简单曲线的极坐标方程教案

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简单曲线的极坐标方程教案

简单曲线的极坐标方程教案高二年级数学集体备课材料说课人:李德辉说课时间:2013-5-27构建高效课堂教学设计案(正页)高二年级数学学科课题简单曲线的极坐标系方程预讲授时间 2013年 5月 30 日第 1 课时授课类型新授课知识目标:进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法，掌握极坐标方程的意义教和掌握一些特殊位置下的圆和直线(如过极点或垂直于极轴的直线)的极坐标方程.能力目标: 学结合数学实例培养学生归纳类比推理的能力，培养学生逻辑推理能力.目情感目标:标通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识，辨析能力以及良好的思维品质。

教学重点求简单曲线的极坐标方程的基本方法教学难点求简单曲线的极坐标方程的基本方法教学方法学生自主探究为主，教师引导为辅三、简单曲线的极坐标系方程板一.圆的极坐标方程: 例1 例2 书设计二.直线的极坐标方程:学在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，但情让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。

这点可采分取的措施是:小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。

析构建高效课堂教学设计案(副页)教学环教师活动学生活动节及时(教学内容的呈现及教学方法) (学习活动的设计) 间分配问题1、引例(如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为引领 ,0)(>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， (aa的极坐标(,,,)满足的条件, 4分钟学生观察、思考，教师引导，从而引出本节的课题，并给出概念2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗,自主曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线定义教师板书，强调含义构建 3分钟1.求以点为圆心，为半径的圆C的极aC(a,0)(a,0)学生依据所学知识进行小组合作合作解决相应问题，实现教学内容的探究坐标方程. 获得. 7分钟2.已知圆心的极坐标为，圆的半径为，M(,,,)r 00求圆的极坐标方程.点拨例1(求圆心在点(3，0)，且过极点的圆的极坐标学生独立思考回答，教师进提升方程.行纠错，并指导. ,7分钟 (4,)练习:1(求以为圆心，4为半径的圆的极坐 2 标方程. 2.已知一个圆的极坐标方程是 ,,53cos,,5sin,，求圆心的极坐标与半径., l【问题1】:求经过极点，从极轴到直线的夹角是 4合作 l探究的直线的极坐标方程.13分钟【问题2】:求过点A(a，0)(a>0)且垂直与极轴的学生在学习小组内部展开讨直线的极坐标方程. 论，教师指导，然后进行交l【问题3】:设点P的极坐标为(,,,)，直线过点P流展示. 教师板书，强调符号11 互相转换的方法 l, 且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程.【问题4】:在问题3中,如果以极点为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,那么直线l 的直角坐标方程是什么?比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程,你对不同坐标系下的直线方程有什么认识?, 例2(求经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方自主学生观察、独立思考回答，6构建程. 教师教师规范步骤.学生整理9分钟记忆.,3 练习:求直线的直角坐标方程. ,,(,,R) 4总结本节课你有哪些收获, 评价知识层面:思想层面: 学生总结归纳，教师提示补充.方法层面: 2分钟布置红对勾 A层 P9: 1-4 6-12P11: 1—3，6—13作业 B层 P9 :5，13，14 P11: 4，5，14总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。

《极坐标系简单曲线的极坐标方程》教案

三、简单曲线的极坐标方程【基础知识导学】1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。

1．直线与圆的极坐标方程① 过极点，与极轴成α角的直线极坐标议程为αθραθtan tan )(=∈=或R②以极点为圆心半径等于r 的圆的极坐标方程为 r =ρ【知识迷航指南】例1求（1）过点)4,2(πA 平行于极轴的直线。

（2）过点)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线。

解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4,2(πA ，所以|MH|=224sin=⋅π在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4,2(πA 平行于极轴的直线为2sin =θρ。

（2）如图，设M ),(θρ为直线l 上一点。

)3,3(πA ， OA =3，3π=∠AOB xO由已知43π=∠MBx ，所以125343πππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=-=∠OAM 又θπθ-=-∠=∠43MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 127sin)43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin+=+=πππ 将)43sin(θπ-展开化简可得23233)cos (sin +=+θθρ 所以过)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。

将它用坐标表示。

再通过代数变换进行化简。

例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。

（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。

解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。

圆C 交极轴于另一点A 。

由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=，这就是圆C 的方程。

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。

2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。

3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。

二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。

2. 极坐标与直角坐标之间的关系。

3. 圆的极坐标方程。

4. 直线的极坐标方程。

5. 椭圆的极坐标方程。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。

2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。

3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。

五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。

3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。

4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。

5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。

六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 极坐标系的图示或模型。

3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。

4. 练习题。

七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 讲解圆的极坐标方程。

以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。

将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。

利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。

3. 讲解直线的极坐标方程。

以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。

简单曲线的极坐标方程

第周第课时教案时间：简单曲线的极坐标方程教学主题一、教学目标1、掌握极坐标方程的意义，掌握直线的极坐标方程2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程，会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化3、过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、教学重点、极坐标方程的意义，理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化教学难点：极坐标方程的意义，直线的极坐标方程的掌握<三、教学方法讲练结合四、教学工具无五、教学流程设计教学教师活动学生活动环节圆的极坐标方程一、复习引入：、问题情境1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程极坐标系的建立是否可以求曲线方程学生回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤4、极坐标与直角坐标的互化关系式:二、讲解新课：/1、引例．如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为,(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件解：设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ①，2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗可以验证点O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单 ①建系；②设点；M （ρ，θ）③列式；OM ＝r ，即：ρ＝r ④证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标方程:(１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,０)，半径为a答案：(1)＝2acos(2)＝2asin(3)0cos()a ρθθ-＝２例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。

2022年《简单曲线的极坐标方程》优秀教案

简单曲线的极坐标方程谷杨华一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力．〔二〕学习目标1．通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．3．能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．〔三〕学习重点1．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．2．进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．〔四〕学习难点1．求曲线的极坐标方程．2．对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务〔1〕读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程．2．预习自测〔1〕以下点不在曲线上的是A BC D【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D不满足方程【思路点拨】由极坐标方程定义可得【答案】D．〔2〕极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为A BC D【知识点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为，依题意,所以选A【思路点拨】根据题意寻找的等量关系式【答案】A．〔3〕将以下曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：①射线；②圆．【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】①因为，代入可得又因为，所以射线在第三象限，故取θ＝错误!ρ≥0②将，代入，整理得【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得【答案】①θ＝错误!ρ≥0 ②．〔4〕极坐标系下，直线与圆ρ＝错误!的公共点个数是【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程ρco＝错误!，即＝错误!，所以直角坐标方程为＋－2＝0圆的方程ρ＝错误!，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为2＋2＝2因为圆心到直线的距离为d＝错误!＝错误!＝r，所以直线与圆相切，即公共点个数是1【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理【答案】 1二课堂设计1．知识回忆〔1〕极坐标系的建立：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向，这样就建立了一个极坐标系．〔2〕极坐标系内一点的极坐标的规定：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为有序数对叫做点的极坐标，记为．一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数．〔3〕把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度设是平面内任意一点,它的直角坐标是，极坐标是，那么：，，2．问题探究探究一结合实例，类比认识极坐标方程★●活动①类比推理概念在平面直角坐标系中，平面曲线可以用方程表示．曲线与方程满足如下关系：1曲线上点的坐标都是方程的解；2以方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程表示呢？我们先看一个例子半径为的圆的圆心坐标为，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满足的条件吗？类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如为圆上除以外的任意一点，那么,所以在中，,即经验证，点的坐标满足上式于是上述等式为圆上任意一点的极坐标满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程．那么这个点在曲线上【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②归纳梳理、理解提升分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将条件用曲线上的点的极坐标的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：1建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．2连接,根据几何条件建立关于极径和极角之间的关系式．3将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．4检验并确认所得方程即为所求．假设方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识．探究二探究直线的极坐标方程●活动互动交流、初步实践组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程的直线的极坐标方程如右图，以极点为分界点,直线上的点的极坐标分成射线射线两个局部，射线上任意一点的极角都为，所以射线的极坐标方程为：；而射线上任意一点的极角都是，所以射线的极坐标方程为：综上：直线的极坐标方程可以用和表示现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？我们定义：假设，那么，我们规定点与关于极点对称这样就可以将的取值范围推广到全体实数于是在允许，那么上述直线的极坐标方程就可以写为：或【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点．探究三探究极坐标方程与直角坐标方程的联系★▲●活动①稳固理解，加深认识在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为,半径为1的圆的极坐标方程是多少呢？如右图所示，设为圆上任一点，当三点不共线是，在中利用余弦定理可得即当三点共线时，点的坐标为或，这两点的坐标满足上式，所以上式为所求的圆的极坐标方程在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形正弦定理,余弦定理的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系【设计意图】稳固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备．●活动②强化提升、灵活应用还有没有其它方法来求解极坐标方程呢？根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即由于圆心在极坐标系下为，那么在直角坐标系下圆心，半径，所以圆的直角坐标方程为：，整理得：，因为，，代入直角坐标方程得化简得：【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系．活动③稳固根底，检查反应例1 极坐标方程表示A．直线B．射线C．圆D．椭圆【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】，所以曲线表示的是圆．【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断．【答案】C同类训练极坐标方程表示的曲线是A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】∵in＝，∴或,又∵，∴表示两条相交直线．【思路点拨】通过极坐标方程来判断．【答案】A例2 把以下直角坐标方程化成极坐标方程．〔1〕〔2〕〔3〕【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程．【解题过程】〔1〕由，，代入直角坐标方程得，，即〔2〕由上同理可得：〔3〕【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解．【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕同类训练把以下极坐标方程化为直角坐标方程．〔1〕〔2〕【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化．【解题过程】〔1〕由，，代入极坐标方程得，，即〔2〕由，等式两边同乘以得，所以，即：【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．【答案】〔1〕；〔2〕【设计意图】稳固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化．●活动4 强化提升、灵活应用例3 直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，得：把点的极坐标化为直角坐标，得：在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点到直线的距离，所以点到直线的距离为．【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题．【答案】．同类训练求极点到直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，得：把极点的极坐标化为直角坐标，得：在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点到直线的距离，所以极点到直线的距离为．【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题．【答案】．3课堂总结知识梳理〔1〕一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程．〔2〕求曲线的极坐标方程的一般步骤：①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．②连接,根据几何条件建立关于极径和极角之间的关系式．③将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．④检验并确认所得方程即为所求．假设方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．〔3〕假设，那么，我们规定点与关于极点对称．重难点归纳〔1〕求解平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形正弦定理,余弦定理的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．〔2〕极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρco θ，ρin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以或同除以ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．〔三〕课后作业根底型自主突破1．经过极点，从极轴到直线的夹角是的直线的极坐标方程是〔〕A．B．C．D．【知识点】极坐标方程．【解题过程】将直线画在极坐标系中，易得选项D正确【思路点拨】根据根据图像进行判断．【答案】D．2．直线错误!－＝0的极坐标方程限定ρ≥0是A．θ＝错误!B．θ＝错误!πC．θ＝错误!和θ＝错误!πD．θ＝错误!π【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】由错误!－＝0，得错误!ρco θ－ρin θ＝0，即tan θ＝错误!，∴θ＝错误!和θ＝错误!π．又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝错误!和θ＝错误!π表示【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化．【答案】C3．极坐标方程co θ＝ρ≥0表示的曲线是．A．余弦曲线B．两条相交直线C．两条射线D．一条射线【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】∵co θ＝，∴θ＝＋2π∈Z．又∵ρ≥0，∴co θ＝表示两条射线．【思路点拨】利用三角函数图像可得．【答案】C．4．圆的极坐标方程ρ＝coθ－2inθ对应的直角坐标方程为A BC D【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】，所以即，所以选B【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】B．5．极坐标系内，点到直线ρco θ＝2的距离是________．【知识点】极坐标与直角坐标的转化．【解题过程】点的直角坐标为0，1，直线ρco θ＝2的直角坐标方程为＝2，故点0，1到直线＝2的距离是d＝2【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】2．6．在极坐标系中，A，B分别是直线3ρco θ－4ρin θ＋5＝0和圆ρ＝2co θ上的动点，那么A，B两点之间距离的最小值是________．【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3－4＋5＝0，圆的普通方程为－12＋2＝1，那么圆心1，0到直线的距离d＝错误!＝错误!，所以A，B两点之间距离的最小值为d－r＝错误!－1＝错误!．【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】错误!．能力型师生共研7．在极坐标系中，圆ρ＝－2in θ的圆心的极坐标是A BC．D．【知识点】极坐标与直角坐标互化、圆的标准方程．【解题过程】由ρ＝－2in θ得ρ2＝－2ρin θ，化成直角坐标方程为2＋2＝－2，化成标准方程为2＋＋12＝1，圆心坐标为0，－1，其对应的极坐标为【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】B．8．在直角坐标系O中，以O为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与轴，轴的交点．1写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；2设MN的中点为2,0．当θ＝错误!时，ρ＝错误!错误!，∴点N2由1知，M点的坐标2,0，点N的坐标又N的中点，∴点2,0，N；2 θ＝错误!ρ∈R探究型多维突破9．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求直线与曲线的交点的极坐标．【知识点】极坐标方程的应用．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由得：，即：〔1〕当时，即时，〔2〕当时，即时，此时，即，所以不成立交点极坐标为【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解．【答案】．10．椭圆的中心在坐标原点，椭圆的方程为：，分别为椭圆上的两点，且〔1〕求证：为定值；〔2〕求面积的最大值和最小值．【知识点】极坐标方程的应用．【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得错误!＋错误!＝1，即ρ2＝错误!，由于OA⊥OB，可设Aρ1，θ1，B错误!，那么ρ错误!＝错误!，ρ错误!＝错误!于是错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!所以错误!＋错误!为定值．2解析：依题意得到S△AOB＝错误!|OA||OB|＝错误!ρ1ρ2＝错误!·错误!＝错误!·错误!，当且仅当in22θ1＝1，S△AOB有最小值为错误!；当in22θ1＝0，S△AOB有最大值为错误!【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解．有最小值为错误!，S△AOB有最大值为错误!【答案】〔1〕错误!＋错误!=错误!；〔2〕S△AOB自助餐1．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是〔〕A．B．C．D．【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】如下图，在直线上任意取点，过作轴于，，所以，选B【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找的关系式．【答案】B．2．极坐标方程分别是ρ=coθ和ρ=inθ的两个圆的圆心距是A D【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系．【解题过程】:将方程化为直角坐标方程因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcoθ和ρ2=ρinθ∴22=和22=它们的圆心分别是,0、0,,圆心距是【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解．【答案】A．3．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2in θ上的两点A，B对应的极角分别为错误!，错误!，那么弦长|AB|＝________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离．【解题过程】A，B两点的极坐标分别为，化为直角坐标为故【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解．【答案】．4．曲线θ＝0，θ＝错误!ρ≥0和ρ＝4所围成图形的面积是__________．【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积．【数学思想】数形结合的思想【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线，圆，他们围成的是一个圆心角为，半径为的扇形，所以．【思路点拨】先化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的图形可得．【答案】．5．把以下直角坐标方程与极坐标方程进行互化：12＋－22＝4；2ρ＝9in θ＋co θ；3ρ＝4；【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】1∵2＋－22＝4，∴2＋2＝4，代入＝ρco θ，＝ρin θ得ρ2－4ρin θ＝0，即ρ＝4in θ2∵ρ＝9in θ＋co θ，∴ρ2＝9ρin θ＋co θ，∴2＋2＝9＋9，即3∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴2＋2＝16【思路点拨】用公式＝ρco θ，＝ρin θ，ρ2＝2＋2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．【答案】〔1〕ρ＝4in θ；〔2〕；〔3〕2＋2＝16．6．在直角坐标系O中，直线C1：＝－2，圆C2：－12＋－22＝1，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1求C1，C2的极坐标方程；2假设直线C3的极坐标为θ＝错误!ρ∈R，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积【知识点】极坐标与直角坐标互化、三角形的面积．【解题过程】：1因为＝ρco θ，＝ρin θ，所以C1的极坐标方程为ρcoθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρco θ－4ρin θ＋4＝02将θ＝错误!代入ρ2－2ρco θ－4ρin θ＋4＝0，得ρ2－3错误!ρ＋4＝0，解得ρ1＝2错误!，ρ2＝错误!故ρ1－ρ2＝错误!，即|MN|＝错误!由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为错误!【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解，且把两圆画在极坐标系中，利用的几何意义求三角形的面积．【答案】〔1〕C1 ρcoθ＝－2，C2ρ2－2ρco θ－4ρin θ＋4＝0；〔2〕错误!。

简单曲线的极坐标方程优秀教学设计

简单曲线的极坐标方程【教学目标】知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【教学重点】圆锥曲线极坐标方程的统一形式【教学难点】方程中字母的几何意义【教学方法】启发、诱导发现教学。

【教学过程】一、复习引入：1．问题情境情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？2．学生回顾（1）求曲线方程的步骤（2）两种坐标互化前提和公式（3）圆锥曲线统一定义二、讲解新课：1．由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线。

那么当0<e<1及e>1时，点的轨迹是什么曲线呢？可以借助极坐标系进行讨论。

2．圆锥曲线的统一方程设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。

分析：①建系②设点③列出等式④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：（1）为便于表示距离，取F 为极点，垂直于定直线l 的方向为极轴的正方向。

（2）e 表示离心率，P 表示焦点到准线距离。

学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θρ= 3．圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状。

4．思考交流：学生讨论交流课本P18页的问题：当0<e<1时，方程（1）表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？当e>1时，方程（1）表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？2．例题讲解例题：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。

简单曲线的极坐标方程说课稿教案教学设计

常见曲线的极坐标方程教学目标：1．掌握各种圆的极坐标方程；2．能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形．教学重点：极坐标系中根据条件求出圆的极坐标方程．教学难点：圆的极坐标方程及其应用．教学过程：一、问题情境：1．阅读课本12-13页回答下面问题⑴直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？⑵曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义⑶求曲线方程的步骤2．(1)如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？(2)曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？二、新知探究：思路分析：1．先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴2．把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来ρ、θ 即明确长度ρ与角度θ是哪一边，哪一个角3．找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形4．利用三角形的边角关系的公式与定理列等式5．列式时要充分利用所给的圆心与半径的条件6．引出指明极坐标方程的条件三、建构数学若圆心的坐标为M (ρ0,θ0)，圆的半径为r ，求圆的方程． 022********P()MOP MP =OM +OP -2OM OP cos . -2cos()0POM r ≠∆⋅∠-+-=ρρθρρρθθρ解：当时，设圆上任意一点为，，在中，由余弦定理知可得 022200000=0=r ()-2cos()0r r -+-=ρρρθρρρθθρ当时，圆心位于极点，圆的极坐标方程是，亦满足上面的方程.故圆心为，，半径为的圆的极坐标方程是显然点P 的坐标也是它的解．运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程．M(,0)2M(r,)==22r ρθπρθ1.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标方程是；.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标2rcos rsi 程是 n 方 .四、数学应用：O MPρρr θ0θx(1)A(3,0) (2)B(8)2 (3)O C(-4,0) (4))6ππ例1 按下列条件写出圆的极坐标方程：以为圆心，且过极点的圆；以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆.（详细解答过程见教材P23）例2 求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程．变式练习：1．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程．2．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程．例3 已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径．五、课堂练习：1．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆；（2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=．3．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=．4．求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径．六、回顾小结：如何求圆的极坐标方程。

简单曲线的极坐标方程精品教案

任意一点极径为 5，反过来，极径为 5 的点都在这个圆上。因此，以极点为圆心，5 为半径的圆可以用方程
5 来表示。
提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？小结：“极坐标方程的曲线与曲线的极坐标方程的定义”，非一一对应关系的理解，因为极坐标系中点的表示法不唯一，所以不需要曲线上的任意一点的坐标都适合方程，只要求曲线上任意一点都至少有一个极坐标适合方程即可，从而曲线的极坐标方程也不唯一，还可以思考，为了达到一一对应需要添加的条件。三、思考归纳，生成概念定义：一般地，在极坐标系中，如果平
教学过程
教学步骤一、情景引入多媒体播放百岁山矿泉水广告（素材启发自笛卡尔的爱情故事），引出极坐标方程表示的笛卡尔心形线二、探究问题，引出概念问题 1、直角坐标系建立可以描述点的位置在极坐标系是否也有同样作用？问题 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？思考：以极点 O 为圆心 5 为半径的圆上
3.情感、态度与价值观目标：通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受数学与生活的联系，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣教学重点：圆的极坐标方程的求法
预习作业较容易，学生通过阅读课本能较好完成
结合问题尝试归纳，生成概念
类比平面直角坐标系中曲线与方程的概念，应能较好给出极坐标系中相应概念，学生可能对定义中“任意一点的极坐标中至少有一个满
设计意图激发兴趣，引出极坐标方程

简单曲线的极坐标方程教案

简单曲线的极坐标方程教案As a person, we must have independent thoughts and personality.简单曲线的极坐标方程【教学目标】1.熟练掌握简单曲线的极坐标方程的求法，提高应用极坐标系的概念和极坐标和直角坐标的互化解决问题的能力.2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结简单曲线的极坐标方程的求法.3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力.【教学重难点】简单曲线的极坐标方程的求法【教学过程】一、复习、预习自学：222y x +=ρ， )0(tan ≠=x x yθ 3.曲线和方程（平面直角坐标系中（P12））曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解；以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上.（3）极坐标系中如何用方程表示曲线【复习、预习自测】1.极坐标化为直角坐标：→)4,3(π________，→)32,2(π________2. 直角坐标化为极坐标：→)3,3( ________，→-)35,0(________二、合作探究探究点一：圆的极坐标方程（P12-13）如图，半径为a 的圆的圆心坐标为C(a,0)(a>0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标），（θρ满足的条件吗探究点1图拓展1图小结（P13）：一般的，在极坐标系中，如果满足下列两个条件，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程：（1）（2）拓展1（P13）：已知圆O 的半径为r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单并将所得结果与直角坐标方程进行比较.探究点二：直线的极坐标方程（P13）如图，直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是4π，求直线l 的极坐标方程.探究点2图拓展2图拓展3图拓展2（P14）：求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程.拓展3（P14）：设P 点的极坐标为),(11θρ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程.【课堂小结】 1.知识方面_____________________________________________________________________2.数学思想方面_______________________________________________________________ __探究点三：圆锥曲线的极坐标方程已知椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，离心率为e(0<e<1)，建立合理的极坐标系，求椭圆C的极坐标方程.。

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程教案章节：第一章至第五章第一章：引言1.1 极坐标系的介绍极坐标系的定义和基本概念极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系的优点和应用领域1.2 极坐标方程的基本形式极坐标方程的定义和表达方式极坐标方程与直角坐标方程的转换方法常见曲线的极坐标方程的例子第二章：圆的极坐标方程2.1 圆的极坐标方程的定义和性质圆的极坐标方程的表达方式圆的半径和角度的关系圆的极坐标方程的图像和特点2.2 圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在圆的极坐标方程中的应用第三章：螺旋线的极坐标方程3.1 螺旋线的极坐标方程的定义和性质螺旋线的极坐标方程的表达方式螺旋线的半径和角度的关系螺旋线的极坐标方程的图像和特点3.2 螺旋线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式螺旋线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在螺旋线的极坐标方程中的应用第四章：双曲线的极坐标方程4.1 双曲线的极坐标方程的定义和性质双曲线的极坐标方程的表达方式双曲线的半径和角度的关系双曲线的极坐标方程的图像和特点4.2 双曲线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的极坐标方程中的应用第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的极坐标方程的定义和性质椭圆的极坐标方程的表达方式椭圆的半径和角度的关系椭圆的极坐标方程的图像和特点5.2 椭圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式椭圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在椭圆的极坐标方程中的应用第六章：直线的极坐标方程6.1 直线的极坐标方程的定义和性质直线的极坐标方程的表达方式直线的极坐标方程与直角坐标方程的关系直线的极坐标方程的图像和特点6.2 直线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式直线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在直线的极坐标方程中的应用第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的极坐标方程的定义和性质抛物线的极坐标方程的表达方式抛物线的半径和角度的关系抛物线的极坐标方程的图像和特点7.2 抛物线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式抛物线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在抛物线的极坐标方程中的应用第八章：渐开线的极坐标方程8.1 渐开线的极坐标方程的定义和性质渐开线的极坐标方程的表达方式渐开线的半径和角度的关系渐开线的极坐标方程的图像和特点8.2 渐开线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式渐开线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在渐开线的极坐标方程中的应用第九章：双曲线的渐近线的极坐标方程9.1 双曲线的渐近线的极坐标方程的定义和性质双曲线的渐近线的极坐标方程的表达方式双曲线的渐近线的半径和角度的关系双曲线的渐近线的极坐标方程的图像和特点9.2 双曲线的渐近线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的渐近线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的渐近线的极坐标方程中的应用第十章：总结与拓展10.1 简单曲线极坐标方程的应用极坐标方程在工程和物理领域的应用极坐标方程在艺术和设计领域的应用极坐标方程在其他领域的应用10.2 极坐标方程的进一步研究复杂曲线的极坐标方程研究极坐标方程与其他数学分支的联系极坐标方程在现代科学技术中的应用重点和难点解析：1. 第一章：引言极坐标系的定义和基本概念：需要重点关注极坐标系与直角坐标系的关系，以及极坐标系的优点和应用领域。

简单曲线的极坐标方程优秀教学设计

简单曲线的极坐标方程【教学目标】知识目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【教学重点】会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【教学难点】寻找关于ρ，θ的等式【教学方法】启发、诱导发现教学。

【教学过程】一、复习引入：问题情境：情境1：3cos =θρ ， 5=ρ， 2=θρsis ， πθ43=分别表示什么曲线？情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？我们知道，同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程。

为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。

根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。

二、题目探析，体会感受过程，归纳总结1．基础巩固导练（1）已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是。

（2）在极坐标系中，曲线4sin() 3πρθ=-一条对称轴的极坐标方程。

（3）在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点。

则|AB|= 。

（4）已知三点A （5，2π），B （-8，π611），C （3，π67），则ΔABC 形状为。

（5）已知某圆的极坐标方程为：ρ2 –42ρcon(θ-π/4)+6=0则：A ．圆的普通方程；B ．圆上所有点（x ，y ）中xy 的最大值和最小值分别为、。

（1）ρcos θ= -1；（2）56πθ=；（3）（4）等边三角形；（5）（x-2）2+（y-2）2=2； 9．1；2．例题精讲例1．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。

（1）、ρcos θsin 2-ρθ-=0；（2）、c o s 0ρ-θ=；（3）、2c o s 216θ=ρ学生练习，教师准对问题讲评。

简单曲线极坐标方程优秀教案

，求圆心的极坐标与半径.
【问题1】：求经过极点，从极轴到直线的夹角是的直线的极坐标方程.
【问题2】：求过点A(a，0)（a>0）且垂直与极轴的直线的极坐标方程.
【问题3】：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程.
【问题4】：在问题3中,如果以极点为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,那么直线l的直角坐标方程是什么?比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程,你对不同坐标系下的直线方程有什么认识?
一.圆的极坐标方程：例1例2
二.直线的极坐标方程：
学
情分析
在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。这点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。
构建高效课堂教学设计案（副页）
教学环节及时间分配
学生依据所学知识进行小组合作解决相应问题，实现教学内容的获得.
学生独立思考回答，教师进行纠错，并指导.
学生在学习小组内部展开讨论，教师指导，然后进行交流展示.教师板书，强调符号互相转换的方法
学生观察、独立思考回答，教师教师规范步骤.学生整理记忆.
学生总结归纳，教师提示补充.
例2．求经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方程.
练习：求直线的直角坐标方程.
本节课你有哪些收获？
知识层面：
思想层面：
方法层面：
红对勾A层P9：1-46-12P11：1—3，6—13
B层P9：5，13，14P11：4，5，14
学生观察、思考，教师引导，从而引出本节的课题，并给出概念
教师板书，强调含义
能力目标：

简单曲线的极坐标方程教学设计公开课1

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§1.3简单曲线的极坐标方程
一、教学任务分析
知识与技能了解极坐标系中曲线和方程的关系，能求直线和圆的极坐标方程；
过程与方法掌握求曲线极坐标方程的步骤；能求直线和圆的极坐标方程；
情感、态度、价值观认识极坐标中方程和曲线的关系，并能求简单曲线的极坐标方程。

二、教学重、难点
教学重点: 能建立圆和直线的极坐标方程。

教学难点: 建立直线的极坐标方程；理解直线极坐标方程形式的不唯一性。

三、教学基本流程
由直角坐标系下曲线与方程关系类比引进曲线的极坐标方程通过“探究”求圆的极坐标方程
给出极坐标方程的定义
例1的教学
通过“探究”求过极点的直线的极坐标方
、的教
小结本节课要布置作业
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简单曲线的极坐标方程说课稿教案教学设计

常见曲线的极坐标方程教学目标：理解曲线的极坐标方程概念，掌握直线的极坐标方程．教学重点：曲线的极坐标方程的概念，根据条件求直线的极坐标方程．教学难点：直线的一般极坐标方程及其应用．教学过程：一、问题情境：1．思考：在平面直角坐标系中⑴过点(3,0)且与x 轴垂直的直线方程为 x =3 ;过点(3,3)且与x 轴垂直的直线方程为x =3 ． ⑵过点（a ,b ）且垂直于x 轴的直线方程为__x =a__归纳特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值．2．怎样求曲线的极坐标方程？与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程ϕ(ρ,θ)=0 ，再化简并讨论．二、新知探究：探究：求过极点，倾角为4π的射线的极坐标方程．分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是4π，其极径可以取任意的非负数．故所求直线的极坐标方程为(0)4πθρ=≥思考： 1．求过极点，倾角为54π的射线的极坐标方程．易得5(0)4θπρ=≥ 2．求过极点，倾角为4π的直线的极坐标方程．544或πθθπ== 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成．原因在哪？0ρ≥为了弥补这个不足，可以考虑允许通径可以取全体实数．则上面的直线的极坐标方程可以表示为： ()4R πθρ=∈ 或5()4R θπρ=∈ 三、建构数学设点P 的极坐标为(ρ0,θ0,) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为a ,求直线l 的极坐标方程．解：如图，设点M(ρ,θ) 为直线上除点P 外的任意一点，连接OM ，在△OP sin sin OM OMP OPM =∠∠00sin()sin()∴=--ρραθαθ 00sin()sin()-=-ραθραθ显然点P 的坐标也是它的解．00sin()sin()-=-ραθραθ表示过00ρθ（，），倾斜角为α的直线的极坐标方程．四、数学应用：例1 按下列条件写出直线的极坐标方程：(1)A(6)(2)B(5)(3)C(8)62(4)3ππππ经过极点和点，的直线；5经过点，，且垂直于极轴的直线；经过点，，且平行于极轴的直线；经过点，且倾斜角为的直线.（详细解答过程见教材P22）总结：求直线的极坐标方程步骤⑴据题意画出草图；⑵设点M(ρ,θ) 是直线上任意一点；⑶连接MO ；⑷根据几何条件建立关于 ρ,θ 的方程，并化简；⑸检验并确认所得的方程即为所求．五、课堂练习：1．已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程．2．直角方程与极坐标方程互化（1）θρcos -= （2）θρtan 2= (3))(43R ∈=ρπρ3．直线经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线的极坐标方程．把前面所讲特殊直线用此通式来验证．4．在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是3π的直线；（2）过点)3,2(π，并且和极轴垂直的直线．六、回顾小结：直线的几种极坐标方程1．过极点2．过某个定点，且垂直于极轴3．过某个定点，且与极轴成一定的角度。

简单曲线的极坐标方程学案

三简单曲线的极坐标方程[学习目标]1.了解极坐标方程的意义.2.掌握直线和圆的极坐标方程.3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.[知识链接]1.曲线的极坐标方程是否唯一？提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？提示由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为1的圆.[预习导引]1.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示，曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2r cos__θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r，π2，半径为r的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a⎝⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a(0<θ<π)要点一圆的极坐标方程例1求圆心在C⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin5π6是否在这个圆上.解如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2r cos⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O(0，0)，A⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin5π6在此圆上.规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可).2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.跟踪演练1 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 答案 ρ＝2cos θ要点二射线或直线的极坐标方程例2 如图，在极坐标系中，直线l 过M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2且该直线与极轴的正方向成π4，求此直线l 的极坐标方程.解法一设直线上任意一点为P (ρ，θ)，在△OMP 中∠OMP＝π2＋π4＝34π，∠MPO ＝θ－π4.根据正弦定理得ρsin 3π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.法二设直线上任意一点为P (ρ，θ)，点M 的直角坐标为(0，3)，直线MP 的倾斜角为π4，∴直线l 为y ＝x ＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为ρsin θ＝ρcosθ＋3，∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.规律方法法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.跟踪演练2 求以A (1，0)为端点，倾斜角为π4且在极轴上方的射线的极坐标方程.解由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1，0)的坐标适合上述方程.因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝⎛⎭⎪⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4.要点三极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |.解 (1)因为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcos θ，∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2，1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.跟踪演练3 (1)将x 2－y 2＝a 2化为极坐标方程； (2)将ρ＝2a sin θ化为直角坐标方程.(3)将θ＝π3化为直角坐标方程.解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos 2 θ－ρ2sin 2 θ＝a 2，∴ρ2cos 2θ＝a 2，这就是所求的极坐标方程.(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a ·ρsin θ.∴x 2＋y 2＝2ay ，这就是要求的直角坐标方程. (3)tan θ＝yx ，∴tan π3＝y x ＝3，化简得y ＝3x (x ≥0). 要点四极坐标方程的应用例4 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值.解 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程.(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆.直经l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.因为C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.3 B. 2 C.1D.22解析极坐标方程化直角坐标方程为x 2＋y 2＝x 和x 2＋y 2＝y ，它们的圆心分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，圆心距是22.答案 D2.4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析 4ρsin 2θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.∵ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方整理得y 2＝5x ＋254，∴它表示的曲线为抛物线.答案 D3.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.解析由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得y －x ＝1.∴x －y ＋1＝0.而点A 对应直角坐标为A (2，－2)，则点A (2，－2)到直线x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522. 答案 5224.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 经过P 点且与极轴所成的角为3π4，求直线l 的极坐标方程.解如图，设M (ρ，θ)为直线l 上除P 点外的任意一点，连接OM 、OP ，直线l 交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，∠xAM ＝3π4，∠AOP ＝π4，故∠OPM ＝π2，∠MOP ＝θ－π4，所以有|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，显然P 点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.两条直线 B.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆D.圆解析由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－4cos θ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ. 答案 C4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2). 答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12 B.ρcos θ＝2 C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________.(规定：ρ≥0，0≤θ<2π)解析易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π211.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)知，M 点的坐标(2，0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为MN 的中点， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ).三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0. (2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

第一讲三、简单曲线的极坐标方程(优秀经典公开课比赛教案)

课题：简单曲线的极坐标方程学科：数学年级：高二班级【学习目标】1、了解极坐标系中曲线和方程的关系，能求直线和圆的极坐标方程；2、掌握求曲线极坐标方程的步骤；能求直线和圆的极坐标方程；3、认识极坐标中方程和曲线的关系，并能求简单曲线的极坐标方程。

【学习重难点】重点：能建立圆和直线的极坐标方程。

难点：建立直线的极坐标方程；理解直线极坐标方程形式的不唯一性。

【预习指导】1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程.2、直线与圆的极坐标方程① 过极点，与极轴成α角的直线极坐标议程为θραθtan tan )(=∈=或R ②以极点为圆心半径等于r 的圆的极坐标方程为 r =ρ【合作探究】例1求（1）过点)4,2(πA 平行于极轴的直线. （2）过点)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线. 解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4,2(πA ，所以|MH|=224sin =⋅π 在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4,2(πA 平行于极轴的直线为2sin =θρ.（2）如图，设M ),(θρ为直线l 上一点.)3,3(πA ， OA =3，3π=∠AOB 由已知43π=∠MBx ，所以125343πππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=-=∠OAM 又θπθ-=-∠=∠43MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 127sin )43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin +=+=πππ 将)43sin(θπ-展开化简可得23233)cos (sin +=+θθρ 所以过)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件.将它用坐标表示.再通过代数变换进行化简.例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程；2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程.解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点.圆C 交极轴于另一点A.由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=，这就是圆C 的方程.（2）由4==OC r .连接CM.因为M 为弦ON 的中点.所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上.所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=.〔点评〕在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法.在极坐标中.求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.例2中（1）为直译法，（2）为定义法.此外（2）还可以用动点转移法.请同学们尝试用转移法重解之.例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.（1）x y 42= （2）3πθ= （3）12cos 2=θρ （4）42cos 2=θρ解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得 θθρsin 4sin 2=（2）因为x y =θtan 所以 33tan ==xy π 化简得：)0(3≥=x x y （3）因为12cos 2=θρ 所以 12cos 1=+θρ. 即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x .化简得 )1(42--=x y .（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕（1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提.（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性.如本例（2）中.由于一般约定.0>ρ故3πθ=表示射线.若将题目改为)(3R ∈=ρπθ 则方程化为：x y 3=【当堂检测】1 判断点)35,21(π-是否在曲线2cos θρ=上. 2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.（1）01222=--+x x y ；（2）θρcos 21-=.3．下列方程各表示什么曲线？（1）a y =： .（2）a =ρ： .（3）αθ=： .〔潜能强化训练〕１极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（）Ａ２Ｂ 2 Ｃ１Ｄ 22 ２在极坐标系中，点)2,3(π关于6πθ=)(R ∈ρ的对称的点的坐标为（） A )0,3( B )2,3(π C )32,3(π- D )611,3(π 3在极坐标系中，过点)3,3(π且垂直于极轴的直线方程为（） A 23cos =θρ B 23sin =θρ C θρcos 23= D θρsin 23= 4 极坐标方程 )0(22cos ≥=ρθ 表示的曲线是（） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 22)4sin(=+πθρ，则极点到该直线的距离是： .6 圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是： .7 从原点O 引直线交直线0142=-+y x 于点M ，P 为OM 上一点，已知1=OM OD .求P 点的轨迹并将其化为极坐标方程.【课堂小结】1 直线，射线的极坐标方程.2 圆的极坐标方程【教学反思】。

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程教学目标：1. 了解极坐标系的定义和基本概念；2. 掌握极坐标与直角坐标之间的转换关系；3. 学习简单曲线的极坐标方程的求解方法；4. 能够应用极坐标方程解决实际问题。

教学内容：第一章：极坐标系的定义和基本概念1.1 极坐标系的定义1.2 极坐标与直角坐标的关系1.3 极坐标系的应用领域第二章：极坐标与直角坐标之间的转换关系2.1 极坐标与直角坐标之间的转换公式2.2 转换关系的推导过程2.3 转换关系的应用实例第三章：圆的极坐标方程3.1 圆的直角坐标方程3.2 圆的极坐标方程的推导3.3 圆的极坐标方程的应用实例第四章：直线的极坐标方程4.1 直线的直角坐标方程4.2 直线的极坐标方程的推导4.3 直线的极坐标方程的应用实例第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的直角坐标方程5.2 椭圆的极坐标方程的推导5.3 椭圆的极坐标方程的应用实例教学方法：1. 采用讲授法，讲解极坐标系的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的转换关系；2. 通过示例和练习，让学生掌握圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解方法；3. 利用多媒体辅助教学，展示极坐标系的图像和实例，增强学生的直观感受；4. 布置课后作业，巩固学生对极坐标方程的理解和应用能力。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生对极坐标系的定义和基本概念的掌握程度；3. 学生对极坐标与直角坐标之间转换关系的理解程度；4. 学生对圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解能力的掌握程度；5. 学生对极坐标方程在实际问题中的应用能力的展示。

第六章：双曲线的极坐标方程6.1 双曲线的直角坐标方程6.2 双曲线的极坐标方程的推导6.3 双曲线的极坐标方程的应用实例第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的直角坐标方程7.2 抛物线的极坐标方程的推导7.3 抛物线的极坐标方程的应用实例第八章：参数方程与极坐标方程的转换8.1 参数方程的定义和基本概念8.2 参数方程与极坐标方程之间的转换关系8.3 参数方程与极坐标方程的转换实例第九章：简单曲线的极坐标方程的综合应用9.1 综合应用实例一：测定物体的位置9.2 综合应用实例二：计算曲线的长度9.3 综合应用实例三：求解曲线上的点的坐标第十章：总结与拓展10.1 本章小结10.2 思考题10.3 拓展阅读材料教学方法：1. 通过示例和练习，让学生掌握双曲线和抛物线的极坐标方程的求解方法；2. 利用多媒体辅助教学，展示双曲线和抛物线的图像和实例，增强学生的直观感受；3. 通过综合应用实例，让学生了解简单曲线的极坐标方程在实际问题中的应用；4. 采用小组讨论和报告的形式，激发学生的思考和交流能力。

人教版数学高二《简单曲线的极坐标方程》同步教案

课题：简单曲线的极坐标方程教学目标:一、知识与技能：知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；掌握简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程二、方法与过程借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简单图形的极坐标方程的特点；比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。

三、情感、态度与价值观体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。

教学重点:几类简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程教学难点：几类简单图形的极坐标方程的推导教学过程一、新课引入：1、在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。

当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。

3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。

二、讲解新课：在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。

所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点O 的直线方程形如：kx y =，其中k 是实数，叫作斜率，θtan =k ，θ是此直线与O x 轴的夹角，这个角是多大，一般从k 上不易看出来，需要计算θarctan 。

简单曲线的极坐标方程教案

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