整式的乘法与因式分解知识点

整式乘除与因式分解

一．知识点 （重点）

1．幂的运算性质：

a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

例：(－2a )2(－3a 2)3

2．()n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

例： (－a 5)5

3．

()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．

例：(－a 2b )3

练习：

（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅

（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(63

1ac c b a b a -⋅⋅

4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．

例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2

（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )2

5．零指数幂的概念：

a 0＝1 （a ≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．

例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？

6．负指数幂的概念：

a －p ＝p a 1

（a ≠0，p 是正整数）

任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数

幂的倒数． 也可表示为：p

p n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()2

1(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 2

1)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23

22 9．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）

2)2n m +-（ 练习：

1．计算2x 3·(－2xy)(－12

xy) 3的结果是

2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为

4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是

5．－[－a 2(2a 3－a)]＝

6．(－4x 2＋6x －8)·(－12

x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝

8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝

9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝

10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12

x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝ 11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为 ，体积为 。

12．一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是

，若将长方

形的长和都扩大了2cm ，则面积增大了

。 10．单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3

11．多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

例： 练习：

1．计算：

（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ； （3）()()26416b a b a -÷-． （4）()()3

22324n n xy y x -÷ （5）()()39102104⨯-÷⨯

2．计算：

（1）3

3233212116⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅÷xy y x y x ； （2）32232512152⎪⎭

⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛xy y x y x （3）22221524125⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n b a b a b a 3．计算：

（1）()()[]()()[]

234564y x x y y x y x +⋅-÷+-； （2）()()[]()()[]2

35616b a b a b a b a -+÷-+． 4.若 (ax 3my 12)÷(3x 3y 2n )=4x 6y 8 , 则 a = , m = ,= ;

易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；

有关多项式的乘法计算出现错误；

xy xy y x 6)63()

1(2÷-)

5()15105()2(3223ab ab b a b a -÷--