全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及详细答案

∴ 0=2×1+m，解得 m=-2，
∴ y=2x-2，
y＝2x 2
则
y＝ax2
ax
2a
，
得 ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴ （x-1）（ax+2a-2）=0，
解得 x=1 或 x= 2 -2， a
∴ N 点坐标为（ 2 -2， 4 -6）， aa
∵ a＜b，即 a＜-2a，
∴ a＜0，
如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，
/秒，当点 M 运动到点 A 时，点 N 停止运动，则当点 N 停止运动后，在 x 轴上是否存在点 P，使得△ PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
y
4 3
x2
8 3
x
4
（2）
D
1,
8 3
（3）点
P
的坐标
P1（﹣1，0）或
P2
（7，0）或 P3（﹣ 9 ，0）或 P4（ 1 ，0）．
法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
3．如图，抛物线 y＝ax2+bx+4 与 x 轴交于点 A（﹣1，0）、B（3，0），与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，D 为抛物线对称轴上一动点，求 D 运动到什么位置时△ DAC 的周长最小； （3）如图 2，点 E 在第一象限抛物线上，AE 与 BC 交于点 F，若 AF：FE＝2：1，求 E 点坐 标； （4）点 M、N 同时从 B 点出发，分别沿 BA、BC 方向运动，它们的运动速度都是 1 个单位
离，找到 D 点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键
4．如图，已知抛物线
的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0），另一个交点为
A，且与 y 轴交于点 C（0，5）。
（1）求直线 BC 与抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的动点，过点 M 作 MN∥ y 轴交直线 BC 于点 N， 求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一 点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，△ ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标。
ab40 得 9a 3b c 0
解得 a＝ 4 ，b＝ 8 ，
3
3
∴ 抛物线的解析式 y 4 x2 8 x 4 ； 33
（2） y 4 x2 8 x 4 4 (x 1)2 16
33
3
3
∴ 抛物线对称轴为直线 x＝1，
∴ D 的横坐标为 1， 由（1）可得 C（0，4）， ∵ B（3，0），
【答案】（1）
（2） （3）P 的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4） 【解析】
【分析】
（1）由 B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线 BC 与抛物线的解析式。 （2）构造 MN 关于点 M 横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。 （3）根据 S1=6S2 求得 BC 与 PQ 的距离 h，从而求得 PQ 由 BC 平移的距离，根据平移的性
∴ P1（﹣1，0）， 若 P 在点 B 右侧，OP＝OB+BP＝4+3＝7，
∴ P2（7，0）； ②当 NB＝NP 时，作 NH⊥x 轴，
△ NHB∽ △ COB，
∴ NH BH BN 4 OC OB BC 5
∴ NLeabharlann Baidu＝ 4 OC＝ 4 4 ＝ 16 ，
55
5
BH＝ 4 BC＝ 12 ， 55
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+ 1 ）2+ 9 ， 24
y x2 x 2
由
，
y 2x
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1， ∴ G（-1，2），
∵ 点 G、H 关于原点对称，
∴ H（1，-2），
设直线 GH 平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
解：（1）∵ 抛物线 y=ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0），
∴ a+a+b=0，即 b=-2a，
∴ y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+ 1 ）2- 9a ， 24
∴ 抛物线顶点 D 的坐标为（- 1 ，- 9a ）； 24
（2）∵ 直线 y=2x+m 经过点 M（1，0），
10
10
10
间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是 15210 元．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60 个房间﹣每个房间每天的定价增加的
钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为 x 元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实
际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为 20×（60﹣ x ），则利润 w=（200+x）（60﹣ x ）﹣20×（60﹣ x ），
10
10
10
利用配方法化简可求最大值．
试题解析：解：（1）由题意得：
y=60﹣ x 10
（2）p=（200+x）（60﹣ x ）=﹣ 1 x2 +40x+12000 10 10
（3）w=（200+x）（60﹣ x ）﹣20×（60﹣ x ）
定 D、M、N 的位置，画图 1，根据面积和可得△ DMN 的面积即可；
（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线
只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段
GH 与抛物线有两个不同的公共点时 t 的取值范围．
【详解】
P4（ 1 ，0） 3
综上，当△ PBN 是等腰三角形时，点 P 的坐标 P1（﹣1，0）或 P2（7，0）或 P3（﹣ 9 ， 5
0）或 P4（ 1 ，0）． 3
【点睛】
本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综
合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距
（3）a＝﹣1 时，直线 y＝﹣2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现
将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t＞0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，
试求 t 的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点 D 的坐标为（﹣ 1 ，﹣ 9 a ）；（2） 27 3 27 a ；（3）
10
10
=﹣ 1 x2 +42x+10800 10
=﹣ 1 （x﹣210）2+15210 10
当 x=210 时，w 有最大值．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是
15210 元．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方
EH=2，设 E（x， 4 x2 8 x 4 ），则 H（x﹣2， 4 x 20 ），yE＝yH，解出方程 x＝1
33
33
或 x＝2，得到 E 点坐标 （4）△ PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP＝BC 时，利用
等腰三角性质直接得到 P1（﹣1，0）或 P2（7，0），②当 NB＝NP 时，作 NH⊥x 轴，易
∴ 直线 BC： y 4 x 4 3
∵ DA＝DB， △ DAC 的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD， 连接 BC，与对称轴交于点 D，
此时 CD+BD 最小，
∵ AC 为定值，
∴ 此时△ DAC 的周长，
当 x＝1 时，y＝﹣ 4 ×1+4＝ 8 ，
3
3
∴ D（1， 8 ）； 3
（3）作 EH∥ AB 交 BC 于 H，则∠ FAB＝∠ FEH，∠ FBA＝∠ FHE，
x2-x-2+t=0，
△ =1-4（t-2）=0，
t= 9 ， 4
当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入 y=-2x+t，
t=2，
∴ 当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是 2≤t＜ 9 ． 4
【点睛】 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角 形的面积等知识．在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立 两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一 个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较 大．
∵ 抛物线对称轴为 x a 1 ， 2a 2
∴ E（- 1 ，-3）， 2
∵ M（1，0），N（ 2 -2， 4 -6）， aa
设△ DMN 的面积为 S，
∴
1
S=S△ DEN+S△ DEM=
|（
2
-2）-1|•|- 9a
-（-3）|= 27
−3
27
−
a，
2a
4
4a8
（3）当 a=-1 时，
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解得 x＝1 或 x＝2，
y＝ 16 或 4， 3
∴ E（1， 16 ）或（2，4）； 3
（4）∵ A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）
∴ AB＝4，OC＝4，
点 M 运动到点 A 时，BM＝AB＝4，
∴ BN＝4，
∵ △ PBN 是等腰三角形，
①BP＝BC 时，
若 P 在点 B 左侧，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，
24
4a8
2≤t＜ 9 ． 4
【解析】
【分析】
（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，
化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；
（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去
y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 a＜b，判断 a＜0，确
（2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为
每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）y=60- x ；（2）z=- 1 x2+40x+12000；（3）w=- 1 x2+42x+10800，当每个房
2．某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以 住满．当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房 间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加 x 元．求：
（1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；
∴ PH＝BH＝ 12 ， 5
BP＝ 24 ， 5
∴ OP＝BP﹣OB＝ 24 3 9 ，
5
5
∴ P3（﹣ 9 ，0）； 5
③当 PN＝PB 时，
取 NB 中点 K，作 KP⊥BN，交 x 轴于点 P，
∴ △ NOB∽ △ PKB，
∴ PB BK BN OB
∴ PB＝ 8 ， 3
∴ OP＝OB﹣PB＝3﹣ 8 ＝ 1 33
∴ △ ABF∽ △ EHF， ∵ AF：FE＝2：1，
∴ AB AF 2 ， EH EF
∵ AB＝4，
∴ EH＝2，
设 E（x， 4 x2 8 x 4 ），则 H（x﹣2， 4 x 20 ）
33
33
∵ EH∥ AB，
∴ yE＝yH，
∴ 4 x2 8 x 4 = 4 x 20
得△ NHB∽ △ COB，利用比例式得到 NH、 BH 从而得到 PH＝BH，BP，进而得到 OP，即得
到 P 点坐标，③当 PN＝PB 时，取 NB 中点 K，作 KP⊥BN，交 x 轴于点 P，易得
△ NOB∽ △ PKB，利用比例式求出 PB，进而得到 OP，即求出 P 点坐标
【详解】
解：（1）将 A（﹣1，0）、B（3，0）代入 y＝ax2+bx+4，
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，抛物线 y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线 y＝2x+m 有一个公共点 M（1，0），且 a＜
b．
（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求△ DMN 的面积与 a 的关系式；
质求得 PQ 的解析式，与抛物线 【详解】
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【解析】
【分析】
（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到 D 点在对称轴时是△ DAC 周长最小的点， 先求出直线 BC，然后 D 点横坐标是 1，直接代入直线 BC 求出纵坐标即可 （3）作 EH∥ AB
交 BC 于 H，则∠ FAB＝∠ FEH，∠ FBA＝∠ FHE，易证△ ABF∽ △ EHF，得 AB AF 2 ,得 EH EF