中考数学一轮复习二次根式

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2024中考数学一轮复习专题精练专题04 二次根式(学生版)

知识点01：二次根式的基本性质与化简【高频考点精讲】1．二次根式有意义的条件（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。

2．二次根式的基本性质（1）≥0；a≥0（双重非负性）。

（2）（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。

（3）＝a＝3．二次根式的化简（1）利用二次根式的基本性质进行化简。

（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。

＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知识点02：同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。

2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。

①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。

知识点03：二次根式混合运算与化简求值【高频考点精讲】1．二次根式的混合运算顺序：先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。

3．二次根式的运算结果要化为最简二次根式。

四、二次根式的应用【高频考点精讲】二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念，性质和运算方法。

检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.61一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•西宁）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．（2分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．×＝C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．|m|＝m5．（2分）（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣16．（2分）（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠27．（2分）（2023•内蒙古）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（2分）（2023•内蒙古）下列运算正确的是（）A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6C．+＝D．÷＝9．（2分）（2021•荆门）下列运算正确的是（）A．（﹣x3）2＝x5B．＝xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+110．（2分）（2020•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•哈尔滨）计算的结果是．12．（2分）（2022•济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（2分）（2021•哈尔滨）计算﹣2的结果是．14．（2分）（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为．15．（2分）（2023•池州模拟）要使式子有意义，则x的取值范围为．16．（2分）（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．17．（2分）（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）18．（2分）（2023•临汾模拟）计算：＝．19．（2分）（2023•锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为．20．（2分）（2023•大同模拟）计算（）（）的结果等于．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•陕西）计算：．22．（6分）（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．23．（8分）（2023•龙岩模拟）（1）计算：；（2）解不等式组：．24．（8分）（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）25．（8分）（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．26．（8分）（2023•晋城模拟）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．＝，＝＝＝3+像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．任务：（1）的有理化因式；﹣2的有理化因式是．（2）写出下列式子分母有理化的结果：①＝；②＝．（3）计算：+……+．27．（8分）（2023•晋城模拟）问题：先化简，再求值：2a+，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+＝2a+……（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a+＝6+＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．28．（8分）（2023•天山区校级模拟）计算：（1）；（2）．。

考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点03 二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式【易错警示】1．下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为　±　．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（）A．5B．﹣5C．D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，则a +b 的值是（）A ．B ．+1C ．﹣1D ．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，∴（a +）2+|b ﹣1|＝0，∴a +＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣，b ＝1，∴a +b ＝+1．故选：B ．5．已知n 是一个正整数，且是整数，那么n 的最小值是（）A ．6B ．36C ．3D ．2【分析】先把＝2，从而判断出6n 是完全平方数，所以得出答案正整数n 的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n 是完全平方数，∴正整数n 的最小值是6，故选：A ．2..同类二次根式与最简二次根式【易错警示】、都是二次根式。

中考数学一轮总复习第5课时二次根式(无答案) 苏科版

第5课时：二次根式【课前预习】（一）知识梳理1、平方根与立方根：①平方根定义；②算术平方根定义；③立方根定义．2、二次根式的有关概念：①二次根式定义；②最简二次根式；③同类二次根式；④分母有理化．3、二次根式的性质：①；（a ≥0）；② ()=2a （a ≥0）；③ =2a ；④ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑤ =ba （0,0>≥b a ）. 4、二次根式的运算：①二次根式的加减；②二次根式的乘除．（注意：计算结果必须是最简二次根式）（二）课前练习1、16的平方根是_ __，-27的立方根是__ _，36的算术平方根是_ _.2、当x ______x ______时，代数式x -21有意义．3、下列根式：①②③④中不是．．最简二次根式的是．4、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A C 5、已知012=-++b a ，那么2007)(b a +=__________；=-+-x x 22 ．6、化简：2)2(-= ，24= ，= ，312= ，321-= .7= ；=÷⨯263_________．8、如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是．【解题指导】例1 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？①()22+x ； ② 53--x x ； ③ xx ---512； ④ 32-+x x ； ⑤ 231--x ．例2 计算：（1）24－32＋23－2 16 ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷3232292443.例3 已知b a a b a b ==-求的值．【巩固练习】 1、下列计算正确的是（）=B 4= D 3=-2、设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（）A ．．2＝a D3、对于实数a 、b b -a ，则（）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b4、使2-x 有意义的x 的取值范围是．5、25的平方根是，()24-的算术平方根是，16的算术平方根是_______.6、16-= ，412-= ，24）（- ．7、若最简根式1+x 和y 3是同类根式，则 x y +＝______.834请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来______________________9、化简或计算：(1) -3018⨯752⨯ (2)【课后作业】班级姓名一、必做题：1、函数y =x 的取值范围是（）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x -≤D ．12x ≤22()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．33、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A B ． C D 4、 16的平方根是；函数y =自变量x 的取值范围是．5= ；= ；= ．6、当x ≤0时，化简1x -的结果是．7、有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？（只需填字母）.A ．．2E ．08小的整数 .9、对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b =b a b a -+，如3※2=52323=-+．那么12※4=10、计算：（1）（2）24616323252⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷（3)2；11、先化简再求值：33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中.o二、选做题：12的值( )A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间 D ．在4到5之间2、若x y=xy 的值是（）A ．B ．C ．m n + D．m n -3、实数,,a b ca －b │．4、若y ＝3x －6＋6－3x ＋x 3，则10x ＋2y 的平方根为________；5、已知||6－3m ＋(n －5)2＝3m －6－（m －3）n 2，则m －n ＝________．6、计算12121...571351131-+++++++++n n .7、已知：a ＝12＋3，求a 2－1a ＋1－a 2－2a ＋1a 2－a 的值．。

专题04二次根式的核心知识点精讲(讲义)(原卷版)中考数学一轮复习

专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。

中考数学一轮复习：二次根式的概念

中考复习之二次根式的概念知识考点：数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，二次根式是初中代数的重要基础，应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。

精典例题：【例1】填空题：（1）()23-的平方根是；16的算术平方根是；25-的算术平方根是；38的立方根是。

（2）若22-是a 的立方根，则a ＝；若b 的平方根是±6，则b ＝。

（3）若x 21-有意义，则x ；若321-x 有意义，则x 。

（4）若02=+m m ，则m ；若()13312-=-a a ，则a ；若12-=aa ，则a ；若()111--+x 有意义，则x 的取值范围是；（5）若x -2有意义，则()22x -＝。

（6）若a ＜0，则a a -2＝；若b ＜0，化简b a b ab a 32+＝。

答案：（1）3±，2，51，32；（2）42-，6；（3）x ≤21，x ≠2；（4）m ≤0，a ≥31，a ＜0，x ≥－1且x ≠0；（5）x -2；（6）a 2-，ab ab 2-【例2】选择题： 1、式子1313--=--x x x x 成立的条件是（） A 、x ≥3 B 、x ≤1 C 、1≤x ≤3 D 、1＜x ≤32、下列等式不成立的是（）A 、()a a =2B 、a a =2C 、33a a -=-D 、a aa -=-1 3、若x ＜2，化简()x x -+-322的正确结果是（）A 、－1B 、1C 、52-xD 、x 25-4、式子3ax --（a ＞0）化简的结果是（）A 、ax x -B 、ax x --C 、ax xD 、ax x -答案：DDDA【例3】解答题：（1）已知51=-a a ，求aa 1-的值。

（2）设m 、n 都是实数，且满足224422-+-+-=m m m n ，求mn 的值。

分析：解决题（1）的问题，一般不需要将a 的值求出，可将51=-a a 等式两边同时平方，可求得31=+a a ，再求41122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 的值，开方即得所求代数式的值；题（2）中，由被开方数是非负数得2±=m ，但分母02≠-m ，故2-=m ，代入原等式求得n 的值。

2022-2023年数学中考第一轮复习-专题二二次根式

专题二：二次根式1：考向解读1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．2．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、的化简与运算（分母有理化）．2：导图导学3：考点数的乘方负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．这样的二次根式叫做最简二次根式．（3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．二次根式的运算二次根式的性质：0(0)a a≥≥，2()(0)a a a=≥．2(0),||(0)a aa aa a≥⎧==⎨-<⎩．(0,0)ab a b a b=⋅≥≥．(0,0)a aa bb b=≥>．4：解题技巧化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。

（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

常见二次根式化简求值的九种技巧一、估算法二、公式法三、拆项法四、换元法五、整体代入法六、因式分解法七、配方法八、辅元法九、先判后算法考点1：二次根式有意义的条件 1．（2022•衡阳）如果二次根式1a -有意义，那么实数a 的取值范围是( ) A ．1a > B ．1a C ．1a < D ．1a 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围．【解答】解：由题意得：10a -， 1a ∴，故选：B ． 2．（2022•日照）若二次根式32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 32x ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：320x -，解得：32x ，故答案为：32x．举一反三1．（202236x -x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：360x -，2x ∴，故选：D ．2．（2022•广州）代数式11x +有意义时，x 应满足的条件为( ) A ．1x ≠- B ．1x >- C ．1x <- D ．1x - 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式11x +有意义时，10x +>，解得：1x >-．故选：B ． 3．（2022•常州）若二次根式1x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x B ．1x > C ．0x D ．0x > 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：10x -，据此求出实数x 的取值范围即可．【解答】解：二次根式1x -有意义， 10x ∴-，解得：1x ．故选：A ．考点二：二次根式的定义1．（2022秋•二道区校级期中）下列式子中，不是二次根式的是( )A ．3B ．0.6C ．12D ．3π-【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：3，0.6，1为二次根式，2而30π-<，所以3π-不是二次根式．故选：D．2．（2022春•泸县校级期中）下列式子中是二次根式的是()A．x B．3-C．2-D．38【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A选项，x缺少条件0x，当0x<时，x不是二次根式，故该选项不符合题意；B选项，30-<，故该选项不符合题意；>，故该选项符合题意；C选项，20D选项，38是三次根式，故该选项不符合题意；故选：C．举一反三1．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是()A a B21a+C32D2-【分析】(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．当0a<aa+B21C32是三次根式，故此选项不合题意；D2-故选：B．2．（2022秋•宛城区校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．4-B．21x+x-C．32a D．21【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．x的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；C．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．3．（2022秋•榆树市月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．3-B．32a C．22a+D．29a-【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．3-，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B．32a，三次根式，故此选项不合题意；a+，是二次根式，故此选项符合题意；C．22a-，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；D．29故选：C．考点三：考向3 二次根式的性质与化简1．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则22-+-等于((3)(7)m m)A．210-C．10D．4m-B．102m【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：2、5、m是某三角形三边的长，5252m ∴-<<+，故37m <<， ∴22(3)(7)m m -+- 37m m =-+- 4=．故选：D ． 2．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简22|1|(1)()a b a b +--+-= 2 ．【分析】根据数轴可得：10a -<<，12b <<，然后即可得到10a +>，10b ->，0a b -<，从而可以将所求式子化简．【解答】解：由数轴可得，10a -<<，12b <<，10a ∴+>，10b ->，0a b -<，22|1|(1)()a b a b ∴+--+-1(1)()a b b a =+--+-11a b b a =+-++-2=，故答案为：2．举一反三1．（2022•内蒙古）实数a 21|1|a a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -【分析】根据数轴得：01a <<，得到0a >，10a -<||a =和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：01a <<，0a ∴>，10a -<，∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．2．（2022( )A ．B ．3C ．D ．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为．【解答】===故选：A ．3．（2022•河北）下列正确的是( )A23=+ B 23⨯ C 23= D 0.7【分析】A 0,0)a b 判断B 选项；根据||a 判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D 选项．【解答】解：A 、原式=B 、原式23=⨯，故该选项符合题意；C 、原式29，故该选项不符合题意；D 、20.70.49=，故该选项不符合题意；故选：B ．考点4：最简二次根式1．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是( ) A ．19 B ．4 C ．2a D ．a b + 【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【解答】解：11.93A =，不是最简二次根式； .42B =，不是最简二次根式； 2.||C a a =，不是最简二次根式； .D a b +，是最简二次根式．故选：D ． 2．（2022•杭州）计算：4= ；2(2)-= ．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：42=，2(2)4-=，故答案为：2，4．举一反三1．（2022秋•忻州月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )A 12B 3C 12D 2a 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A 124323⨯=，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；B 3是最简二次根式，本选项符合题意；C 122=D 2||a a =，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；故选：B ．2．（2021•益阳）将452化为最简二次根式，其结果是( ) A ．452 B ．902 C ．9102 D ．3102 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：459523102222⨯⨯==⨯，故选：D ． 3．（2022秋•永春县期中）下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．13 B ．18 C ．7 D ．12 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【解答】解：13.33A =，因此13不是最简二次根式，所以选项A 不符合题意； .1832B =，因此18不是最简二次根式，所以选项B 不符合题意；.7C 是最简二次根式，因此选项C 符合题意；.1223D =，因此12不是最简二次根式，所以选项D 不符合题意；故选：C ．考点5：二次根式的乘除法1．（2022•山西）计算：1182⨯的结果为．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式93==．故答案为：3．2．（2022•衡阳）计算：28⨯= ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式28164=⨯==．故答案为：4举一反三1．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( ) A 1822=± B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 1822，故A 不符合题意； B 、222()2m n m mn n +=++，故B 不符合题意；C 、21221xx x x x--=--，故C 不符合题意； D 、2229332y x xy x y-÷=-，故D 符合题意；故选：D ．2．（202211622正确的是( ) A ．4B ．2C 7D ．2±【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：原式11622=÷⨯4=2=．故选：B ．3．（202223= ．【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【解答】236= 6．考点61．（2021•潍坊）下列运算正确的是( ) A ．2211()24a a a -=-+ B ．1221()a a --=C ．33a ab b-=- D ．623=【分析】根据完全平方公式判断A ，根据负整数指数幂判断B ，根据分式的基本性质判断C ，根据二次根式的除法判断D ．【解答】解：A 选项，原式214a a =-+，故该选项正确；B 选项，原式122211()()a a a-===，故该选项正确；C 选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3，故该选项错误；D 选项，原式2=，故该选项错误；故选：AB ．2．（2021•娄底）计算：0111(2021)()2cos45221π--++-︒+．【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式222121222(2)1-=++-⨯- 12122=+-+-2=．举一反三1．（2022秋•嘉定区月考）下列结论正确的是( ) A 22a b +是最简二次根式 B x y -x y + C 2(12)12-D a ba b-=+【分析】根据最简二次根式的定义，有理化因式的定义，不等式的解法即可得到结论．【解答】解：A 是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；BC 1，故本选项错误，不符合题意；D=故选：A ．2．（2022•信阳二模）下列式子运算正确的是( ) A ．632a a a ÷= B ．22(2)4a a =C 1=D ．22()(2)2x y x y x y -+=+【分析】根据整式运算相关的法则和分母有理化逐项判断．【解答】解：632a a ÷=，故A 错误，不符合题意；22(2)4a a =，故B 正确，符合题意；1，故C 错误，不符合题意；22()(2)2x y x y x xy y -+=+-，故D 错误，不符合题意；故选：B ．3．（2022春•孝义市期末）下列是最简二次根式的是( )AB C D 【分析】根据最简二次根式的定义解决此题．【解答】解：A 不是最简二次根式，那么A 不符合题意．B 不是最简二次根式，那么B 不符合题意．C ．根据最简二次根式的定义，C 不符合题意．D．根据最简二次根式的定义，15是最简二次根式，那么D符合题意．故选：D．考点7：同类二次根式1．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() A．8与3B．2与12C．5与15D．75与27【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．【解答】解：A、822=和3不是同类二次根式，本选项不合题意；B、1223=与2不是同类二次根式，本选项不合题意；C、5与15不是同类二次根式，本选项不合题意；D、7553=是同类二次根式，本选项符合题意．=，2733故选：D．2．（2020•上海）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A．6B．9C．12D．18【分析】根据同类二次根式的定义解决此题．【解答】解：A．根据同类二次根式的定义，6与3不是同类二次根式，那么A 不符合题意．B．根据算术平方根以及同类二次根式，93=与3不是同类二次根式，那么B 不符合题意．=与3是同类二次C．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1223根式，那么C符合题意．D．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1832=与3不是同类二次根式，那么D 不符合题意．故选：C ．举一反三1．（2022秋•浦东新区校级月考）下列四组二次根式，不是同类二次根式的是( ) A 313B 850C 34x 38xD 3x 233a x 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答．【解答】解：A 、133=∴313故A 不符合题意；B 、822=5052=∴850故B 不符合题意；C 、342x x x 3822x x ，∴34x 38x故C 符合题意；D 、2333a x ax x =∴3x 233a x故D 不符合题意；故选：C ．2．（20222022m +2可以合并，则m 的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2024D ．2024-【分析】2022m +22022m +2的被开方数相同，即20222m +=．【解答】解：最简二次根式2022m +与2可以合并，则2022m +与2是同类二次根式，20222m ∴+=．解得2020m =-．故选：B ．3．（2022春•綦江区校级月考）若8和最简二次根式37m -是同类二次根式，则m 的值为( ) A ．5m =B ．2m =C ．3m =D ．6m =【分析】先把8化为最简二次根式22，再根据同类二次根式得到372m -=，然后解方程即可．【解答】解：822=，372m ∴-=， 3m ∴=．故选：C ．考点8：二次根式的加减法1．（2022•鞍山）下列运算正确的是( ) A ．2810+= B ．3412a a a ⋅= C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 、2832+=，故A 不符合题意；B 、347a a a ⋅=，故B 不符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，故C 不符合题意；D 、2336(2)8ab a b -=-，故D 符合题意；故选：D ．2．（2022•宁夏）下列运算正确的是( ) A ．220--=B ．826-=C ．3362x x x +=D ．326()x x -=【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A ．224--=-，故此选项不合题意；B ．822-=，故此选项不合题意；C ．3332x x x +=，故此选项不合题意；D ．326()x x -=，故此选项符合题意；故选：D ．举一反三1．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D 2832=【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：32232a b a b +不能合并，因为不是同类项，A 选项错误；2363(2)8a b a b -=-，B 选项也错误；2124-=，C 选项也错误； 2832=D 选项正确．故选：D ．2．（2022123( ) A 15B ．32C ．33D ．53【分析】根据二次根式的加法法则，先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：12323333+=+=．故选：C ．3．（2022秋•沈河区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2(2)2-=-B ．43331-=C ．235+=D ．1222= 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．【解答】解：2.(2)2A -=，故此选项不合题意；.43333B -=，故此选项不合题意； .23C +无法合并，故此选项不合题意；12.22222D =⨯=，故此选项符合题意；故选：D ．考点9：二次根式混合运算1．（2022•朝阳）计算：637|4|÷--= ．【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可．【解答】解：原式6374=÷-34=-1=-．故答案为：1-．2．（2022•泰安）计算：48633⋅-= ．【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．【解答】解：原式238633=⨯-⨯4323=- 23=，故答案为：23．举一反三1．（2022•安顺）估计1()(2552)5A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式210=<<，310452106∴<<，故选：B．2．（2022•湖北）下列各式计算正确的是()A235÷D236=B．43331C1226【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A23A不符合题意；B、43333，故B不符合题意；=C不符合题意；C1223D236，故D符合题意；故选：D．3．（2022•青岛）计算1的结果是()(2712)3A3B．1C5D．3【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：1(2712)3112712=⨯⨯3394=-32=-1=，故选：B ．考点10：二次根式的化简求值1．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足1228y x x =-+-+，则xy 的值是．【分析】根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．【解答】解：1228y x x =-+-+，20x ∴-，20x -，2x ∴=，18y =，则原式1112842=⨯==，故答案为：122．（2022秋•浦东新区校级月考）已知15x x-=，那么1x x+的值为．【分析】把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可．【解答】解：15x x-=，∴1x x+21()x x =+21()4x x =-+2(5)4=+54=+3=．故答案为：3．举一反三1．（2021•包头）若21x =，则代数式222x x -+的值为( ) A ．7B ．4C ．3D ．322-【分析】利用条件得到12x -两边平方得221x x -=，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：21x =+，12x ∴-2(1)2x ∴-=，即2212x x -+=，221x x ∴-=， 222123x x ∴-+=+=．故选：C ．2．（2022秋•琼山区校级月考）已知51x =时，则代数式223x x ++的值( ) A ．1B ．4C ．7D ．3【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：51x =-时，15x ∴+=2(1)5x ∴+=，2215x x ∴++=，2237x x ∴++=，故选：C ．3．（2022春•东莞市月考）若1220223x =1220223y ，则222x xy y ++的值( )A ．12B ．4C ．2022D ．8【分析】先利用x 、y 的值计算出22x y +=，再利用完全平方公式得到2222()x xy y x y ++=+，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：1220223x =+，1220223y =-， 22x y ∴+=，22222()(22)8x xy y x y ∴++=+==．故选：D ．考点11：二次根式的应用1．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，在长方形中放入面积分别为32和18的正方形m 和正方形n ，则图中阴影部分的周长为．【分析】先根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长，再根据图形求得阴影部分的长与宽，最后根据矩形的周长公式求得结果．【解答】解：根据题意得，2(321818)⨯-+242=⨯ 82=，故答案为：82．2．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于．【分析】由周长可得出两直角边的关系，再利用勾股定理列出另一方程求出两直角边之积进而求得三角形的面积．【解答】解：设两直角边长分别为x ，y ；则22443216x y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，解得1xy =．故这个三角形的面积为1122xy =，故答案为：12．举一反三1．（20221250的周长为( ) A ．23102B ．4352C ．43102D ．4352或23102【分析】分腰长为1250关系进行验证，可求得其周长．【解答】12121250，不满足三角形的三边关系；50125050系，此时周长为23102综上可知，三角形的周长为23102 故选：A ．2．（2022•雄县校级开学）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为29cm 和28cm 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )A ．21)cmB ．21cmC ．26)cmD ．28)cm【分析】根据HLFG MCEF S S S =+矩形矩形空白部分，需求HC 以及LM ．由题意得()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228LMEF S LM LF MF cm ====正方形，故3HC cm =，)LM LF MF cm ===，进而解决此题．【解答】解：如图所示：由题意知：()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228HCDG S LM LF ME cm ====正方形．3()HC cm ∴=，)LM LF MF cm ===．HLFG MCDE S S S ∴=+矩形矩形空白部分HL LF MC ME =⋅+⋅ HL LF MC LF =⋅+⋅()HL MC LF =+⋅ ()HC LM LF =-⋅(3=-⨯2)cm =．故选：D ．3．（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为26cm 和215cm 的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为( )A．2B．221cm C．2D．2【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个小正方形的面积即可得出答案．【解答】解：两个小正方形的面积为15和6，∴，+=--∴阴影部分的面积26151526615=+--2)cm=，故选：A．专题二：练习一．选择题1．（2022秋•榆树市期中）下列计算正确的是( ) ABCD 3-2．（2022秋•恩阳区月考）x ( ) A ．1.5B ．1-C ．3-D ．9-3．（2022秋•新蔡县校级月考）已知x 、y 为实数，且1y =，则x y +的值是( ) A ．2022B ．2023C ．2024D ．20254．（2022秋•文山市校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( )AB C D 5．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式计算正确的是( ) A=B = C=D 6．（2022秋•汝州市校级月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．B C ．D 7．（2022秋•泌阳县校级月考）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是()A ．1x ≠B ．0xC ．1x -D ．0x 且1x ≠-8．（2022秋•泌阳县校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) ABC D9．（2022秋•宛城区校级月考）下列根式中为最简二次根式的是( )AB C D 10．（2022秋•泌阳县校级月考）下列运算正确的是( ) AB ．2C D 11．（2022秋•渝中区校级月考）下列计算正确的是( )A3-B 2=C 123D ．2(10-=12．（2022秋•邓州市校级月考）已知ABC ∆的面积为212cm ，底边为，则底边上的高为( )A ．B ．C D ．13．（2022秋•邓州市校级月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是( )ABC D14．（2022秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点表示的数为x ，则x +( )A ．1B ．1C 1D ．215．（2022秋•安溪县校级月考）已知y =，则20202021()()x y x y +-的值为( ) A ．2B ．2C ．1-D ．116．（2022秋•安溪县校级月考）下列计算正确的是( )A2=-B ．26=C D ．=17．（2022秋•西安月考）下列计算中正确的是( ) A=B ．1C 8D18．（2022( ) A ．2BC D 19．（2022春•重庆月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )AB C D 0)a >20．（2022秋•禅城区校级月考）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且||||a b >，则化||a b -的结果为( )A ．2a b +B ．2a b -+C ．bD ．2a b -21．（202230b -=，则b 的取值范围是( ) A ．3b >B ．3b <C ．3bD ．3b22．（2022春•鲤城区校级期中）下列计算错误的是( ) A=B ．3=C =D 23．（2022( ) A ．1x >B ．1xC ．1x ≠D ．1x24．（2022有意义的实数x 的取值范围是( ) A ．2xB ．3x 且2x ≠C ．2x >且3x ≠D ．2x 且3x ≠25．（2022春•福山区期中）下列计算中，正确的是( ) A ．21 B ．3=C 3D =26．（2022春•鼓楼区校级期中）下列运算正确的是( )A ．3=B =C 3=-D ．215=27．（2022( ) A ．0B ．3C ．D ．28．（2022春•东莞市月考）下列各组二次根式中，能进行合并的是( ) ABC D29．（2022春•东莞市月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )AB C D 30．（2022春•东莞市校级期中）当a 满足( ) A ．3aB ．3a >C ．3a -D ．3a >-31．（2022春•仓山区校级期中）下列计算正确的是( )A4B 32=C 5=±D 1=-32．（2022春•东莞市校级期中）下列计算正确的是( ) A=B =C5-D 1=33．（2022春•杭州期中）下列运算正确的是( )A=B ．26=C D 2=-34．（2022秋•高新区校级月考）若实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简||b c +( )A ．b c a +-B ．b c a ++C ．b c a ---D ．b c a --+35．（2022春•北京期中）下列二次根式计算正确的是( ) A=BC D36．（2022春•武隆区校级期中）把二次根式化简为( ) A ．B C ．D 二．填空题37．（2022秋•忻州月考）若最简二次根式则x=．38．（2022=的值为．39．（20222)<<=．x40．（2022秋•仁寿县校级月考）计算：20212022⋅=．41．（2022．42．（2022在实数范围内有意义，则x的取值范围是．43．（2022秋•高新区校级月考）若3y=，则xy的值为．44．（2022秋•虹口区校级月考）设x=y=t为时，代数式22++=．2062202022x xy y45．（2022秋•虹口区校级月考）若x，y满足6y=，则x y⋅的平方根为．46．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式；．（填写编号）47．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形的两边长为a、b，且满足b-==．|4|048．（2022秋•虹口区校级月考）已知x=，则654322--+-+．x x x x49．（2022秋•二道区校级期中）当1x=．50．（2022秋•渝中区校级月考）若两不等实数a，b满足8b+，则a+=，8．三．解答题51．（2022秋•禅城区校级月考）计算．（1）01)|-（252．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，+，其中5x =，15y =．53．（2022． 54．（2022秋•薛城区校级月考）计算：（1）+（2）2011)()|1(2)3π---+--55．（202256．（202257．（2022春•江汉区校级月考）计算：（1（2）747a ．一．选择题1．【解答】解：AA选项不符合题意；B==B选项不符合题意；C==C选项符合题意；D．原式6318=⨯=，所以D选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：由题意得，210x +，解得0.5x -，3210.50-<-<-<-<，故选项A符合题意．故选：A．3．【解答】解：20230x -，20230x-，20230x∴-=，2023x∴=，1y∴=，202312024x y∴+=+=，故选：C．4．【解答】解：A是最简二次根式，故本选项符合题意；B的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C不符合题意；D不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A ．5．【解答】解：A ，故A 不符合题意；B =B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．6．【解答】解：A 、原式=，故A 不符合题意．B 、原式=B 不符合题意．C 、C 符合题意．D 、原式||a =，故D 不符合题意．故选：C ．7．【解答】解：根据题意得：100x ≠⎪⎩，解得0x ．故选：B ．8．【解答】解：AB 不是最简二次根式，故此选项不合题意；C D不是最简二次根式，故此选项不合题意；故选：A ．9．【解答】=式，故A 选项不符合题意；是最简二次根式，故B 选项符合题意；=C 选项不符合题意；，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故D 选项不符合题意；故选：B ．10．【解答】解：A A 不符合题意；B 、=B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．11．【解答】解：A 3=，故此选项不合题意；B 2=，故此选项符合题意；C =，故此选项不合题意；D ．2(20-=，故此选项不合题意；故选：B ．12．【解答】解：ABC ∆的面积为212cm ，底边为，∴底边上的高为：122)cm ⨯÷=．故选：B ．13．【解答】解：A 故本选项不符合题意；B 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D ．14．【解答】解：由题意可得：1AB CA ==，则C点坐标为：11)2x=-=-故22x==．故选：D．15．【解答】解：y=，∴20 20xx-=⎧⎨-=⎩，20x∴-=，解得2x=，y∴=20202021()()x y x y∴+-20202020()()()x y x y x y=+--2020[()()]()x y x y x y=+--222020()()x y x y=--20201(2=⨯2=+故选：B．16．【解答】解：A|2|2=-=，故本选项不符合题意；B．24312=⨯=，故本选项不符合题意；CD．4(2=⨯=，故本选项符合题意；故选：D．17．【解答】解：A=B．=C=D 故选：A ．18．【解答】解：A ．2不是同类二次根式，故本选项不合题意；B =C =，与不是同类二次根式，故本选项不合题意；D = 故选：B ．19．【解答】解：2=不是最简二次根式，=C 是最简二次根式；(0)D a >，因此不是最简二次根式；故选：C ．20．【解答】解：实数a 、b 在轴上的位置可知，0a b <<，且||||a b >， 0a b ∴-<，∴原式a b a =-+-2b a =-，故选：B ．21．【解答】解：30b -=，即|3|3b b -=-，30b ∴-，即3b ，故选：D ．22．【解答】解：A =A 不符合题意；B 、B 符合题意；C =C 不符合题意；D=D不符合题意；故选：B．23．【解答】解：由题意得：10x-，解得：1x，故选：B．24．【解答】解：由题意得：20x-且30x-≠，解得：2x且3x≠，故选：D．25．【解答】解：A．原式=A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=，所以D选项符合题意．故选：D．26．【解答】解：A．3不能合并，所以A选项不符合题意；B B选项不符合题意；=，所以C选项不符合题意；C．原式3D．原式1=，所以D选项符合题意．5故选：D．27．【解答】解：原式===．故选：A．28．【解答】解：A不能合并，故此选项不符合题意；B、∴C、=，∴不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；D、==，∴故选：B．29．【解答】解：|a=不是最简二次根式；C故选：D．30．【解答】解：由题意得，30a+，解得3a-，故选：C．31．【解答】解：A、原式=，故A不符合题意．B、原式3=，故B符合题意．2=，故C不符合题意．C、原式5D、原式1=，故D不符合题意．故选：B．32．【解答】解：A A不符合题意；B=B符合题意；C5，故C不符合题意；D D不符合题意；故选：B．，故选项A正确，符合题意；33．【解答】212=，故选项B错误，不符合题意；C错误，不符合题意；2，故选项D错误，不符合题意；故选：A．34．【解答】解：根据题意得：0∴+<，b c<<<，0c b a||+=---，b c b c a故选：C．35．【解答】==，故选项A错误，不符合题意；==C错误，不符合题意；不能合并，故选项D错误，不符合题意；故选：B．36．【解答】解：10->，a∴<，a∴二次根式0<，∴二次根式化简为故选：A．二．填空题37．【解答】解：最简二次根式∴+=，x25解得：3x=，故答案为：3．38．【解答】解：=，22∴，220∴-=，0∴=，0≠，∴0=，∴25a b ∴=，∴ 5035255b b b b b b++=-+ 5829b b =2=．39．【解答】解：原式11)=-2=，故答案为：2．40．【解答】解：原式2021=⨯⨯2021(1)=-⨯1=-⨯=，故答案为：41．【解答】0)x y z =>>>，两边平方得：13x y z ++++ 比较系数得：13x y z ++=①，5xy =②，7xz =③，35yz =④，由②得：5x y =，代入③得：57z y=，即：75y z =，代入④得：225y =，5y ∴=，1x ∴=，7z =，∴原式．42．【解答】解：由题意得：230x -且20x -≠，解得：32x 且2x ≠，故答案为：32x且2x ≠． 43．【解答】解：根据题意，得310130x x -⎧⎨-⎩，解得13x =，所以3y =，所以1313xy =⨯=．故答案为：1．44．【解答】解：(1t xy t ==，42x y t +==+，2206220220()2222022x xy y x y xy ∴++=++=，20(42)2222022t ∴++=，解得：2t =或3t =-（舍去）2t ∴=．故答案为：2．45．【解答】解：x ，y 满足6y =， ∴30620x x -⎧⎨-⎩，解得3x =，6y ∴=，18x y ∴⋅=，x y ∴⋅的平方根为=±．故答案为：±46．【解答】解：=，=⑤23=∴②⑤．故答案为：②⑤．47．【解答】解：|4|0b -=，即|3||4|0a b -+-=，3a ∴=，4b =， ∴该直角三角形的斜边长的平方22223425a b =+=+=，故答案为：25．48．【解答】解：2022x ==654322x x x x ∴--+-+5432(2x x x x x =--+-+-54322x x x x =-+-+54322x x x x =-+-+-432[1]2x x x x =-+-+-4321]2x x x =-+-+432(202220211)2x x x =--+-+-322x x =-+2(2x x x =-+-22x x =+22x x =+[2]x x =+-2]x =+(202120222)x =-+x ==49．【解答】解：当1x =时，原式3=，故答案为：3．50．【解答】解：38a b +=，8b +=，0a b ∴-+，0∴-=， a b ≠，∴≠∴3=，16a b ++=，7a b ∴+=，27∴-=，∴21=，∴原式32124=+=．故答案为：21．三．解答题51．【解答】解：（1）原式1=1=+（2）原式=+23=+5=．52．【解答】===当5x=，15y=时，原式===．53．【解答】=4=4=．54．【解答】解：（1）原式=÷==；2（2）原式=---+51911=．755．【解答】解：原式===56．【解答】解：原式==．57．【解答】解：（1==+-4=；4（2）747a2=⨯+a a747=147=20。

二次根式-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)

考向08 二次根式【考点梳理】1、二次根式：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。

当a ＞0时，a 表示a 的算术平方根,其中0=02、理解并掌握下列结论：（1）)0(≥a a 是非负数（双重非负性）；（2）)0()2≥=a a a （；（3）⎩⎨⎧≤->=⎩⎨⎧<-≥=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0()0()0()0()0(0)0(2a a a a a a a a a a a a a a a ；口诀：平方再开方，出来带“框框” 3、二次根式的乘法：)0,0(≥≥=•b a ab b a ，反之亦成立4、二次根式的除法：)0,0(>≥=b a b a ba ，反之亦成立5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。

6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。

【题型探究】题型一：二次根式的概念和性质1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数11y x =+-的自变量x 的取值范围是（） A ．3x ≠-且1x ≠B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）若3y =，则2022()x y +等于（） A ．1B ．5C ．5-D ．1-3．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）函数y 中，自变量x 的取值范围是（） A ．5x >B ．35x ≤<C ．5x <D ．35x ≤≤题型二：二次函数的化简4．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（）A 23+B 23=⨯C D 0.75．（2023·河北·b a 的值是（） A ．6B ．9C ．12D ．276．（2022·四川绵阳·统考三模）已知y =，则xy ＝（）A ．3B ．－6C ．±6D ．±3题型三：二次根式的乘除7．（2022·广东广州· ）A B C D ．8．（2022·天津南开·二模）计算3)的结果等于______．9．（2022·河北唐山·=a ＝______；b ＝__．题型四：二次根式的加减10．（2022·黑龙江哈尔滨·=_____． 11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x -的值为________．12．（2022·黑龙江哈尔滨·______．题型五：分母的有理化13．（2022·河北保定·统考一模）已知x =2y = （1）22x y +=________；（2）2()x y xy --=________．14．（2022·广东中山·统考二模）小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算tan 22.5︒时，如图，在Rt ACB 中，9045C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，所以tan 22.51AC CD ︒===，类比小明的方法，计算tan15︒的值为________．15．（2020·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）3的整数部分是m ，小数部分是n ，则mn+3＝_____．题型六：二次根式的比较大小16．（2021·四川成都·766517．（2020·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）比较大小：1013-（填“＞”、“=”、“＜”）18．（2021·陕西宝鸡·17﹣5（填“>”或“<”）题型七：二次根式的化简求值问题19．（2023·江西·九年级专题练习）先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中53x =． 20．（2022·四川广元·统考一模）先化简，再求值：222a ab b a b a b a b ab ⎛⎫---÷ ⎪--⎝⎭，其中32a =+32b = 21．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）先化简，再求值：22124()(1)442x x x x x x x-+-÷--+-，其中x ＝2+tan30°．【必刷基础】一、单选题22．（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（） A 257B ．22525=+C 532=D ．233323．（2022·福建泉州·校考三模）在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是（） A ．23x ≠-B ．23x >-C ．23x -D ．23x -24．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（） A ．2与22B ．3与24C ．5与25D ．6与1225．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方法进行两次折叠后，BEF △恰好是等腰直角三角形，若2BE =，则CD 的长度为（）A ．22B ．22+C ．222+D ．224+26．（2021·广西百色·统考二模）将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列： 2，2，6，22，10； 23，14，4，32，25；…若2的位置记为()1,2，23的位置记为()2,1，则36这个数的位置记为（）A ．()54，B ．()44，C ．()43，D ．()35，27．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算1(2712)3-⨯的结果是（） A ．33B ．1C ．5D ．328．（2022·河北廊坊·统考二模）一次函数()32y k x k =++-的图象如图所示，则使式子()011k k ++-有意义的k 的值可能为（）A ．－3B ．－1C ．－2D ．229．（2021·北京·统考中考真题）若7x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______________． 30．（2018·江苏苏州·校联考中考模拟）若x 满足|2017-x|+-2018x =x ，则x-20172=________31．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中62a =+． 32．（2022春·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.【必刷培优】一、单选题33．（2021·广东·统考中考真题）设610-的整数部分为a ，小数部分为b ，则()210a b +的值是（） A ．6B ．210C ．12D ．91034．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m -+-等于（） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．435．（2021·内蒙古·统考中考真题）若21x =+，则代数式222x x -+的值为（） A ．7 B ．4C ．3D ．322-36．（2020·河北·统考中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大．．的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A ．1，4，5B ．2，3，5C ．3，4，5D ．2，2，4二、填空题37．（2019·广西柳州·中考模拟）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a 244a a +-+=_____．38．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：12211311112212x =++==+⨯； 22211711123623x =++==+⨯； 3221113111341234x =++==+⨯； ……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______．39．（2022·湖北荆州·统考中考真题）若32-的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式()22a b +⋅的值是______． 40．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考三模）已知625x =-为一元二次方程20x ax b ++=的一个根，且a ，b 为有理数，则=a ______，b =______．41．（2019·江苏·校考中考模拟）若a ，b 都是实数，b ＝12a -+21a -﹣2，则a b 的值为_____． 42．（2022·四川遂宁·统考中考真题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简()()2211a b a b +--+-=______．三、解答题43．（2021·四川成都·统考中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中33=a ．44．（2022·安徽·统考二模）阅读下列解题过程： 21+21(21)(21)-+-2-1； 32+32(32)(32)-+-32； 43+434343-+-()()433 …解答下列各题：（1109+＝；（2＝．（3）利用这一规律计算：）×）．45．（2019·福建泉州·统考中考模拟）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m .46．（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m ++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有2222a m n +++∴2222a m n b mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a + 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若(2a m +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a ＝，b ＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n ，填空：＋＝( ＋2；（3）若(2a m +＋，且a 、b 、m 、n 均为正整数，求a 的值．参考答案：1．B【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：依题意，3010 xx+>⎧⎨-≠⎩∴3x>-且1x≠故选B【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．2．A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20 420xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得：x＝2，故y＝-3，∴20222022()(213)=x y+=-．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．3．C【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得50x->∴5x<故选：C．【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．4．B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23+，故错误；23=⨯，故正确；=≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．5．D【分析】由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．∴3a =，3b =， ∴3327=，故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 6．B【分析】利用二次根式的被开方数具有非负性求出x 的值后，再求出y 的值，即可求解．【详解】解：∵229090x x -+≥-≥，， ∴29x =，又∵30x +≠， ∴3x =， ∴0012233y --==-+，∴()326xy =⨯-=-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x 的值与y 的值． 7．A【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．=== 故选：A ．【点睛】)0,0a b ≥≥)0,0a b ≥>，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．4【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：3)=223-=13-9 =4，故答案为：4．【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 9． 2 6化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题．=2,6a b ∴==故答案为：2，6．【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．-【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【详解】解：原式==-故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 11．20【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；【详解】解：∵213202x x ++=△=9-4=5＞0，∴13x =-23x =-，∴()212x x -=((223320-==，故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 12【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解．3==【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 13． 14 11【分析】根据分母有理化得到2x =x 和y 分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计算求解．【详解】解：∵123x =+， ∴()()12323232323x ===+-+--， ∴（1）22x y +()()222323=-++ 44334433=-++++14=，故答案为：14；（2）()2x y xy -- ()()()223232323⎡⎤=--+--+⎣⎦()()22343=---121=-11=，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．14．23-【分析】仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可．【详解】解：如图，在Rt ACB 中，9030C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，∴∠BAD =∠D ，2AB BD AC ==，∴cos =3BC AC ABC AC =⋅∠，∴()23CD BC BD AC =+=+，∵∠ABC =∠BAD +∠D ，∴=15D ︒∠，∴1tan =tan15===2323AC D CD ︒-+∠，故答案为：23-．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意构造出含15度角的直角三角形是解题的关键．15．2m 的值，小数部分n m ，把m 、n 代入分式m n+3中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．【详解】解：∵12，∴m ＝1，n 1， ∴=n+3m＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．16．＜【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．==<故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．17．＞【分析】先将这两个数分别平方，通过比较两个数的平方的大小即可得解．【详解】解：∵21(10=，211()39-=且11109<，1<，∴13>- 故答案为：＞【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，两个二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的正的式子的值就大，负的式子就小．18．>【分析】首先利用二次根式的性质可得【详解】解：∵∴＞﹣故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了二次根式的大小比较，准确计算是解题的关键．19．13x x -+【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭ ()()()23221111x x x x x x ++-+=÷++- ()()()211313x x x x x +-+=⨯++13x x -=+．当3x =时，原式=．【点睛】此题主要考查了分式的化简以及二次根式混合运算，正确化简分式是解题关键．20．ab ；7【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入3a =3b = 【详解】解：原式222a ab b a b a b ab-+-=÷- ()2a b ab ab a b a b-=⋅=--．当3a =3b =原式(33927==-=．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式、二次根式及乘法公式的运用．21．()212x -；3【分析】先根据异分母分式的加减化简括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据特殊角的三角函数值求得x 的值，代入化简结果进行计算即可．【详解】解：22124()(1)442x x x x x x x -+-÷--+- ()()()()()22122422x x x x x x x x x x ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()2224=42x x x x x x x --+⨯-- ()241=42x x x -⋅-- ()212x =-2tan 302x =+︒=∴原式21322==⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．22．D【分析】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．【详解】解：AB、= CD、=故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．23．C【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．【详解】解：根据题意得：320x +，解得23x -．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．24．A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A 、2与22是同类二次根式，符合题意；B 、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C 、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D 、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．25．D【分析】根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，四边形ABCD 是矩形，'90ADA B C A ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC =，CD AB =，由第一次折叠得：'90DA E A ∠=∠=︒，1452ADE ADC ∠=∠=︒， 45AED ADE ∴∠=∠=︒，AE AD ∴=，在Rt ADE △中，根据勾股定理得，2DE AD =，由第二次折叠知，CD DE AB ==，222DE AE ∴=，2222()2(2)CD AB BE CD ∴=-=-，422CD ∴=+【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．26．C∵36218÷=，18533÷=4行，第3个数字．故选：C ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．27．B再合并即可．【详解】解：94321 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．28．B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<．()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠ ∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底29．7x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：70x -≥，解得：7x ≥；故答案：为7x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．30．2018【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x 的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程=2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．【详解】解：由条件知，x-2018≥0，所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.所以x-2017+ =x ，即 =2017，所以x-2018=20172 ，所以x-20172=2018，故答案为：2018．【点睛】本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x 的取值范围是解题的关键．31．2a a -，1+【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2a a -，再代入求值．【详解】解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+-- 2a a =-．当2a 时，原式1==== 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 32．a b -【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.33．Aa 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34，∴263<<，∴62a =，∴小数部分624b ==∴(((22244416106a b =⨯==-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a 与小数部分b 的值是解题关键．34．D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m -+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．35．C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=．故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．36．B【分析】根据勾股定理，222+=a b c ，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a 、b 、c ，222A 、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：112=12⨯⨯；B 、∵2+3=512 C 、∵3+4≠5，则不符合题意；D 、∵2+2=4112=；1>，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．37．2【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a 的取值范围进而化简即可．【详解】解：由数轴可得：0＜a ＜2，则a=a =a +（2﹣a ）=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a 的取值范围．38．12021-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120202021⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12020﹣12021﹣2021 ＝2020+1﹣12021﹣2021＝12021-．故答案为：12021-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算． 39．2【分析】先由12<得到132<<，进而得出a 和b ，代入()2b ⋅求解即可．【详解】解：∵ 12<，∴132<<，∵ 3的整数部分为a ，小数部分为b ，∴1a =，312b ==∴()((222242b ⋅=⨯=-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．40． 2； 4-；【分析】将x =1x =，则20x ax b ++=)()260a b a -+-+=，根据a ，b 为有理数，可得2a -，6b a -+)()260a b a -+-+=时候，只有20a -=，60b a -+=，据此求解即可．【详解】解：∵x ====1∴20x ax b ++=∴))2110a b ++= ∴60a b --+=60a b -++=)()260a b a -+-+=∵a ，b 为有理数，∴2a -，6b a -+也为有理数，∴2a =，4b =-，故答案是：2，4-；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．41．4【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a 的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．【详解】解：∵b 2，∴120210a a -≥⎧⎨-≥⎩∴1-2a=0，解得：a=12，则b=-2，故ab=（12）-2=4．故答案为4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a 的值是解题关键． 42．2【分析】利用数轴可得出102a b -<<<<，1，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：102a b -<<<<，1，则10,10,0a b a b +>->-<∴1a +=|1||1|||a b a b +--+-=1(1)()a b a b +----=11a b a b +-+-+=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的取值范围是解题关键．43．13a +【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+，当3=a 时，原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．44．（13；（2（3）2020【分析】（1，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；（2（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．【详解】（133；（2==（3）×）1+）×）1）×）＝20211-＝2020．【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．45．22m m-+ 1．【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m -- =221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+ =22m m-+当m 2时，原式===﹣=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 46．（1）223m n +，2mn ；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．【分析】根据题意进行探索即可.【详解】（1）∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．（2）设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．（3）由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13．【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：分式与二次根式(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：3分式与二次根式一．选择题（共13小题）1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（） A ．|﹣2|B ．﹣|2|C ．2﹣1D ．（﹣2）02．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u +1v（v ≠f ）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（） A ．fv f−vB ．f−v fvC ．fvv−fD ．v−f fv3．（2022•西湖区校级二模）要使式子√x−53有意义，x 的取值范围是（） A ．x ≤5B ．x ≠5C ．x ＞5D ．x ≥54．（2022•萧山区校级二模）下列计算结果正确的是（） A ．√2+√3=√5 B ．（﹣2）2=−14C ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4D ．a 6÷a 3＝a 35．（2022•滨江区二模）下列等式成立的是（） A ．2+3√2=5√2B ．√2×√3=√5C ．√3÷√6=2√3 D ．√(−2)2=26．（2022•吴兴区一模）下列运算正确的是（） A ．2+√2=2√2 B ．4x 2y ﹣x 2y ＝3C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（ab ）3＝a 3b 37．（2022•海曙区校级一模）要使分式√x−5√18−2x有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≥5B ．x ≠9C ．5≤x ≤9D ．5≤x ＜98．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（） A ．√8−√2=√2B ．√(−2)2=−2C ．√6÷√3=√3D ．√2×√3=√59．（2022•奉化区二模）若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ≤310．（2022•鄞州区一模）二次根式√x −3中字母x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ≥311．（2022•宁波模拟）要使分式x−7x+2有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≥7D ．x ≥﹣212．（2022•洞头区模拟）计算2a a+2−a−22+a的结果为（）A ．a +2B ．a ﹣2C ．1D ．a−2a+213．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m 分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a ．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b ．则（） A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．4a ＝3b二．填空题（共13小题）14．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是．先化简，再求值：3−x x−4+1，其中x ＝★．解：原式=3−xx−4•（x ﹣4）+（x ﹣4）…① ＝3﹣x +x ﹣4 ＝﹣115．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是．16．（2022•衢州）计算（√2）2＝．17．（2022•杭州）计算：√4= ；（﹣2）2＝．18．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为． 19．（2022•衢江区一模）二次根式√x −4中字母x 的取值范围是． 20．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围． 21．（2022•金华模拟）如果代数式√x −4有意义，那么实数x 的取值范围是． 22．（2022•景宁县模拟）若分式x+12−x 的值为0，则x ＝．23．（2022•常山县模拟）计算1+2a = ． 24．（2022•柯城区二模）计算：a+b a−b+2a−b a−b= ．25．（2022•温岭市一模）化简：（1+1x+1）•x+1x+2= ． 26．（2022•定海区校级模拟）已知√x 1√x =2，那么√x 2+1x 2−2−√x x 2+2x+1的值等于．三．解答题（共6小题）27．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 28．（2022•仙居县二模）计算：(−2)−2+(√3+12)(√3−12)． 29．（2022•常山县模拟）计算：（1）（2022）0+2sin30°﹣|﹣1|．（2）√27−√2×√6．30．（2022•婺城区校级模拟）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x，从﹣2，0，2中取一个合适的数作为x 的值代入求值．31．（2022•金华模拟）已知a 2+2a ﹣1＝0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a的值．32．（2022•萧山区校级二模）以下是圆圆同学进行分式化简的过程．a+bab ÷（1b −1a）=a+b ab ×（b ﹣a ）=a+b ab •b −a+b ab •a =a+b a −a+b b =b 2+a 2ab ．圆圆的解答过程是否有错误？若存在错误，请写出正确的解答过程．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：3分式与二次根式参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（） A ．|﹣2|B ．﹣|2|C ．2﹣1D ．（﹣2）0【解答】解：A ．根据绝对值的定义，|﹣2|＝2，那么A 符合题意． B ．根据绝对值的定义，﹣|2|＝﹣2，那么B 不符合题意． C ．根据负整数指数幂，2−1=12，那么C 不符合题意． D ．根据零指数幂，（﹣2）0＝1，那么D 不符合题意．故选：A ．2．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f =1u+1v（v ≠f ）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（） A ．fv f−vB ．f−v fvC ．fvv−fD ．v−f fv【解答】解：1f=1u +1v（v ≠f ），1f =1u +1v ，1u =1f−1v， 1u=v−f fv ，u =fvv−f ．故选：C ．3．（2022•西湖区校级二模）要使式子√x−53有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≤5B ．x ≠5C ．x ＞5D ．x ≥5【解答】解：依题意有：x ﹣5≥0，解得x ≥5．故选：D ．4．（2022•萧山区校级二模）下列计算结果正确的是（）A ．√2+√3=√5B ．（﹣2）2=−14C ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4D ．a 6÷a 3＝a 3【解答】解：A 、√2与√3不是同类二次根式，故A 不符合题意． B 、原式＝4，故B 不符合题意． C 、原式＝a 2﹣4a +4，故C 不符合题意． D 、原式＝a 3，故D 符合题意．故选：D ．5．（2022•滨江区二模）下列等式成立的是（） A ．2+3√2=5√2B ．√2×√3=√5C ．√3÷1√6=2√3 D ．√(−2)2=2【解答】解：A 、2与3√2不能合并，故A 不符合题意； B 、√2×√3=√6，故B 不符合题意； C 、√31√6=3√2，故C 不符合题意； D 、√(−2)2=2，故D 符合题意；故选：D ．6．（2022•吴兴区一模）下列运算正确的是（） A ．2+√2=2√2 B ．4x 2y ﹣x 2y ＝3C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（ab ）3＝a 3b 3【解答】解：A 、2与√2不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； B 、原式＝3x 2y ，故此选项不符合题意； C 、原式＝a 2+2ab +b 2，故此选项不符合题意； D 、原式＝a 3b 3，故此选项符合题意；故选：D ．7．（2022•海曙区校级一模）要使分式√x−5√18−2x有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≥5B ．x ≠9C ．5≤x ≤9D ．5≤x ＜9【解答】解：根据题意，{x −5≥018−2x ＞0．解得5≤x ＜9．故选：D ．8．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（）A ．√8−√2=√2B ．√(−2)2=−2C ．√6÷√3=√3D ．√2×√3=√5【解答】解：√8−√2=2√2−√2=√2，故选项A 正确，符合题意； √(−2)2=2，故选项B 错误，不符合题意； √6÷√3=√2，故选项C 错误，不符合题意； √2×√3=√6，故选项D 错误，不符合题意；故选：A ．9．（2022•奉化区二模）若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ≤3【解答】解：若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，故3﹣x ≥0，解得：x ≤3．故选：D ．10．（2022•鄞州区一模）二次根式√x −3中字母x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ≥3【解答】解∵二次根式√x −3有意义， ∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3．故选：D ．11．（2022•宁波模拟）要使分式x−7x+2有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≥7D ．x ≥﹣2【解答】解：分式有意义应满足分母不为0，即x +2≠0，解得：x ≠﹣2．故选：A ．12．（2022•洞头区模拟）计算2a a+2−a−22+a的结果为（）A ．a +2B ．a ﹣2C ．1D ．a−2a+2【解答】解：2aa+2−a−22+a=2a−(a−2)a+2=2a−a+2a+2=a+2a+2=1；故答案为：C ．13．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m 分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a ．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b ．则（） A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．4a ＝3b【解答】解：依题意得：a =80×20%+10%m 80+m =16+0.1m80+m；b =80×15%+10%m 80+m=12+0.1m80+m ； ∵a ﹣b =16+0.1m80+m −12+0.1m80+m =4+0.1m80+m ＞0， ∴a ＞b ．故选：B ．二．填空题（共13小题）14．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ．先化简，再求值：3−x x−4+1，其中x ＝★．解：原式=3−xx−4•（x ﹣4）+（x ﹣4）…① ＝3﹣x +x ﹣4 ＝﹣1 【解答】解：3−x x−4+1=3−x+x−4x−4 =14−x ，当14−x=−1时，可得x ＝5，检验：当x ＝5时，4﹣x ≠0， ∴图中被污染的x 的值是5，故答案为：5．15．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是 2 ．【解答】解：当a ＝1时，原式=1+11=2．故答案为：2．16．（2022•衢州）计算（√2）2＝ 2 ．【解答】解：原式＝2．故答案是2．17．（2022•杭州）计算：√4= 2 ；（﹣2）2＝ 4 ．【解答】解：√4=2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．18．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为 3﹣2√3 ．【解答】解：∵a =√3+1， ∴a ﹣1=√3， ∴（a ﹣1）2﹣2a +2 ＝（√3）2﹣2（√3+1）+2 ＝3﹣2√3−2+2 ＝3﹣2√3，故答案为：3﹣2√3．19．（2022•衢江区一模）二次根式√x −4中字母x 的取值范围是 x ≥4 ．【解答】解：由题意，得x ﹣4≥0，解得x ≥4．故答案是：x ≥4．20．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围 a ≤﹣3 ．【解答】解：∵√(3+a)2=|3+a|=−3−a ， ∴3+a ≤0， ∴a ≤﹣3，故答案为：a ≤﹣3．21．（2022•金华模拟）如果代数式√x −4有意义，那么实数x 的取值范围是 x ≥4 ．【解答】解：由题意可知：x ﹣4≥0， ∴x ≥4，故答案为：x ≥4．22．（2022•景宁县模拟）若分式x+12−x的值为0，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：根据题意，得x +1＝0．解得x ＝﹣1．当x ＝﹣1时，2﹣x ＝3≠0．故x ＝﹣1符合题意．故答案为：﹣1．23．（2022•常山县模拟）计算1+2a = a+2a．【解答】解：原式=a+2a ，故答案为：a+2a．24．（2022•柯城区二模）计算：a+b a−b+2a−b a−b=3a a−b．【解答】解：原式=a+ba−b +2a−ba−b =a+b+2a−ba−b =3aa−b．故答案为：3a a−b．25．（2022•温岭市一模）化简：（1+1x+1）•x+1x+2= 1 ．【解答】解：原式＝（x+1x+1+1x+1）•x+1x+2=x+1+1x+1•x+1x+2＝1，故答案为：1．26．（2022•定海区校级模拟）已知√x 1√x =2，那么√x 2+1x 2−2−√xx 2+2x+1的值等于15√24．【解答】解：∵√x 1√x=2， ∴两边平方得：x +1x −2√x •√x=4，∴x +1x =4+2＝6，两边平方得：x 2+1x 2+2＝36，∴x 2+1x 2=34， ∵要使分式x +1x有意义，x ≠0，又∵x +1x =6， ∴x x 2+2x+1=1x+2+1x=16+2=18，∴√x 2+1x 2−2−√x x 2+2x+1=√34−2−√18＝4√2−14√2 =15√24，故答案为：15√24．三．解答题（共6小题）27．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【解答】解：（1）观察规律可得：1n =1n+1+1n(n+1)；（2）∵1n+1+1n(n+1)=nn(n+1)+1n(n+1) =n+1n(n+1) =1n ， ∴1n =1n+1+1n(n+1)．28．（2022•仙居县二模）计算：(−2)−2+(√3+12)(√3−12)．【解答】解：原式=14+3−14 ＝3．29．（2022•常山县模拟）计算：（1）（2022）0+2sin30°﹣|﹣1|．（2）√27−√2×√6．【解答】解：（1）原式＝1+2×12−1＝1+1﹣1＝1；（2）原式＝3√3−2√3=√3．30．（2022•婺城区校级模拟）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x ，从﹣2，0，2中取一个合适的数作为x 的值代入求值．【解答】解：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x =x+2−3x+2•x(x+2)(x+1)(x−1)=x−1x+2•x(x+2)(x+1)(x−1) =x x+1， ∵x ＝﹣2，0时原式无意义，∴x ＝2，当x ＝2时，原式=22+1=23． 31．（2022•金华模拟）已知a 2+2a ﹣1＝0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a 的值．【解答】解：原式＝[(a+1)(a−1)(a−1)2+1a−1]•a （a ﹣1）＝（a+1a−1+1a−1）•a （a ﹣1） =a+1+1a−1•a （a ﹣1）＝a 2+2a ，∵a 2+2a ﹣1＝0，∴a 2+2a ＝1，∴原式＝1．32．（2022•萧山区校级二模）以下是圆圆同学进行分式化简的过程． a+b ab ÷（1b −1a ）=a+b ab ×（b ﹣a ）=a+b ab •b −a+b ab •a =a+b a −a+b b =b 2+a 2ab ．圆圆的解答过程是否有错误？若存在错误，请写出正确的解答过程．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：a+b ab ÷（1b−1a）=a+bab ÷a−bab=a+bab•ab a−b=a+b a−b．。

2024年中考数学复习专题讲义：二次根式(含答案)

2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。

2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。

3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。

(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。

4、最简二次根式最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48，已知长方形的一边长 AE =3√3，图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为．13．当m ＝时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算（1）√16÷√2−√13×√6；（2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值；（2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。

专题04二次根式(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)

2023年中考数学总复习一轮讲练测（）第一单元数与式专题04二次根式（讲练）1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．（2021•杭州）下列计算正确的是( )A 2=B 2=-C 2±D 2=±2．（2022有意义，x 的取值范围是( ) A ．5x B ．5x ≠ C ．5x > D ．5x3．（2022有意义，x 的取值范围是( ) A ．5x B ．9x ≠ C ．59x D ．59x <4．（2022秋•上城区校级期中）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简||a b a -+-( )A．b c-+D．2a b ca b c++-C．222--B．c b5．（2022=；2(2)-=．6．（2021x的值可以是．（写出一个即可）7．（2021春•鹿城区校级期中）当3a==．8．（2021秋•鄞州区校级期末）已知3y，则xy的值为．9．（2021秋•诸暨市期末）如图1，以Rt ABC∆各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图2所示依次叠在③上，已知四边形EMNB与四边形MPQN的面积分别为，则Rt ABC∆的斜边长AB=．10．（20201|-．11．（2022春•拱墅区期中）计算（1（2）12．（2022春•柯桥区月考）化简：（1；（2）22)+．13．（2022春•椒江区校级期中）阅读下列材料，并回答问题：把形如a +a a -、b 为有理数且0b >，m 为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数：和；（2）-a 、b 的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，请求出这两个共轭实数．1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数．②被开方数中的因数或因式．2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. （3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab ＝ (a ≥0，b ＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式． (2)二次根式的乘法：a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)．(3)二次根式的除法：a b＝ (a ≥0，b ＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．考点一、二次根式中字母的取值范围例1．（2021春•长兴县月考）求下列二次根式中字母的取值范围：（1）√2k −1．（2）√1k+1．【变式训练】1．（2022春•安吉县期末）若√x是二次根式，则x的值可以是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3 2．（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式√4+a的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1 3．（2022春•仙居县期中）下列的式子中是二次根式的是（）A．√−1B．√3−πC．√83D．√3 4．（2022春•钱塘区期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（）A．√a B．√a−1C．√1a+1D．√(a−1)25．（2022秋•南湖区校级期中）已知y=√x−2+√2−x+4，y x的平方根是（）A．16B．8C．±4D．±2考点二、二次根式的性质例2．（2021春•邗江区月考）计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简√a2+|c﹣a|+√(b−c)2；（2）已知x、y满足y=√x2−9+√9−x2+1x−3，求5x+6y的值．【变式训练】1．（2022秋•南湖区校级期中）下列计算正确的是（）A．√(−2)2=±2B．√(−2)2=−2C．√−83=2D．√12=2√32．（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（）A．√9=±3B．√22+32=5C．√4=2D．√(−3)2=−33．（2022春•长兴县期中）二次根式√50的化简结果正确的是（）A．5√2B．2√5C．10√5D．5√104．（2022秋•海曙区校级期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：√a2−|a+c|−√(c−b)2−|−b|的结果是（）A．2c﹣2b B．﹣2c C．﹣2a﹣2c D．05．（2022•谷城县二模）计算：√(1−√2)2=．6．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围．考点三、二次根式的运算例3．（2022春•滨江区校级期中）计算：（1）√12−√43；（2）(√5−√3)2+(√5+√3)(√5−√3)．【变式训练】1．（2022春•鹿城区校级期中）下列计算正确的是（）A ．√3√2=√62B ．√(−2)2=−2C ．(√2)2=4D ．√4916=2342．（2022春•婺城区期末）下列计算正确的是（）A ．3+√3=3√3B ．2√3+√3=3√3C ．2√3−√3=2D ．√3+√2=√53．（2022春•长兴县月考）已知a ＝2020×2022﹣2020×2021，b =√20232−4×2022，c =√20212−1，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a4．（2022春•长兴县月考）（√6+√5）2021×（√6−√5）2022＝．5．（2022•江北区开学）若a +6√3=(m +n √3)2，当a ，m ，n 均为正整数时，则√a 的值为．6．（2022春•富阳区期中）计算：（1）√8×√18；（2）(7+4√3)(7−4√3)+(√5−1)2．7．（2022春•南湖区校级期中）计算：（1）12√12−√27−9√13 （2）(√15−4)2021×(√15+4)2022考点四、二次根式的化简求值及应用例4．（2022春•拱墅区期中）已知a =√7+√6，b =√7−√6，试求：（1）ab ；（2）a 2+b 2﹣5+2ab ．1．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为．2．（2022春•东阳市期末）设a =√7+√6，b =√7−√6，则a 2021b 2022的值是．3．（2022春•拱墅区期中）已知a=√7+√6，b=√7−√6，试求：（1）ab；（2）a2+b2﹣5+2ab．4．（2022春•义乌市月考）小芳在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a＝2−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√2022+√2021．（2）若a=1√2−1．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．5．（2022春•余杭区期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20√2cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5√2cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图．（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？。

中考数学第一轮复习(第4讲--数的开方与二次根式)

第十六，共44 。
【例题1】 (2012·浙江宁波)下列计算正确的是( )． A．a6÷a2＝a3 B．(a3)2＝a5
解析根据同底数幂的除法，幂的乘方，算术平方根，立方根运算
法则逐一计算作出判断：
A．a6÷a2＝a6－2＝a4≠a3，故本选项错误； B．(a3)2＝a3×2＝a6≠a5，故本选项错误；
第三十五，共44 。
【预测1】下列计算：
答案 C
第三十六，共44 。
【预测2】下列运算正确的是
( )．
答案 C
第三十七，共44 。
易错防范
第三十八，共44 。
数的开方、二次根式常见错误
第三十九，共44 。
【典型例题】
第四十，共44 。
第四十一，共44 。
第二十八，共44 。
A．a≠0
C．a＞－2或a≠0
B．a＞－2且a≠0 D．a≥－2且a≠0
答案 D
第二十九，共44 。
【预测3】下列二次根式中，最简二次根式是( )．
答案 B
第三十，共44 。
答案 C
第三十一，共44 。
解析考查二次根式和绝对值等非负数的性质，由已知得，x＝－3，y＝2 013，所以x＋y＝－3＋2 013＝2 010.
(3)混合运算：与实数的混合运算顺序相同．
状元笔记 (1)加减运算：需先化简，再合并；
(2)乘除运算：可先乘除，后化简．
第十四，共44 。
对接中考
第十五，共44 。
对接点一：平方根、立方根及算数平方根
常考角度
1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．

中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式

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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．

中考数学一轮复习教学设计三(数的开方与二次根式) 鲁教版

中考数学一轮复习教学设计三（数的开方与二次根式）鲁教版一. 教材分析《数的开方与二次根式》是初中数学的重要内容，主要包含二次根式的性质、二次根式的乘除运算、二次根式的加减运算、以及数的开方等知识点。

本节课选自鲁教版八年级下册，是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行学习的，为后续学习勾股定理、圆的方程等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识，对于数的开方和二次根式的概念有一定的了解。

但部分学生对于二次根式的运算规则理解不深，容易混淆。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，加深对二次根式运算规则的理解。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.学会二次根式的乘除运算和加减运算。

3.掌握数的开方的方法，能够熟练进行开方运算。

4.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.二次根式的性质2.二次根式的乘除运算和加减运算3.数的开方的方法五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的性质。

2.运用类比法，帮助学生理解二次根式的运算规则。

3.利用分组合作法，让学生在合作中巩固二次根式的运算方法。

4.运用实例讲解法，深入剖析数的开方的方法。

六. 教学准备1.教学PPT2.教学道具（如卡片、计算器等）七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数学故事引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示PPT，讲解二次根式的性质，让学生理解二次根式的概念。

3.操练（15分钟）让学生分组进行二次根式的乘除运算和加减运算，教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）针对学生的操作结果，进行讲解和分析，帮助学生巩固二次根式的运算规则。

5.拓展（10分钟）讲解数的开方的方法，让学生进行实际操作，巩固开方运算。

6.小结（5分钟）对本节课的主要知识点进行总结，让学生明确学习目标。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生课后巩固所学知识。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题练习-二次根式

2023年中考数学一轮复习专题练习八下第12章二次根式一、选择题1. 9的平方根是A ．±3B ．3C ．±4．5D ．4．5 2. 使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（） A ．x≥0 B ．x≠21 C ．x≥0且x≠21 D ．一切实数 3. 下列计算正确的是（）A ．a 6÷a 2＝a 3B ．（a 3）2＝a 2C ．25＝±5D ．38-＝－24. 若5＝a ，17＝b ，则85.0的值用a. b 可表示为（） A ．10b a + B ．10a b - C ．10ab D ．ab 5. 能使等式22-=-x x x x 成立的x 的取值范围是（） A ．x≠2 B ．x≥0 C ．x ＞2 D ．x≥2 6. 下列计算正确的是（）A ．0(2)0-=B ．239-=-C 3=D =7. 已知实数x ，y 满足8|4|-+-y x ＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对8. 如果ab>0，a+b<0，给出下列各式：①b a b a =，②1=•a b b a ，③b b a ab -=÷，那么其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题9. x 应满足的条件是＿＿＿＿＿＿＿。

10. 若y ＝22-+-x x ＋4，则xy 的平方根为＿＿＿＿＿＿＿。

11. 当x 满足＿＿＿＿＿＿时，0)3(11--++x x x 有意义。

12. 式子2x x -有意义的x 取值范围是________。

13. 若｜x ＋y ＋4｜＋2)2(-x ＝0，则3x ＋2y ＝＿＿＿＿＿。

14. 若y ＝x x x 21)1(122-+-+-，则（x ＋y ）2008＝＿＿＿＿＿。

15. 实数a. b 在数轴上的位置如图所示，则化简a b a ++2)(的结果为＿＿＿＿。

中考数学一轮复习二次根式知识点及练习题及答案

一、选择题1．下列计算正确的是（） A ．()25-＝﹣5 B ．4y ＝2y C ．822aaa=D ．235+=2．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-13．若实数m 、n 满足等式402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（） A ．12B ．10C ．8D ．6 4．下列计算正确的是（）A ．325+=B ．2222+=C ．2651-=D ．822-=5．计算：()555+=（）A ．55+B ．555+C ．525+D ．105 6．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x7．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：23(23)(23)74323(23)(23)+++==+--+，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3535+--，设3535x =+--，易知3535+>-，故0x >，由22(3535)35352(35)(35)2x =+--=++--+-=，解得2x =，即35352+--=．根据以上方法，化简3263363332-+--++后的结果为（） A ．536+ B ．56+ C ．56- D ．536- 8．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（）A ．﹣3≤k ≤2B ．﹣3≤k ≤3C ．﹣1≤k ≤1D ．k ≥﹣19．下列二次根式中，最简二次根式是（） A 23a B 13C 2.5D 22a b -10．使式子2124x x ++-成立的x 的取值范围是（） A ．x≥﹣2B ．x ＞﹣2C ．x ＞﹣2，且x ≠2D ．x≥﹣2，且x ≠2二、填空题11．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．12．已知a 73+a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 13．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行 13154 1732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是（用含 n 的代数式表示）． 14．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为________．15．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 16．11882． 17．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 18．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 191262_____．20．12a 1-能合并成一项，则a =______．三、解答题21．1123124231372831-+-1【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.【详解】22-+=1)2(3+⨯=121.【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．若x，y为实数，且y12．求xyyx++2－xyyx+-2的值．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x=14，此时y=12．即可代入求解．【详解】解：要使y有意义，必须140410xx-≥⎧⎨-≤⎩，即1414xx⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴x＝14．当x＝14时，y＝12．又∵xyyx++2－xyyx+-2＝－|∵x＝14，y＝12，∴xy＜yx．∴+当x＝14，y＝12时，原式＝．【点睛】（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．23．计算：21)3)(3--【答案】.【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算.【详解】解：原式2222]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.24．阅读下面的解答过程，然后作答：m和n，使m2+n2=a 且，则a可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案．【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++ =6x+6把1x=代入原式=61）【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.27．一样的式子，其实我==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式2n+++=12.考点：分母有理化．28．计算（1）)(12112-⨯--⎝⎭（2）已知：11,22x y ==，求22x xy y ++的值．【答案】（1）28-；（2）17．【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得．【详解】（1）原式()((221312⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦，(()1475452=⨯+---230=+28=-；（2）(1119,22x y==，1122x y ∴+=+=，()11119112224xy =⨯=⨯-=，则()222x xy y x y xy ++=+-，22=-，192=-， 17=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质对A 、B 进行判断；利用分母有理化对C 进行判断；利用二次根式的加减法对D 进行判断．【详解】解：A 、原式＝5，所以A 选项错误；B 、原式＝，所以B 选项错误；Ca =，所以C 选项正确；D D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及合并同类项法则，正确化简各式是解题的关键．2．A解析：A 【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．【详解】解：由题意得： x-1≥0 解之：x≥1.1>．故选：A ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．3．B解析：B 【分析】先根据绝对值的非负性、二次根式的非负性求出m 、n 的值，再根据三角形的三边关系、等腰三角形的定义求出第三边长，然后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由题意得：20,40m n -=-=，解得2,4m n ==，设等腰ABC 的第三边长为a ，,m n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，n m a n m ∴-<<+，即26a <<，又ABC 是等腰三角形， 4a n ∴==，++=，则ABC的周长为24410故选：B．【点睛】本题考查了绝对值的非负性、二次根式的非负性、三角形的三边关系、等腰三角形的定义等知识点，根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义求出第三边长是解题关键．4．D解析：D【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：AB、无法计算，故此选项错误；C、D，正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．B解析：B【分析】根据乘法分配律可以解答本题．【详解】)5=5+故选：B．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．6．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；【详解】x-≥，即：20x，解得：2故选：D；【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.7．D解析：D 【分析】根据题中给的方法分别对633633--+和3232-+进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设633633x =--+，且633633-<+， ∴0x <，∴26332(633)(633)633x =---+++， ∴212236x =-⨯=， ∴6x =-， ∵3252632-=-+， ∴原式5266=--536=-，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.8．C解析：C 【解析】依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围．解：若实数a ，b 满足+=3，又有≥0，≥0，故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则﹣3≤-≤0 ②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k ，即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．故选C ．点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.9．A解析：A 【解析】试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A 、原式=；B 、是最简二次根式，不能化简；C 、原式=；D 、原式=. 考点：最简二次根式 10．C解析：C【分析】根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.【详解】解：由题意得：2x -40≠,2x ∴≠±,又∵20x +≥,∴x ≥-2.∴x 的取值范围是：x>-2且2x ≠.故选C.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.二、填空题11．﹣2b【解析】由题意得：b ＜a ＜0，然后可知a-b ＞0，a+b ＜0，因此可得|a ﹣b|+=a ﹣b+[﹣（a+b ）]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b ＜a ＜0，然后可知a-b ＞0，a+b ＜0，因此可得|a ﹣()2a b +=a ﹣b+[﹣（a+b ）]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换． 12．-4【分析】先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】－3时，解：当a原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.13．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．14．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x=1，y=1，m＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．15．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008，解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a﹣2007=a，∴a≥2008，∴a﹣2007=a，=2007，两边同平方，得：a﹣2008=20072，∴a﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．16．【解析】【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.故答案为.【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.【解析】【详解】22.故答案为2. 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.17．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a ＝1，或a ＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩，解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18．【详解】若的整数部分为a，小数部分为b，∴a=1，b=，∴a-b==1．故答案为1．解析：【详解】a，小数部分为b，∴a=1，b1，∴-b1)=1．故答案为1．19．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可．【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。

2023中考数学一轮复习资料(全国通用)：实数与二次根式的运算(练透)(教师版)

专题04 实数与二次根式的运算一、单选题1．（2022·广东广州·铁一中学九年级二模）下列计算正确的是（）A ．122-=-B 3=±C =D ．()2224ab a b = 【答案】D【分析】直接利用负整数指数幂、算术平方根、二次根式加法、幂的乘方、积的乘方的运算法则计算判断即可；【详解】解：A 、1122-=，故本选项计算不正确，不合题意；B 3=，故本选项计算不正确，不合题意；CD 、()2224ab a b =，故本选项计算正确，符合题意；故选择：D ．2．（2022· ）A ．B ．CD 【答案】B【分析】根据相反数的定义即可求解．【详解】的相反数是，故选：B ．3．（2022·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（）A ．-2B C ．12 D ．0【答案】B【分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴102>>-，2故选：B．4．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）下列实数中，最大的数是（）A．πB C．﹣2 D．3【答案】A【分析】根据实数的大小关系，直接求得答案，即可．【详解】解：∵π＞32，∴最大的数是：π．故选A．5．（2022·长沙市南雅中学九年级期中）下列计算错误的是（）A．(π﹣3.14)0＝0 B=C．(x2)3＝x6D．a6÷a2＝a4【答案】A【分析】根据0指数幂的性质、二次根式加减法则、整式运算逐项计算即可．【详解】解：A：（π﹣3.14）0＝1，故A选项错误，符合题意；B=B选项正确，不符合题意；C：（x2）3＝x6，故C选项正确，不符合题意；D：a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故D选项正确，不符合题意．故选：A．6．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）下列各运算中，正确的运算是（）A B．（2a）3＝8a3C．a8÷a4＝a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式分析即可．【详解】解：A、A错误；B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故D错误．综上，只有B正确．故选：B．7．（2022·）A B．0 C D【答案】B【分析】先分母有理化，然后合并即可．【详解】0．故选：B．8．（2022·河南九年级期中）下列运算正确的是（）A B21 3C2D3a2【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C、D进行判断．【详解】解：A A选项错误；B B选项错误；C2，所以C选项错误；D、原式＝3a2，所以D选项正确．故选：D．9．（2022·广西南宁十四中）下列属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】B【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．【详解】A. =B.=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；3D. =被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B10．（2022·沙坪坝·的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】B【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算即可得解．【详解】2，22<<，4205∴45<<，∴223<<，∴的值应在2和3之间．故选：B．二、填空题11．（2022·莆田第二十五中学九年级月考）估计_____．【答案】2和3之间【分析】，可得23<<，即可求解．【详解】解：===∵23<<，∴2和3之间．故答案为：2和3之间．12．（2022·x应满足的条件是_______________．【答案】x≥2 3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，3x-2≥0，解得x≥23，故答案为：x≥23．13．（2022·沙坪坝·()1 0120213-⎛⎫--=⎪⎝⎭π__________．【答案】4-【分析】直接利用立方根的意义以及零指数幂法则、负整数指数幂法则分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：原式213=-+-4=-．故答案为：4-．14．（2022·()03π-=________．1【分析】根据二次根式的运算及零次幂可直接进行求解．【详解】解：原式=11=；1．15．（2022·112-⎛⎫=⎪⎝⎭____________．【答案】2【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算．【详解】解：原式2=2=．故答案为2．三、解答题16．（2022·山东九年级期中）已知x、y是实数，若3y=，求x y的立方根．【答案】12【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x ＝2，从而求出y ＝﹣3，然后根据立方根的定义，即可求解．【详解】解：由题意可得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x ＝2，故y ＝﹣3，则x y ＝2﹣3＝18，故x y 12．17．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级二模）计算：201332-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式=143++=18．（2022·四川广安中学）计算：（1；（2．【答案】（1）（2）6【分析】（1）先进行开方运算和去括号，再合并同类二次根式即可；（2）先计算开方运算、利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；【详解】解：（1）原式==（2）原式25(3)(73)=+----734=+-6=．19．（2022·西城·北京四中）计算：021)|1+-．【答案】4-【分析】根据零指数幂法则，二次根式的基本性质，完全平方公式以及绝对值的意义先化简每个式子，再合并同类二次根式即可求得答案．【详解】解：原式1311=--4=-20．（2022·深圳市罗湖区翠园初级中学）先化简，再求值：2112()2244m m m m m +÷+--+，其中m【答案】22m m -+，7 【分析】先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．【详解】解：原式=[2(2)(2)m m m -+-+2(2)(2)m m m ++-]÷22(2)m m - =2(2)(2)m m m +-×2(2)2m m- =22m m -+，当m原式7=，21．（2022·福建九年级模拟预测）计算：032)-+--【答案】2【分析】直接利用去绝对值符号、零指数次幂、求立方根的运算法则计算可得．【详解】解：032)-+=312+-=222．（2022·福建三明一中九年级开学考试）计算（1）2112-⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）222()()()b a b a b a b ++---【答案】（1）4；（2）2ab【分析】（1）原式利用负指数幂，立方根和算术平方根的法则化简，再计算加减法；（2）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果．【详解】解：（1）2112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=4213+--=422+-=4；（2）222()()()b a b a b a b ++---=2222222b a b a b ab +---+=2ab23．（2022·如皋市实验初中九年级期末）（1）计算1011(3)2π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求代数式的值22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2x =【答案】（12；（2）()212x -，15【分析】（1）先计算负指数幂，绝对值符号化简，零指数幂，立方根，再合并同类项即可；（2）先因式分解找出最简公分母通分，合并同时把除法转化为乘方，约分化简为最简分式，再赋值，代入计算即可．【详解】解:（1）1011(3)2π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=2112--2；（2）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭， =()()()()()22221422x x x x x x x x x x ⎡⎤+---⋅⎢⎥---⎢⎥⎣⎦， =()2442x x x x x -⋅--， =()212x -，当2x =原式=()215221=．。

2024年中考第一轮复习数的开方与二次根式课件

A. 16=±4
3
B. -8=2
( D )
C.-a
1

=
-
D.- 64=-8
■ 知识梳理
正数 a
平方根
0
负数 b
等于其本身的数
0
没有
0

0
没有
0,1
0± (一正一来自)算术平方根立方根
3
3

0,1,-1
考点二
二次根式的相关概念及性质
4.[2020·济宁]下列各式是最简二次根式的是 ( A )
个数据应是 -3 (结果需化简).
7.[2020·湖州]计算: 8+| 2-1|.
解:原式=2 2 + 2-1=3 2-1.
最简二
(1)被开方数中的因数是整数,因式是整式;
次根式
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(1) ≥0,a≥0(双重非负性);
二次根式
(3)
2 =|a|=
的性质
② a ( ≥ 0),
(4) =④
③ -a ( < 0);

(5)

=⑤

(2)( )2=① a

(a≥0,b>0)
(a≥0);
求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
考点一
平方根与立方根
1.[2020·南京]3 的平方根是
A.9
( D )
B. 3
2.[2020·常州]8 的立方根是
C.- 3
D.± 3
( C )
A.2 2
B.±2 2
C.2
D.±2

人教版初中数学中考复习一轮复习-数的开方与二次根式

C 2
伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）
A. 5
B.4
C.2 5
D.5
知识点四、二次根式-二次根式的运算
解：p a b c a b 4 5
2
2
所以a b 6, a 6 b
s pp ap bp c 55 a5 b5 4
55 (6 b)5 b1 5 b 15 b
3 的结果是______.
3 12
解： 3 1 1 1 3 12 1 4 1 2 3
5. 化简： 1 1 49
解： 1 1 9 4 13 13 4 9 36 36 36 6
知识点三、二次根式-二次根式的性质
D 1.[2019·济宁]下列计算正确的是 ( )
A. 3 2 3
解：原式 9 — 1 8 22
9 2 — 1 2 2 2 22 22
3 2 — 2 2 2 22
3 — 1 2 2 2 2
3 2
知识点四、二次根式-二次根式的运算
2、（2021. 铜仁）计算（ 27 — 18）（ 3 — 2）
解：原式（3 3 - 3 2）（ 3 - 2） 9-3 6 -3 6 6 15- 6 6
一轮复习
数的开方与二次根式
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、 .立方根。 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求
百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根. 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、
5 4 b3 2

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九年级数学复习4 ---二次根式
一、知识点
1：二次根式的概念及条件
0a ⇔≥
2：二次根式的性质
)a b -------=
,)a b --------=
;2()a a ---=
()()a a a a ----------⎧=⎨-⎩ 3：二次根式的化简
（1）最简二次根式满足条件：
（2）根式的化简结果要化成最简二次根式
化简下列各式：
;;;.------------=-==-=
;;((a b a b ----------=-=
.(b a -----= 二、基础练习:
（1）16的平方根是_______，－27的立方根是________，36的算术平方根是_________.
（2）化简：24＝________，2)2(-＝_______，312
＝________，321
-＝________.
（3
）
A 、24
B 、12
C 、23
D 、18
（4
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．
（5
）已知是正整数，则实数n 的最大值为（
）
A ．12
B ．11
C ．8
D ．3
（6）下列根式中属最简二次根式的是（）
A B C D （7，则与3的大小关系是(
) A ． 8． C ． D ．
（8）方程，当时，m 的取值范围是
（9）计算：。

（10）已知等于（）A ． B ． C ．
D ．
（11）已知mn ﹤0,化简
-----= （12）已知，求x 的范围是
三.例题精讲：
例1.计算：;
例2.计算：已知x ＝2－1，求x 2＋3x －1的值.
n -123a =-a 3a <3a ≤3a >3a ≥0|84|=--+-m y x x 0>y =+-3)23(2a a a -1-04423+-=+x x x x ⎛÷ ⎝
例3.计算：先化简，再求值：，其中
.
例4.计算：化简：
12009 |3.14π| 3.1412cos451)(1)
2
-
⎛⎫
-+÷+-++-
⎪
⎪
⎝⎭
°
四、随堂演练:
1．下列式子中最简二次根式的个数有（）
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；
⑺.
A．2个B．3个C．4个
D
．5个
2．若
A.B.C.D.
3．对于二次根式，以下说法不正确的是（）
A．它是一个正数B．是一个无理数C．是最简二次根式D．它的最小值是3 4，则x－y的值为（）
A．－1 B．1 C．2 D．3
5．若，，则的值是（）
2
4
)
2
12
2
(
+
-
÷
+
-
-
x
x
x
x3
4+
-
=
x
3
1
3
-1
2+
-x382)
3
1
(-)1
(
1>
-x
x
3
2
2+
+x
x
=
=
=9
4
,
70
,
7。

则
n
m
10
n
m+
10
m
n-
m
n
10
mn
9
2+
x
2
()
x y
=+
n
m
x-
=n
m
y+
=xy
A B C D 6．下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．
D
7．函数
y
＝＋中自变量x的取值范围是
A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x ≠3 D．x ≤2且x≠3
二、填空题
8．设5-的整数部分是a,小数部分是b,则a-b=
9．已知最简二次根式和的和是一个二次根式，那么b= ，和是。

三、解答题
10.计算：
⑴；⑵；
2)
+
（4）0
2
3)
2009
4
(
45
sin
2
)5
2
(
)
2
1
(
π
-
+
+
-
+
--
m
2n
2n
m+n
m-
632
a a a
÷=325
()
a a
==
=
x
-
23
1
-
x
5
1
2+
b b
-
7
)
36
)(
16
(
3-
-
⋅
-
5
2
1
3
1
2
3
2
1⨯
÷
12.挑战题:(2009江苏省中考题)
某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）。