1.2.1(2)函数的定义域与值域
1.2.1 定义域、值域
函数的概念
第三课时：定义域、值域的求法
【基础回顾】
一、函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， 函数的定义域； 与x的值对应的y值叫做函数值， 叫做函数的 函数值 y的集合值域. A叫做 x的取值范围
二、函数定义域、值域的表示法
集合表示法
区间表示法
【典例讲析】
1 u2 1 2 1 1 2 u u u u 1 因此： y 2 2 2 2
又因为：
u0
1 所以： y 2
1 故：原函数的值域是 y | y 2
四、分离常数法
解：y 3x 2 3x 6 8 3x 2 8 3
2
解：依题意有：x | x R
0 2 从而： x 1 1
因此： x 2
2 y x 1 1 即：
步骤： (1)找出定义域； (2)分析过程； (3)下结论。
所以： y x 2 1 的值域是
y | y 1
二、配方法
解： y x2 4x 5 x2 4x 4 1 x 22 1
例1：求下列函数的定义域
（1）
y 2x 6
x x R ,
x x 2 ,2 2,
1 1 x x , 3 3
1 （2） y x2
（3）
y 3x 1
【知识小结】
函数定义域的求法
依题意有： x | x R
2. y x 4x 5
2
因此： x 22 0
2
从而： x 2 1 1 即： y
1
所以：原函数的值域是
y | y 1
高一数学函数的概念2
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
（4）满足不等式 a x b 的实数
的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；
说明：
① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和 数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右 端点，称b-a为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就 有四种表示方法： 不等式表示法：3<x<7（一般不用）； 集合表示法：{x|3<x<7}； 区间表示法：(3,7)；Venn图
2．关于求定义域:
例1、（1）若函数 y
ax2 ax 1
a
的定义域是R，求实数a 的取值范围。
(2) 若函数 y f (x)的定义域为[1，1]，
求函数 y f (x 1) f (x 1)的定义域。
4
4
0
( x 0)
例2 、 已知
f
(
x)
x 1
的定义域应由不等式 a g(x) b 解出。
3．关于求值域：
例3、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
②f (x) 2 4 x
③y x
④y x2 4x 1, x [0,5]
x 1
；
⑤y 2x 4 1 x
例4、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1 时有最大值2，求a的值。
( x 0) ( x 0)
求f (1)、f (1)、f (0)、f { f [ f (1)]}
2．关于求定义域: （1）分母不等于零；偶次根式不小于零； 每个部分有意义的实数的集合的交集；符 合实际意义的实数集合
必修1课件1.2.1-2 函数的概念 (二)
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变 量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通 常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个 函数. 4．复合函数：设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，
则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11为复合函数.
2
a2
实数a 的取值范围(0,2].
复合函数
例如、y f (u ) u 2 , u R u g ( x) 2 x 1, x R 则y f [ g ( x)] (2 x 1) , x R.
2
例4．已知
f ( x) 的定义域为[-1,3]，
的定义域。 解：∵f(x)的定义域为[-1,3]，∴ 1 ∴
例2、求函数 y x 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得 ( x 2) 2 y xR y 2
2
函数的值域为 y | y 2} {
7 7 ∴函数的定义域为： , ) ( , ) ( 3 3
例3. 若函数
1 y ax ax 的定义域是R， a
2
求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,
1 ∴ ax ax 0恒成立， a a0 0 1 等价于 2 a 4a 0 a
例6．已知y=f(x+1)的定义域为[1,2]，求f(x)，f(x-3) 的定义域。 解：∵y=f(x+1)的定义域为[1,2]， 即f(x)的定义域为[2,3] 又∵f(x)的定义域为[2,3]， ∴ ∴
∴ 2 x 1 3
2 x3 3
2014年新课标人教A版必修1数学1.2.1函数的概念(1)随堂优化训练课件
2．判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数，并说明 理由．
(1)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝－x，g(x)＝－ x2； (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2.
答案：(1)f(x)＝(x－1)0＝1，这个函数与函数 g(x)＝1 的对应 关系相同，定义域不相同，所以它们不能表示同一个函数．
在 N 中无元素与之对应；(3)中的 x＝2 对应元素 y＝3∉N，所以
(3)不是；(4)中当 x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，所以
(4)不是．只有(2)符合函数的定义，所以(2)正确．
答案：B
根据函数定义，可知：函数的图象与垂直于 x 轴的直线至多有一个交点，如果有两个或两个以上的交点，那 么就不是函数图象． 【变式与拓展】 1．已知函数 f(x)＝x2＋|x－2|，则 f(1)＝________. 2
1.2
1.2.1
函数及其表示
函数的概念(1)
【学习目标】
1．通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依
1.2.1函数的概念
练习1. 已知f(x)的定义域为(-3,5],求函数f(3x-2) 的定义域；
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2 x 1的定义域( 1,5], 求f ( x)的定义域
例4.已知f ( x 1) x 1, 则f ( x) ________ .
练习 2.已知f ( x 1) x 2 x , 则f(x) _____.
1 x 例5.已 知f ( ) , 则f ( x ) ________ . x 1 x
四.求函数值
例1.已知函数f(x)=3x2-5x+2，则f(2)=_____.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) （3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b} {x|a≤x < b}
x 1, x 0 例5.已知函数 f ( x ) 2 x , x 0
则不等式f ( x ) 2的解集为 _______ .
例5. 画出函数y=|x|的图象.
x , x 0 y | x | x , x 0
y
图象如下：
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
ax c n 方法： 把y 化为 y a 的形式 xb xm
x 1 例2.函 数y 的值域为 ________ . x 1
高一数学 1.2.1函数的概念教案-人教版高一全册数学教案
１．２．１函数的概念一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生认识函数的构成要素；明确函数的定义；理解定义域、对应关系、值域的含义；掌握判断两个函数是否相等的方法；正确使用区间表示定义域、值域； 教学目的：引导学生树立函数思想研究变量之间的关系。
教学意义：培养学生通过观察事物的表象，分析事物变化的本质，揭示变量之间内在相互联系、相互制约的关系。
二、教学过程１．在背景材料下，引出函数的定义：一般地，设Ａ，Ｂ是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合Ａ中的任意一个数x ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数，记作(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围Ａ叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值；函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域，值域是集合Ｂ的子集。
注意：两个非空数集；一对一或多对一；集合Ａ中的任意一个数已知R x ∈，在解析式x y x y x y 2,|||,|2===中，哪些可以成为函数的解析式？ ２．一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域。
３．函数相等具备的条件：定义域、对应关系完全一致。
４．对应关系常见形式：①解析法②图象法③列表法５．理解和正确使用区间符号：),(],,(),,(),,[),,(),,[],,(],,[b b a a b a b a b a b a -∞-∞+∞+∞ 注意：对区间[,],(,],[,),(,)a b a b a b a b 来说，(前提条件b a <)６．求函数定义域：①由问题的实际背景确定；②能使解析式有意义的实数的集合。
注意：通过解析式求定义域，无需化简，应注意自变量取值的等价性。
7.掌握常数函数、一元一次函数、一元二次函数、反比例函数的值域情况。
三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子 １．已知函数15)(2+=x x x f ，若2)(=a f ，则=a 。
(绝对经典)1.2.1函数的概念
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f
2 3
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20
1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x
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1.2.1《函数的概念》（二）导学案
【使用说明】
1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分， 要求：人人参与并独立完成；
2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；
3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。
【学习目标】
1、了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域与值域；
2、进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
【课前导学与自测】
阅读课本，理解函数、定义域与值域的概念。
1、函数定义域与值域的概念
函数的定义域是函数 的集合，给定了函数解析式，函数的定义域是
；
函数的值域是 的集合，函数值域是函数定义中集合B 的 .
2.求函数的定义域：
（1）()3+=
x x f ； （2）()2
1+=x x f ； （3）()131f x x x =-++-。
（4）矩形周长为10，一边长为x ，则面积S=__________.,其定义域为__________.
归纳如下：
（1）如果f （x ）是整式，那么函数的定义域是 ；
（2）如果f （x ）是分式，那么函数的定义域是使 ；
（3）00 ；
（4）如果f （x ）为偶次根式，那么函数的定义域是使 的实数的集合；
（5）如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使 的实数的集合；
（6）如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况。
3.求函数的值域：
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;
②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;
④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
eg ：求二次函数y=x 2
-5x+6(-3≤x ≤2)的值域.
注意：函数的定义域和值域要用 或 形式表示，这一点应注意。
我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【精讲点拨】
例1、已知函数()2
13+++=x x x f ; （1） 求函数的定义域；（2）求()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-32,3f f 的值；（3）当0>a 时，求()()1,-a f a f 的值。
例2、对于二次函数241y x x =-+-，分别求出下列区间上函数的值域：
（1）R; (2)[]1,1x ∈-； （3）[]3,5x ∈； （4）[]2,4x ∈-； （5）[]0,3x ∈.
【巩固练习】
1、求下列函数的定义域：
⑴();43-=
x x x f ⑵()2x x f =； ⑶()2362+-=x x x f ； ⑷()14--=x x x f 。
（5） f (x ) = 1+x +x -21 ； （6） f (x ) = 24++x x ； （7）x 111)x (f +=；
2、已知函数1
()1f x x =++ x 0.
（1）求(3)f 的值； （2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求2(1)f a -的值.
3、求下列函数的值域：
（1）;1,12-≤-=x x y （2）}2,1,3{,122-∈-+=x x x y ； （3）432--=x x y ，1[∈x ，5]；
【深化提高】
1、求下列函数的定义域
（1）|x |x 1)x (f -=
； （2）5x 4x )x (f 2+--=；
（3）1x x 4)x (f 2--=
； （4）10x 6x )x (f 2+-=；
2、已知函数(21)y f x =+的定义域是[0,1]，则()y f x =的定义域是 ；
3、已知()f x x =，则()2f x +的定义域是 ．
4、已知函数(1)y f x =+的定义域为[1,2)-，则函数(1)(21)y f x f x =-+-的定义域为
5、已知函数1
)(22
+=x x x f . (1)求)21()2(f f +； （2）求证：1)1()(=+x f x f .
【小结与反思】
（1）知识与方法方面
（2）数学思想及方法方面 。