2011年西工大数学建模竞赛B解答

第九届西北工业大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目B题剪切线航空学院第16 队摘 要2011年中央发布《新国八条》，以遏制房价上涨，各地方政府也紧随其后，出台了一系列宏观调控政策，但到目前为止，房价并没有出现预期的大幅回落，仍然处在高价范围内波动。

怎样的房价才算合理，才能被大众接受未来几年的房价走势又会如何？我们将在此论文中建立关于房价未来走势的数学模型，以宏观的调控和相应的数据，进行量化分析。

首先，我们明确影响房价的如下主要指标：人均GDP 、家庭人均可支配收入。

然后我们以两个不同的城市：北京市、武汉市为研究对象进行数据的拟合。

以人均GDP 1x 与家庭人均可支配收入2x 为自变量，分别以北京市住房均价1y 与武汉市住房均价2y 为因变量；得出二者的线性回归方程是：单位（元）1y = -0.549381x +1.77422x +0.0001982421x -0.001024921x x +0.00133522x -2734.62y = -3.51021x +10.1612x -0.0003589121x -0.002098921x x -0.003044722x -7322.8两组变量各自是呈二次线性正相关的，而通过软件分析的结果，可知这两组变量各自具有高度的相关性。

由此我们可以看出，要确定房价走势，就要确定未来几年的人均GDP 预测值)1(1x 与家庭人均可支配收入预测值)1(2x ，鉴于我们了解的数据并不是完整的，又要简化运算，因此我们用灰色预测系统来分析)1(1x 。

用线性回归完成对家庭人均可支配收入的预测。

根据相关文献，“房价收入比”即住房价格与城市人均收入之比可以用来评价住房价格的合理性，我们把预测得到的数据与之相比，即可以判断房价的合理性。

预测的北京市2010年，2011年房价收入比分别为20,23。

武汉市2010年，2011年房价收入比为13,14。

.从预测结果看出北京市房价非常不合理，严重超过居民承受能力。

而武汉市房价也偏高。

至此，我们就解决了房价合理性的判断及房价走势的预测问题。

关键词：线性回归，灰色预测，Matlab ，房价收入比。

问 题 重 述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。

我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。

我们根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。

问 题 分 析本题是一个实际问题，因为没有给出数据，所以需要我们自己去相关网站搜寻数据，也增大了建模的灵活性。

宏观、抽象的经济现象一般都是定性的描述，但要做到量化，就需要找到一些实际具体的指标，通过所找到的指标，进行数据的处理，确定指标之间所呈现的关系。

本题中首先要解决城镇居民家庭人均可支配收入，人均GDP 及房屋均价之间的关系，那么就需要找到描述三者的指标，建立相应的数学模型，要想量化分析，必须找到数据进行说明。

因为这里要做的是一个描述性的探究，而静态的数据一般以不同省份或者城市作为考虑对象，因此我们采用分类的方式进行数据的收集与处理，数据主要来源于相关城市统计年鉴，真实可靠。

一方面，我们可以通过建立回归模型，通过matlab 软件进行统计分析的方法来拟合数据，建立相关函数。

通过相关函数可以进行城镇居民人均可支配收入的初步预测。

另外，本题中变量的关系较好的符合了灰色模型的预测特点：把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，再利用微分方程处理数据，对生成数列使用微分方程模型以抵消大部分随机误差，显示出规律性。

通过灰色模型预测我们较好的拟合出了人均GDP 。

考虑到房价受消费水平，政府宏观调控，建筑成本等因素的影响，我们建立灰色模型，用Matlab 对收集到的数据进行拟合，得出人均GDP 、家庭人均可支配收入与住房均价的二元函数关系。

并以此做出未来几年房价的预测。

总之，房价的变化是比较复杂的，我们只能按以往的数据资料找出其中可能存在的规律，实际情况会受到很多因素的影响，也不排除偶然因素，因此我们只能作一个短期的预测。

以下我们建立模型一来确定房价y 与人均GDP 1x 与家庭人均可支配收入2x 的函数关系，并先行确定城镇居民家庭人均可支配收入的预测值)1(2x 。

基 本 假 设1、假设问题只考虑人均GDP 、城镇居民家庭人均可支配收入来进行分析。

2、假设网站上收集的资料是真实可靠的，不考虑人为因素篡改造成的影响。

模 型 一建立模型与求解首先，我们分别选取了两类城市，并找到了其最近九年的人均GDP，家庭人均可支配收入，住房均价的相关数据，如下表1,2所示：北京市（一线城市）2000——2009年各相关数据（表1）武汉市（二线城市）2000——20009年各相关数据（表2）⑴ 首先，我们分别用北京市与武汉市的人均GDP 1x 与家庭人均可支配收入2x 作为自变量，用住房均价作为因变量，用以上的数据，在Matlab 上进行线性回归分析，拟合得到函数①，②北京市如下1y = -0.549381x +1.77422x +0.0001982421x -0.001024921x x +0.00133522x -2734.6（① 式）武汉市如下2y = -3.51021x +10.1612x -0.0003589121x -0.002098921x x -0.003044722x -7322.8（②式）⑵ 然后我们分别用年份作自变量，城镇居民家庭人均可支配收入作因变量。

用表1,2中的数据拟合得到函数并可进行预测)1(2x =37821x +20501x +101720.51 1.52 2.53 3.54 4.54（图1：北京市城镇居民家庭人均可支配收入的回归方程）)1(2x =512.122x +2.8832x +6989.740.51 1.52 2.53 3.54 4.5（图2：武汉市城镇居民家庭人均可支配收入的回归方程）由上述两个结果分析：城镇居民家庭人均可支配收入与年份存在较好的线性关系，因此我们以年份作为自变量，城镇居民家庭人均可支配收入为因变量，借助MATLAB的运算，拟合出符合预期的较好的二次相关曲线。

而且根据要求可知我们还需要预测未来几年人均GDP，再根据两者预测未来几年的房价走势，而未来几年人均GDP的预测（即求解)1(1x）可借助如下模型二来实现。

模型二以下我们分别选取表1、2的数据来建立灰色模型，得到北京市与武汉市人均GDP的预测函数。

灰色预测模型建立步骤：1、人均GDP 原始数据的灰色生成（)0(x 为原始数据序列，)1(x为累加数据序列）：原始数据为 （1）北京)0(x ={26980 30730 34777 40916 45993 52054 61274 66797 70452}, （2）武汉)0(x={16515 17971 19569 23148 26548 30921 36347 46035 51136}由公式可以得出累加生成序列)1(x ，经计算，（1）北京)1(x ={26980 57710 92487 133403 179396 231450 292724359521 429973}（2）武汉)1(x={16515 34486 54055 77203 103751 134672 171019217054 268190}根据生成的累加数列建立一阶单变量的微分方程模型GM(1,1)，微分方程形式为：(k=1, 2, 3…n)（其中a, u 为待测参数） 2、人均GDP 灰色预测系统建模 由（1）中所的)1(x 可以生成数据矩阵A, B 根据最小二乘法公式B A A A u a TT 1)(-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∑==ki i xk x1)0()1()()(其中A=＝(30730 34777 40916 45993 52054 61274 66797 70452)（2）武汉)),...,()0()()0()3()0()2(n x x x B =, (这里n ＝9)＝（17971 19569 23148 26548 30921 36347 46035 51136）可求出参数a, u 即可得出预测模型方程其中)1()0()1(xx=，（1）北京)),...,()0()()0()3()0()2(n x x x B =, (这里n ＝9) ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-12/))()1((......12/))3()2((12/))2()1(()1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x （北京）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------139474713261221262087120542311563991112945175098142345（武汉）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1242622119403611528451119211190477165629144270125500我们用Matlab 软件中进行上述过程，得到结果 （1）北京=+)1(^)1(k xke 1183.055*10*559.210*289.2+-（k=0,1,2,3,4,5...） （2）武汉=+)1(^)1(k xke 1606.044*10*560.910*908.7+-（k=0,1,2,3,4,5...）根据此模型可以得到预测值)1(^)1(+k x，将其做累加还原，即可得到原始数据的预测值：如表3所示（3）残差检验对于上述建模以及求解过程我们需作残差检验，计算其相对误差，说明模型 可行性，由Matlab 得出其检验结果如下表：表4 武汉GM （1，1）模型检验表通过上表可知，该模型的精度较高，对未来几年北京及武汉地区人均GDP的预测是有一定准确性的。

结果分析现在，我们来评价房价的合理性。

以上房价的计算是单纯基于人均GDP和城镇居民人均可支配收入。

，房价的合理性可由“房价收入比”即住房价格与收入之比来评价。

国际上通用的房价收入比的计算方式，是以住宅套价的中值，处以家庭年收入中值。

如果房价收入比处在4－6之间，则房价合理，若小于4－6，则房价偏低，大于4－6，则房价偏高。

但是由于人均可支配收入比平均收入要低。