21.4二次函数的应用三(运动轨迹呈抛物线形)解析
解析高考数学中的二次函数及应用
解析高考数学中的二次函数及应用高考数学中，二次函数是一个非常重要的知识点。
考生们需要掌握它的定义、性质、图像和应用等方面的知识。
本文将对二次函数及其应用进行详细的解析，帮助学生更好地掌握这个知识点。
一、二次函数的定义和基本性质二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
它是一种关于自变量x的二次多项式函数，其图像是一个开口向上或向下的抛物线。
图像的轴对称线为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,c-1/4(b/a)^2)。
二次函数的一些基本性质如下：(1) 当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
(2) 当顶点坐标为(h,k)时，二次函数可以表示为y=a(x-h)^2+k。
(3) 函数图像关于x轴对称当且仅当c=-1/4(b/a)^2。
(4) 当a的符号改变时，函数图像关于x轴翻折。
(5) 当b的符号改变时，函数图像关于y轴翻折。
(6) 当c的符号改变时，函数图像上下平移。
(7) 当a的绝对值变大时，函数图像变得更加“尖锐”（注意a≠0）。
(8) 当a的绝对值变小时，函数图像变得更加“平缓”（注意a≠0）。
二、二次函数的图像及特点二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其方程中a 决定了抛物线的开口方向和大小，而b和c则决定了抛物线在坐标系中的位置。
当a>0时，抛物线开口向上，图像的左右两边向上开口，因此该函数在(-∞, -b/2a)和(-b/2a, +∞)处单调递增，在x=-b/2a处取得最小值。
当a<0时，抛物线开口向下，图像的左右两边向下开口，因此该函数在(-∞, -b/2a)和(-b/2a, +∞)处单调递减，在x=-b/2a处取得最大值。
另外，二次函数的顶点就是其最值点，该函数的对称轴为x=-b/2a。
当抛物线与x轴相交时，其判别式Δ=b^2-4ac>0；当抛物线与x轴相切时，其判别式Δ=0；当抛物线不与x轴相交时，其判别式Δ<0。
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》教学设计2
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析《二次函数的应用》是沪科版数学九年级上册第21.4节的内容。
本节主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
教材通过实例引导学生理解二次函数的图像和性质，以及如何将实际问题转化为二次函数模型，进一步解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对二次函数有一定的认识。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数模型，对二次函数在实际生活中的应用还不够了解。
因此，在教学本节内容时，需要引导学生将所学知识与实际生活相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.帮助学生理解二次函数的图像和性质，加深对二次函数知识的理解。
四. 教学重难点1.重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及对二次函数图像和性质的理解。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法。
通过实例引导学生了解二次函数在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣。
通过问题驱动，引导学生思考和探索，提高学生解决问题的能力。
利用小组合作，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生了解二次函数在实际生活中的应用。
2.设计问题，用于引导学生思考和探索。
3.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际案例，如抛物线形的跳板，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。
引导学生思考：如何用数学模型来描述这个实际问题？2.呈现（10分钟）呈现二次函数的图像和性质，让学生观察和分析，引导学生发现二次函数的规律。
同时，给出二次函数的一般式，让学生了解二次函数的构成。
2019新沪科版九年级数学上册习题课件：21.4-第3课时 求“抛物线”形运动问题
(1)求抛物线的表达式；
解 ： 设 抛 物 线 的 表 达 式 为 y ＝ ax2 ＋ bx ， 由 题 意 ， 得
2590＝2500a＋50b， 解得：a＝－4150，
50＝22500a＋150b，
b＝23，
∴抛物线的表达式为 y＝－
4150x2＋23x.
(2)此球是否可以击中球台而不触网？说明理由； 解：当 x＝160 时，y＝－4150×1602＋23×160＝4498＞16；当 x＝300 时， y＝－4150×3002＋23×300＝0；∴球是可以击中球台，但不触网．
B．5m 到 8m
C．230m 到 8m
D．5m 到230m
7．已知某种型号汽车的制动距离 y(单位：m)与车速 x(单位：km/h)满 足表达式 y＝0.002x2＋0.001x，则当汽车的速度是 3399..55 km/h 时，它的制 动距离是 3.16m。
8．某种爆竹点燃后，其上升高度 h(米)和时间 t(秒)符合表达式 h＝v0t －12gt2(0＜t≤4)，其中重力加速度 g 以 10 米/秒 2 计算，这种爆竹点燃后， 以 v0＝20 米/秒的初速度上升，在爆竹点燃后的 2.1 秒至 2.3 秒这段时间内， 爆竹是 下下降降 (填“上升”或“下降”)的．
解：以 O 为原点，OA 为 y 轴建立平面直角坐标系，在第一象限内，设 抛物线顶点为 B，水流落水与 x 轴交点为 C，由题意，得 A(0,1.25)，B(1,2.25)， C(x,0)．可设 y＝a(x－1)2＋2.25，把点(0,1.25)代入可求得 a＝－1.∴y＝－(x －1)2＋2.25.当 y＝0 时，－(x－1)2＋2.25＝0，解得 x1＝2.5，x2＝－0.5(舍去) . 所以 x＝2.5.答：水池的半径至少要 2.5m，才能使喷出的水流不落到池外．
21.4 二次函数的应用(3)
第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题
(3)存在这样的点 P. 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接 点 P 与点 C 的线段应被 x 轴平分， ∴点 P 的纵坐标是 1. ∵点 P 在抛物线 y＝x2－4x＋3 上，∴当 y＝1 时，即 x2 －4x＋3＝1，解得 x1＝2－ 2，x2＝2＋ 2， ∴点 P 的坐标是(2－ 2，1)或(2＋ 2，1)．
轴交于两点 A，B，其顶点为点 C. (1)对于任意实数 m， 点 M(m， －2)是否在该抛物线上？ 请说明理由； (2)求证：△ABC 是等腰直角三角形； (3)已知点 D 在 x 轴上，那么在抛物线 上是否存在点 P，使得以 B，C，D，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题
[解析] (1)设点 M(m，－2)在抛物线 y＝x2－4x＋3 上，则 －2＝m2－4m＋3，即 m2－4m＋5＝0，此方程无实数解，从 而点 M(m，－2)不在该抛物线上． (2)先求得点 A，B，C 的坐标，从而得到 AC，BC，AB 的长，再说明△ABC 是等腰直角三角形． (3)设存在这样的点 P，根据对角线互相平分的四边形是 平行四边形，则连接点 P 与点 C 的线段应被 x 轴平分，得到 点 P 的纵坐标是 1，由点 P 在抛物线 y＝x2－4x＋3 上，将点 P 的纵坐标代入可得点 P 的坐标．
典型例题解析
例：在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为(－1，1)，点 N 的坐标为(3，5)，点 P 为抛物线 y＝x2－3x＋2 上的一个动 点，当 PM＋PN 之长最短时，点 P 的坐标是( C ) A．(0，2)或(4，6) C．(0，2) B．(4，6)
二次函数与二次方程的应用详细解析与归纳
二次函数与二次方程的应用详细解析与归纳一. 二次函数的定义和性质二次函数是一种以x的平方项最高次的多项式函数形式，一般表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
1. 二次函数的图像特点：- 若a > 0，则抛物线开口向上，表示的是一个向上凸的函数；- 若a < 0，则抛物线开口向下，表示的是一个向下凹的函数；- 抛物线的顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx = -b / (2a) 为对称轴的x 坐标；- 抛物线在对称轴上的值Vy为二次函数的最小值（最大值）；- 若抛物线与x轴有两个交点，则称为有两个实根；若抛物线与x 轴有一个交点，则称为有一个实根；若抛物线与x轴无交点，则称为无实根。
2. 二次函数在实际生活中的应用：- 物体的抛体运动：根据抛物线的运动特点，可以利用二次函数来描述物体在空中的轨迹；- 成本和收益分析：在经济学中，可以利用二次函数分析成本、收益等问题；- 建模和预测：在数据分析和预测中，可以通过拟合二次函数来获得数据的规律和趋势。
二. 二次方程的定义和性质二次方程是一种由x的平方项和一次项的多项式方程，一般表示为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。
二次方程的求解可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来完成。
1. 二次方程的解的性质：- 设二次方程ax^2 + bx + c = 0的解为x1和x2，则有x1 + x2 = -b / a和x1 * x2 = c / a；- 若b^2 - 4ac > 0，则二次方程有两个不相等的实根；- 若b^2 - 4ac = 0，则二次方程有两个相等的实根；- 若b^2 - 4ac < 0，则二次方程无实根，但可以有两个共轭复根。
2. 二次方程在实际生活中的应用：- 物理学：通过二次方程可以求解抛体运动的时间、速度等问题；- 工程问题：通过二次方程可以求解抛物线拱桥的高度、跨度等问题；- 金融领域：通过二次方程可以求解复利、贷款等问题；- 生活中的实际问题：如面积、体积等问题，可以通过二次方程求解其中的未知量。
21.4_二次函数的应用(2)拱桥问题
某公园草坪的护栏由50段形状相同的抛物线形不 锈钢管组成，如果每段护栏都按0.4m间距加装不 锈钢管（如图的立柱），那么制作这些立柱共需 要多少米的不锈钢管？（精确到1m)
y A
O
C D xBFra bibliotek收获与反思
实际问题
抽象
转化
运用 数学问题 问题的解 数学知识 返回解释
检验
如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB的宽为20m,如果水位上升3m达到该地警戒水 位时,水面CD的宽是10m.
l
1
4
请同学们自学课本第37页的例2， 学会利用二次函数解决实际生活中具 有抛物线形的问题，尝试总结解题的 一般步骤。
y 0 x
y
坐标系的建立可有不同的 0 方法,会得到不同的函数关 系式,但不同的方法得到的 结果是一致的.
y ① (2,2) y ②
x
0 -1 ③
(4,0) x 0 0 ④
x
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路: 1.建立适当的平面直角坐标系 2.根据题意找出已知点的坐标 3.求出抛物线解析式 4.直接利用图象解决实际问题. 通过建立平面直角坐标系,可以将有关抛物
1 2 y x 25
C O
5 10 D
x
A
B
试一试
(3)现有一辆载有救灾物资的货车,从甲地出发经过此桥开 往乙地,已知甲地距离此桥280千米(桥长忽略不计),货车 正以40千米/时的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接 到紧急通知“前方连降暴雨,造成水位以0.25米/时的速 度持续上涨”(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到 桥拱最高点O时,禁止通行).试问:如果货车按原来的速度 行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使 货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
沪科版-数学-九年级上册-21.4 二次函数的应用教案
21.4 二次函数的应用┃教学整体设计┃第1课时二次函数的应用（1）┃教学过程设计┃例2(教材第37页例2)如图1,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图2,求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长.教师引导学生(1)这个抛物线的顶点坐标是什么？对称轴是什么？你还能写出这个抛物线上哪几个点的坐标？(2)这个抛物线对应的函数表达式可设什么形式？(3)第(2)题中离两端主塔分别为100 m,50m的点的横坐标各是多少？(4)第(2)题转化为数学语言是什么？思考：如果本题不给出坐标系,你还有没有其他方法建立坐标系,从而解决问题？初步了解建立平面直角坐标系解决实际问题.三、运用新知,解决问题 1.教材第38页练习第1题.2.某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图1所示.根据设计图纸已知：如图2所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式是y ＝－x 2＋2x ＋45.(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ (2)如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内？ 教师板演,纠错,巡视指导,讲评. 及时巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点1.通过学习本节,你有哪些收获？2.对本节课你还有什么疑惑？ 总结回顾学习的重点、难点内容,巩固所学知识.五、布置作业,巩固提升 1.教材第42页习题21.4第1、2题. 2.(选做题)教材第42页习题21.4第5题. 体现分层,加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】二次函数的应用(1)例1 S ＝x (20－x ),配方,得S ＝－(x －10)2＋100.因为a ＝－1＜0,所以当x ＝10时,S 取得最大值,最大值为100.21.4二次函数的应用┃教学整体设计┃第2课时二次函数的应用（2）┃教学过程设计┃┃教学小结┃。
二次函数在高中数学中的应用
二次函数在高中数学中的应用高中数学中，二次函数是一个非常重要的概念。
它是一种形式为f(x) = ax^2 +bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。
二次函数具有许多有趣的性质和应用，本文将探讨二次函数在高中数学中的应用。
一、图像与性质首先，我们来讨论二次函数的图像与性质。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
此外，二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中b和a分别是二次函数的系数。
二次函数还具有对称性。
如果把二次函数的图像沿着y轴翻转，得到的图像仍然是二次函数的图像。
这个性质称为对称轴对称性。
对称轴的方程可以通过公式x = -b/2a求得。
二、最值与方程二次函数在高中数学中的一个常见应用是求解最值与方程。
由于二次函数的图像是一条抛物线，因此它具有最值。
当抛物线开口向上时，最小值出现在顶点处；当抛物线开口向下时，最大值出现在顶点处。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值可以通过求解方程f'(x) = 0得到。
其中f'(x)是f(x)的导函数。
解得的x值代入原函数，即可得到最值。
三、应用问题除了最值与方程，二次函数还有许多实际应用。
例如，在物理学中，二次函数可以用来描述自由落体运动的高度与时间的关系。
根据牛顿第二定律和重力加速度的关系，可以得到二次函数h(t) = -gt^2/2 + vt + h0，其中h(t)表示时间t时刻的高度，g是重力加速度，v是初速度，h0是初始高度。
此外，二次函数还可以应用于经济学领域。
例如，通过分析二次函数来研究成本、利润和收益的关系，可以帮助企业做出决策。
二次函数还可以用来建立销售模型，预测产品销售量与价格的关系。
四、解二次方程最后，我们来讨论解二次方程的方法。
二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加
多少？
−2 −1
这条抛物线表示的二次函数为 y = 1 x2.
−2
2
当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. −4
令
1 2
x2
3，解得
x1
6，x2
6.
即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 (2 6 4) m.
12 B
知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图 象和性质求解
实际问题的解
例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高 度是多少米？
解：建立如图的直角坐标系. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
y
O
x
设此以 B (0，3.5) 为顶点的抛物线表达式为 y = ax2 + 3.5.
而点 A (1.5，3.05) 在这条抛物线上，
所以有 1.52a + 3.5 = 3.05，解得 a = -0.2.
第21章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
导入新课
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水 面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
新课讲授
利用二次函数解决实物型抛物线问题
二次函数的性质及其应用
二次函数的图象及其性质1.二次函数的图象二次函数2()y a x h k =-+的图象是抛物线,它有如下特点:(1)a>0,开口向上；a<0,开口向下；(2)对称轴是平行于y 轴的直线x=h ；(3)顶点坐标是(h ,k ).2.二次函数y=ax 2+bx+c 的性质.开口方向:当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下.对称轴:直线x=2b a- 顶点坐标:(2b a -, 244ac b a-) 增减性:(1)当a>0时,在对称轴的左侧,即x<2b a -时,y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧,即x >2b a-时,y 随x 的增大而增大. (2)当a<0时,在对称轴的左侧,即x<2b a-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧即x >2b a-时，y 随x 的增大而减小. 最大（小）值：当a>0时，抛物线有最低点，即当x=2b a -时，y 有最小值244ac b a-；当a<0时，抛物线有最高点，即当x=2b a -时，y 有最大值244ac b a-.例1 已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a>0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=-1或x=3时，函数y 的值都等于0.其中正确结论的个数是（ ）A.3B.2C.1D.0解析:图像开口向下,a<0对称轴找一对对称点，在这里与横轴的两个交点-1+3／2=1所以选B类似性问题1. 下列函数：①y=-x ；②y=x -1；③y=-1x（x<0）；④y=-x 2+2x+3（x<1），其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个解析：函数②③④的y 的值随x 值增大而增大.2. 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，4），则点B 的坐标为（ ）A.（2，4）B.（4，2）C.（4，4）D.（4，3）解析：点A 、B 关于直线x=2对称；点A 的坐标为（0，4），所以点B 的坐标为（4，4）.探究类型之二 从二次函数的图象中获取信息例 2 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则下列5个代数式：ac ,a+b+c ,4a -2b+c ,2a+b ,2a -b 中，其值大于0的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5解析:判断a 的符号看图像开口方向，判断c 的符号要看图像与y 轴的交点位置。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，在现实生活中也有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，并结合实际例子，探讨二次函数在各个领域的应用。
1. 二次函数的基本概念二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个二次曲线，也称为抛物线。
2. 二次函数与图像二次函数的图像具有以下特点：- 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，称为正抛物线；当a < 0时，二次函数的图像开口向下，称为负抛物线。
- 二次函数的图像关于x轴对称，称为对称轴。
对称轴的方程为x = -b/(2a)。
- 二次函数的顶点是图像的最低点或最高点，在对称轴上。
顶点的横坐标为-x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。
3. 抛物线的应用抛物线作为一种特殊的曲线形状，在工程、物理、经济等领域有广泛的应用。
3.1 物理学中的应用在物理学中，抛物线经常用来描述物体的运动轨迹。
例如，抛出的物体在重力作用下的运动可以用二次函数来描述。
通过分析抛物线的特性和方程，可以推导出物体的最高点、最远点等重要信息。
3.2 工程学中的应用抛物线在工程学中也有许多应用。
例如，在桥梁设计中，二次函数可以用来描述桥梁弯曲的形状，从而确定桥梁的结构和材料；在发射抛物线的炮弹或火箭的轨迹计算中，二次函数可以用来分析飞行轨迹和最佳发射角度。
3.3 经济学中的应用经济学中的需求曲线和供给曲线通常也是二次函数。
通过分析二次函数的方程和图像，可以研究产品的价格和销量之间的关系，从而进行市场预测和经济决策。
4. 求解二次方程二次函数也可以用来解决一些实际问题。
当我们遇到形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程时，可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过求解二次方程，可以找到方程的根或解，并应用于各个领域的实际问题中。
第21章 21.4.2 二次函数在桥梁建筑等问题中的应用
解：由题意知抛物线顶点坐标为(5,2.5)、C(10,0)，设抛物线的函数关系式为 y＝a(x－5)2＋2.5, 把 C 代入得 0＝25a＋2.5，解得 a＝－110，∴y＝－110(x－ 5)2＋2.5.当 y＝4－2.4＝1.6 时，即 1.6＝－110(x－5)2＋2.5，解得 x1＝2(不合 题意，舍去)，x2＝8，即 10－8＝2(m)，故汽车右侧离隧道右壁至少 2m 才 不会碰到隧道顶部．
第第21章章二次函数与反比例函数214二次函数的应用2142二次函数在桥梁建筑等问题中的应用数学九年级上册?hk建立二次函数模型解决与建筑有关的问题在解决建筑桥梁等问题中的实际问题时可根据形体特征选择合适的原点建立坐标构建模型再结合条件进行相关计算解决相应问题
数学 九年级 上册•HK
第21章 二次函数与反比例函数
4．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门地面宽 AB＝4m， 顶部 C 离地面的高度为 4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶 部距地面 2.8m，装货宽度为 2.4m，请判断这辆汽车能否顺利通过大门？
解：以 AB 为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则可设抛物线表 达式为 y＝ax2＋4.4，把(2,0)代入得 0＝4a＋4.4，解得 a＝－1.1，∴有 y＝－ 1.1x2＋4.4，当 x＝1.2 时，y＝2.816＞2.8，∴这辆汽车能顺利通过大门．
(2)由题意，OC＝5m.令 y＝0，即－210x2＋5＝0，解得 x1＝10，x2＝－10.∴ 地毯的总长度为 AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．∴30×1.5×20＝900(元)∴ 购买地毯需要 900 元； (3)可设点 G 的坐标为(m，－210m2＋5)，其中 m＞0，则 EF＝2m，GF＝－210 m2＋5.由已知得：2(EF＋GF)＝27.5，即 2(2m－210m2＋5)＝27.5，解得：m1 ＝5，m2＝35(不合题意，舍去)．∴EF＝10(m)，GF＝－210×52＋5＝3.75(m)．
用二次函数解决“抛物线”形问题教学课件
2 熔化
5 (1)0 (2)4 8 非晶体；升高
3 凝固；放出 6 见习题
9C
习题链接
11 见习题 12 见习题 13 C
14 C 15 见习题
答案呈现
基础巩固练
6.下图是某物质熔化时温度随时间变 化的图像。请按图回答下列问题：
(1)该物质熔点是________℃。 (2)熔化过程持续的时间大约是_____min。 (3)在第20 min时，该物质处于__________
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3．小刚舔从冰箱冷冻室里拿出的冰糕，舌头往往会被冻 在冰糕上。这是因为舌头上的水发生了__凝__固____(填 物态变化名称)，这一过程要__放__出____热量。
基础巩固练
9．下表列出了几种晶体的熔点，下列说法错误的是( ) A.在－268 ℃时，氢是固态 B．灯泡的灯丝用钨制成，不容易熔化 C．纯金掉入钢水中不会熔化 D．水银温度计在－40 ℃时不能使用
向活动范围是 3 m. 【答案】 3
5．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 ACB，其横截面如图所 示，在图中建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为 y＝－210 x2＋c，其顶点为 C(0，5)．(长度单位：m)
(1)直接写出c的值；
解：(1)c＝5.
(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度 为1.5 m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需 要多少元．
基础巩固练
【点拨】钛合金粉末在高温下由固态变成液态，是熔 化现象，需要吸热；然后按构件形状重新凝固成型， 需要放热。 【答案】熔化；凝固
能力提升练
【点拨】由图知B在凝固过程中温度保持不变，所以 B是晶体。B从第4分钟开始凝固，到第8分钟凝固完， 所以凝固过程所用时间为8 min－4 min＝4 min。晶 体在凝固过程中处于固液共存状态，在凝固过程不断 放热，但温度不变。从图中可以看出，B在凝固过程 中保持50 ℃不变，所以其凝固点为50 ℃。 【答案】B；4；固液共存状态；放热；不变；50 ℃
2020沪科版九年级数学上册 21.4 第1课时 几何图形的最大面积
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
x
x
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 60-2x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
4
当x=20时，y最大＝300.
E
30m D
C
B
F
A
40m
练一练
1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙
长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，
面积是多少？
解：设矩形菜园的长为xm，则宽为15 x m.
2
S 15 x x 1 x2 15 x
2
S 60 x x 1 x2 30x
2
2
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确. 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点 处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希 望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及 何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), ∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
二次函数应用(运动中的抛物线问题)
(2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果
她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣
球最佳？（精确到0.1s） 解：当h=2.5 m时，得
h
v0t
1 2
gt 2
10t 5t2 2.5
解得 t1 0.3s, t2 1.7s
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度， 但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻， 选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为y 1 x2 1 x 3 ，
8 22
那么铅球运动过程能达到的最大高度是 2 米.铅球成绩
是__6___米
y
O
x
课堂小结
运动中的抛 物线问题
转化
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
y=－0.2x2+3.5.
y
当 x=－2.5时，y=2.25 .
答：该运动员出手时的高度为2.25m.
O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度
解：如图，建立如图所示的坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.则点C表示运动员投篮球 的出手处.
根据题意可设抛物线的解析式为 y=ax2+3.5.点A（1.5,3.05）
在抛物线上，代入有
2.25a+3.5=3.05，
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y=-0.2x2+3.5
h=2.25-0.25-1.7=0.3(米)
2.5m O 4m 3.05m
x
篮球场上的抛物线
在火箭主场与湖人的一场比赛中，科比在距篮4米处跳投，球运行 的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度 3.75米，然后球准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米. （1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；
y (0,3.75)
3.45
3.05米
2米 0 x
4米
例2、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离
9
地面高 20 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手
后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的
轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
（1）问此球能否投中？
Ｙ
20 9
4米
3米
4米 O 8米
Ｘ
y
(0,3.75) (1.5,3.05)
3.05米 2.5米
0
x
4米
（2）姚明身高为2.26米，跳起能摸到高度为 3.45米，此时他上前封盖，在离科比2米处时起 跳,问能否成功封盖住科比的此次投篮?
y
(0,3.75)
3.67 3.45
3.05米
-0.5 2.5米
0
x4米Βιβλιοθήκη （3）若姚明想要成功封盖科比的这次投篮，他 离科比的距离至少要多少？（精确到厘米）
解：（1）把x=0,y=2,及h=2.6y=a(x-6)2+h y 即2=a(0－6)2+2.6， ∴ a 1 1 60 ∴y= (x-6)2+2.6
60
2 O
A 球网 6 9
第23题图
边界 18 x
练习:你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处 2 时的形状可近似的看为抛物线 y ax bx c (a 0). 如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4m ，距地面均为 1m ，丙、丁分别站在距甲拿绳手水 平距离1m、2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他 们的头顶，已知丙的身高是 1.5m ，则丁的身高为 （ ） A．1.5m B.1.625m C.1.66m D.1.67m
y
x
3.在一场足球比赛中，一个球员从球门正前 方10米处将球踢向球门，假设足球走过的路 线是抛物线，当球飞行的水平距离是6米时， 球达到最高点，离地面3米，足球球门高2.44 米，问能否射进球门？
y
A(6, 3) 最高点
3米
高度2.44米， 问球有没有进？
球门位置
B(10, n)
x
o
6米
10米
4.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球 从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其 运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满 足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平 距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点 的水平距离为18m。 （1）当h=2.6时，求y与x的关系式 （不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？ 球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界， 求h的取值范围。