS = ∫
x·(t)2 +y·(t)2dt
t
(8)
根据牛顿 —科特斯梯形求积公式[ 4] , 式(8)可简
化为
ΔS ≈ Δ2t[
x·(t)2 +y·(t)2 + x·(t +Δt)2 +y·(t +Δt)2]
Δt 改写为
Δ
-
t
,
并从式(8)根据牛
顿—科特斯矩形求积公式给出 Δt-的估计值表达式为
图 2
Δ t-= ΔL/ x·(t)2 +y·(t)2
(11)
需要说明的是 , 如果 x·(t)2 +y·(t )2 =常数 , 则 Δt-就是 Δt 的准确值 , 将 Δt 代入式(7)中计算 , 即
可得出机床 CNC 系统控制砂轮中心轨迹运动的插 补增量{ΔX , ΔY }。
关键词 :凸轮 , 插补 , 磨削
Polar-coordinate Constant Velocity CNC Grinding of Arbitrary Cam Curves
Lai Chuanyuan et al
Abstract :The radius change rate of cams and the large diameter of grinding wheels are main factors to effect the grinding quality during grinding enclosed profile curves of cams on the polar-coordinate CNC grinder .To solve problems of the wheel interference and the linear speed change on grinding points which has an effeet on the grinding surface roughness, a polar-coordinatebased equal step interpolating method for the grinding point trace is presented.The method can be applied to the CNC grinding of any regular curves with C1 continuity .
若以平面坐标 y =f (x)的形式表示 P , 则有
x(t)=t y(t)=f(t)
(4)
在实际磨削过程 中 , CNC 机床 对砂轮中 心 O1
10
工 具技 术
的运动进行控制 。根据 PO1 垂直于 T 的要求 , 砂轮 在磨削凸轮时 O1 的轨迹曲线为[ 3]
r1(t)=r(t)±RN(t)={X(t), Y(t)} (t0 ≤t ≤tn)(5)
2001 年第 35 卷 №3
9
任意凸轮曲线的极坐标式等速 CNC 磨削 ＊
华中科技大学机械学院(武汉 430074) 来传远 金建新 唐小琦
摘 要 :在极坐标式 CNC 磨床上磨削封闭 式凸轮轮廓曲线时 , 凸轮的半 径变化率 和砂轮的大 直径成 为影响 磨 削质 量的主要因素 。 为解决砂轮干涉及磨削点处线速度变化影响磨削表面粗糙度 的问题 , 提出了极 坐标下砂轮 磨 削点轨迹的等步长插补方法 , 该方法可应用于任 何具有 C1 连续性的正则曲线的 CNC 磨削 。
(17)
根据式(16), r(t)对应的曲率表达式为 k (t)= 2/ 3(1 +t 2)2 , 显然 , Rmax =1/max[ k (t )] =3/2 , 即最 大砂轮直径为 3 。 选定最大砂轮半径后 , 按式(6)得
对砂轮半径有限制 , 砂轮半径可按下述方法确定 。
设被加工曲线 r(t)的曲率表达式为
k(t)=
x·(t)¨Y(t)-¨x(t)y·(t) 3 x·(t)2 +y·(t)2
(16)
则砂轮半径的表达式为 R(t)=1/ k(t ), 则 R(t)的
最小值为 min[ R(t )] =1/ max[ k(t)] 。 因此 , 当选用
={X(t +Δt)-X(t), Y(t +Δt)-Y(t)}
={ΔX , ΔY}
(7)
{ΔX , ΔY}为机床 CNC 系统控制砂轮中心轨迹
运动的插补增量 。注意到不管 Δt 值怎么选择 , r1(t
+Δt)总是落在 O1 的轨迹曲线上 , 因此该插补方法
没有累积误差 。 现在的问题是如何选择 Δt , 使“ P
沿 T 方向的运动速度恒定”这一要求得到满足 。
注意到
·
r
(t )和
·
r1
(t
)的
参数
t
的意义及定义域
相同 , 取值一一对应 , 且 P 处在r·(t )上 , 则可用 P 点
沿 T 方向等速运动的原则来确定参数增量 Δt , 即给
定 r(t )的插补步长 ΔL = Δx2 +Δy 2 , 由此得出与
2 砂轮轴心轨迹曲线表达式
设凸轮的轮廓曲线(即 P 点的轨迹曲线方 程)
为
r(t)={x(t), y(t)} (t0 ≤t ≤tn)
(1)
在此 规定 r(t )为有向单值曲 线 , 即 t 单调增 大 、r(t0)为起点 、r(tn)为终点 , r(t )可以是简单曲 线 或 样 条 曲 线, 但 必 须 为 正 则 曲 线, 即
其中
X(t)=x(t) [ R y·(t)] / Y(t)=y(t)±[ R x·(t)] /
x·(t)2 +y·(t)2 x·(t)2 +y·(t)2
(6)
式(6)中的“ ”符号由如下原则确定 :当砂轮轴
心处于 r(t)前进方向的左边时 , 第一式取“ -” , 第
Βιβλιοθήκη Baidu二式取“ +” ;当砂轮轴心处于 r(t)前进方向的右边
Keywords:cam, interpolation , grinding
1 引言
平面凸轮是一种常见的机械传动零件 , 由于其 轮廓曲线复杂 , 一般需在极坐标式数控机床上进行 加工 。 为了保证凸轮的表面粗糙度要求 , 最后一道 工序通常采用磨削加工 。 关于平面凸轮的 CNC 磨 削加工国内已有不少研究成果[ 1, 2] 。 由于 CNC 磨床 的砂轮直径一般较大 , 极坐标下的凸轮半径变化率 也较大 , 因此成为影响磨削质量的主要因素 , 通常表 现为砂轮对凹曲线的干涉和磨削点处线速度的变化 影响磨削表面粗糙度 。
(t )}与{X(t), 0}之间的关系为
{X(t), 0}={X(t), Y(t)}
cos[ sin[
C(t)] C(t)]
-sin[ C(t)] cos[ C(t)]
(12)
式中 C(t)表示 C 轴旋转的角度 , 逆时针为正 ,
顺时针为负 。整理式(12)后可得
C(t)=-arctan[ YX((tt))]
图1
＊国家自然科学基金资助项目(项目编号 :59975033) 收稿日期 :2000 年 11 月
的微小变化被较大的凸轮半径变化率放大为线速度 的较大变化 ;②砂轮磨削点处切线与凸轮被磨削点 处切线不重合或砂轮半径大于凹曲线处的曲率半径 而造成干涉 。
解决上述问题的途径为 :①保持 PO1 与 T 相互 垂直 , 并且在磨削凹曲线时限制 R 的大小 , 使磨削 加工时干涉最小 ;②使 P 沿 T 方向的 切削速度恒 定 , 即动点 P 在单位插补时间内的弧长增量 ΔS 或 插补步长 ΔL 恒定 。 下面介 绍解决 问题 的具 体方 法。
(13)、(14)计算出{X(t0), C (t0)}作为{X (t i-1), C
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(t i -1)}的初值 , 将 t 0 作为 t i -1的初值 ;
(2)由式(10)、(11)计算出 Δt i 及 t i =t i -1 +Δt i
(i =1 , 2 , … , n);
ΔC}。下面给出具体计算方法 。
设已通过式(6)计算出 O1 点在 X —Y 平面的坐 标值{X(t ), Y (t)}, 通过 X — C 两个坐标轴的平动
和旋转 , 使 O1 始终处在 X 轴的正向上 , 即 O1 点的
坐标值在 X —Y 平面上为{X (t ), 0}, 则{X (t ), Y
(9)
如图 2 所示 , 若给定插补步长 ΔL 远远 大于弓 高误差 Δe , 则 ΔL ≈ΔS , 那么下式成立 :
Δt ≈2 ΔL/[ x·(t)2 +y·(t)2 + x·(t +Δ t-)2 +y·(t +Δ t-)2]
(10)
式(10)中 , Δt 和 Δt-本来是同一待求量, 不易解
出, 故将等式右边的
(3)由式 (6)计 算出 {X (t i), Y (t i)}, 代 入 式
(13)、(14)计算出{X(t i), C(t i)};
(4)通过下式计算出{ΔX(t i), ΔC(t i)}:
ΔX(ti)=X(ti)-X(ti -1) ΔC(t i)=C(t i)-C(t i -1)
(15)
(13)
X(t)=X(t)cos[ C(t)] -Y(t)sin[ C(t)] (14)
得出式(13)、(14)后 , 设 ti ∈[ t 0 , t n] (i =0 , 1 ,
… , n), 并给定 ΔL , 即可给出在 X —C 平面的插补
计算步骤 :
(1)由 式(6)计算 出{X (t0), Y (t0)}, 代 入式
4 极坐标平面插补方法
上述磨削过程是以 X —Y 平面插补运动为基础
的 。实际加工中 , CNC 机床在磨削凸轮类轮廓时的
运动方式为 :凸轮绕自轴心转动为 C 轴 , 砂轮轴心
沿水平方向平动为 X (用 X 以区别于 X)轴 。 在此
X —C 坐 标 下 , 插 补 控 制 需 要 计 算 的 量 是 {ΔX ,
(5)保存 ti 和{X (t i), C(t i)}作为 计算 ti +1 和
{X(t i +1), C(t i +1)}的初值 , 返回到步骤(2), 如此循
环直至插补完成 。
5 砂轮半径的确定
如果凸轮轮廓均为外凸形 , 对砂轮半径就无限
制 ;如果凸轮轮廓存在内凹部分 , 为了避免干涉 , 则