高中数学选修2-2综合测试题及答案

选修2-2综合测试题2一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（ ） Ａ．1Ｂ．1a -Ｃ．1a +Ｄ．21a -2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（ ）Ａ．2m <或4m > Ｂ．42m -<<- Ｃ．24m << Ｄ．以上皆不正确3．设()()sin ()cos f x ax b x cx d x =+++，若()cos f x x x '=，则a b c d ，，，的值分别为（ ） Ａ．1，1，0，0Ｂ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，14．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（ ） Ａ．23119y x x =-+Ｂ．23119y x x =++ Ｃ．23119y x x =-+Ｄ．23119y x x =--+5．数列{}n a 满足1120212112n n n n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，，，，≤≤≤若167a =，则2004a 的值为（ ）Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．176．已知a b ，是不相等的正数，2a b x +=，y a b =+，则x ，y 的关系是（ ）Ａ．x y > Ｂ．y x >Ｃ．2x y >Ｄ．不确定7．复数2()12m iz m i-=∈-R 不可能在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（ ）的运算的结果Ａ．B D *，A D *Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D *9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）Ａ．a ，b 都能被5整除 Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被5整除 Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 10．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值 Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值 Ｄ．函数y x =无极值11．对于两个复数12α=+，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=．其中正确的个数为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．412．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（ ） Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()ba f x dx ⎰Ｃ．1()2baf x dx ⎰ Ｄ．1()baf x dx b a -⎰ 二、填空题13．若复数222log (33)log (3)z x x i x =--+-为实数，则x 的值为 ． 14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为 ．15．函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>在区间[12]-，上的最大值为3，最小值为29-，则a ，b 的值分别为 ．16．由24y x =与直线24y x =-所围成图形的面积为 ． 三、解答题17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求sin cos n n x x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．） 18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=， （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，则21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(00.048)x ∈，，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？22．已知函数()0)f x x >，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=．（1）求234a a a ，，；（2）猜想数列{}n a 的通项，并予以证明． 参考答案一、选择题：CCDAC,BABBBD二、填空题：13、4， 14、61， 15、2,3 16、9 17、解：当1n =时，sin cos 1x x +=-； 当2n =时，有22sin cos 1x x +=；当3n =时，有3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )x x x x x x x x +=++-，而sin cos 1x x +=-， 12sin cos 1x x +=∴，sin cos 0x x =． 33sin cos 1x x +=-∴． 当4n =时，有4422222sin cos (sin cos )2sin cos 1x x x x x x +=+-=． 由以上可以猜测，当n *∈N 时，可能有sin cos (1)n n n x x +=-成立．18、解：（1）设实数根为a ，则2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=， 即2(tan 2)(1)0a a a i θ---+=．由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，． 又π02θ<<， 得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解．故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根19、解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=． 因为0t ≠，所以2a t =-． ()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =． 又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=．将2a t =-代入上式得b t =． 因此3c ab t ==-． 故2a t =-，b t =，3c t =-． （2）3223()()y f x g x x t x tx t =-=--+，2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-． 当(3)()0y x t x t '=+-<时，函数()()y f x g x =-单调递减． 由0y '<，若0t >，则3t x t -<<； 若0t <，则3t t x <<-．由题意，函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，则(13)3tt ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，或(13)3tt ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，． 所以9t -≤或3t ≥．又当93t -<<时，函数()()y f x g x =-在(13)-，上不是单调递减的．所以t 的取值范围为(][)93--+，，∞∞． 20、解：此命题是真命题． 0a b c ++=∵，a b c >>，0a >∴，0c <．要证， 即证223b ac a -<，也就是证22()3a c ac a +-<， 即证()(2)0a c a c -+>． 0a c ->∵，2()0a c a c a b a +=++=-+>， ()(2)0a c a c -+>∴成立， 故原不等式成立．21、解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时，1.44y =；由21.44(0.012)k =·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x x f x x ==·，设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =． 因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增；(0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22、解：（1）由1()a f x =，得21()a f a ===，32()a f a ====43()a f a ===（2）猜想：)n a n *=∈N ，证明：（1）当1n =时，结论显然成立； （2）假设当n k =时，结论成立，即k a那么，当1n k =+时，由1()k k a f a +===，这就是说，当1n k =+时，结论成立； 由（1），（2）可知，n a =()n n *∈N 都成立．。