安徽省太和第一中学2020年高二第一学期期中考试数学奥赛班试题含答案
2020-2021学年安徽省阜阳市太和第一中学高二(奥赛班)上开学考试数学(解析版)
2020-2021学年安徽省阜阳市太和第一中学高二（奥赛班）上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为（ ）A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C【解析】根据面面平行的性质和判定，结合线面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两直线平行，故④正确； 综上所述，正确的是①④. 故选：C . 【点睛】本题考查面面平行的判定和性质，涉及线面垂直的性质，属综合基础题.2．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中1O B O C ''''==，则此正三棱锥的体积为（ ）A 3B ．33C ．34D 33【答案】A【解析】根据''B C 的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积. 【详解】由于1O B O C ''''==，所以''2B C =，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，其面积为224⨯=133=故选：A 【点睛】本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.3．在三棱锥A BCD -的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF HG P ⋂=，则点P （ ） A ．一定在直线BD 上 B ．一定在直线AC 上C ．在直线AC 或BD 上 D ．不在直线AC 上，也不在直线BD 上【答案】B【解析】由题意得出，P ∈平面ADC ，P ∈平面ABC ，从而可得出选项. 【详解】由题意知GH ⊆平面ADC .因为,GH EF 交于一点P ，所以P ∈平面ADC .又因为EF ⊆平面ABC ，所以P ∈平面ABC .又因为平面ABC平面ADC AC =，所以点P 一定在直线AC 上.又B ∈平面ABC ，D ∈平面ACD ,但BD 不同时在 平面ABC 和平面ACD 中，所以P BD ∉.故选：B. 【点睛】本题主要考查了空间中点共线以及两个面的交线的问题，属于基础题.4．四面体ABCD 中，3AB CD ==，其余棱长均为4，E ，F 分别为AB ，CD 上的点（不含端点），则（ ） A ．不存在E ，使得EF CD ⊥ B ．存在E ，使得DE CD ⊥C ．存在E ，使得DE ⊥平面ABCD ．存在E ，F ，使得平面CDE ⊥平面ABF 【答案】D【解析】对于A 选项，取E ，F 分别在AB ，CD 的中点'',E F 时，由全等三角形和等腰三角形的性质可判断；对于D 选项，由A 选项的解析得EF CD ⊥，AF CD ⊥，根据线面垂直和面面垂直的判定理可判断；对于B 选项，作CH ⊥面ABD 于H ，根据线面角的定义和最小角定理可得出CDE ∠的最小值和最大值可判断；对于C 选项，作DG ⊥面ABC 于G ，由点G 的位置和过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，可判断. 【详解】作出示意图如下图所示：'',E F 分别是AB ，CD 的中点，CH ⊥面 ABD 于H ，DG ⊥面ABC 于G ，对于A 选项，取E ，F 分别在AB ，CD 的中点'',E F 时，因为3AB CD ==，其余棱长均为4，所以ABC ABD ≅，所以''CE DE =，所以''E F CD ⊥，即 EF CD ⊥，故A 错误；对于D 选项，取E ，F 分别在AB ，CD 的中点'',E F 时，由A 选项的解析得''E F CD ⊥，'AF CD ⊥，''''E F AF F =，所以CD ⊥面'ABF ，又CD ⊂面 'E CD ，所以平面'CDE ⊥平面'ABF ，即平面CDE ⊥平面ABF ，故D 正确；对于B 选项，作CH ⊥面ABD 于H ，因为ABD △中， 4AD BD ==，所以H 定在AB 的中线'DE 上，所以'CDE ∠就是CD 与面ABD 所成的角，当E 在AB 上移动时，CDE ∠的最小值为直线CD 与平面ABD 所成的角，即 'CDE ∠，而'CDE ∠是锐角，CDE ∠的最大值为2CDB CDA π∠=∠<，故当E 在AB 上移动时，不存在E ，使得DE ⊥CD .故B 错误.对于C 选项，作DG ⊥面ABC 于G ，因为ABC 中， 4AC BC ==， 所以G 定在AB 的中线'CE 上，且不重合于点'E ，即点 G 不落在AB 上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故C 选项不正确， 故选：D.【点睛】本题考查空间的线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角的应用等综合动点问题，属于较难题.5．如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值；④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】对于①，异面直线1A P 与1BC 间的距离即为两平行平面11ADD A 和平面11BCC B 间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于11D BPC P DBC V V --=，而1DBC S ∆为定值，又P ∈AD 1，AD 1∥平面BDC 1，所以点P 到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥1D BPC -的体积为定值．故②正确．对于③，由题意得在正方体1111ABCD A B C D -中，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，而C 1P ⊂平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥C 1P ，故这两条异面直线所成的角为90︒．故③正确； 对于④，因为二面角P −BC 1−D 的大小，即为平面ABC 1D 1与平面BDC 1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角1P BC D --的大小为定值．故④正确． 综上①②③④正确．选D ．6．二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB AC a ==，2BD a =，则CD 的长为（ ）A ．3aB ．2aC 5aD ．2a【答案】D【解析】由已知条件和空间向量加法可得CD CA AB BD =++，再根据向量模和数量积的关系可得 ()2CD CA AB BD =++，由此能求出CD 的长．【详解】因为二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，所以,60AC BD >=<，0AC BA ⋅=，0AB BD ⋅= 又CD CA AB BD =++ 所以()2222+2+2+2 CD CA AB BDCA AB BD CA AB AB BD CA BD =++=++⋅⋅⋅222+2 CA AB BD CA BD =++⋅()2222= 22cos1202a a a a a a +++⋅⋅=.所以CD 的长为2a . 故选：D. 【点睛】本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C【解析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD平面11BDD B BD =，GE平面ABCD //GE BD ∴E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+=，max 156EF =+= 则线段EF 长度的取值范围为：2,6⎡⎤⎣⎦本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.8．冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）A ．3222π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．322π⎛⎫ ⎪⎝⎭C 3πD 3π【答案】D【解析】根据三视图可将该几何体放入正方体中，为四面体ABCD ，根据体积相等可得球的半径. 【详解】由三视图可得四面体ABCD ， 设球半径为R ，则331141222323V R R ππ=⨯⨯⨯⨯=⇒=故选：D .【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体的体积公式，属于常考题型.9．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于()A ．43πB ．323πC ．12πD ．643π【答案】B【解析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积． 【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB =设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===，112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =++=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AC BC CC ===.AC BC ⊥，E ､F 分別为1BB ，11AC 中点，过点A ､E ､F 作三棱柱的截面交11B C 于M ，则EM （ ）A ．9B ．5C ．13D ．35【答案】C【解析】首先延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ，连接EQ ，得到四边形AEMF 所求截面，再利用平行的相似比得到M 为11B C 上靠近1B 的三等分点，计算EM 即可. 【详解】如图，延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ，连接EQ ，则四边形AEMF 所求截面. 因为111=,//2FC AC FC AC ，且F 为11A C 的中点， 所以1C 为PC 的中点.又因为Q ，E 分别为1CC ，1BB 的中点，所以1//MC EQ . 则1123MC PC EQ PQ ==，即11122433MC EQ B C ===. 所以M 为11B C 上靠近1B 的三等分点. 故222313EM =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三棱柱的结构特征，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 11．在长方体11 1 1 A B C D A B C D -中，24,2AB AD AA ===，过点1A 作平面α与 , A B A D 分别交于,M N 两点，若1AA 与平面α所成的角为45︒，则截面1A MN 面积的最小值是（ ） A ．23 B ．42C ．46D ．82【答案】B【解析】过点A 作AE MN ⊥，连接1A E ，首先证明平面1A AE ⊥平面1A MN ，即可得1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，进而可得12,22AE A E ==，24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得24MN ME EN ME EN =+≥⋅=，从而可求出截面1A MN 面积的最小值. 【详解】如图，过点A 作AE MN ⊥，连接1A E∵1A A ⊥平面ABCD ， ∴1A A MN ⊥， ∴MN ⊥平面1A AE ，∴1A E MN ⊥，所以平面1A AE ⊥平面1A MN ， ∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒∠=，在1Rt A AE △中，∵12AA =，∴12,AE A E == 在Rt MAN △中，由射影定理得24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得4MN ME EN =+≥=， 当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立，∴截面1A MN 面积的最小值为142⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查的是立体几何中面面垂直的证法、线面角及基本不等式，是一道较综合的题. 12．设1l ，2l 是平面α内所成角为6π的两条直线，过1l ，2l 分别作平面β，γ，且锐二面角1l αβ--的大小为4π，锐二面角2l αγ--的大小为3π，则平面β，γ所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是（ ）A ．6B C ．14D ．13【答案】B【解析】根据题意作出图形，由题过点P 向平面α作垂线,找到锐二面角1l αβ--，2l αγ--，设1CO =，利用边角关系计算各个边长，计算点C 到PA 的距离以及点C到平面β的距离，从而可得到所求的二面角. 【详解】如图，平面α为平面ABC,直线1l 为直线AB,直线2l 为直线AC,由题意得6BAC π∠=，过1l 作平面β为平面ABP, 过2l 作平面γ为平面ACP,过点P 向平面α作垂线,垂足为O, 再由点O 作,,OB AB OC AC ⊥⊥连接PB,PC,锐二面角1l αβ--的大小为4π，即4PBO π∠=，同理可知3PCO π∠=，设1CO =，则3PO BO ==，2PC =，6PB =,在三角形DAC △中，3BDO π∠=,1DB =，2DO =，所以AC 33=，6AD =，5AB =31PA =，过点C 作,CM AP ⊥所以高线6331CM =， ,AB OB AB PO ⊥⊥,可得AB POB ⊥面,AB PAB ⊂面,PAB POB ⊥面面,PABPOB PB =面面,过点O作OH PB ⊥,则OH PAB ⊥面, 可得O 到面PAB 的距离16OH d ==，故可知C 到面PAB 的距离为213362d d ==，记平面β，γ所成的角为θ，则236624sin 6331d CM θ===，所以2cos 8θ=. 故选：B.【点睛】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力以及空间想象能力，是中档题二、填空题13．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,3,60AB CD AB AD CD AB ABC ⊥==∠=°，将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_________________．【答案】23π【解析】此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算．【详解】将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，其中圆台的上底半径为r＝CD＝2，下底半径为R＝AB＝3，母线BC＝2，∴圆台的上底面积为πr2＝4π，下底面积为πR2＝9π，圆台的侧面积为（πr+πR）•BC＝π（2+3）×2＝10π，∴圆台的表面积为4π+9π+10π＝23π，故答案为23π．【点睛】本题考查圆台表面积的计算，利用旋转体的定义确定该几何体是圆台是解决本题的关键．14．如图，已知,E F分别是正方形ABCD的边,AB CD的中点，现将正方形沿EF折成60︒的二面角，则异面直线AE与BF所成角的余弦值是_______．【答案】5 10【解析】设正方形ABCD的边长为2，则我们可以求出△BDF中，DF，BF，BD的长，由于∠DFB即为异面直线FB与AE所成角，利用余弦定理，解三角形DFB即可得到答案．【详解】如图所示：连接BD ，∵AE ∥DF∴∠DFB 即为异面直线FB 与AE 所成角.由题意可知，∠DFC 60=︒，所以三角形DFC 为等边三角形，所以DC=DF=FC. 设正方形ABCD 的边长为2，则在△BDF 中，DF=1，BF=5，BD 225DC BC =+=∴cos ∠DFB=5故答案为5 【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，求出异面直线FB 与AE 所成角的平面角是解答本题的关键．15．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知4AB =，23AE BE ==，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM MN NB ++的最小值为______．【答案】6【解析】将平面ADE 、平面DCE 、平面BCE 展开至一个平面上，利用两点之间线段最短可求AM MN NB ++的最小值. 【详解】因为23AE BE ==，4AB =，故1cos 322323AEB ∠==⨯⨯，因为AEB ∠为三角形内角，故12sin 193AEB ∠=-=， 设E 到AB 的距离为d ，则112242323223d ⨯⨯=⨯，故22d =因为该几何体的侧视图的面积为22，故122222AD ⨯⨯=，所以2AD =. 四边形ABCD 是矩形，故AD AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABE AB =，故AD ⊥平面ABE ，而AE ⊂平面ABE ，故AD AE ⊥. 所以4124DE =+=，30DEA ∠=︒，同理4CE =，30CEB ∠=︒.将平面ADE 、平面DCE 、平面BCE 展开至一个平面上，如图所示：AM MN NB AB ++≥，当且仅当,,,A M N B 共线时等号成立，又因为4DC DE EC ===，所以60DEC ∠=︒， 所以=120AEB ∠︒，而23AE BE ==，故112122232362AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故AM MN NB ++的最小值为6， 故答案为：6. 【点睛】本题考查空间几何表面路径最短，此类问题，一般通过侧面展开后转化为平面上距离和的最小值来讨论，本题属于中档题.16．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：①四面体E BCD -的体积有最大值和最小值； ②存在某个位置，使得AE BD ⊥；③设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠. 正确命题的序号是______. 【答案】①②③【解析】由题易得点E 的轨迹是以线段AB 的中点为圆心，||2AB 为半径的圆，设点 E '；所以AE '，BE '为圆锥的母线，对于①，133E BCD E BCD BCD E BCD V h S --∆-=⋅=，直线 AB 与平面BCD 所成的角为ABF ∠，可得出4ABF π∠>，进而可得出四面体 E BCD -的体积有最大值和最小值；对于②，可得出直线AE '与BD 所成角范围为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以存在夹角为 2π的情况，即可得出结论；对于③，取AB 中点为O ，分别连接DO ，DE '，易得 ⊥DO AB ，OE AB '⊥，可得DOE '∠为二面角 D AB E --的平面角为θ，然后比较三角形DOE '与三角形DAE '的边长关系可得出 DOE DAE ''∠≥∠，即可得出结论.【详解】因为等腰直角三角形ABE 绕斜边AB 旋转，所以点E 的轨迹是以线段AB 的中点为圆心，||2AB 为半径的圆，设点E '；所以AE '，BE '为圆锥的母线， ①133E BCD E BCD BCD E BCD V h S --∆-=⋅=，直线AB 与平面BCD 所成的角为ABF ∠，32cos 32ABF ∠=<， 4ABF π∠>， 所以以AB 为旋转轴，所以当E '在ABF 平面内时，E BCD h -达到最大值和最小值，E BCD V -有最大值和最小值，故①成立；②因为直线BD 与旋转轴AB 所成的夹角为3π，母线AE '与旋转轴 AB 所成夹角为4π，所以直线AE '与BD 所成角范围为 ,3434ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，即7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为 7122ππ>，所以存在夹角为2π的情况，又因为线线角的取值范围不为钝角，所以直线AE '与BD 所成角为 ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 即可得出AE BD ⊥，故②成立；③取AB 中点为O ，分别连接DO ，DE '，易得 ⊥DO AB ，OE AB '⊥，所以DOE '∠为二面角 D AB E --的平面角为θ，比较三角形DOE '与三角形DAE '，DE DE ''=，222DA DO OA =+，222AE AO OE ''=+，所以cos cos DOE DAE ''∠≤∠，所以DOE DAE ''∠≥∠，得 DAE θ≥∠，故③成立.综上，①②③均成立. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活应用，属于常考题.三、解答题17．三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=︒，12AB BC BB ===，M ，N 分别是AB ，1A C 的中点．（1）求证：//MN 平面11BCC B ． （2）求证：MN ⊥平面11A B C ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接1BC ，1AC ，通过M ，N 是AB ，1A C 的中点，利用1//MN BC ．证明//MN 平面11BCC B ．（2）说明四边形11BCC B 是正方形，连接1A M ，CM ，通过1AMA AMC ≅．说明1MN AC ⊥然后证明MN ⊥平面11A B C ． 【详解】（1）证明：连接1BC ，1AC ，在1ABC 中，M ，N 是AB ，1A C 的中点1//MN BC ∴． 又MN ⊄平面11BCC B ，1BC ⊄平面11BCC B ，//MN ∴平面11BCC B ．（2）解：三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，∴四边形11BCC B 是正方形．11BC B C ∴⊥．1MN B C ∴⊥．连接1A M ，CM ，1AMA BMC ∆≅∆．1A M CM ∴=，又N 是1A C 的中点，1MN AC ∴⊥． 1B C 与1A C 相交于点C ，MN ∴⊥平面11A B C ．【点睛】本题考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．18．如下图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A-BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．（1）求证：//AB 平面EFGH ；（2）若4AB =，6CD =，求四边形EFGH 周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）()8,12．【解析】（1）首先证得//EF 平面ABD ，然后根据线面平行的性质定理得到//EF AB ，由此证得//AB 平面EFCH .（2）设EF x =，EH y =，通过比例求得146x y+=，由此化简四边形EFCH 周长的表达式，进而求得四边形EFCH 周长的取值范围. 【详解】（1）∵四边形EFGH 为平行四边形，//EF GH ． ∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴//EF 平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =， ∴//EF AB ．∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFCH ， ∴//AB 平面EFCH ．（2）同（1）可证//EH CD ，设EF x =，EH y =， ∵//EF AB ，//EH CD ， ∴EF CE AB CA =，EH AECD AC=， ∴1EF EH CE AE ACAB CD CA AC AC+=+==， 又4AB =，6CD =， ∴146x y+=，∴6(1)4x y =-，且04x <<，∴四边形EFCH 的周长为2()26(1)124x l x y x x ⎡⎤=+=+-=-⎢⎥⎣⎦∴81212x <-<．故四边形EFGH 周长的取值范围是()8,12． 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查四边形周长的取值范围的求法，属于中档题. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==，13BAA π∠=，D 为1AA 的中点，点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.（1）求证：1B D BC ⊥；（2）若CBD 是正三角形，求三棱柱111ABC A B C -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】（1）设点C 在平面11ABB A 内的射影为E ，通过证明1CE B D ⊥和1BD B D ⊥可证1B D ⊥平面CBD ，即证1B D BC ⊥；（2）通过1111133ABC A B C A ABC C A AB V V V ---==可求出三棱锥1C A AB -的体积即可. 【详解】（1）证明：设点C 在平面11ABB A 内的射影为E ，则E BD ∈，CE ⊂平面CBD ，且CE ⊥平面11ABB A ，因1B D ⊂平面11ABB A ，所以1CE B D ⊥.在ABD △中，1AB AD ==，3BAD π∠=，则323-∠=∠==ABD ADB πππ，在11A B D △中，1111A B A D ==，1123B A D π∠=， 则11112326-∠=∠==A B D A DB πππ， 故1362B DB ππππ∠=--=，故1BD B D ⊥.因CEBD E =，故1B D ⊥平面CBD .因为BC ⊂平面CBD ， 故1B D BC ⊥. （2）1111133ABC A B C A ABC C A AB V V V ---==，由（1）得CE ⊥平面11ABB A ，故CE 是三棱锥1C A AB -的高，CBD 是正三角形，1BD AB AD ===，32CE =， 111113||sin 12sin 2232A ABSAB AA BAA π=⋅∠=⨯⨯⨯=， 1111331334C A AB A ABV SCE -=⋅=⨯⨯=， 故三棱柱的体积1111334ABC A B C C A AB V V --==，故三棱柱111ABC A B C -的体积为34. 【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，考查体积的求法，属于中档题.20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点．（1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，点M 在线段PC 上，且PM=3MC ，求三棱锥P ﹣QBM 的体积． 【答案】（1）证明解析（2）34【解析】（1）由PA=PD ，得到PQ ⊥AD ，又底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，得BQ ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面PQB 利用面面垂直的判定定理得到平面PQB ⊥平面PAD ；（2）由平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，PQ ⊥AD ，得PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得PQ ⊥BC ，得BC ⊥平面PQB ，即得到高，利用锥体体积公式求出 【详解】 （1）∵PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ，又∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°， ∴BQ ⊥AD ，PQ∩BQ=Q ， ∴AD ⊥平面PQB 又AD ⊂平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥，∴PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PQ ⊥BC又BC ⊥BQ ，QB QP Q ⋂=， ∴BC ⊥平面PQB ， 又3PM MC =，∴113323244P QBM M PQB V V --==⨯⨯= 【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积21．已知四棱锥S ABCD -的底面为平行四边形，且SD ⊥平面ABCD ，22AB AD SD ==，60DCB ∠=︒，M ，N 分别为SB ，SC 的中点，过MN 作平面MNPQ 分别与线段CD ，AB 相交于点P ，Q ，且AQ AB λ=. （1）当12λ=时，证明：平面//MNPQ 平面SAD ； （2）是否存在实数λ，使得二面角M PQ B --为60︒？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13λ=.【解析】（1）推导出////MN BC MN BC ，，从而//MN 平面SAD ，再求出//MQ 平面SAD ，由此能证明平面//MNPQ 平面SAD ．.（2）方法一：连结BD ，交PQ 于点R ，则//BC 平面MNPQ ，从而////PQ BC AD ，推导出AD ⊥平面SBD ，PQ ⊥平面SBD ，则MRB ∠为二面角M PQ B --的平面角，从而60MRB ∠=︒，过M 作ME DB ⊥于E ，则//ME SD ，从而ME ⊥平面ABCD ，由此能求出结果．方法二：以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS 为z 轴建立空间直角坐标系，由AQ AB λ=，求得(22,,0)Q λ-，进而求得平面MNPQ 的法向量为(0,1,3(21))n λ=-，平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =，根据1||cos602||||m n m n ⋅︒==⋅，计算即可求得结果. 【详解】（1）∵M ，N 分别为SB ，SC 中点，∴//BC MN ， 由底面ABCD 为平行四边形可知，//AD BC ，∴//MN AD . 又MN ⊄平面SAD ，∴//MN 平面SAD . ∵12λ=，∴Q 为AB 的中点，∴//MQ SA . 又MQ ⊄平面SAD ，∴//MQ 平面SAD .由MN MQ M ⋂=可知，平面//MNPQ 平面SAD . （2）方法一：连BD 交PQ 于点R . ∵//BC MN ，∴//BC 平面MNPQ . 又平面MNPQ平面ABCD PQ =，∴////PQ BC AD .在ABCD 中，2AB AD =，60DCB ∠=︒，∴AD DB ⊥. 又SD ⊥平面ABCD ，∴SD AD ⊥且SD DB D ⋂=， ∴AD ⊥平面SBD .∴PQ ⊥平面SBD ，∴MRB ∠为二面角M PQ B --的平面角. ∴60MRB ∠=︒.过M 作ME DB ⊥于E ，则//ME SD ，∴ME ⊥平面ABCD . 设AD SD a ==，∵M 为SB 的中点，∴2a ME =，3DEa =. 在Rt MER △中，2a ME =，60MRB ∠=︒，∴3RE a =. ∴3DR DE RE a =-=， ∴31333aDRDB a ==. ∵//PQ AD ，∴13AQ DR AB DB λ===.方法二：在ABCD 中，2AB AD =，60DCB ∠=︒，所以//AD DB .以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS 为z 轴建立空间直角坐标系，设(2,0,0)A ，则(0,23,0)B ，(0,0,2)S ，3,1)M . 又AQ AB λ=，设(,,)Q x y z ，则(2,,)(2,3,0)x y z λ-=-， 即(22,3,0)Q λλ-.设平面MNPQ 的法向量为(,,)n x y z =.由（1）可知////MNBC AD ，所以(,,)(2,0,0)20n AD x y z x ⋅=⋅==，即0x =. 由(,,)(22,3(21),1)(22)3(21)0n MQ x y z x y z λλλλ⋅=⋅---=-+--=， 将0x =代入得3(21)z y λ=-，取1y =，则(0,1,3(21))n λ=-. 显然平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =. 要使二面角M PQ B --为60︒，则有221|||(0,0,1)(0,1,3(21))||3(21)|cos 602||||13(21)11[3(21)]m n m n λλλλ⋅⋅--︒====⋅+-⨯+-， 解得13λ=或23λ=. 由图可知，要使二面角M PQ B --为60︒，则Q 在线段AQ '(Q '为线段AB 的中点)上，所以12λ<， 所以13λ=. 故当实数13λ=时，二面角M PQ B --为60︒. 【点睛】本题考查面面平行以及二面角，能够熟练使用空间向量是解决本题的关键，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.22．已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π∠=∠=，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．（1）当2x =时，①证明：EF ⊥平面ABE ；②求二面角D BF E --的余弦值； （2）三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的49？并说明理由．【答案】（114；（2）当2AE =时，三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的49. 【解析】（1）①可证,EF AE EF BE ⊥⊥，从而得到EF ⊥平面ABE .②如图，在平面AEGD 中，过D 作DG EF ⊥且交EF 于G .在平面DBF 中，过D 作DH BF ⊥且交BF 于H ，连接GH .可证DHG ∠为二面角D BF E --的平面角，求出DG 和GH 的长度后可求二面角的余弦值.（2）若存在，则5=4B ADFE D BFC V V --，利用体积公式可得关于x 的方程，解方程后可得2x =，故假设成立.【详解】（1）①在直角梯形ABCD 中，因为2ABC BAD π∠=∠=，故,DA AB BC AB ⊥⊥，因为//EF BC ，故EF AB ⊥.所以在折叠后的几何体中，有,EF AE EF BE ⊥⊥， 而AEBE E =，故EF ⊥平面ABE .②如图，在平面AEFD 中，过D 作DG EF ⊥且交EF 于G . 在平面DBF 中，过D 作DH BF ⊥且交BF 于H ，连接GH . 因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG BF ⊥，而DGDH D =，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH BF ⊥， 所以DHG ∠为二面角D BF E --的平面角，在平面AEFD 中，因为,AE EF DG EF ⊥⊥，故//AE DG ， 又在直角梯形ABCD 中，//EF BC 且()132EF BC AD =+=， 故//EF AD ，故四边形AEGD 为平行四边形， 故2DG AE ==，1GF =在直角三角形BEF 中，2tan 3BFE ∠=，因BFE ∠为三角形内角，故sin BFE ∠=1sin GH BFE =⨯∠=，故2tan 2DHG ∠==，因DHG ∠为三角形内角，故cos 14DHG ∠=.所以二面角D BF E --的平面角的余弦值为1414.（2）若三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的49， 则9=4B ADFE D BFC D BFC V V V ---+即5=4B ADFE D BFC V V --. 由（1）的证明可知，DG ⊥平面BEFC ， 同理可证BE ⊥平面AEFD ，AE DG =. 故113B ADFE V BE S -=⨯⨯，其中1S 为直角梯形ADFE 的面积. 而1133D BFCBCF BCF V DG S AE S -=⨯⨯=⨯⨯， 在直角梯形ABCD 中，过D 作BC 的垂线，与,EF BC 分别交于,M N ， 则24FM x =，故2x FM =，所以22xFE =+，所以21112242222x x S x x ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()22111444432262B ADFE x x V x x x x -⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()1242BCFSBE BC x =⨯⨯=-， 故()1243D BFCV x x -=⨯⨯-，所以()()215144246243x x x x x ⎛⎫⨯-⨯+=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得2x =，故当2AE =时，三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的49. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.。
2020-2021学年安徽省阜阳太和第一中学高二(奥赛班)上10月月考数学(理)(解析版)
2020-2021学年安徽省阜阳市太和第一中学高二（奥赛班）上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．直线30x y +-=被圆2223x y y +-=截得的弦MN 的长为（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D【解析】先将圆化为标准方程，求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】将圆2223x y y +-=化为标准方程得()2214x y +-=，∴圆心为()0,1，半径2r，设圆心到直线的距离为d ，则01322d，MN ∴===故选：D. 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.2．直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】利用直线方程求出直线的斜率k ，通过斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，求出α的范围． 【详解】设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则211k a =-+ ，∴10k -≤<，即1tan 0α-≤<∴倾斜角的取值范围是3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：D 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生计算能力，属于基础题．3．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A 动直线2:230l mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为A B ．CD ．【答案】B【解析】由题意可得：(1,0)A ，()2,3B ，且两直线斜率之积等于1-，∴直线10x my +-=和直线230mx y m --+=垂直，则2222()||||102PA PB PA PB AB ++==≥，即PA PB +≤PA PB +的最大值为故选B ．4．已知,,,m n a b R ∈，且满足346,341m n a b +=+=的最小值为 （ ）A B C ．1D ．12【答案】C【解析】(),m n 为直线346x y +=上的动点，(),a b 为直线341x y +=上的动点，显然最小值即两平行线间的距离：d 1==.故选C 5．曲线214y x 与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．35412k -≤<- C ．512k >D ．53124k <≤ 【答案】D【解析】由曲线方程可知曲线为以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分，又直线恒过()2,4A，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时k的取值，进而得到结果.【详解】214y x可化为()()22141x y y+-=≥∴曲线214y x表示以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y≥的部分又直线()24y k x=-+恒过定点()2,4A可得图象如下图所示：当直线()24y k x=-+为圆的切线时，可得23221kdk-==+，解得：512k=当直线()24y k x=-+过点()2,1B-时，413224k-==+由图象可知，当()24y k x=-+与曲线有两个不同交点时，53124k<≤故选D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解.6．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，则下列结论错误的是（）A．A1D⊥AFB．三棱锥A﹣BCF外接球的表面积为9πC ．点C 到平面AEF 的距离为23D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92【答案】A【解析】取1DD 中点G ，连接,GF GA ，用反证法证明1A D 与AF 不可能垂直，判断A ，证明AF 的中点就是三棱锥A BCF -外接球球心，求得球面积，判断B ，利用等体积法求得点C 到平面AEF 的距离判断C ，作出完整截面并求出面积判断D ． 【详解】A ．如图，取1DD 中点G ，连接,GF GA ，由于F 是1CC 中点，∴//GF DC ，而DC ⊥平面11ADD A ，∴GF ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，∴1GF A D ⊥，若1A D AF ⊥，由于AFGF F =，∴1A D ⊥平面AFG ，又AG ⊂平面AFG ，∴1A D AG ⊥，但正方形11ADD A 中，G 是1DD 中点，不可能有1A D AG ⊥，A 错；B ．设AC 与BD 交于点M ，则M 是BC △的外心，取AF 中点N ，连接NM ，则//NM CF ，∴NM ⊥平面ABCD ，∴N 是三棱锥A BCF -外接球的球心，221131(22)222NA AF ==+=，球表面积为23492S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，B 正确；C ．1121122AEC S EC AB =⨯⨯=⨯⨯=△，11111333F AEC AEC V S FC -=⋅=⨯⨯=△，AEF 中，22215AE =+=，2EF =，3AF =，则22252910cos 210252AE EF AF AEF AE EF +-+-∠===-⋅⨯⨯，310sin 10AEF ∠=， 113103sin 5222102AEF S AE EF EF =⋅∠=⨯⨯⨯=△，设C 到平面AEF 的距离为h ，则A ECF C AEF V V --=得131323h ⨯=，23h =，C 正确；D ．连接11,FD D A ，易证得11////AD BC EF ，平面AEF 截正方体所得的截面即为等腰梯形1AD FE ，122AD =，2EF =，15AE D F ==，梯形的高为22232(5)2h ⎛⎫'=-= ⎪ ⎪⎝⎭，1329(222)222S =⨯+⨯=，D 正确．故选：A ． 【点睛】本题考查立体几何中命题的真假，考查线线垂直的判断，三棱锥的外接球问题，等体积法求点到平面的距离，考查正方体的截面等知识，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，分析并解决问题的能力，属于中档题． 7．三棱锥D ABC -中，6AD CD ==，3AB BC CA ===大时，侧棱BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】C【解析】首先根据题意得到当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，再求BD 的长即可. 【详解】由题知：三棱锥D ABC -中，6AD CD ==，3AB BC CA ===， 当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，如图所示：取AC 中点O ，连接DO ，BO .因为AD CD =，所以DO AC ⊥，22633222⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DO . 又因为AB BC =，所以BO AC ⊥，()2233322⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭BO . 又平面DAC ⊥平面ABC AC =，DO AC ⊥，所以DO ⊥平面ABC .OB ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥.所以2233322⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BD 故选：C 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，同时考查了三棱锥体积的最值问题，属于中档题. 8．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】B【解析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】 ①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD'平面BCD BD =，CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，故A D BC '⊥不成立，故①错误； ②棱锥'A BCD -的体积为1122223226⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确； ④由①知CD ⊥平面A BD '， 又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A DCD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B . 【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.9．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ）A B C ．52D ．3【答案】A【解析】作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案. 【详解】如图所示， 因为2,120AC BC ACB ==∠=，可得ABC 的面积为11sin 22224ABC S AC BC ACB ∆=⋅∠=⨯⨯⨯= 设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作圆E 的直径CD ，连接SD ，因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为123S ABC V SD -==，解得SD =由正弦定理，可得4sin sin 30AC ACCD ABC ===∠，SC ==，设球的半径为R ，则2R SC ==R =故选：A.【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.10．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C ．232D ．2232⎡⎣【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．11．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A ．3 B ．212C ．22D ．2【答案】D【解析】作出图形，可知Rt PAC Rt PBC ∆≅∆，由四边形PACB 的最小面积是2，可知此时PA PB =取最小值2，由勾股定理可知PC 的最小值为5，即圆心C 到直线()400kx y k ++=>的距离为5，结合点到直线的距离公式可求出k 的值. 【详解】如下图所示，由切线长定理可得PA PB =，又AC BC =，PC PC =，且90PAC PBC ∠=∠=，Rt PAC Rt PBC ∴∆≅∆，所以，四边形PACB 的面积为PAC ∆面积的两倍，圆C 的标准方程为()2211x y +-=，圆心为()0,1C ，半径为1r =，四边形PACB 的最小面积是2，所以，PAC ∆面积的最小值为1， 又11122PAC S PA AC PA ∆=⋅=≥，min 2PA ∴=， 由勾股定理22215PC PA r PA =+=+≥当直线PC 与直线()400kx y k ++=>垂直时，PC 5 即min 21451PC k +==+，整理得24k =，0k >，解得2k =.故选：D. 【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点P 的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．已知点(,),P t t t R ∈，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A 1B ．2C ．3D 【答案】B【解析】设圆()22114x y +-=圆心为(0,1)A , 圆()22124x y -+=圆心为(2,0)B ,则PN PM -11()111222PB PA PB PA PB PA A B ≤+--'=-+=-++'≤=其中(1,0)A '为A 关于直线对称点,所以选B. 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(,)x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如y bu x a-=-型的最值问题，可转化为过点(,)a b 和点(,)x y 的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如22()()x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(,)a b 的距离平方的最值问题．二、填空题13．过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________. 【答案】45y x =【解析】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解. 【详解】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053aa ba bb⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l的方程为45y x=.故答案为：45y x=【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.14．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边11A B作一个平行于棱1C C的平面11A B EF，记平面分三棱台两部分的体积为1V（三棱柱111A B C FEC-），2V两部分，那么12:V V=______.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，()174233V h S S S Sh∴=++=台，1123,743V ShV ShV Sh Sh∴=∴==-.故答案为：3:4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.15．过点()5,0P-作直线()()()121430m x m y m m R+-+--=∈的垂线，垂足为M，已知点()3,11N，则MN的取值范围是______.【答案】13⎡⎣【解析】化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 【详解】解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为==r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13==CN ，所以MN 的取值范围是13⎡⎣.故答案为：13⎡+⎣.【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 【答案】12【解析】设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得OA =ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点， 连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，3AM =，可得7OA =,即球的半径为7，作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，7DF =，所以DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，3DA =，3AB =，所以6BD =，所以1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题17．设直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈= （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）30x y -=或20x y ++= （2）1a ≤- 【解析】（1）对a 分类讨论，利用截距式即可得出；（2）(1)2y a x a =-++-，由于l 不经过第二象限，可得(1)020a a -+⎧⎨-⎩，解出即可得出． 【详解】解：（1）若20a -=，解得2a =，化为30x y +=． 若10a +=，解得1a =-，化为30y +=，舍去．若1a ≠-且2a ≠，化为：1221x ya a a +=--+，令221a a a -=-+，化为11a +=，解得0a =，可得直线l 的方程为：20x y ++=．综上所述直线l 的方程为：20x y ++=或30x y +=； （2）直线l 的方程可化为(1)2y a x a =-++- ∵l 不过第二象限，1(2)020a a -+≥⎧∴⎨-≤⎩，1a ∴≤-. 【点睛】本题考查了直线的方程、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．18．在平面四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．（1）求证：AB CD ⊥；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26．【解析】【详解】试题分析：(1)由AB BD ⊥,将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ,即可得AB 垂直于平面BCD.从而得到结论.(2)依题意,可得0DBC=45∠,又由AB ⊥平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.等价于求出直线AD 与平面MBC 的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论. 试题解析：(1)因为ABD ⊥平面BCD ,平面ABD平面,BCD BD AB =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD 内作BD 的垂线作为x 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴B （0，0，0），C （1，1，0），A （0，0，1），D （0，1，0），M 11022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．∴AD =（0，1，﹣1），BC =（1，1，0），11022BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．设平面BCM 的法向量n =（x ，y ，z ），则01122n BC x y n BM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令y ＝﹣1，则x ＝1，z ＝1． ∴n =（1，﹣1，1）．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ． 则sin θ＝|cos n AD ＜，＞|632n AD n AD⋅===⨯．【考点】1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力.19．如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，2AB CD ==.（1）求证：//AB CD ；（2）若2AD AE ==，1EF =，且二面角E DC A --的大小为60︒，求二面角F BC D --的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）60︒.【解析】（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行；（2）如图，取AD 的中点为G ，连接,,EG AC BD ,设AC 与BD 的交点为O ，连接,OF OG ,利用二面角的知识，求出60ADE ︒∠=，连接,OH FH ,再利用线面垂直推导线线垂直和二面角的知识，得出OHF ∠即为所求角，把对应值代入即可得答案. 【详解】（1）∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ， ∴//AB EF又EF ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ， ∴//AB 面CDEF 又AB面ABCD ，面ABCD面CDEF CD =，∴//AB CD（2）设AD 的中点为G ，连接,,EG AC BD ,设AC 与BD 的交点为O ，连接,OF OG ,∵AB ⊥面ADE ，,DA DE ⊂面ADE ，∴AB DA ⊥，AB DE ⊥． ∵//AB CD ，∴CD DA ⊥，CD DE ⊥． 又DA ⊂面ABCD ，DE ⊂面CDEF ，且面ABCD 面CDEF CD =．∴二面角A DC E --的平面角60ADE ︒∠=． 又在ADE ∆中，2AD AE ==， ∴ADE ∆是边长为2的正三角形， ∴EG AD ⊥, ∵AB ⊥平面ADE ， ∴AB EG ⊥, ∵AD AB A ⋂=, ∴EG ⊥面ABCD ，由（1）知//AB CD ，又CD DA ⊥，AB CD AD ==， ∴四边形ABCD 为正方形， ∴OG 112AB EF ===，又OG//AB ， ∴OG//EF ，∴四边形OGEF 为平行四边形， ∴OF//EG ， ∴OF ⊥面ABCD ， ∴OF BC ⊥，取BC 的中点为H ，连接,OH FH ,∴OH BC ⊥， ∵OFOH O = ，∴BC ⊥面OFH , ∴BC FH ⊥,∴OHF ∠即为二面角F BC D --所成的平面角，∵ADE ∆是边长为2的正三角形，四边形ABCD 为正方形，∴OF =1OH =,∴tan OHF ∠==， ∴60OHF ︒∠=，∴二面角F BC D --的平面角大小为60︒. 【点睛】本题主要考查线面平行性质定理、线面垂直性质定理、二面角的大小求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.属于较难题.20．已知O 为坐标原点，圆C 的方程为：()2211x y -+=，直线l 过点()0,3M . （1）若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，试问：直线OA 与OB 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）0x =或4390x y +-=；（2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值23. 【解析】（1）当l 斜率不存在时，经检验符合题意，当l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，只有一个公共点，即直线与圆相切，可得圆心()1,0C 到直线3y kx =+的距离d r =，代入数据，即可得答案；（2）设出直线l 的方程及点A,B 的坐标，则可得OA OB k k +的表达式，联立直线和圆的方程，根据韦达定理，可得12x x +，12x x ⋅的值，代入表达式，即可得证. 【详解】（1）①当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =符合题意；②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，由()2211x y -+=得圆心()1,0C ，半径1r =.∵直线与圆有一个公共点，∴1d ==，解得43k =-.∴l 的方程为4390x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或4390x y +-=. （2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值，证明：由（1）知直线l 斜率存在，设l 的方程为3y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1212121233OA OB y y kx kx k k x x x x +++=+=+()12121233322x x k k x x x x +=++=+⋅. 联立直线与圆的方程：223(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩， 消去y 得()221(62)90k x k x ++-+=，()22(62)3610k k --+∆>=得43k <-，根据韦达定理得12212262191k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩，∴221862212229331OA OB k k k k k k k k --++=+=-+=+.∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值23.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、韦达定理的应用，易错点为需讨论斜率是否存在，再进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.21．已知直线:10l x y +-=截圆222O :x y r (r 0)+=>．直线1l 的方程为(12)(1)30m x m y m ++--=． （1）求圆O 的方程；（2）若直线1l 过定点P ，点,M N 在圆O 上，且PM PN ⊥，Q 为线段MN 的中点，求Q 点的轨迹方程.【答案】（1）224x y +=；（2）22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式r ，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l 1恒过定点P （1,1），设MN 的中点Q （x ，y ），由已知可得||2||MN PQ =，利用两点间的距离公式化简可得答案.【详解】（1）根据题意，圆222:(0)O x y r r +=>的圆心为（0，0），半径为r ，则圆心到直线l 的距离2d ==，若直线:10l x y +-=截圆222:(0)O x y rr +=>则有=，解可得2r ，则圆的方程为224x y +=；（2）直线l 1的方程为(12)(1)30m x m y m ++--=，即()()230x y m x y -++-=，则有0230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得x 1y 1=⎧⎨=⎩，即P 的坐标为（1，1）， 点,M N 在圆O 上，且PM PN ⊥，Q 为线段MN 的中点，则||2||MN PQ =， 设MN 的中点为Q （x ，y ），则22222OM OQ MQ OQ PQ =+=+，即22224(1)(1)x y x y =++-+-， 化简可得：22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为点Q 的轨迹方程. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.22．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|PA |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）（3）直线MN 过定点(1,1)-.【解析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y ，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由||2||PA PB =可得，=整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点， 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上， 由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩， 可得(4)40tx t y即直线MN 的方程为(4)40tx ty 由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线MN 是过定点(1,1)-.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二(平行班)上学期开学考试数学试题(wd无答案)
安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二(平行班)上学期开学考试数学试题一、单选题(★★★) 1. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2B．C．D．(★) 2. 某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 3. 是三个平面，是两条直线，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若不垂直平面，则不可能垂直于平面内的无数条直线(★★) 4. 已知三点都在以为球心的球面上，两两垂直，三棱锥的体积为，则球的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为（）A．16πB．20πC．24πD．36π(★★★) 6. 等腰△ ABC中， AB＝ AC＝5， BC＝6，将△ ABC沿 BC边上的高 AD折成直二面角B- AD- C，则三棱锥B ACD的外接球的表面积为( )A．5πB．C．10πD．34π(★★★) 7. 已知，，以下命题真命题的个数为（）① ，② ，③A．0B．1C．2D．3(★★★) 8. 已知直三棱柱中，，，则异面直线和所成的角的大小是（）．A．B．C．D．(★★★) 9. 已知直线 l， m，平面，，下列命题正确的是（）A．，B．，，，C．，，D．，，，，(★★★) 10. 在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★) 11. 若球的半径为，且球心到平面的距离为，则平面截球所得截面圆的面积为( )A．B．C．D．(★★★) 12. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，，，则；②若，，则；③若，是异面直线，则存在，，使，，且；④若，不垂直，则不存在，使．其中正确的命题有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(★★) 13. 自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线，这两条直线所成的角的大小是_______.(★★★) 14. 若点是两条异面直线外的一点，则过点且与都平行的平面有______个.(★★) 15. 已知某长方体的长宽高分别为2,1,2，则该长方体外接球的体积为．(★★★) 16. 已知棱长为的正方体中，在棱上，且，则过点且与平面平行的正方体的截面面积为______.三、解答题(★★★) 17. 如图，在正三棱柱中，， E， F分别为 AB，的中点.（1）求证：平面 ACF；（2）求三棱锥的体积.(★★) 18. 如图，在三棱柱中，，为中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：.(★★★) 19. 和的中点，求：（1）（2）(★★) 20. 如图，在四棱锥中，面 ABCD，，， E，F分别为线段 AD， PA的中点．求证：平面平面 BEF；求证：平面 PAC．(★★) 21. 如图，在棱柱中，侧棱底面，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.(★) 22.如图，四边形是正方形，△ 与△ 均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.(★★★) 23. 如图1，四边形 ABCD为等腰梯形， AB＝4， AD＝ DC＝ CB＝2，△ ADC沿 AC 折起，使得平面ADC⊥平面 ABC， E为 AB的中点，连接 DE， DB（如图2）.（1）求证：BC⊥ AD（2）求直线 DE与平面 BCD所成的角的正弦值.。
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学(奥赛班)试题 扫描版含答案
姓名，年级：时间：高二开学第一考奥赛班立体几何测试题参考答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．D【详解】因为二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面αβ、内,AC l ⊥，BD l ⊥,所以,60AC BD >=<,0AC BA ⋅=，0AB BD ⋅=又CD CA AB BD =++ 所以()2222+2+2+2 CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD =++=++⋅⋅⋅ 222+2 CA AB BD CA BD =++⋅()2222= 22cos1202a a a a a a +++⋅⋅=.所以CD 的长为2a .7．C 8．D9．B 10．C【详解】如图，延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ,连接EQ ,则四边形AEMF 所求截面. 因为111=,//2FC AC FC AC ，且F 为11AC 的中点， 所以1C 为PC 的中点.又因为Q ,E 分别为1CC ,1BB 的中点,所以1//MC EQ .则1123MC PC EQ PQ ==，即11122433MC EQ B C ===. 所以M 为11B C 上靠近1B 的三等分点.故222313EM =+=。
故选:C11．B【详解】如图,过点A 作AE MN ⊥，连接1A E∵1A A ⊥平面ABCD ，∴1A A MN ⊥，∴MN ⊥平面1A AE ，∴1A E MN ⊥,所以平面1A AE ⊥平面1A MN ，∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒∠=，在1Rt A AE △中,∵12AA =，∴12,AE A E ==在Rt MAN △中,由射影定理得24ME EN AE ⋅==,由基本不等式得4MN ME EN =+≥=，当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立，∴截面1A MN 面积的最小值为142⨯⨯= 12．B【详解】如图，平面α为平面ABC ，直线1l 为直线AB,直线2l 为直线AC ，由题意得6BAC π∠=，过1l 作平面β为平面ABP, 过2l 作平面γ为平面ACP ，过点P 向平面α作垂线,垂足为O ，再由点O 作,,OB AB OC AC ⊥⊥连接PB ，PC ，锐二面角1l αβ--的大小为4π，即4PBO π∠=，同理可知3PCO π∠=，设1CO =，则PO BO ==2PC =，PB =DAC △中,3BDO π∠=,1DB =,2DO =，所以AC =6AD =,5AB =PA =C 作,CM AP ⊥所以高线CM =， ,AB OB AB PO ⊥⊥，可得AB POB ⊥面,AB PAB ⊂面,PAB POB ⊥面面，PAB POB PB =面面，过点O 作OH PB ⊥,则OH PAB ⊥面，可得O 到面PAB 的距离162OH d ==，故可知C 到面PAB的距离为2133624d d ==，记平面β,γ所成的角为θ，则236624sin 86331d CM θ===，所以2cos 8θ=. 故选：B.13．23π14．5 【详解】如图所示：连接BD ，∵AE∥DF∴∠DFB 即为异面直线FB 与AE 所成角。
【20套试卷合集】安徽省太和中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题 1．A 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C8．C9．A 10．B二、填空题11．存在R ∈x ，0123≤+-x x 12．64 13．5 14．46 15．6 三、解答题 16．解：5201072≤≤⇒≤+-x x x ，a x a a x x +≤≤-⇒≤-+-1101222，……4分p 是q 的充分不必要条件，∴{52|≤≤x x }≠⊂{a x a x +≤≤-11|}，……8分∴45121≥⇒⎩⎨⎧≥+≤-a a a ．……12分 17．解：(1) 21l l ⊥，∴01)()1(=⋅-++b a a ，即02=--b a a ①又点)1,3(--在1l 上，043=++-∴b a ② 由①②解得：2,2==b a ． ……6分 (2)a l l l -1//221的斜率为且 ．1l ∴的斜率也存在，即,1a b a -=aa b -=1 故21l l 和的方程可分别表示为：01)1(:0)1(4)1(:21=-++-=-++-aa y x a l a a y x a l ， 原点到21l l 和的距离相等．a a aa -=-∴1||14||， 解得：322==a a 或．因此32222{{===-=a b a b 或 ……12分 18．解：)2(21:--=-x y ABl，即052=-+y x ．……4分将0525222=-+=-=p py y px y y x 得代入，……6分OB OA ⊥ ，02121=+∴y y x x ，……8分4505)(2121=⇒=++-∴p y y y y ，x y 252=∴．……12分 19．解：(1)的中点为，BC D AC AB =11BB AD ABC AD ABC BB BC AD ⊥∴⊂⊥⊥∴。
底面，底面，又直三棱柱中：，，平面，平面F B AD B BCC F B B BCC AD 111111⊥∴⊂⊥∴ ，，中：在矩形1211111====B C CF CD F C B BCC，，即，，FD F B DF B F B C CFD Rt R ⊥=∠∴∠=∠∴∆≅∆∴1011190tAFD F B F FD AD 平面，⊥∴=⋂1 ……4分(2)11B BCC AD 平面⊥ ，32402131311111=⨯===∴∆--FFDAD B AD S V V DF B DF B A F AB D ……8分 (3)当AE ＝4时，BE //平面ADF 证明：连EF ，EC ，设∴===⋂，，，连4CF AE DM M AF EC 四边形AEFC 为矩形，的中点，为的中点，又为BC D EC M ∴⊂∴MD BE MD ，//平面ADF 且BE ⊄平面ADFADF BE 平面//∴……12分20．解：(1)设圆心为)(0,Z m m M ∈）（．由于圆与直线02934=-+y x 相切，且半径为5，所以。
安徽省太和第一中学高二12月月考数学(理奥赛班)试题含答案
太和一中2020－2021第一学期高二年级调研数学试卷（奥赛班）满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，102．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．5B ．11C ．14D ．193．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．84．设a 、b 是异面直线，给出下列命题：①经过直线a 有且仅有一个平面平行于直线b ；②经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ；③存在分别经过直线a 和直线b 的两个平行平面；④存在分别经过直线a 和直线b 的两个互相垂直的平面．其中错误的命题为（）A ．①与②B ．②与③C ．②与④D ．仅②5．设点(,)i i i P x y 在直线:i i i i l a x b y c +=上，若()(1,2)i i i i a b c i +==，且12PP ≥恒成立，则12c c +的值A ．2B ．4C ．6D ．86．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．407．已知直线1l ：310mx y m --+=与直线2l ：310x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =D 是线段AB 的中点.则PD 的最大值为（）A ．．．．18．设a N ∈,且0≤a ＜13,若201851a +能被13整除,则a =( )A ．0B ．1C ．11D ．129.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A ．15种B ．90种C ．120种D ．180种10．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．21611．E 、F 是正三角形ABC 的边AB 、AC 的中点，沿EF 把正三角形折成60°的二面角（如图），则ABC ∠的正切值为（）A ．D ．以上答案均不对 12．已知7280128(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋯⋯+-，则56a a +=( )A ．14-B ．0C ．14D ．28-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.直线l 过点()1,0，且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的一般式方程是________.14．将A ，B ，C ，D ，E 五个字母排成一排，若A 与B 相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种.15．一个五位数abcde 满足a b <,b c d >>,d e <,且a d >,b e >(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有______个五位数符合“正弦规律”. 16．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱12AA =，4,3AB AD ==，点E ，F 分别为棱BC ，1CC 上的动点.若四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）①存在点E ，使得1EF A F ⊥；②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个；④当点F 为1CC 中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体11A B EF 四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题：本题共6题，共70分(17题10分，18-22均为12分)。
安徽省2020年高二上学期期中数学试卷(I)卷
安徽省2020年高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2016高二下·新疆期中) 设命题P：∀x＞0，x＞lnx，则￢p为________．2. （1分） (2016高一下·盐城期中) 直线x﹣y+1=0的倾斜角是________．3. （1分） (2016高二上·浦城期中) 已知a、b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么¬a是¬b的________条件．（填“充分条件”、或“必要条件”、或“充要条件”）4. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是________5. （1分）已知实数x，y满足（x﹣1）2+y2=1，则2x﹣y的最大值是________．6. （1分）要制作一个容器为4m3 ，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________ （单位：元）7. （1分） (2017高一上·嘉峪关期末) 自点（﹣3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L 所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，则反射光线L所在直线方程为________．8. （1分） (2017高二上·右玉期末) 若实数x、y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为________．9. （1分） (2019高二下·吉林期末) 已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，且，则的最小值是________．10. （1分） (2016高二上·金华期中) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b，若圆C上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b的取值范围是________．11. （1分）已知线段OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=1，OC=2．若线段OA，OB，OC在直线OP上的射影长相等，则其射影长为________12. （1分）(2020·如皋模拟) 如图，在直三棱柱中，，则四棱锥的体积为________.13. （1分）(2017·柳州模拟) 已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y ﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为________．14. （1分）已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x﹣y﹣1=0的交点，直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为________二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分）三角形三个顶点是A（4，0）B（6，7）C（0，3）．（1）求BC边的垂直平分线方程；（2）求A的内角平分线方程．16. （10分）如图，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，四边形ACED的面积为，F为BC的中点，（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面BCE．17. （10分） (2020高二下·新余期末) 已知实数，p：，q：（1）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）若，为真命题，求实数x的取值范围．18. （10分） (2016高二上·襄阳期中) 已知直线l：y=2x+m与圆O：x2+y2=1相交于A，B两个不同的点，且A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．（1）当△AOB面积最大时，求m的取值，并求出|AB|的长度．（2）判断sin（α+β）是否为定值；若是，求出定值的大小；若不是，说明理由．19. （10分）(2016·新课标Ⅰ卷理) 选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。
安徽省太和第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(飞越班)
安徽省太和第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（飞越班）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分）1．复数12iz i=+的虚部为（ ） A ．25B ．25iC ．15D ．15i2．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°3．设m α⊂，α，β是两个不同的平面，则“αβ∥”是“m βP ”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．已知()f x =()8f '等于（ ）A ．0B ．C D ．1-5．已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．6．若函数2()ln f x x x a x =++在区间(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥-B ．3a <-C ．3a ≤-D ．3a >-7．抛物线232x y =-的焦点坐标为（ ） A ．(0,8)-B ．(0,8)C ．(8,0)-D ．(8,0)8．使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤C ．53x -≤≤D ．62x -≤≤9．函数()32ln f x x x x=---的单调递增区间是（ ） A ．()0,∞+B ．()3,1-C ．()1,+∞D ．()0,110．P 为曲线ln y x =上一动点, Q 为直线1y x =+上一动点, 则PQ 的最小值为 ( )A ．0B ．2C D ．2 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11AC D 之间的距离为( )A BC D 12．已知双曲线2222C :1(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点F 的直线l 交双曲线C的两条渐近线于,A B 两点，且20FA FB +=u u u r u u u r，则直线l 的斜率(0)k k >的值等于( )A ．B ．CD ．3二、填空题（每题5分，共20分）13．若双曲线经过点)3,6(，且其渐近线方程为x y 31±=，则此双曲线的标准方程______________． 14．若函数12()(1)(0)x f x f ef x x -'=-+，则(1)f '=_______．15．若曲线2()4ln f x x x =-在点(1,1)-处的切线方程为_________. 16．给出下列命题： ①“1a >”是“11a<”的充分必要条件； ②命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；③设x ，y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；④设a ，b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件. 其中正确命题的序号是_________.三、解答题（满分70分）17．（10分）数列{}n a 中，()11n a n n =+，前n 项的和记为n S ．（1）求123,,S S S 的值，并猜想n S 的表达式； （2）请用数学归纳法．．．．．证明你的猜想．18．（12分）已知函数()[]2144,3,23f x x x x =-+∈- （1）求函数()f x 在0x =处切线方程； （2）求函数()f x 的最大值和最小值．19．（12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交另一点，若，求直线的倾斜角.20．（12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为1，求：（1）直线1A C 与直线1AD 所成角的余弦值；（2）平面1D AC 与平面11ABB A 所成二面角的正弦值．21．（12分）已知函数3()ln42x af x xx=+--，其中a R∈，且曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线垂直于12y x =.（1）求a的值；（2）求函数()f x的极值.22．（12分）已知抛物线：上一点到焦点的距离为2. （1）求实数的值；（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.高二上学期期末考试数学参考答案1．C 【解析】()()()i 12i i 2i 21i,12i 12i 12i 555z -+====+∴++-Q 复数i12i z =+的虚部为15，故选C.2．B 【解析】324y x x =-+求导得：2'32y x =-.在点()13，处的切线斜率即为在点1x =处的导数值1.所以切线的倾斜角为45°. 故选B. 3．A 【解析】若m α⊂，αβ∥，则m βP ；反之，若m α⊂，m βP ，则αβ∥或α与β相交． 所以“αβ∥”是“m βP ”的充分不必要条件．选A ． 4．C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式求出()f x '，再求()8f '. 【详解】由()f x ()11-1-?2211=x =x 22f x '，∴()()1218828f -⨯'==，故选C 【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，若()a *f x =x a Q ∈（）,则()a-1=ax f x ' .5．C 【解析】的焦点是（4,0），则双曲线（）的右焦点是（3,0）， 6．A 【解析】分析：将原问题转化为恒成立的问题，然后求解实数a 的取值范围即可.详解：由题意可得：()22'21a x x a f x x x x++=++=，函数在区间()1,+∞上单调递增，则220x x a ++≥在区间()1,+∞上恒成立， 即22a x x ≥--在区间()1,+∞上恒成立，二次函数22y x x =--开口向下，对称轴为14x =-，则函数在区间()1,+∞上单调递减，当1x =时，223y x x =--=-，则该函数区间()1,+∞上的值域为(),3-∞-，综上可知：实数a 的取值范围是3a ≥-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．A 【解析】因为232,16p p ==，焦点在y 轴负半轴上，所以焦点坐标为(0,8)-，故选A. 8．B 【解析】解不等式14x +≤，可得414x -≤+≤，即53x -≤≤，故“63x -≤≤”是“53x -≤≤”的一个必要不充分条件，故选B. 9．D 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域和导数，然后在定义域内解不等式()0f x '>可得出函数()y f x =的单调递增区间.【详解】函数()32ln f x x x x =---的定义域为()0,∞+，且()22223231x x f x x x x+-'=--+=-， 解不等式()0f x '>，即2230x x +-<，由于0x >，解得01x <<. 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意导数与函数单调区间之间的关系，另外解出相应的导数不等式后，还应将不等式的解集与定义域取交集即可得出函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题. 10．C 【解析】如图，直线l 与y =lnx 相切且与y =x +1平行时， 切点P 到直线y =x +1的距离|PQ |即为所求最小值.()1ln 'x x=，令11x =得x =1，故()1,0P .故min PQ 为点()1,0与直线10x y -+=的距离， 即：min 101211PQ -+==+.本题选择C 选项.11．B 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得(1,0,0)AD =-u u u v和平面11AC D 的一个法向量(1,1,1)m =，利用向量的距离公式，即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则1(1,0,0)A ，1(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，(1,0,1)A ， 所以1(1,0,1)DA =-u u u u v ，1(0,1,1)DC =-u u u u v，(1,0,0)AD =-u u u v， 设平面11AC D 的一个法向量(,,1)m x y =，则11m DA m DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u vu u u u v ， 即111010m DA x m DC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u u v u u u u v ，解得11x y =⎧⎨=⎩，故(1,1,1)m =，显然平面1AB C P 平面11AC D ，所以平面1AB C 与平面11AC D 之间的距离333AD m d m⋅===u u u v．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．A 【解析】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，所以2,3c b a a ==则双曲线的两条渐近线方程为3y x =，设过右焦点F 的直线l 的方程为x ty c =+，联立3y xx ty c ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得A y =，联立y x ty c⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得B y =，由20FA FB +=u u u r u u u r ，得2A B y y =-，=t =l 的斜率(0)k k >的值等于故选A. 13．1922=-y x 【解析】试题分析：由双曲线渐近线方程为13y x =±，所以方程可设为229x y λ-=，代入点(可得9λ=22229919x x y y ∴-=∴-=考点：双曲线方程及性质 14．2e 【解析】1'()'(1)(0)2x f x f e f x -=-+，则'(1)'(1)(0)2f f f =-+，所以，(0)2f =；故12()'(1)2x f x f ex x -=-+，则有1(0)'(1)f f e -=，得，'(1)2f e =.15．23y x =- 【解析】 【分析】对函数()24ln f x x x =-求导，求得当x=1时的斜率，根据点斜式可求得切线方程。
安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)
B. 8
C. 4
D. 2
【答案】A 【解析】
x2 y2 1
依题意可得，满足
4 的点 (x, y) 如下图阴影部分：
x2
根据几何概型可得满足
y2
1 4
的概率为
( 1 )2 2
22
16 ，故选 A
x2 y2 1xy 0
8.方程
表示的曲线是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
B. p2 , p4
C. p1, p2
D. p1, p3
【解析】
【分析】
令
x
y
a,
x
3y
b
,则
2x
8y
7a
2
3b
,利用
a
1, b
3
可求得
2x
8y
1.
【详解】令
x
y
a,
x
3y
b
,则
x
3a 4
b
y ba
,
4
,
2x 8y 2 3a b 8 b a 7a 3b
4
4
2,
a 1,b 3 ,
所以 c2 a2 b2 3 9 12 ,
所以 c 2 3 ,
所以焦距 2c 4 3 .
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,属基础题.
15.已知样本数据 x1 , x2 ,… xn 的方差为 4,则数据 2x1 3 , 2x2 3 ,… 2xn 3 的标准差是
【答案】4 【解析】 【分析】
【详解】因为 PF1 9 a c 4 6 10 ,所以 P 必在双曲线左支上,
所以根据双曲线的定义可得: PF2 PF1 2a 2 4 8 ,
2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．设命题:,20x p x R ∀∈>，则⌝p 为（ ） A ．,20x x R ∀∈≤ B ．,20x x R ∀∈< C ．00,20x x R ∃∈≤ D ．00,20x x R ∃∈>【答案】C【解析】根据全称命题的否定的结构形式写出其否定即可. 【详解】命题:,20xp x R ∀∈>的否定为：00,20x x R ∃∈≤，故选：C. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2．已知某企业有职工150人，其中拥有高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若按职称采用分层抽样方法共抽取30人，则中级职称被抽取的人数为（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．12【答案】B【解析】按照分层抽样的计规则计算可得； 【详解】解：据题设分析知，被抽取的30人中中级职称人数45309150m =⨯=（人），故选：B . 【点睛】本题考查分层抽样中各层总数的计算，属于基础题. 3．抛物线218y x =的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,2-C ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,32⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】将抛物线方程化为标准方程,即可得焦点坐标. 【详解】 抛物线218y x =化为标准方程可得28x y =由标准方程可知抛物线的焦点在x 轴正半轴上,则4p = 所以焦点坐标为()0,2 故选:A 【点睛】本题考查了抛物线标准方程与焦点坐标求法,属于基础题. 4．已知,a b 是非零实数，则“a b >”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用原命题和逆命题的真假可判断两者之间的条件关系. 【详解】取3,4a b =-=-，则a b >，但ln ln a b <， 所以命题“若a b >，则ln ln a b >”为假命题. 取4,3a b =-=，则ln ln a b >，但a b <， 所以命题“若ln ln a b <，则a b >”为假命题. 所以“a b >”是“ln ln a b >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为14圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．42π-B ．82π-C ．4π-D ．8π-【答案】B【解析】根据三视图,可知该几何体为一个正方体,割去一个圆柱的四分之一,即可由所给数据求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体为一个正方体,割去一个圆柱的四分之一 正方体的棱长为2.割去圆柱的底面半径为1, 所以该几何体的体积为()321212842V ππ=-⨯⨯⨯=- 故选:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,由三视图分析原空间几何体,组合体体积的求法,属于基础题.6．已知在ABC ∆中，点()2,0A -，点()2,0B ，若tan tan 2CAB CBA ∠⋅∠=，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．22148x y += B ．22148x y +=（2x ≠±） C ．22148x y -=D ．22184x y +=（2x ≠±）【答案】B【解析】设动点(),C x y ,由两点间斜率公式及倾斜角的关系,可得,x y 的方程,化简即可得动点C 的轨迹方程,排除不符合要求的点即可. 【详解】设(),C x y由两点间斜率公式可得,22CA CB y yk k x x ==+- 由斜率与倾斜角关系,结合tan tan 2CAB CBA ∠⋅∠=可得222y y x x ⎛⎫⨯-= ⎪+-⎝⎭变形可得22148x y += 当2x =±时,C 与A 或B 重合,不合题意所以点C 的轨迹方程为22148x y +=（2x ≠±） 故选:B 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,两点间斜率公式,注意斜率与倾斜角关系,排除掉不符合要求的点,属于基础题.7．若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M 处可填入的条件为（ ）A ．31k ≥B ．31k ≤C ．63k <D ．15k ≥【答案】A【解析】根据循环结构的程序框图,依次算出输出值为26时k 满足的条件,即可得解. 【详解】根据程序框图可得1,0k S == 所以1,3S k ==4,7S k ==11,15S k == 26,31S k ==所以当输出结果为26时,31k =为是的条件.且当31k <时都为否 故M 处可填入的条件为31k ≥ 故选:A 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的应用,根据输出值分析判断框,属于基础题.8．已知圆P ：224230x y x y +-+-=与直线30x my -=（m ∈R ）相交于A ，B 两点，且90APB ∠=︒，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4 C ．0或4 D ．0或4-【答案】C【解析】首先将圆的方程化成标准式，求出圆心坐标，半径，再根据点到直线的距离公式计算可得. 【详解】解：∵P 为圆224230x y x y +-+-=的圆心，()()22218x y -++=，()2,1P ∴-，r =又90APB ∠=︒Q ，∴圆心到直线30x my -=的距离2d ==，解得0m =或4，故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.9．已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（ ）A ．310 B ．35 C ．710D ．25【答案】A【解析】根据组合计算法,先求得从中取出两个球都是白球的所有情况,再求得从5个球中取出2个球的所有情况,即可求得“取到全是白球”的概率. 【详解】袋子中装有3个白球,2个黑球则从中取出两个球都是白球的情况为23C 从5个球中取2个球出来,所有的情况为25C所以从5个球取2个球“取到全是白球”的概率为2325310C C =故选:A 【点睛】本题考查了组合数的应用,古典概型概率求法,属于基础题.10．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点(，其离心率的取值范围是12⎡⎢⎣⎦，则椭圆短轴长的最大值是（ ） A ．4 B ．3CD．【答案】C【解析】先根据点在椭圆上得到22121a b +=，再利用1,22c a ⎡∈⎢⎣⎦及消元法可解得322b ≤≤，从而得到短轴长的最大值. 【详解】因为点(在椭圆上，所以22121a b +=，所以2222b a b =-. 设椭圆的半焦距为c，因为12c a ⎡∈⎢⎣⎦，所以12c a ≤≤，故2221344a b a -≤≤， 所以22222132442b bb b b --≤≤-，解得322b ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题以椭圆基本量为载体，考查多变量等式和不等式条件下变量的最值的计算，注意多变量问题处理的基本策略是消元法，此类问题多为中档题.11．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .若4AB =，3AC =，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（3π≈）（ ）A ．2325B ．1625 C ．2541D ．1641【答案】D【解析】首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得. 【详解】解：因为直角三角形ABC 的斜边为BC ，4AB =，3AC =， 所以222224325BC AC AB =+=+=，以BC 为直径的圆面积为22524BC ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AB 为直径的圆面积为21624AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的圆面积为2924AC ππ⎛⎫=⎪⎝⎭.所以图形总面积223141125346424228S πππ=⨯+⨯+⨯⨯=+，215622S S π⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭阴影，所以616254168S P S π===+阴影.故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17⎡⎣B ．[]4,5C ．[]3,5D ．17,5⎤⎦【答案】D【解析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ，则平面//CMN 平面1C EF ，由此推导出P ∈线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，由此能求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ， 则平面//CMN 平面1C EF ，Q 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，Q 在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，22111()345max C P C E C F ∴===+=，42EF =22211()25(22)17min C P PO C E EO ==-=-=． ∴线段1C P 长度的取值范围是17，5]．故选：D ．【点睛】本题考查立体几何中线段长取值范围，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力和运算求解能力．二、填空题13．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________. 【答案】28【解析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可. 【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()121211416832833V S S S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=.故答案为：28． 【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表： 分数段[)60,65[)65,70[)70,75[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95人数 １３６６２１１若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分 【答案】80 【解析】解：∵40200×20=4， ∴随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所画的分数线是80分， 故答案为8015．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 离水面高5m ，水面宽度12m AB =.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体的货物欲从桥下中央经过，已知长方体货物总宽6米，若要使船只顺利通过该桥，则长方体货物的顶部离水面的距离应低于______m .【答案】154【解析】根据题意,建立平面直角坐标系.设出抛物线方程,将点()6,5B -带入求得抛物线方程.取货物一端点为C,过C 作AB 的垂线,交抛物线于D ,可求得D 点坐标.进而求得长方体货物的顶部离水面的距离. 【详解】以O 为原点,过O 垂直于AB 的直线为y 轴,建立如图所示平面直角坐标系设抛物线方程为2x my =,根据题意知点()6,5B -在抛物线上.365m ∴=-,365m ∴=-, 2365x y ∴=-. 可设()3,5C -,过C 作AB 的垂线,交抛物线于()03,D y , 则03695y =-,054y ∴=-.∴长方体货物的顶部离水面的距离应低于515544-=（m ）. 故答案为: 154【点睛】本题考查了抛物线方程的求法,抛物线在实际问题中的应用,属于基础题. 16．在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足PA PBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），A ，B 为双曲线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足2PA PB=，PAB ∆面积的最大值为643，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 【答案】54【解析】根据,A B 为双曲线的左、右顶点可设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y ,由两点间距离公式并化简可得动点P 的轨迹方程.由,A B 为双曲线的左、右顶点可知当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,根据面积最大值求得a .当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,结合最小面积可求得b ,即可求得双曲线的离心率. 【详解】设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y , 依题意,得2PA PB =,=两边平方化简得2225433a x y a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则圆心为5,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径43a r =, 当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,最大面积为14642233a a ⨯⨯=, 解得4a =；当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,最小面积为154242333a b a a b ⎛⎫⨯⨯-=⨯= ⎪⎝⎭, 解得3b =,故双曲线的离心率为54e ==.故答案为: 54【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.三、解答题17．已知t ∈R ，命题p ：关于x 的方程2210x tx -+=有两个不同的实数根且均小于零；命题q ：[)01,x ∃∈+∞，200141x t x +≤-. （1）当1t =时，判断命题q 的真假；（2）若命题p q ∨是假命题，求实数t 的取值范围.【答案】（1）真命题（2）,22⎛- ⎝⎭.【解析】（1）将1t =代入命题q .取特殊值,即可说明存在0x ,使命题q 为真命题. （2）若题p q ∨是假命题,则命题p 与命题q 都为假命题.假设p 为真命题,求得t 的范围,即可确定p 为假命题时t 的范围,同理求得q 为假命题时t 的范围,进而确定t 的范围. 【详解】（1）当1t =时,01x ∃=,有2114111+<⨯-,[)01,x ∴∃∈+∞,200141x t x +≤-成立, ∴q 为真命题.（2）若p 为真命题,则()2240,0,t t ⎧∆=-->⎪⎨<⎪⎩ 解得1t <-,∴p 为假命题时1t ≥-.若q 为真命题,则2min141x t x ⎛⎫+- ⎪≤⎝⎭,即2412t -≥.解得3t ≤-或3t ≥. ∴q 为假命题时33t -<<. ∵命题p q ∨是假命题,则p ,q 都是假命题,∴实数t 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了复合命题真假的判断,由复合命题的真假求参数的取值范围,属于基础题. 18．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a 的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率. 【答案】（1）0.04a =（2）基本事件见解析, 所求的概率为815【解析】（1）由所有小矩形面积和为1计算出a ；（2）先计算出第4、5两组人数，再按比例计算出抽取的人数，然后把第四组的4人表示为a ，b ，c ，d ，第五组的2人表示为A ，B ，用列举法写出所有基本事件，并计数求出概率。
安徽省太和第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(奥赛班)试题
太和一中2020－2021学年第一学期高二年级期中数学试卷（奥赛班）满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B种型号产品抽取了60件，则a=（）A．3B．4C．5D．62．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：①MC⊥AN②DB∥平面AMN③平面CMN⊥平面AMN④平面DCM∥平面ABN所有假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．33．已知直线a、b，平面α、β、γ，下列命题正确的是（）A ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ⋂=，则a γ⊥B ．若a αβ⋂=，b αγ⋂=，c βγ⋂=，则////a b cC ．若a αβ⋂=，//b a ，则//b αD ．若αβ⊥，a αβ⋂=，//b α，则//b a4.已知正方体的8个顶点中，有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）A.B ．1:C ．2D ．5 . 执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >6 .直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．已知点()2,0A -,()0,0O ,若直线()1y k x =-上至少存在三个点P ,使得AOP ∆是直角三角形,则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．23⎡-⎢⎣⎦D ．30,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦8．线段AB 长为2a ，两端A ，B 分别在一个直二面角的两个面内，AB 和两个面所成角分别为45︒，30，那么A ，B 在棱上射影间的距离为（ ）．A ．2aB ．2aC ．aD 9．某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE所成的角的余弦值为（ ）A ．5-B ．5C ．2D ．1510．已知直线:l ()23y k x =-+，圆:O ()()224x a y b -+-=，且点(),a b 是圆()()22234x y -+-=上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相切B ．对任意的实数k 与点(),a b ，直线l 与圆O 相交C ．对任意的实数k ，必存在实数点(),a b ，使得直线l 与圆O 相切D ．对任意的实数点(),a b ，必存在实数k ，使得直线l 与圆O 相切11.在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．C ．D ．312在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为2. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
太和第一中学2020_2021学年高二化学上学期期中试题奥赛班
安徽省太和第一中学2020—2021学年高二化学上学期期中试题（奥赛班）使用范围：奥赛班理科考试时间:90分钟满分：100分一、选择题（本题包括16小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分,共48分) 1．下列说法正确的是A．所有卤代烃都是难溶于水、密度比水大的液体；B．苯和苯酚均能使酸性KMnO4溶液褪色C ．和为同一物质D．CH3CH2OH 和具有相同的官能团，互为同系物2．下列说法正确的是A．CH2==CH2、三种物质中都有碳碳双键,都可发生加成反应B．1 mol 与过量的NaOH溶液加热充分反应，能消耗3 mol NaOH C．将溴水加入苯中，溴水的颜色变浅，这是由于发生了取代反应D．用溴水即可鉴别苯酚溶液、2,4一己二烯和甲苯3．下列有机物只有四种同分异构体的是（）A.分子式为C4H10烷烃的二氯取代物B.乙苯的二氯取代物C。
分子式为C3H9N的有机物D.分子式为C4H8的有机物4．将1mol某饱和醇分成两等份，一份充分燃烧生成1。
5molCO 2，另一份与足量的金属钠反应生成5。
6L （标准状况)H 2.这种醇分子的架构中除羟基氢外，还有两种不同的氢原子，则该醇的结构简式为（ ） A ．222CH CH CH ||OH OH-- B ．33CH CH OH|CH -- C ．CH 3CH 2CH 2OH D ．23CH CH CH ||OH OH-- 5．下列各选项有机物同分异构体的数目，与分子式为ClC 4H 7O 2，且能与碳酸氢钠反应生成气体的有机物数目相同的是(不含立体异构)A ．的一溴代物B ．分子式为C 4H 8O 2的酯C ．分子式为C 5H 10的烯烃D ．立方烷（）的二氯代物6．鸦片最早用于药物（有止痛、止泻、止咳的作用)，长期服用会成瘾.现有鸦片的替代品用于脱瘾治疗，结构简式如图所示：。
1 mol 该化合物与足量的NaOH 溶液作用消耗NaOH 的物质的量及其苯环上的一溴代物的种类分别是 ( ）A 。
太和第一中学2020_2021学年高二生物上学期期中试题奥赛班
安徽省太和第一中学2020—2021学年高二生物上学期期中试题(奥赛班)时间：90分钟满分：100分注意事项：1. 答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
第I卷(选择题，共60分）一单选题（30题每小题2分共60分）1.生物的某些变异可通过细胞分裂某一时期染色体的行为来识别．甲、乙两模式图分别表示细胞分裂过程中出现的“环形圈”“十字形结构”现象,图中字母表示染色体上的基因．丙图是细胞分裂过程中染色体在某一时期所呈现的形态．下列有关叙述正确的是（）A.甲、乙、丙三图中发生的变异均可遗传给下一代B.甲、乙、丙三种变异类型分别属于染色体结构变异、染色体数目变异和基因重组C.甲图是由于个别碱基对的增添或缺失,导致染色体上基因数目改变的结果D.甲、乙、丙三种变异在光学显微镜下均可观察到，均发生在减数分裂过程中2。
在某严格自花传粉的二倍体植物中，野生型植株的基因型均为AA（无A基因的植株表现为矮化植株）.现发现甲、乙两株矮化突变体植株的相关基因在同源染色体上的位置如图所示，矮化程度与a基因的数量呈正相关。
下列相关叙述，错误的是（) A. 甲突变体植株在产生配子的过程中,一个四分体最多含有4个a基因B。
乙突变体植株产生的原因可能是在甲突变体植株的基础上发生了染色体结构变异C. 甲突变体植株产生的根本原因是基因突变,其自交后代只有一种矮化植株D。
若各类型配子和植株均能成活，则乙突变体植株自交后代中存在两种矮化植株3.急性早幼粒细胞白血病是最凶险的一种白血病，发病机理如图所示。
“诱导分化疗法”是一种应用维甲酸和三氧化二砷联合治疗该病的方法。
维甲酸通过修饰PML—RARa，使癌细胞重新分化而“改邪归正”；三氧化二砷则可以引起这种癌蛋白的降解，使癌细胞发生分化并凋亡。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
太和一中2020－2021学年第一学期高二年级期中数学试卷(奥赛班)满分:150分考试时间:120分钟一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B种型号产品抽取了60件,则a=()A.3B.4C.5D.62.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥ABCD,NB⊥ABCD.且MD＝NB＝1.则下列结论中:①MC⊥AN②DB∥平面AMN③平面CMN⊥平面AMN④平面DCM∥平面ABN所有假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.已知直线a、b,平面α、β、γ,下列命题正确的是( )A.若αγ⊥,βγ⊥,a αβ⋂=,则a γ⊥B.若a αβ⋂=,b αγ⋂=,c βγ⋂=,则////a b cC.若a αβ⋂=,//b a ,则//b αD.若αβ⊥,a αβ⋂=,//b α,则//b a4.已知正方体的8个顶点中,有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点,则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 ( )A.B. C.2 D.5 . 执行如图所示的程序框图,若输出的120S =,则判断框内应填入的条件是( )A ．4k > B.5k > C.6k > D.7k >6 .直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称,则k 等于( ) A ．0B.1C.2D.37.已知点()2,0A -,()0,0O ,若直线()1y k x =-上至少存在三个点P ,使得AOP ∆是直角三角形,则实数k 的取值范围是( )A.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.23⎡-⎢⎣⎦D.30,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦8.线段AB 长为2a ,两端A ,B 分别在一个直二面角的两个面内,AB 和两个面所成角分别为45︒,30,那么A ,B 在棱上射影间的距离为( ).A.2aB.2a C.a9.某四棱锥的三视图如图所示,点E 在棱BC 上,且2BE EC =,则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为( )A ．5-B.5D.1510.已知直线:l ()23y k x =-+,圆:O ()()224x a y b -+-=,且点(),a b 是圆()()22234x y -+-=上的任意一点,则下列说法正确的是( )A.对任意的实数k 与点(),a b ,直线l 与圆O 相切B.对任意的实数k 与点(),a b ,直线l 与圆O 相交C.对任意的实数k ,必存在实数点(),a b ,使得直线l 与圆O 相切D.对任意的实数点(),a b ,必存在实数k ,使得直线l 与圆O 相切11.在平面直角坐标系中,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则实数k 的最大值为( )A.0B.C.D.312在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ,1DP DC ==.有下列结论:①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的体积为23π；④若AB BC =,E 是线段PC 上一动点,则DE BE +的最小值为2. 其中正确结论的个数是( ) A.1B.2C.3D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.运行下面的程序,执行后输出的s 的值是________ i＝1 WHILE i<6 i＝i＝2 s＝2*i+1 WEND PRINT s END 14.已知O :22 1.x y +=若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是______. 15.在直角坐标平面中,已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之和等于2},,则由Q 中的所有点所组成的图形的面积是________16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ,直线l 与圆O 交于P Q ，两点,点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=,则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题:本题共6题,共70分(17题10分,18-22均为12分)。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
17.如图,在三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,PAC 为等边三角形,AB AC ⊥,D 是BC 的中点.(1)证明:AC PD ⊥；(2)若2AB AC ==,求D 到平面PAB 的距离.18.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的方程是1x y a b +=(a ,0b >).(1)当1a =,2b =时,求曲线C 围成的区域的面积；(2)若直线l :1x y +=与曲线C 交于x 轴上方的两点M ,N ,且OM ON ⊥,求点211,b a ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 距离的最小值.19.已知等腰直角三角形ABC ,90︒∠=C ,,D E 分别是,AC AB 的中点,沿DE 将ADE 折起(如图),连接,AC AB .(Ⅰ)设点P 为AC 中点,求证:DP ⊥面ABC ；(Ⅱ)设Q 为BE 的中点,当ADE 折成二面角A DE B --为60︒时,求CQ 与面ABC 所成角的正弦值.20.已知三棱柱111ABC A B C -(如图所示),底面ABC 是边长为2的正三角形,侧棱1CC ⊥底面ABC ,14CC =,E 为11B C 的中点.(1)若G 为11A B 的中点,求证:1C G ⊥平面11A B BA ；(2)证明:1//AC 平面1A EB ；(3)求三棱锥1A EBA -的体积.21.已知圆M 的圆心M 在x 轴上,半径为1,直线l :4132y x=-被圆M 所截的弦长为3,且圆心M 在直线l 的下方. (1)求圆M 的方程；(2)设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-,若圆M 是△ABC 的内切圆,求△ABC 的面积S 的范围. 22.已知A ,B 为圆O :224x y +=与y 轴的交点(A 在B 上),过点(0,4)P 的直线l 交圆O 于,M N 两点.(1)若弦MN 的长等于23,求直线l 的方程；(2)若,M N 都不与A ,B 重合时,是否存在定直线m ,使得直线AN 与BM 的交点恒在直线m 上.若存在,求出直线m 的方程；若不存在,说明理由.奥赛班试卷答案 一选择题OGP MNABCBAAB ADCBC BC 二填空题13.15 14.(,1][1)-∞-⋃+∞， 15.π16.⎝⎭三解答题17(1)证明:取AC 中点E ,连接DE ,PE .PAC 为等边三角形,∴PE AC ⊥.AB AC ⊥,D 是BC 的中点,E 为AC 中点,∴ED AC ⊥.又PEED E =,AC ∴⊥平面PED .∴AC PD ⊥(2)方法一:取PA 中点M ,连接CM.PAC 为等边三角形,∴CM PA ⊥.平面PAC ⊥平面ABC ,AB AC ⊥,∴AB ⊥平面PAC .AB CM ∴⊥.又AB PA A ⋂=,CM ∴⊥平面PAB.2AC =,PAC 为等边三角形,CM ∴=D 是BC 的中点,∴D 到平面PAB 的距离的2倍等于C 到平面PAB 的距离.∴D 到平面PAB 的距离为2.方法二:由平面PAC ⊥平面ABC ,AB AC ⊥, 可得AB ⊥平面PAC ,则AB PA ⊥.2AB AC ==,PAC 为等边三角形,则122PAB S PA AB =⋅⋅=△.D 是BC 的中点,1122ABD ACS AB ∴=⋅⋅=△. 点P 到平面ABC 的距离为,设D 到平面PAB 的距离为d ,由1133D PAB P ABD PAB ABD V V S d S PE --=⇒⋅=⋅△△,解得d =.PE =18.(1)当1a =,2b =时,曲线C 的方程是12yx +=, 当0x =时,2y =±,当0y =时,1x =±,当0,0x y >>时,方程等价于112x y+=, 当0,0x y <>时,方程等价于112x y+=-, 当0,0x y <<时,方程等价于112x y +=--, 当0,0x y ><时,方程等价于112x y +=-, 曲线C 围成的区域为菱形,其面积为12442⨯⨯=；(2)当0x >,0y >时,有1x ya b+=, 联立直线1x y +=可得,a ab ab b M a b a b --⎛⎫⎪--⎝⎭, 当0x <,0y >时,有1x ya b+=-, 联立直线1x y +=可得,a ab b ab N a b a b -+⎛⎫⎪++⎝⎭,由OM ON ⊥可得1OM ON k k =-,即有1ab b b aba ab a ab -+⋅=---, 化为221122a b b=-+,点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离2111d -+== 2113⎛⎫-+ ⎪=, 由题意可得0a ab -<,0a b -<,0ab b -<,即a ab b <<, 可得01a <<,1b >,可得当112b =,即2b =时,点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离取得最小值8.19.解:(Ⅰ)由题意可知://DE BC ,90ADE CDE ︒∴∠=∠=,于是有DE AD ⊥,DE CD ⊥,且ADCD D =DE ∴⊥面ADC ,从而BC ⊥面ADC ,又DP ⊂面ADC ,BC DP ∴⊥. 由DA DC =,P 是中点得:DP AC ⊥.BC AC C ⋂=,DP ∴⊥面ABC .(Ⅱ)不妨设等腰直角三角形的直角边长为4. 由(Ⅰ)知二面角A DE B --即60ADC ︒∠=ACD ∴是等边三角形,DP ∴=因为//DE BC ,故//DE 面ABC ,则点E 到面ABC 的距离等于点D 到面ABC 的距离,而Q 为BE 之中点,于是点Q 到面ABC 的距离为2.过Q 作QF AC ⊥于点F ,则334QF BC ==,1FC =CQ ∴==所以CQ 与面ABC 20(1)连接1C G ,由1CC ⊥底面ABC ,且11//CC BB ,可得1BB ⊥底面111A B C ,又由1C G ⊂底面111A B C ,所以11C G B B ⊥,又因为G 为正111A B C △边11A B 的中点,所以111C G A B ⊥,因为1111A B BB B =,且111,A B BB ⊂平面11A B BA ,所以1C G ⊥平面11A B BA .(2)连接1B A 交1A B 与G ,则O 为1A B 的中点,连接EO ,则1//EO AC .因为EO ⊂平面1EA B ,1AC ⊄平面1EA B ,所以1//AC 平面1EA B .(2)因为11A A BE E ABA V V --=,11142ABA S AB AA =⨯⨯=△. 取1GB 的中点F ,连接EF ,则1//EF C G ,可得EF ⊥平面11A B BA ,即EF 为三棱锥1E ABA -的高,1122EF C G ===,三棱锥1A EBA -的体积1111143323A A BE E ABA ABA V V S EF --==⨯=⨯⨯=△.21(1)设圆心M (a ,0),由已知得M 到直线l :8x -6y -3=012=,12=,又∵M在直线l的下方,∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1,故圆的方程为(x-1)2+y2=1.(2)设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6,由方程组126y k x ty k x t=+⎧⎨=++⎩,得C点的横坐标为126Cxk k=-,∵|AB|=t+6-t=6,1212161862Sk k k k∴=⋅=--,由于圆M与AC相切,所以21112tkt-=∴=,同理221(6)2(6)tkt-+=+,()21223616t tk kt t++∴-=+,()222661616161t tSt t t t+⎛⎫∴==-⎪++++⎝⎭,52,231t t-≤≤-∴-≤+≤,28614t t∴-++-,∴2715[,]42s∈.22试题解析:(Ⅰ)①当k不存在时,4==ABMN不符合题意②当k 存在时,设直线l :4y kx =+||MN =圆心O 到直线l的距离1d =1=,解得k =综上所述,满足题意的直线l方程为4y =+ (Ⅱ)根据圆的对称性,点G 落在与y 轴垂直的直线上令(2,0)N -,则直线:12424x yPN y x +=⇔=+-与圆22:4O x y +=联立得: 2516120x x +==,65M x ∴=-,68(,)55M ∴-,:32BM y x =--所以直线:20AN x y -+=与BM 的交点G (-1,1), 猜想点G 落在定直线1y =上.下证:2244y kx x y =+⎧⎨+=⎩得:22(1)8120k x kx +++= 22122122(8)48(1)081121k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩直线AN :1122y y x x --=,直线BM :2222y y x x ++= 消去x 得:1221(2)22(2)y x y y y x --=++要证:G 落在定直线1y =上,只需证:1221(2)1212(2)y x y x --=++即证:1221(2)13(6)kx x kx x +-=+ 即证:121122636kx x x kx x x --=+ 即证:121246()0kx x x x ++=即证:2212846011kkk k -=++显然成立.所以直线AN 与BM 的交点在一条定直线上.。