数值分析复习题

武汉大学工程硕士研究生数值分析课程复习题一、名词解释：模型误差 绝对误差限 相对误差限 有效数字 算法的数值稳定性 矩阵的条件数 求解线性方程组的直接解法 迭代函数 迭代法的局部收敛 最小二乘拟合 插值型求积公式 代数精度 求积公式的p 阶收敛 差商 事后估计 数值解的局部截断误差二、简述题：1、简述数值计算中的误差种类与来源；2、简述数值计算中应如何防止误差的传播；3、简述《数值分析》研究的对象与特点。

三、填空题：1、计算方法以 为研究对象，其最基本的立足点是 ；2、数113355和3.1415927分别作为 π 的近似值有 ， 位有效数字；3、数a 的精确值为71.645。

它的两个近似值分别分70和71.65，则这三个近似值的有效位数分别为 和 ； 4、若0.645x =，它的近似值n x 为0.65，则n x 的有效数字个数为 ； 5x 的相对误差限的 ，2x -的相对误差限是x 的相误差限的 ；6、对于n 阶方阵，()ij n n A a ⨯=1A = ，2A = ，A ∞= ；7、设A 、B 是任意三个n 阶方阵，则A B +≤ ， AB ≤ ；8、已知 1111A -⎛⎫=⎪⎝⎭,则 1||||A = ,Cond ∞)(A = ； 9、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2513A ，求∞Ax = ，∞)(A Cond = ；10、为计算积分 )100,,2,1(101==⎰-n dx ex I x nn ,设计了两种算法：A ：)100,,1(6321.0101==-=⎩⎨⎧-n I nI I n n ； B ：⎪⎩⎪⎨⎧==-=-)1,,100(011001 n I nI I n n数值稳定性较好的是算法 ；11、求方程xe x -=2、x x cos =、2sin x x =的根的牛顿迭代格式分别为： 、 、 ；12、对给定的1n +个插值节点01,,,()n x x x f x 的Lagrange 插值多项式和Hermite 插值多项式的次数分别为 、 次；13、对于给定的1n +个点01,,,,()n x x x f x 的牛顿插值多项式的余项为 ； 14若()(1)(2)f x x x =--,则差商[1,2]f = ,[1,2,3]f = ；15、设132)(38-+=x x x f ，则差商=]1,0[f ，=]8,,1,0[ f ； 16、梯形公式有 次代数精度，辛普生公式有 次代数精度；17、复化梯形公式的截断误差为n I T -= ，复化辛普生公式的截断误差为n I S -= ；18、在常微分方程初值问题中，定义()n n y x y -为近似值n y 的 ；19、对于方程00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩，改进的尤拉法为： ；20、若0,λ<则y y λ'=的Euler 公式是 稳定的，梯形公式是 稳定的。

四、基本计算题1、若取1415926.3来表示π的近似值，试估计其相对误差；2、若取2 7182838来表示e 的近似值，试估计其相对误差；3、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5021A ，求谱半径)(A ρ及条件数∞)(A Cond ； 4、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=114320211A ， 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-25837121351A ， A 的三个特征值分别为：i 5.003.0,06.4±- , 求范数∞A、谱半径)(A ρ及条件数∞)(A Cond ；5、用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程组b Ax =，其中 1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=976034112A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=34156b ； 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=61563142112A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3103b ； 3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5421214512A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122711b ； 4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=216528112A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=234110b ； 6、设四阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3010342110100201A , 1）用紧凑格式求单位下三角阵L 和上三角阵U ,使A L U =；2）用以上L U 分解求方程组b Ax =，其中()5,3,17,7Tb =； 3）计算1A、∞A；7、设四阶方阵A= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21361562223421021）用紧凑格式求单位下三角阵L和上三角阵U ,使A L U =；2）用以上L U 分解求方程组b Ax =，其中()5,1,4,10Tb =--； 3）计算1A、∞A；8、试用迭代法分别求出方程0)2ln(=+-x x 在区间[—1.9,—1]和[0,2]上的根；9、已知 x x f y ==)( 的一组值：)2(f 10、已知 )(x f y = 的一组值：)5.2(f 11、已知 2)(x ex f y -== 的一组值：求二次拉格朗日插值多项式及余项； 12、已知 x e x f y -==)( 的一组值：求二次拉格朗日插值多项式及余项； 13、求次数不高于3的多项式P 3（X ），使满足下列插值条件：P 3（1）= 2 P 3（2）=4 P 3（3）=12 3P '（2）=3；14求形如 6sin 2xb ax y += 的拟合曲线；15求形如 c bx ax y ++=2的拟合曲线； 16、已知变量y x ,的一组数据对点如下试求关于以上数据的形如ae y =的拟合曲线，并估计 1.35x =处的函数值；17、已知y 1=的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.30.2ln 1dx x；18、给定)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰6.20.1)(dx x f ；19、已知)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.20)(dx x f ；20已知x f y 1sin)(==的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.20.11sindx x；21、用龙贝格积分法求积分dx x⎰1214＋的近似值，其中T 1=3.00000 T 2=3.1000000 T 4=3.13117647T 8=3.13898849；22、用龙贝格积分法求dx xx I ⎰=10sin 的近似值，其中9207355.01≈T 9397933.02≈T 9445135.04≈T 9456909.08≈T ；23、确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高；24、试用改进的欧拉格式（也称预估-校正法）求解下列微分方程初值问题：1）⎪⎩⎪⎨⎧==∈+=1.0;1)0(]1,0[,h y x y x dx dy 2）,[0,1](0)1;0.1dyxy x dx y h ⎧=∈⎪⎨⎪==⎩3） 2,[0,1](0)1;0.1dy xy x dx y h ⎧=∈⎪⎨⎪==⎩ 4）2,[0,1](0)1;0.1dy x x dx y y h ⎧=∈⎪⎨⎪==⎩5） [0,1](0)1;0.1dy x dx y h ⎧=∈⎪⎨⎪==⎩ 6）⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤+=1.0,1)0(10,2h y x y x dxdy7）⎪⎩⎪⎨⎧=-=∈+=1.0;1)0(]1,0[;h y x y x dx dy 8）⎪⎩⎪⎨⎧==∈-=1.0;1)0(]1,0[,h y x y dx dy（取5位有效数字计算）25、用欧拉预估—校正方法求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=>+=1)0(0,2y x y x dxdy的解函数)(x y 在2.0=x 的近似值（取步长1.0=h ，小数点后至少保留四位）。

五、综合计算题：1、设常数0≠a ，分别写出求解方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212111b b x x a a的Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式并给出用Gauss-Seidel 迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件；2、为求方程10x x --=在0 1.5x =附近的一个根，设将方程改写为一组等价形式，并建立相应的迭代公式如下： 1）211x x=+，迭代公式 1211k kx x +=+；2）321x x =+，迭代公式1k x +=3）211x x =-，迭代公式11/21(1)k k x x +=-；试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根； 3、已知一个三次方程为310x x --=，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造两种不同的收敛迭代格式，再用其中一种收敛迭代格式计算该方程在1.5附近的一个根(410-=ε)； 4、方程 )0(0272)(323>=+-=a aaxx x f 在]32,0[a 及],32[a a 内各有一个根，1）建立求根的牛顿迭代格式；2）如何选取初值0x ，使牛顿迭代序列k x 收敛到],32[a a 内的根； 5、已知数据设b xax x f +=6sin )(π，求常数a,b ,使得 ∑==-22min ])([i i i y x f ；6设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-02min ])([i i i y x f ；7、确定求积公式)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰- 的代数精度，并问是否是Gauss 型公式；8、确定常数a,b,c ，使迭代式 521)(kkk k k xc xb ax x x ++==+ϕ 局部收敛到1*=x ，并有尽可能高的收敛阶数，并指出这个阶数。

六、证明与讨论题1、 设方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111122111221321x x x 1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；2）证明Jacobi 迭代格式是收敛的；2、分别写出求解下列方程组的Jacobi 迭代格式和松弛迭代格式，并讨论Jacobi 迭代格式的收敛性:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+.122,5,322321321321x x x x x x x x x 3、设方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212122211211b b x x a a a a ，其中02211≠a a ， 分别写出Jacob 及Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散； 4、已知方程 02=+-x e x 有一个正根及一个负根，1）估计出含根的区间；2）分别讨论用迭代格式 21-=+nx n ex 求这两个根时的收敛性；3）如果上述迭代不收敛，请写出一个你认为收敛的迭代格式；5、设方程xe x -=.1)估计含根区间；2)分析迭代格式,5.00=x nxn e x -+=1, ,2,1,0=n .的收敛性；3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问0x 取何值时,迭代收敛； 6、 设b x x x a n =<<<= 10，求积公式∑⎰=≈ni i iba x f Adx x f 0)()(为插值型求积公式,(1)推导出求积系数 i A 的公式； (2)证明公式∑⎰=≈ni i iba x f Adx x f 0)()(的代数精度n ≥；(3)证明公式∑⎰=≈ni i ibax f Adx x f 0)()(的代数精度不可能大于12+n ； 7、设求积公式∑⎰=≈n k k kbax f Adx x f 1)()(为高斯型求积公式，)())(()(21n n x x x x x x x ---= ω1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？2）证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有⎰=ba n dx x x q 0)()(ω；3）证明：n k A k ,,2,1,0 =>；8、证明迭代格式 ⎩⎨⎧3),,2,1,0(,201==+=+x k x x k k 收敛，并求出k k x lim ∞→；9、证明求积公式∑⎰=≈nk k kbax f dx x f 0)()(λ的代数精度大于等于n 的充分必要条件是(),(0,1,2,)b k k al x dx k λ==⎰, b x x x a n ≤<<<≤ 10其中)(x l k 是以n x x ,0为插值节点的Lagrange 插值基多项式； 10、试确定数值解公式11211+-+++=i i i i bhfy a y a y 中的系数b a a ,,21，使其阶数尽可能最高，并写出其局部截断误差；11设B 为n 阶方阵，I 为 n 阶单位阵。