导数研究函数性质

1．导数与导函数的概念

(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，

比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可

导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)．

(2)若f (x )对于区间(a ，b )任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．

2．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．

3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数

f (x )＝C (C 为常数)

f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α为常数)

f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x

f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x

f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x

f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)

f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x

f(x)＝log a x(a>0，a≠1)f′(x)＝

1 x ln a

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)[f x

g x]′＝

f′x g x－f x g′x

g2x(

g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )

(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( )

1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝1

3

x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．

2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________．

3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4

)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝

4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值围是__________．

5．(2015·)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1

x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．

题型一 导数的运算

例1 求下列函数的导数：

(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；

(2)y ＝x 2sin x ；

(3)y ＝3x e x －2x ＋e ；

(4)y ＝ln x x 2＋1

； (5)y ＝ln(2x －5)．

思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向逐层求导，必要时可换元．

(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0＝________.

(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.

题型二导数的几何意义

命题点1 已知切点的切线方程问题

例2 (1)函数f(x)＝ln x－2x

x的图象在点(1，－2)处的切线方程为__________．

(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．

命题点2 未知切点的切线方程问题

例3 (1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是__________．(2)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为____________．

命题点3 和切线有关的参数问题

例4 已知f(x)＝ln x，g(x)＝1

2

x2＋mx＋

7

2

(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图

象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________. 命题点4 导数与函数图象的关系

例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的________(填序号)．

思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)．

(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .

(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由

⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4

)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为__________________．

(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．