因式分解公式法

因 式 分 解

公式法

因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 1.利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-2

2

①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。

2.利用完全平方公式因式分解：()2

2

22b a b ab a ±=+±

注意：

①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成

222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。

⑤在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.

⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.

典型例题分析：

利用平方差公式：

例1． 用平方差公式分解因式：

（1）2

2

)(9y x x -+-； （2）2233

1n m -.

例2．分解因式：

（1）ab b a -5； （2）)()(4

4

n m b n m a +-+

（3）2

2

2

2

)23()32(4y x m y x m ---； （4）b a b a 2418321822+-- 例3. 简算

（1） 226778- （2）22991001-

例4. 解方程：.36)321()321(2

2

=--+x x

【拓展提升】

例5. 分解因式：（1）8

8y x +-； (2) 2

2

2

16)4(x x -+.

例6. 1)12

()12)(12)(12(32

3

2

+++++ 的个位数字是 .

例7.若12

48

-能被60与70之间的两个整数整除，这两个数是 .

针对性训练：

1. 若)2)(2)(4(162

x x x x n

-++=-，则n 的值是（ ）

A. 6

B. 4

C. 3

D. 2 2. 把多项式2

22

22

4)(b a b a -+分解因式的结果是（ ） A. 222)4(ab b a ++ B. 2

22)4(ab b a ++

C. )4)(4(2

2

2

2

ab b a ab b a -+++ D. 22)()(b a b a -+

3. 分解因式：

（1）2

2536x -； （2）2201.094n m +-

； （3）624

9

8116x y -； （4）224)32(x y x --

(5) 22102398-： (6) 2

)23(64b a --； （7） )()(2

2

x y b y x a -+-； （8）2

2

2

)(68)(17a b x b a ---； （8）2

2

2

2

)23()32(b c ab c b ac +-+ ； （9）)2()2(2

4

x y x y x x -+- ； （10）；2

22

22

4)(b a b a -+；

（11）；22)(16)(81c b a c b a -+-+-； （12）2

222224)(b a c b a --+.

利用完全平方公式：

例1．（1）已知：9)3(164

++-x k x 是一个完全平方公式求k 的值.

（2）若25)4(22

+++x a x 是完全平方式，求a 的值.

例2. 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？ （1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）2

2

3612y x xy ++-.

例3.把下列各式分解因式：

（1） 442-+-x x ； （2） 2

29

14942y x xy -

- （3）mn n m 4422+--

例4. 分解因式：

（1）2

2

363ay axy ax ++. （2）2

22

2

2

)(624b a b a +-

例5．分解因式：

（1）2

2

)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---； （2） 4224168b b a a +-；

（3） 1)2(2)2(2

2

2

++++m m m m ； （4） 63244914b b a a +-；

（5）1)2(6)2(92

+---b a b a .

例6．已知2=+b a ，求

222

1

21b ab a ++的值.

例7．已知1=-y x ，2=xy ，求3

2

2

3

2xy y x y x +-的值.

例8.解方程：（1）091242=+-x x ； （2）01)1(2)1(2

=++++x x

例9. 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.

例10.已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+3

46423y x y x ，求代数式2

249y x -的值。

【拓展提升】

例1. 如果p ab a 42

--是一个完全平方式，那么p 的值为 .

例2. ∆ABC 的三边满足,222

2

ab c bc a -=-则∆ABC 是（ ）