勾股定理和勾股定理逆定理的经典例题精讲(辅导班、提高班)

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初二数学提高班-第02讲勾股定理逆定理

第二讲勾股定理的逆定理【知识要点】1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。

2．利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：①先找出最大边（如c ）；②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

注：若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形；若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

【经典例题】【例1】判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。

①9,41,40 ② 5,5,25 ③31,41,51 ④23,24，25 ⑤2,3,5 ⑥ n n 222+,12+n 、1222++n n )0(≥n【例2】如图所示，已知△DEF 中，DE=17cm ，EF=30cm ，EF 边上中线DG=8cm.求证:DEF ∆是等腰三角形【例3】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求△ABC 的面积。

【例4】若边a,b,c 满足0))((222=-+-c b a b a ，则判断△ABC 的形状．A C【例6】如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，A ，C ，D 三点在同一直线上，连接BD ，AE ，并延长AE 交BD 于F ．①求证：△ACE ≌△BCD ；②直线AE 与BD 互相垂直吗？请证明你的结论．【初试锋芒】1．小丰的妈妈买了一部29英寸的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )A.小丰认为指的是屏幕的长度B.小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C.小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D.售货员认为指的是屏幕对角线的长度2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3B. 7,24,25C. 6,8,10D. 9,12,153．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①51,41,31===c b a ② m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 为正整数,m >n); ③∠A=320, ∠B=580; ④25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b aA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形5．直角三角形一直角边长为12，另两边长均为自然数，则其周长为（）A ．36 B.30 C. 48 D. 不能确定6．直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高是( ) A. 3.5 B.2.4 C.1.2 D. 57．等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )A.13B.8C.25D.648．如图,AC ⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC= .9. 已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是三角形.10. 如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=【大展身手】 1．如图，∠C=90°，AC=12，BC=9，AD=8，BD=17，求△ABD 的面积．2.如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD 的面积，周长与∠ABC 度数。

勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)

CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ．（1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°．（1）求BD 的长；（2）证明：BD ⊥BC ；（3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立．（3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。

12勾股定理的逆定理 (提高)知识讲解

勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）如果2x =，那么24x =；（3）等腰三角形两底角相等；（4）全等三角形的对应角相等．（5）对顶角相等．（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．【答案与解析】解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．（2）逆命题是：如果24x =，那么2x =，它是假命题．（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．举一反三：【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若a b =，则22a b =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝3CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°．∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°，∴ ∠ACP ＝∠BCD ．∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)，∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，22222228DP CP CD =+=+=．又∵ PB ＝1，则21PB =．∵ 29DB =，∴ 222819DB DP PB =+=+=，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°，∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°．3、（2015春•信丰县校级期中）如图，已知在四边形ABCD 中，AB=20cm ，BC=15cm ，CD=7cm ，AD=24cm ，∠ABC=90°．猜想∠A 与∠C 关系并加以证明．【思路点拨】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC 为Rt △，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A 与∠C 关系．【答案与解析】证明：猜想∠A 与∠C 关系为：∠A+∠C=180°．连结AC ，∵∠ABC=90°，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC==25cm ，∵AD 2+DC 2=625=252=AC 2，∴△ADC 是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．【总结升华】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC 是直角三角形．举一反三：【变式】（2015秋•埇桥区校级月考）下列各组数中，全是勾股数的一组是（）A ．2，3，4；6，8，10；5，12，13B ．3，4，5；10，24，26；7，24，25C ．，，；8，15，17；30，40，50D ．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41【答案】B ；解：A 、22+32≠42，不是勾股数，此选项错误；B 、32+42=52，102+242=262，72+242=252，此选项正确；C 、，，不是勾股数，此选项错误；D 、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；故选B ．类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又BD ⊥AC ，可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=，解得14413x =．∴ 1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．。

勾股定理的逆定理- 完整版课件

2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠
(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．逆命题不成立．
(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相等．逆命题成立．
2 已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，
则 a ＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题
均为真命题的个数是( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
3 下列定理中，没有逆定理的是( C ) A．直角三角形的两锐角互余 B．若三角形三边长a，b，c (其中a＜c，b＜c) 满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形 C．全等三角形的对应角相等 D．互为相反数的两数之和为0
总结
确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15， 17；7，24，25)可以提高解题速度．

专题04 勾股定理的逆定理(知识点串讲)(原卷版)

专题04 勾股定理的逆定理知识网络重难突破一. 勾股定理的逆定理1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2．勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.典例1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15典例2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．典例3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB的长为_____，BC的长为_____，CD的长为______；（2）连接AC ，通过计算说明△ACD 和△ABC 是什么特殊三角形．典例4．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，求BD 的长．二. 勾股数1．勾股数：满足关系a 2+b 2=c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数．注意：勾股数必须是正整数.2．常见的几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……注意：如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.典例1阅读：所谓勾股数就是满足方程x 2+y 2＝z 2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书中，在历史上第一次给出该方程的解为x （m 2﹣n 2），y ＝mn ，z （m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m 、n 是互质的奇数．应用：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．三. 勾股定理的应用1．解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.2．求立体图形表面的最短路径关键点：解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题．如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等．运用平面上两点之间线段最短的道理，利用勾股定理求解．典例1．如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？典例2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行几米？典例3．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图1，AB为一长度为6米的梯子．（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？（2）如图2，若梯子底端向左滑动（32）米，那么梯子顶端将下滑多少米？典例4．限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米/时．一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．典例5．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．典例6．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为5m、12m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以12m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．巩固练习1．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝12，b＝13，c＝5C．a＝15，b＝8，c＝17 D．a＝13，b＝14，c＝152．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是____．3．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为_____．4．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？5．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的面积；（2）求∠BCD的度数．6．如图，在△ABC中，E点是AC的中点，其中BD＝2，DC＝6，BC，AD，求DE的长．7．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．8．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝2m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度，（结果保留根号）9．如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一个固定方向航行，“远航”号沿西南方向以每小时12海里的速度航行，“海天”号沿东南方向以每小时16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于A、B两处，求此时A、B之间的距离．10．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据： 1.7）。

(完整版)勾股定理及其逆定理复习典型例题

勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2=c 2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。

（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得：（3x ）2+（4x ）2=202 化简得x 2=16； ∴直角三角形的面积=21×3x ×4x =6x 2=96注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。

解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D 则：BD=21BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3 S △ABC =21BC·AD=3 ABCD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为43a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

专题02 勾股定理的逆定理(提高-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破同步讲练(解析版

专题02勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+（,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；一、单选题1．（2020ꞏ兴化市乐吾实验学校八年级月考）下列命题中，是假命题的是()A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形【答案】C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A.△ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B.△ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2=a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．2．（2020ꞏ山西九年级专题练习）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（2020ꞏ广西防城港市ꞏ八年级期中）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC 形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】解：在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ∵22212+=，∴△ABC 是直角三角形．故选B ．点睛：本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（2020ꞏ陕西九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米【答案】A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．5．（2019ꞏ全国八年级单元测试）如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴πa 22 πb22πc22，化简得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．二、填空题6．（2020ꞏ江阴市敔山湾实验学校八年级月考）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】；13或【解析】试题分析：把立体图展开可得①根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，=③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为．考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理7．（2019ꞏ，三角形的最大边上的高等于_____________.【解析】分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.，∴22212+==∴三角形是直角三角形∴1122高⨯点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.8．（2020ꞏ河北九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90B ∠=︒，则四边形ABCD 的面积等于______，【答案】36【分析】先根据勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD △的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，3AB =，4BC =，90B ∠=︒∴5AC ===∵12CD =，13AD =∴在ACD △中，有2225+12=13即222AC CD AD +=∴ACD △是以AC 、CD 为直角边的直角三角形∴Rt ABC Rt ACDABCD S S S =+ 四边形1122AB BC AC CD =⋅+⋅113451222=⨯⨯+⨯⨯36=故答案是：36【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，能够将求不规则四边形的面积转化为求两个直角三角形的面积和是解题的关键．9．（2019ꞏ全国）如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是______；若将△ABP 的PA 边长改为，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为______．【解析】分析：根据当O 到AB 的距离最大时，OP 的值最大，得到O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理求出PM ，即可求出答案；将△ABP 的PA 边长改为另两边长度不变，根据(22222+=，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM 即可．详解：取AB 的中点M ，连OM ，PM ，在Rt △ABO 中，OM=12AB =1，在等边三角形ABP 中，无论△ABP 如何运动，OM 和PM 的大小不变，当OM ，PM 在一直线上时，P 距O 最远，∵O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理得：∴，将△AOP 的PA 边长改为，另两边长度不变，∵(22222+=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：，∴此时点睛：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PD的值是解此题的关键．三、解答题10．（2019ꞏ广东云浮市ꞏ八年级期末）学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD=4米，CD=3米，AD⊥DC，AB=13米，BC=12米.(1)若连接AC，试证明:OABC是直角三角形；(2)求这块地的面积.【答案】（1）见解析；（2）这块地的面积是24平方米.【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）∵AD=4，CD=3，AD⊥DC，由勾股定理可得：5==，又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）△ABC 的面积-△ACD 的面积=115123422⨯⨯-⨯⨯=24（m 2），所以这块地的面积是24平方米.【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.反之也成立.11．（2020ꞏ全国）ABC ∆三顶点坐标()4,5A ，()1,3B -()1,2C -，通过运算，判断ABC ∆形状．【答案】ABC ∆是等腰直角三角形【分析】利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度，然后进行判断.【详解】AB ==AC ==BC ==AB BC ∴=且222AB BC AC +=ABC ∆∴是等腰直角三角形【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两点间的距离公式及勾股定理逆定理，能利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度是解题关键.12．（2019ꞏ全国八年级课时练习）欲将一根长129cm 的木棒放在长、高、宽分别是40cm ，30cm ，120cm 的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．【答案】能【分析】先由勾股定理求得可以放最长的长度，再进行比较，即可得出结果．【详解】由22221203040130++=，得木箱的体对角线长为130cm ．∵130cm 129cm >，∴能放得进去．【点睛】考查了勾股定理的应用；解题关键是利用勾股定理计算出可以放最长的长度.13．（2020ꞏ全国八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，已知点C 的横坐标为3，AC 长为2，OC ，CB OA ⊥，垂足为B .请你判断AOC ∆的形状，并说明理由.【答案】直角三角形，理由见详解.【分析】根据勾股定理，先在Rt OBC 中算出BC 的长度，然后在Rt ABC 中算出AB 的长度，最后得出222AC OC AO +=，然后就可以确定这是直角三角形.【详解】∵点C 的横坐标为3，∴OB=3在Rt OBC 中：OB ⊥OA,OB=3,OC=,由勾股定理得：222BC OC OB =-=12-9=3,在Rt ABC 中：CB ⊥BA,23BC =,AC=2,由勾股定理得：222AB AC BC =-=4-3=1,∴AO=OB+AB=4,在AOC △中，,AC=2,AO=4,∴22AC OC +=4+12=16=2AO ,∴AOC △为直角三角形.【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题目条件逐一求出边长是解题的关键. 14．（2018ꞏ江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）在图1、图2的网格中，每个小四边形均为正方形，且边长是1．如果三角形的顶点均在网格交点处，我们称这样的三角形为格点三角形．下面的三角形均为格点三角形．（1）如图1，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）在图2的网格中，请你以DE为底边，画一个面积为7.5的等腰三角形．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形，理由见解析;(2)见解析.【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解可得；（2）先作出线段DE的中垂线，再在此直线上找到满足条件的格点，从而得出答案．【详解】解：（1）△ABC是等腰直角三角形.∵AC2＝BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）如图所示，△DEF即为所求．设所求三角形的高为h，∵∴17.52⨯=，∴h=2,∴腰长为，【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰三角形的性质、三角形的面积等知识点．15．（2019ꞏ全国）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②，【答案】以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°【解析】试题分析：两个方程，有三个未知量，不能解出具体数值，但是能求出a,b,c 关系，本题利用代入，因式分解，求出a,b,c 关系.试题解析：解法1：将①②两式相乘，得8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=（）（）.即：()()()22222244b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=0,即()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,即())22220b c a ab a b c abc ⎡-+--+⎣=,即()())220b c a c a b abc ⎡-+--⎣=,即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=,所以b ﹣c+a =0或c+a ﹣b =0或c ﹣a+b =0，即b+a=c 或c+a=b 或c+b=a ．90°．解法2：结合①式，由②式可得得1024-2(a 2+b 2+c 2)=14abc ,又由①式得（a+b+c ）2=1024，即a 2+b 2+c 2=1024﹣2（ab+bc+ca ），代入③式，得1024-2[1024-2(ab+bc+ca )]=14abc ，即abc=16（ab+bc+ca ）﹣4096．（a ﹣16）（b ﹣16）（c ﹣16）=abc ﹣16（ab+bc+ca ）+256（a+b+c ）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，所以a=16或b=16或c=16．结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．。

勾股定理及逆定理辅导讲义

勾股定理及逆定理辅导讲义考点·方法：1．会用勾股定理解决简单问题.2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证. 经典·考题：【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94【解法指导】观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．【变式题组】01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______.03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )A．B．C． D ．7【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，【变式题组】01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，第1题图第2题图B A 3cm 1cm6cm一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )A．B ．25 C．5 D ．3502．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm )，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm ，小孔到图中边AB 距离为1cm ，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm ，则h 的最小值大约为_____cm .(精确到个位，参考数据1．41．2．2)03．(荆州)若一边长为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm .(铁丝粗细忽略不计) 【例3】(荆州)如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为NM ，则线段CN 的长是( )A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【解法指导】对折问题即对称问题，设CN ＝x ，DN ＝NE ＝8－x .在Rt △CEN 中，(8－x )2＝42＋x 2 x ＝5.故选C 【变式题组】01．在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝13，AD ＝12．求S 四边形ABCD ．02．如图，△ABC 中，AB ＝13，AD ＝6，AC ＝5 ，D 为BC 边的中点.求S △ABC ．第1题第2题图AB吸管106 5A DF MNA BC D3．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB ，BC ＝4，CD ＝32.求AC ．4.(陕西)如图，在锐角△ABC 中，AB ＝，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是___________.巩固·提高：01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（） AB ．310C ．35D ．4502．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm ，则AD 的长为( ) A ．4cm B ．5cmC ．6cmD ．7cm03．(滨州)已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD 为8，则边BC 的长为( )A ．21B ．15C ．6D ．21或904．在同一平面内把边BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC '，则CC '的长等于( )A ．125B ．135C ．56D ．24505．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为( )A ．3:4:5B ．5:4:3C ．20:15:12D ．9:16:25 06．(山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为( )A ．32B ．76C ．256D ．207．(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF面积为_____.08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.09．(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m.10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为______.11．(湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1＋S2的值等于________.12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝_______.13．已知等腰三角形ABC的底边AB＝20cm，P是腰AC上一点，且AP＝12cm，BP ＝16cm，则腰长是_________.培优升级：01．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③02．(四川联赛试题)BD是△ABC的中线，AC＝6且∠ADB＝45°，∠C＝30°，则AB＝( )A B．C．D．603．（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x、y、z的三角形记为(x，y，z)，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个04．(北京竞赛)如图，ABCD 是一张长方形纸片，将AD ，BC 折起、使A 、B 两点重合于CD 边上的P 点，然后压平得折痕EF 与GH .若PE ＝8cm ，PG ＝6cm ，EG ＝10cm ，则长方形纸片ABCD 的面积为（）cm 2A ．105.6B ．110.4C ．115.2D ．124.8 05．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ) A ．CD 、EF 、GH B ．AB 、CD 、EF C ．AB 、CD 、GH D ．AB 、EF 、GH06．(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC 内有一点P ，过点P 向三边作垂线，垂足分别为S 、Q 、R ，且PQ ＝6，PR ＝S ，PS ＝10，则△ABC 的面积等于( )A．B． C． D．07．()如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC＝，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____秒.08．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AB ＝AD ＝2，AC ＝4，且BD :DC ＝2:3则BC ＝______.09．(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm ，宽为8cm 的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长. 10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5.求.S △DEF13．一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一卫生站A ，距公路30km 的地方有第5题图C第6题图第7题图B 第8题图一居民点B，A、B之间的距离为60km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h.在草地上行驶的最快速度是30km/h，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?最短时间是多少?。

初中八年级数学勾股定理的逆定理习题课课件(优秀课件)

其中能够成直角三角形的有
；
4下列各命题的逆命题成立的是（）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
判断一个三角形是否是直角三角形的方法：有一个直角（垂直），或三边满足两短边的平方和等于最长边的平方.
军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？
第3题图
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完善整合
通过本节课的学习，我们复习了那些知识？ 1．本节课你又那些收获？ 2．复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？
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综合探究
例1．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c下列判断错误的是（） A. 如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形.
B. 如果a2+c2=b2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果(c-a)(c+a)=b2，则△ABC是直角三角形. D. ∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形.
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人教版初中数学八年级下册
第十八章勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理（习题课）
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知识回顾
1.勾股定理逆定理的内容是什么？它有什么作用？
2.什么是互逆命题、互逆定理举例说明.
3.别以下列四组数为一个三角形的边长：
（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，

第02讲勾股定理逆定理(3个知识点+5类热点题型+习题巩固)(解析版)

第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。

2.掌握勾股数并能够判断勾股数。

3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。

知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。

勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。

2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。

③三角形中有两个角之和为90°。

【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。

2023春初二数学提高班第一讲《勾股定理》(1)

第十七章《勾股定理》一、本章教材在学习中地位：本章主要内容是勾股定理及其逆定理。

勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”. 它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式.勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足222c b a =+），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想.二、本章知识结构框图：三．中考要求：1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

（A 级）2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。

（B 级）3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。

（A 级）四、关注本章的数学思想 1、方程思想的运用初中代数很多问题都是可以通过列方程、利用解方程的方法得到解决，因此重视方程思想的运用，对提高解题能力具有重要的意义.如：已知:如图，矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内C '处，BC '与AD 交于点E ，AD=8，AB =4，求DE 的长.EC'DA2、分类与整合思想如：作高分类已知：△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC 边的长应为多少？八、具体教学建议：§18.1、勾股定理 1、勾股定理（1）定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

北京市八年级数学下册勾股定理逆定理专题讲解

勾股定理逆定理咱们一路回忆1、勾股定理逆定理2、勾股数重难点易错点解析勾股定理逆定理题一：如图，已知AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求四边形ABCD的面积．勾股数题二：以以下各组数据为边长，不能组成直角三角形的是（）A．6，8，10 B．8，15，17 C．7，24，25 D．4，5，6金题精讲题一：如图，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数．题二：以下图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成直角三角形_______个．题三：如下图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．思维拓展题一：观看以下几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41. 请寻觅规律，写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．学习提示重点：勾股定理逆定理c2=a2+b2，那么为Rt△ABC，∠C=90°勾股数（比例）：3, 4, 5；5, 12,13；7, 24, 25；8, 15, 17勾股定理逆定理讲义参考答案重难点易错点解析题一：24．考点：勾股定理逆定理：c2=a2+b2，那么为Rt△ABC，∠C=90°题二：D．考点：勾股数金题精讲题一：135°．考点：勾股定理逆定理题二：3．考点：勾股定理逆定理题三：261．考点：勾股定理逆定理思维拓展题一：11,60,61；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1．考点：勾股数。

勾股定理与逆定理例题17页PPT

领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
勾股定理与逆定理例题
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)