数值分析复习题

武汉大学工程硕士研究生数值分析课程复习题

一、名词解释：

模型误差 绝对误差限 相对误差限 有效数字 算法的数值稳定性 矩阵的条件数 求解线性方程组的直接解法 迭代函数 迭代法的局部收敛 最小二乘拟合 插值型求积公式 代数精度 求积公式的p 阶收敛 差商 事后估计 数值解的局部截断误差

二、简述题：

1、简述数值计算中的误差种类与来源；

2、简述数值计算中应如何防止误差的传播；

3、简述《数值分析》研究的对象与特点。

三、填空题：

1、计算方法以 为研究对象，其最基本的立足点是 ；

2、数

113

355和3.1415927分别作为 π 的近似值有 ， 位有效数字；

3、数a 的精确值为71.645。它的两个近似值分别分70和71.65，则这三个近似值的有效

位数分别为 和 ； 4、若0.645x =，它的近似值n x 为0.65，则n x 的有效数字个数为 ； 5

x 的相对误差限的 ，2x -的相对误差限是x 的相误差限

的 ；

6、对于n 阶方阵，()ij n n A a ⨯=1A = ，2A = ，A ∞= ；

7、设A 、B 是任意三个n 阶方阵，则A B +≤ ， AB ≤ ；

8、已知 111

1A -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

,则 1||||A = ,Cond ∞)(A = ； 9、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12x ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--=2513

A ，求∞

Ax = ，∞)(A Cond = ；

10、为计算积分 )100,,2,1(10

1

==

⎰

-n dx e

x I x n

n ,设计了两种算法：

A ：)100,,1(6321

.0101

==-=⎩⎨

⎧-n I nI I n n ； B ：⎪⎩⎪⎨⎧

==-=

-)1,,100(0

11001 n I n

I I n n

数值稳定性较好的是算法 ；

11、求方程x

e x -=2、x x cos =、2sin x x =的根的牛顿迭代格式分别为： 、 、 ；

12、对给定的1n +个插值节点01,,,()n x x x f x 的Lagrange 插值多项式和Hermite 插值多项式的次数分别为 、 次；

13、对于给定的1n +个点01,,,,()n x x x f x 的牛顿插值多项式的余项为 ； 14若()(1)(2)f x x x =--,则差商[1,2]f = ,[1,2,3]f = ；

15、设132)(3

8

-+=x x x f ，则差商=]1,0[f ，=]8,,1,0[ f ； 16、梯形公式有 次代数精度，辛普生公式有 次代数精度；

17、复化梯形公式的截断误差为n I T -= ，复化辛普生公式的截断误差为

n I S -= ；

18、在常微分方程初值问题中，定义()n n y x y -为近似值n y 的 ；

19、对于方程00(,)

()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩

，改进的尤拉法为： ；

20、若0,λ<则y y λ'=的Euler 公式是 稳定的，梯形公式是 稳定的。

四、基本计算题

1、若取1415926.3来表示π的近似值，试估计其相对误差；

2、若取2 7182838来表示e 的近似值，试估计其相对误差；

3、设⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡--=50

21

A ，求谱半径)(A ρ及条件数∞)(A Cond ； 4、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡--=11

4

320

211A ， 已知 ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡-----=-25

8

3712135

1A ， A 的三个特征值分别为：i 5.003.0,

06.4±- , 求范数∞

A

、谱半径)(A ρ及条件数∞)(A Cond ；

5、用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程组b Ax =，其中 1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡-=97

6

034

112

A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=34156b ； 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-----=6156

3142112

A ，⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=3103b ； 3）⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡--=54

2

1214

512

A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122711b ； 4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡--=21

6

528112

A ，⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=234110b ； 6、设四阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=301034211

0100201A , 1）用紧凑格式求单位下三角阵L 和上三角阵U ,使A L U =；

2）用以上L U 分解求方程组b Ax =，其中()5,3,17,7T

b =； 3）计算1

A

、

∞

A

；

7、设四阶方阵A= ⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡------2136

15622

2

342102

1）用紧凑格式求单位下三角阵L

和上三角阵U ,使A L U =；

2）用以上L U 分解求方程组b Ax =，其中()5,1,4,10T

b =--； 3）计算1

A

、

∞

A

；

8、试用迭代法分别求出方程0)2ln(=+-x x 在区间[—1.9,—1]和[0,2]上的根；