初中数学千题解—最值问题100题(教师版)

1.如图3.1所示，在Rt △ABC 中，∠A =30°，AB =4，点D 为边AB 的中点，点P 为边AC 上的动点，则PB +PD 的最小值为（ ）

A.

B.

A.

A.

1.解 延长BC 至点'

B ，使'B

C B C =，连接'B P 、'B A ，如图4.1所示， ∴AC 垂直平分'BB ，∴'B A BA =，∴AC 平分'B AB ∠. ∵30CAB ︒∠=，∴'60B AB ︒∠=，∴'ABB ∆为等边三角形.

∵点P 为AC 上一点，∴'PB PB =，∴''PB PD PB PD B D +=+≥，

当且仅当'B 、P 、D 在同一直线上时，如图4.2所示，PB PD +取得最小值.

在'Rt ADB ∆中，1

22

AD AB ==，'60B AB ︒∠=

，∴'tan 60B D AD ︒===g ，

故答案是C.

思路点拨:

这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P 所在直线的两侧；根据“两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.

拓展 若点D 为边AB 上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60°特殊角计算'B D 的长度；若点D 是边AB 上的一动点，则'B D 将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处.

2.如图

3.2所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，动点P 满足1

3

PAB ABCD S S =V 矩形，则点P 到AB 两点距离

之和P A +PB 的最小值为 .

2.解 令点P 到AB 的距离为d .

∵111

=35=5=5332

PAB ABCD S S d ∆=⨯⨯g g 矩形，∴2d =，

∴点P 为到AB 距离为2的直线1l 、2l 上的点.

直线1l 、2l 关于AB 对称，因此选其中一条进行计算.

作点B 关于直线1l 的对称点'B ，连接'B C 、'B P 、'AB ，如图4.3所示，

图3.1

P

C

B

D A

D 图 4.2

图 4.1

A

B

C

P

B '

B '

P

D C

B

A

P A

D

B

C

图3.2

∴''PA PB PA PB AB +=+≥，

当且仅当A 、P 、'B 三点共线时取得最小值，如图4.4所示. 在'Rt ABB ∆中，5AB =，'24BB d ==，

∴'AB =， 故PA PB +

思路点拨:

这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点P 的运动轨迹为直线（或称为“隐线”）；利用轴对称的性质，构造对称点'B ，再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值'AB .

3.如图3.3所示，在矩形ABCD 中，AD =3，点E 为边AB 上一点，AE =1，平面内动点P 满足1

3

PAB ABCD S S =V 矩形，

则DP EP -的最大值为 .

3.解 令点P 到AB 的距离为d .

∵1

3

PAB ABCD S S ∆=矩形，∴2d =，

∴点P 在到AB 距离为2的直线1l 、2l 上，如图4.5所示.

作点E 关于直线1l 的对称点'E ，连接'E D 并延长交直线1l 于点P ，连接EP ，如图4.6所示， ∴'E P EP =.

当点P 在直线1l 上时，''DP EP DP E P E D -=-≤，当且仅当D 、'E 、P

三点共线时取得最大值

'E D ==

当点P 在直线2l 上时，DP EP ED -≤，当且仅当D 、E 、P 三点共线时取得最大值，如图4.7所示. 在Rt △ADE 中，3AD =，1AE =

，∴DE =，

∴DP EP ED -≤=

∴当点P 为DE 的延长线与直线2l

图3.3

B

思路点拨:

解法如题2，需要找出满足条件的点P 所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分别计算最大值并进行大小比较.

特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟题中叙述点P 时用的是“平面内”，而非“矩形内”.

4.已知y =y 的最小值为 .

4.解 原式=

+

.

建立平面直角坐标系，设(),0P x ，()1,1A ，()1,1B --，则AB 在x 轴的两侧，

∴PA =PB ，

∴y PA PB AB +=+≥，

当A 、P 、B 三点共线时，y 值最小，∴min y AB ==

思路点拨:

若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型——两点之间线段最短.

5.已知y =y 的最大值为 .

5.解 原式=

.

建立平面直角坐标系，设),0P x ，3,3A ，1,2B ，

∴PA =PB =

∴y PA PB AB -≤，

当A 、P 、B 三点共线，即点P 在AB 延长线上时y 值最大，∴max y AB == 思路点拨:

阅读题目时需观察清楚“＋”或“－”，切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同.将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.

6．如图3.4所示，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝D 是边AB 上一动点，连接CD ，以AD 为直径的圆交CD 于点E ，则线段BE 长度的最小值为 ．