清华随机信号分析基础(全套课件446P)
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北大随机信号分析基础课件 3.1 随机信号通过线性系统的分析
第三章 随机信号通过线性系统3.1 随机信号通过线性系统的分析3.1.1 线性系统的基本理论设时不变线性系统的冲激响应函数为h(t)，系统输入为x(t)，输出为y(t)，且均为确知信号，则输入和输出的关系为：ττττττd t x h d t h x t h t x t y )()()()()(*)()(-=-==⎰⎰∞∞-∞∞-若)()]([),()]([),()]([ωωωH t h F Y t y F X t x F ===，则有)()()(ωωωH X Y =式中函数)(ωH 称为系统的传输函数。
卷积定理：时域卷积定理：若给定两个时间函数)(),(21t f t f ，已知)()]([),()]([2211ωωF t f F F t f F ==，则)()()](*)([2121ωωF F t f t f F =频域卷积定理：)(*)(21)]()([2121ωωπF F t f t f F =⋅3.1.2 系统的输出响应所讨论的系统是线性的、时不变的、稳定且物理可实现的。
若输入为随机信号X(t)，则线性时不变系统的输出Y(t)为：ττττττd t X h d t h X t h t X t Y )()()()()(*)()(-=-==⎰⎰∞∞-∞∞-对于物理可实现系统，当t<0时，有h(t)=0，则上式改写为ττττττd t X h d t h X t Y t)()()()()(0-=-=⎰⎰∞∞-3.1.3 系统输出的概率分布理论上，根据输入随机信号的统计特性，就能确定一个已知线性系统输出的统计特性。
一种特殊情况，当输入为高斯过程时输出也是高斯过程。
3.1.4 随机信号通过线性系统的时域分析主要讨论线性系统输出的时域数字特征。
1． 系统输出的数学期望若输入X(t)为平稳随机过程，且假设其均值为X m ，则有)0()]([)()()]([])()([)]([H m m t Y E m d h m d h t X E d t X h E t Y E X Y YX====-=-=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ττττττττ对于物理可实现系统，有ττd h m t Y E m X Y ⎰∞==0)()]([显然，系统输出随机信号的均值是常数。
《随机信号分析》课件
表示随机信号的波动范围，即信号值偏离均值的程度。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析课件
密度函数
连续型随机变量
？
连续取值而非连续型或混合
型随机变量
分布函数定义：设(S，F ，P)是一概率空间，X(s)是定义在其上的 随机变量，R1={x:-∞<x< ∞}，对于任意x∈R1，令
FX(x)=P[X≤x] 称FX(x)为随机变量X的分布函数。
按分布函数的定义，当a<b时， P[a＜X≤b]如何用分布函数表示？
P[B|A]=P[B] P[A∩B]=P[A]P[B]
两个事件的独立性 具有相互对称性质
P[A|B]=P[A]
在概率独立性的定义中，一般是使用乘积公式，即 概率范畴的
P[A∩B]=P[A]P[B] 注意：互斥事件与统计独立的区别。
统计独立---- P[A∩B]=P[A]P[B]
概念 集合范畴的
概念
互斥----A∩B=φ ，P[A∩B]=P[φ]
几何概率的基本性质：
1 0P[A]1
2
P[S] 1
3
Pkn1
Ak
n k1
P
Ak
1.1.3 统计概率
f (n) A
nA n
事件频率的性质：
1Leabharlann 0f (n) A1
2
f (n) S
1
n
3
(n )
(n )
f f n Ai
Ai i 1
i 1
几种概率共有的基本性质：
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 } 1 0 . 9 4- 4 0 8 0 0 0 3 . 0 9 0 . 9 0 ， 98 2
随机信号分析基础(第3版)
随机信号的频域描述
01
02
03
频域描述
通过傅里叶变换将时间域 的随机信号转换为频域表 示，揭示信号的频率成分 和频率特性。
频域特性
描述随机信号在不同频率 下的振幅和相位变化，以 及信号的频率范围和带宽 。
频域分析的应用
用于信号的调制、滤波、 频谱分析和信号处理等领 域。
随机信号的功率谱密度
功率谱密度定义
性。
学习目标
掌握随机信号的基本概念 、统计特性和分析方法。
学习信号处理的基本原理 和技术，包括滤波、谱分 析和调制解调等。
理解随机过程的基本理论 和应用。
熟悉随机信号分析在通信 、雷达、声呐等领域的应 用。
02
CATALOGUE
随机信号的基本概念
随机信号的定义
01
随机信号是一种随时间变化的信 号，其取值在每个时间点上是随 机的，即无法提前预测。
随机信号的时域表示
随机信号在时间轴上的变化规律可以 用实数序列表示，通常采用离散时间 序列或连续时间信号。
随机信号的特性
包括均值、方差、偏度和峰度等统计 特性，以及信号的波形、幅度和频率 等时域特征。
随机信号的均值和方差
均值
随机信号的均值是信号所有可能取值的平均值，反映了信号 的“中心”位置。
方差
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、共轭性、对称性等，这些性质在信号处 理中具有重要应用。
傅里叶变换的应用
在通信、雷达、声学等领域中，通过傅里叶变换分析信号的频率成 分，实现信号的滤波、调制和解调等操作。
随机信号的拉普拉斯变换和Z变换
拉普拉斯变换
将时域的随机信号转换为复平面 上的函数，用于分析信号的稳定 性及系统函数的极点和零点等。
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
《随机信号分析基础》课件第6章
RY RYˆ RYˆY RˆY RYYˆ RˆY
代入上式中， 并化简为
RAc t,t RAc RY cos0 RˆY sin0
(6-38)
同理有
RAs t,t RAs RY cos0 RˆY sin0
（6-39）
因此
当τ=0时有
RAc RAs
即
RAcAs t,t+ =RAcAs = RY sin0 +RˆY cos0（6-44）
上式表明， Ac(t)和As(t)是联合广义平稳的。
F cos
0t
1 2
F
e j0te j
e j0te j
π 0 e j 0 ej
F H cos 0t jπ sgn 0 e j 0 ej
jπ 0
jπ
0
e
e j j ,
,
>0 <0
所以
H［cos(ω0t+φ)］=F－1［F［H［cos(ω0t+φ)］］］ =sin(ω0t+φ)
图6-2 希尔伯特滤波器的传输函数
例6.1 随机信号X(t)=acos(ω0t+Θ)， 其中a, ω0为常量， Θ 是服从(0, 2π)均匀分布的随机变量， 把此信号作为希尔伯特滤 波器的输入， 求输出信号Y(t)的平稳性及总平均功率。
解 由例3.2知， 随机信号X(t)为广义平稳信号， 且有
mX 0,
(6-9)
H［·］表示希尔伯特正变换相当于做两次π/2的相移， 即π的相移， 使信号
反相。
性质2
H cos0t sin 0t
（6-10）
H sin 0t cos0t
(6-11)
例6.2 试求cos(ω0t+φ)的希尔伯特变换。 解 cos(ω0t+φ)
《随机信号分析基础》课件
频域分析方法
傅里叶变换
傅里叶变换将信号从时域转换为频域，显示信号在 不同频率上的能量分布。
功率谱密度估计
通过对信号进行功率谱密度估计，可以分析信号在 不同频率上的能量分随机信号
图像处理中的随机信号
随机信号在通信系统中有着重要 的应用，如随机噪声与调制信号。
随机信号在图像处理中被用于增 强图片细节、降低噪声等方面。
为什么学习信号与系统？
信号与系统是电气工程的基础，它涉及到广泛 的应用领域，如通信、控制、图像处理等。
随机过程概述
什么是随机过程？
随机过程是一类随机变量的集 合，它在不同时间点上产生随 机数值，描述了具有随机性的 系统或现象。
随机过程的特点
随机过程具有不可预测性、不 确定性和非平稳性等特点，需 要进行概率统计的建模与分析。
自然界中的随机信号
自然界中的一些现象，如气象数 据和地震信号等，可以用随机信 号进行建模与分析。
分布情况，用于频域分析与滤波设计。
时域分析方法
1 傅里叶级数展开
傅里叶级数展开是一种将 周期信号分解为多个正弦 函数或余弦函数的方法。
2 自相关函数计算
通过计算信号的自相关函 数，可以分析信号在不同 时刻上的相关性。
3 时域滤波
时域滤波是指对信号的幅 度或相位进行调整以实现 信号的变换或去除杂散分 量。
《随机信号分析基础》 PPT课件
本课件将介绍《随机信号分析基础》的主要内容，包括信号与系统简介、随 机过程概述、随机信号定义与分类、常见随机信号的特性分析、时域分析方 法、频域分析方法以及应用示例。
信号与系统简介
什么是信号与系统？
信号与系统研究的是电气工程中信号的产生、 传输与处理，以及系统对信号的描述与分析。
第一章-1--随机信号分析基础
随机信号分析基础
§1 随机信号分析基础
随机过程部 1.3 1.4 1.5 1.6
随机信号 随机信号的统计描述 平稳随机信号 统计特征估计的质量平价 随机信号的功率谱 白噪声信号与谐波信号
1.1 随机信号
随机信号的概念 随机信号的定义 随机信号举例 随机信号的分类
x 2 p( x, t )dx
D X (t) E{[X(t) m X (t)]2 }
[ x mX (t )]2 p( x, t ) dx
2 或表示为：D x (t) E{X (t)} [ x mx (t )]2 p ( x, t )dx
其中
X(t) X(t) m X ( t) 称“中心化随机变量”
举例： 求两个随机数据序列的协方差
随机信号间的 “独立、不相关及正交关系”
如果 X(t)、Y(t) 统计独立，则有:
pxy （x,y;t1,t 2） p（ ;t1 )py(y;t 2） x x
mx E{X} xi pi ( x) 或：mx (n) E{X(n)} xi (n) pi ( x)
i 1 i 1
k
k
均值与概率密度有关，均值仅对长期（或大量）观察才有意义。
均值函数（数学期望）
对于连续时间函数 ：
mx (t) E{X(t)}
xp( x, t )dx
两者均表示随机信号在时刻 t 对于均值的平均偏离程度
均方函数与方差函数
X1(t)
X2(t)
t
t
方差函数：
2 DX (t) E{[X(t) mX (t)]2} ( X (t) var{x(t)})
§1 随机信号分析基础
随机过程部 1.3 1.4 1.5 1.6
随机信号 随机信号的统计描述 平稳随机信号 统计特征估计的质量平价 随机信号的功率谱 白噪声信号与谐波信号
1.1 随机信号
随机信号的概念 随机信号的定义 随机信号举例 随机信号的分类
x 2 p( x, t )dx
D X (t) E{[X(t) m X (t)]2 }
[ x mX (t )]2 p( x, t ) dx
2 或表示为：D x (t) E{X (t)} [ x mx (t )]2 p ( x, t )dx
其中
X(t) X(t) m X ( t) 称“中心化随机变量”
举例： 求两个随机数据序列的协方差
随机信号间的 “独立、不相关及正交关系”
如果 X(t)、Y(t) 统计独立，则有:
pxy （x,y;t1,t 2） p（ ;t1 )py(y;t 2） x x
mx E{X} xi pi ( x) 或：mx (n) E{X(n)} xi (n) pi ( x)
i 1 i 1
k
k
均值与概率密度有关，均值仅对长期（或大量）观察才有意义。
均值函数（数学期望）
对于连续时间函数 ：
mx (t) E{X(t)}
xp( x, t )dx
两者均表示随机信号在时刻 t 对于均值的平均偏离程度
均方函数与方差函数
X1(t)
X2(t)
t
t
方差函数：
2 DX (t) E{[X(t) mX (t)]2} ( X (t) var{x(t)})
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
清华现代信号课件第1章—随机信号
2012-8-24 信号处理
互相关
rxy ( n1 , n 2 ) E [ x ( n1 ) y ( n 2 )]
*
联合宽平稳有 互相关系数
rxy ( k ) E [ x ( n ) y ( n k )]
*
xy ( k )
r
r xy ( k ) (0 ) ry (0 ) x
信号处理
平稳随机过程：联合概率密度函数与起始时间无关 宽平稳（二阶） 宽平稳和严格平稳 的关系？
(n )
r ( n , n k ) r ( n 1 , n 2 ) r ( n1 n 2 ) r ( k )
相关函数的性质
r (0 ) | r ( k ) |
r ( k ) r * (k )
2012-8-24
信号处理
v(n)
v(n-1)
v(n-2)
v(n-q)
z-1
z-1
b*(0)=1
b*(1)
b*(2)
b*(q)
u(n)
a*(p)
a*(2)
a*(1)
z-1
u(n-p) u(n-2)
R E [ xx
H
T
]
r ( 1), r ( 0 ), r ( M 2 ), r ( 2 ), r ( 1), r ( M 1), r ( M 2) r (0)
r ( 0 ), r (1), R r ( M 1),
（5）对时间（空间）–––频率关系的适应性：
全局特性与局域特性，小波变换，时频分析
2012-8-24
信号处理
教材
张旭东，陆明泉：现代数字信号处理导 论（上、下册），2004年电子工程系 电子工程系教学办公室管敏华老师处购 买。
互相关
rxy ( n1 , n 2 ) E [ x ( n1 ) y ( n 2 )]
*
联合宽平稳有 互相关系数
rxy ( k ) E [ x ( n ) y ( n k )]
*
xy ( k )
r
r xy ( k ) (0 ) ry (0 ) x
信号处理
平稳随机过程：联合概率密度函数与起始时间无关 宽平稳（二阶） 宽平稳和严格平稳 的关系？
(n )
r ( n , n k ) r ( n 1 , n 2 ) r ( n1 n 2 ) r ( k )
相关函数的性质
r (0 ) | r ( k ) |
r ( k ) r * (k )
2012-8-24
信号处理
v(n)
v(n-1)
v(n-2)
v(n-q)
z-1
z-1
b*(0)=1
b*(1)
b*(2)
b*(q)
u(n)
a*(p)
a*(2)
a*(1)
z-1
u(n-p) u(n-2)
R E [ xx
H
T
]
r ( 1), r ( 0 ), r ( M 2 ), r ( 2 ), r ( 1), r ( M 1), r ( M 2) r (0)
r ( 0 ), r (1), R r ( M 1),
（5）对时间（空间）–––频率关系的适应性：
全局特性与局域特性，小波变换，时频分析
2012-8-24
信号处理
教材
张旭东，陆明泉：现代数字信号处理导 论（上、下册），2004年电子工程系 电子工程系教学办公室管敏华老师处购 买。
随机信号分析课件
互相关函数的值越大，说明两个信号 越相似。
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
清华随机信号分析基础课件CH6带通随机过程课件
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6.3 带通信号与调制
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6.3 带通信号与调制
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6.3 带通信号与调制
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6.3 带通信号与调制
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6.3 带通信号与调制
R iq ( ) R q i() R iq ()
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6.2 复（值）随机信号
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6.2 复（值）随机信号
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6.2 复（值）随机信号
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6.2 复（值）随机信号
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6.2 复（值）随机信号
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6.2 复（值）随机信号
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6.1解析信号希尔伯特变换与
H[f(t)cos0t]f(t)sin0t 同理H[f(t)sin0t]H{H[f(t)cos0t]} f(t)cos0t
f(t)cosω0t f(t)
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6.1希尔伯特变换与解析信号
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6.1希尔伯特变换与解析信号
0 2
2x2 2
2
0
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6.4 窄带高斯信号
fr (r;t)
f
( ;t)
r
2
2 x
e
r2
2
2 x
fr (r, ;t, t)
同一时刻，r(t)与 (t)独立.
《随机信号分析基础》课件第3章
解 由例3.5易证明X(t)和Y(t)是各自广义平稳的。
RXY t,t E X t Y t E Acost B sin tAcos 2t B sin 2t
E A2 cost cos 2t AB cost sin 2t ABsin t cos 2t B2 sin t sin 2t
令Δt=－t1， 且τ=t2－t1， 则式（3-2）变为
fX(x1, x2; t1, t2)=fX(x1, x2; t1+Δt, t2+Δt) =fX(x1, x2; 0, t2－t1)=fX(x1, x2; τ)
(3-7)
严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下： 自相关函数（见图3-4）
RX t1,t2 E X t1 X t2
tn+Δt, t1′+Δt, t2′+Δt, …, tm′+Δt) (3-14)
联合严格平稳性的性质为： X(t)与Y(t)的二维联合概率 分布或密度函数只与选取两个时刻的差值有关。
FXY(x, y; t1, t2)=FXY(x, y; t1+Δt, t2+Δt)=FXY(x, y; τ), τ=|t1－t2| (3-15)
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
E X t =E Acos0t+B sin 0t = cos0t E A+ sin 0t E B=0=mX
RX t,t+ =E X t X t+
=E Acos0t+B sin 0t Acos0 t+ +B sin 0 t+
3.1.3
1. 若随机信号X(t)与Y(t)的任意n+m维联合概率分布函数具 有下述的时移不变性： FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1, t2, …, tn, t1′, t2′, …, tm′) =FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1+Δt, t2+Δt, …,tn+Δt,
RXY t,t E X t Y t E Acost B sin tAcos 2t B sin 2t
E A2 cost cos 2t AB cost sin 2t ABsin t cos 2t B2 sin t sin 2t
令Δt=－t1， 且τ=t2－t1， 则式（3-2）变为
fX(x1, x2; t1, t2)=fX(x1, x2; t1+Δt, t2+Δt) =fX(x1, x2; 0, t2－t1)=fX(x1, x2; τ)
(3-7)
严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下： 自相关函数（见图3-4）
RX t1,t2 E X t1 X t2
tn+Δt, t1′+Δt, t2′+Δt, …, tm′+Δt) (3-14)
联合严格平稳性的性质为： X(t)与Y(t)的二维联合概率 分布或密度函数只与选取两个时刻的差值有关。
FXY(x, y; t1, t2)=FXY(x, y; t1+Δt, t2+Δt)=FXY(x, y; τ), τ=|t1－t2| (3-15)
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
E X t =E Acos0t+B sin 0t = cos0t E A+ sin 0t E B=0=mX
RX t,t+ =E X t X t+
=E Acos0t+B sin 0t Acos0 t+ +B sin 0 t+
3.1.3
1. 若随机信号X(t)与Y(t)的任意n+m维联合概率分布函数具 有下述的时移不变性： FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1, t2, …, tn, t1′, t2′, …, tm′) =FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1+Δt, t2+Δt, …,tn+Δt,
北大随机信号分析基础课件1.6随机变量的特征函数
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特征函数在随机变量变换中的性质
01 特征函数具有平移不变性，即随机变量平移后， 其特征函数也相应平移。
02 特征函数具有旋转不变性，即随机变量旋转后， 其特征函数保持不变。
03 特征函数具有缩放不变性，即随机变量缩放后， 其特征函数也相应缩放。
06
总结与展望
特征函数在随机信号分析中的重要性
描述随机信号的统计特性
随机信号的表示
离散时间随机信号
由随机变量序列表示，每个随机变量具有确定的概率分布。
连续时间随机信号
由随机过程表示，每个时间点上的信号值具有确定的概率分布。
随机信号的参数
均值、方差、偏度和峰度等统计参数描述了随机信号的基本特性。
随机信号的统计特性
概率密度函数
描述随机信号在各个时刻取值的概率分布情况。
概率累积分布函数
描述随机信号在各个时刻取值小于或等于某一值 的概率。
特征函数
通过傅里叶变换将概率密度函数转化为频域表示， 便于分析信号的频谱特性。
特征函数在信号处理中的应用
信号滤波
利用特征函数分析信号频谱特性，通过滤波器对信号进行滤波处理， 提取所需频率成分。
信号调制与解调
利用特征函数分析信号的相位和频率信息，实现信号的调制与解调。
随机变量的特征函数
• 引言 • 特征函数的定义和性质 • 特征函数在随机信号分析中的应用 • 特征函数的计算方法 • 特征函数与随机变量的关系 • 总结与展望
01
引言
什么是特征函数？
• 特征函数是概率论和随机过程领域中的一个重要概念，它 是一种描述随机变量或随机过程特性的复数函数。特征函 数的主要特点是它可以完全确定一个随机变量或随机过程 的概率分布。
清华随机信号分析基础课件CH4各态历经性与随机模拟
2T 2T
(1
2 ) R X ( ) m X d 2T
lim
T
T 0
R X ( ) d 0
0
R X ( ) d
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4.1 各态历经性
3、广义各态历经（遍历性）
默认为“各态历经”
D [ X ( ,s)]= 0
lim
2T 2T
T
2T
lim 0
a
T
2 0
s in ( 2 T 0 ) s in ( 2 T 0 )
有界
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4.1 各态历经性
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4.1 各态历经性
即
T
lim
1 2T
T T
C X ( ) d lim
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4.1 各态历经性
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4.1 各态历经性
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4.1 各态历经性
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2
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4.1 各态历经性
lim
1 4T
2
T
T
T
T T
c ( t1 , t 2 ) d t1 d t 2
X(t)平稳
T
lim
1 4T
2
T
T
T T
c ( t1 t 2 ) d t1 d t 2
令 即
t 1 +t 2 =u , 2 t1 u ,
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
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1.3 随机变量的函数
瑞利分布
莱斯分布
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.5 特征函数
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1.5 特征函数
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1.5 特征函数
i
1,
2, ...
X(t,s1) X(t,s2)
X (tk , s) X (tL , s)
tk
tL
…
X(t,si)
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2.1 定义与基本特性
随机信号分类： （i）若 X(t,s)取值连续，时间t离散，则称
X(t,s) 为连续随机序列。
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.1 概率公理与随机变量
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1.1 概率公理与随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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2.1 定义与基本特性
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2.1 定义与基本特性
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2.1 定义与基本特性
1、随X机(t信 , s)号
确定样本函数集合
X (t, si ), i
1, 2,...
2、随X机(t信 , s)号
随机变量集合
X
(ti
,
s),
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.4 数字特征与条件数学期望
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2.1 定义与基本特性
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2.1 定义与基本特性
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2.1 定义与基本特性
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2.1 定义与基本特性
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1.5 特征函数
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1.5 特征函数
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第1章 概率论基础
1.1 概率公理与随机变量 1.2 多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数 1.6 典型分布 1.7 随机变量的仿真与实验
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1.1 概率公理与随机变量
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随机信号分析
第1章 概率论基础
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第1章 概率论基础
本章将复习与总结概率论的基本知识 也扩充一些新知识点，比如：
1) 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的 概率密度函数，
2) 随机变量的条件数学期望 3) 特征函数 4) 瑞利与莱斯分布 5) 随机变量的基本实验方法
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1.5 特征函数
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随机信号分析
第2章 随机信号
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第2章 随机信号
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第2章 随机信号
2.1 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号