波动方程的物理背景
真空中的波动方程
真空中的波动方程
一、物理背景
波动方程是描述波动现象的基本方程，适用于描述在各种介质中传播的波动。
在真空环境中，波动方程的应用尤其广泛，主要涉及电磁波、声波、引力波等。
真空中的波动方程是指在真空中传播的波动所满足的数学模型，用于描述波动在空间和时间中的变化规律。
二、数学模型
在真空环境中，波动方程通常表示为以下形式：
ΔΦ/Δt=c^2ΔΦ/Δx^2
其中，ΔΦ表示波动场的变化量，Δt表示时间变化量，Δx表示空间变化量，c表示波速。
对于不同类型的波动，波动方程的具体形式会有所不同。
例如，对于电磁波，波动方程通常表示为麦克斯韦方程组；对于声波，波动方程通常表示为声波方程。
三、求解方法
求解真空中的波动方程通常需要使用数值方法，因为波动方程是偏微分方程，解析解通常很难得到。
常用的数值求解方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法可以将偏微分方程离散化为代数方程组，然后使用数值计算方法求解。
求解过程中需要考虑边界条件和初始条件，以获得准确的解。
四、应用领域
真空中的波动方程在许多领域中都有广泛应用。
例如，在通信领域，可以利用电磁波在真空中的传播特性实现卫星通信和无线通信；在物理学领域，可以利用真空中的波动方程研究光子、声子等粒子的传播和散射特性；在地球物理学领域，可以利用真空中的波动方程研究地震波的传播和散射等。
因此，掌握真空中的波动方程对于理解这些领域的物理现象和开发相关技术具有重要意义。
第六章_波动方程
一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
波动方程
波动方程
波动方程的由来：
薛定谔有广泛的兴趣和多面手的能力，但在量子理论的研究上，他起步很晚，行进也缓慢而曲折。
1925 年，他完成了“关于爱因斯坦气体理论的研究”的论文。
这篇论文以量子论为基础，利用德布罗意关于物质粒子的波动性理论，推导出爱因斯坦玻色气体统计规律，成为薛定谔创立波动力学前夕闪亮登场的一笔。
同年11 月，薛定谔在苏黎世联邦理工学院举办了关于德布罗意论文的讲座，第一次讲座并不太令人满意，第二次讲座他拿出了波动方程，他的波动力学就此亮相。
随后，薛定谔继续研究，终于完成了波动力学论文。
他分两次寄出，第一篇投寄到《物理年鉴》杂志。
杂志编辑部收到该论文的时间是1926年1月26日，论文题目是“本征值问题的量子化”。
4 周之后，他以同样的题目发表了第二篇，接着在未来的不到半年的时间里，他一连发表了6 篇论文。
薛定谔通过力学和光学之间的哈密顿类比，不仅推出了波动方程，还进一步分析了波动力学与几何学的关系，讨论了波动方程在单电子谐振动和双原子分子理论中的应用，得到了与实验数据一致的结果。
特别值得一提的是，薛定谔以非常优雅的数学形式在力学和光学中做出类比，从中表述了量子的波动规律。
这6 篇论文创立了波动力学的完整框架，系统地回答了当时已知的各种量子现象。
薛定谔的成果令整个物理界为之震惊，并引发了与矩阵力学派之争。
1933 年，薛定谔与他的对手海森堡一起获得了诺贝尔物理学奖。
数理方程-波动方程的导出
地震波传播规律的研究中，波动方程发挥了重要作用 。
电磁波传播
在研究电磁波传播时，波动方程用于描述电磁场的变 化规律。
波动方程的数学表达形式
01
一维波动方程
一维波动方程是描述一维空间中波动现象的基本方程，形 式为 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$。
03
CATALOGUE
波动方程的物理意义
波动方程的物理背景
波动现象
波动方程是描述波动现象的基本数学工具，如声波、光波、水波等。
波动方程的导出
基于物理定律和数学推导，将实际问题抽象为数学模型，进而得到波动方程。
波动方程的物理应用
声学研究
波动方程在声学研究中用于描述声波传播规律，如声 速、声压等。
从而模拟声波的传播过程。
水波传播的模拟
要点一
总结词
波动方程也可以用来描述水波的传播规律，通过求解波动 方程可以得到水波的传播速度、振幅和相位等信息。
要点二
详细描述
水波是一种常见的波动现象，其传播规律可以用波动方程 来描述。在水波传播的模拟中，我们需要考虑水的密度、 弹性模量、阻尼系数等参数，以及水波的频率、振幅、波 长等特征。通过求解波动方程，我们可以得到水波在介质 中的传播速度、振幅和相位等信息，从而模拟水波的传播 过程。
波动方程的应用实例
声波传播的模拟
总结词
波动方程可以用来描述声波在介质中的传播 规律，通过求解波动方程可以得到声波的传 播速度、振幅和相位等信息。
详细描述
声波是一种波动现象，其传播规律可以用波 动方程来描述。在声波传播的模拟中，我们 需要考虑介质的密度、弹性模量、阻尼系数 等参数，以及声波的频率、振幅、波长等特 征。通过求解波动方程，我们可以得到声波 在介质中的传播速度、振幅和相位等信息，
大学物理-波动方程
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
第三章波动方程
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
物理学中的波动现象与波动方程
物理学中的波动现象与波动方程波动现象是物理学中十分重要的一个研究领域，它包括电磁波、声波等现象，涵盖了丰富多彩的科学知识和技术应用。
在波动现象中，我们常常会遇到许多有趣的现象，比如波的传播、干涉、衍射、吸收和反射等。
这些现象在物理学的研究中发挥着非常重要的作用，而波动方程也成为了研究这些现象的重要工具之一。
波动方程是一个描述波动现象变化规律的方程，它常常被用于研究一些物理实验与现象。
在研究中，我们可以通过波动方程来预测和研究物理现象，如电磁场的传播规律、光的干涉和衍射规律、声波的传播规律和水波的运动规律等等。
而波动方程的研究还涉及到许多其他领域，例如数学、工程或计算机科学等，可以发挥出十分重要的作用。
波动方程可以被类比到许多不同领域，以得到各种各样的解决方案与应用。
在下面的文章中，我们将详细讨论波动现象和波动方程的相关知识和应用。
一、波动现象的表现波动现象是物体或能量以波的形式传播时呈现出来的现象。
它可以形成许多不同的类型，包括电磁波、声波、水波或地震波等。
不同类型的波动现象也会呈现出不同的传播物理特征和特点。
例如在水波中，我们可以观察到波峰和波谷的周期性变化，而在声波中，我们可以听到声音的强度和音调的变化。
而对于电磁波，我们可以看到电场和磁场的周期性变化，这些变化规律和物理规律都可以通过波动方程来进行描述。
二、波动方程的定义及应用波动方程是一个描述波动现象变化规律的方程。
它的一般形式为：d2y/dx2 = (1/v^2) * d2y/dt2在这个方程式中，y表示波动状态，x表示波形单位长度，t表示时间，d2y/dx2 表示波动状态的曲率，而(1/v^2)*d2y/dt2 则表示波动状态的加速度。
波动方程的应用还有很多，例如在光学领域中，它被用来描述光线传播的变化规律，因此在光学中的许多知识都可以通过波动方程来进行描述和研究。
另外，在工程中，波动方程也被广泛应用。
例如在电力工程中，会使用数学模型来预测电磁场的传播和干扰情况，这些模型也是建立在波动方程的基础之上的。
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波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。
波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。
在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。
而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。
在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。
此时，c 应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。
这种情况下，标量u 的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。
绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。
在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamémoduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数；表示密度；是源函数（即外界施加的激振力）；表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。
其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。
标量形式的一维波动方程[编辑]波动方程的推导一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。
弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k：其中u(x) 表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。
施加在位于x+h 处的质点m 上的力为：其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力，代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。
所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h 处质点的运动方程为：式中已注明u(x) 是时间t 的显函数。
若N 个质点间隔均匀地固定在长度L = N h 的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k/N，我们可以将上面的方程写为：取极限 N , h就得到这个系统的波动方程：在这个例子中，波速。
[编辑]初值问题的解一维标量形式波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的。
原方程可以写成如下的算子作用形式：从上面的形式可以看出，若F 和G 为任意函数，那么它们以下形式的组合必然满足原方程。
上面两项分别对应两列行波（"行"与在"行动"中同音）——F 表示经过该点（x 点）的右行波，G 表示经过该点的左行波。
为完全确定F 和G 的最终形式还需考虑如下初始条件：经带入运算，就得到了波动方程著名的达朗贝尔行波解，又称达朗贝尔公式：在经典的意义下，如果并且则。
但是，行波函数F和G 也可以是广义函数，比如狄拉克δ函数。
在这种情况下，行波解应被视作左行或右行的一个脉冲。
基本波动方程是一个线性微分方程，也就是说同时受到两列波作用的点的振幅就是两列波振幅的相加。
这意味着可以通过把一列波分解成它的许多分量来分析其行为。
傅里叶变换就是将一个波分解成正弦/余弦分量的方法，因此在波动方程的求解中很有效。
[编辑]标量形式的三维波动方程三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。
求解结果可用于推导二维情况的解。
[编辑]球面波球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化，所以可以将它写成仅与距源点距离r 相关的函数。
方程的三维形式为：将方程变形为：此时，因变量ru 满足一维波动方程，于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成：其中F 和G 为任意函数，可以理解为以速度c 从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。
这类从点源传出的波强度随距点源距离r 衰减，并且属于无后效波，可以清晰地搭载信号。
这种波仅在奇数维空间中存在（原因将在下一小节中详细解释）。
幸运的是，我们生活的空间是三维的，所以我们可以清晰地通过声波和电磁波（都属于球面波）来互相交流。
[编辑]时间箭头的讨论上面方程的解里面，分成了两部分，一部分表示向外传播的波，一部分则是向内。
很明显，只要将t换成-t，就可以在这两部分之间转换。
这体现了原始方程对于时间是对称的，任意的一个解在时间轴上倒过来看仍然是一个解。
然而，我们所观察到的实际的波，都是属于向外传播的。
除非精心地加以调整，我们无法在自然界观察到向内的波，尽管它们也是波动方程的合法的解。
关于这个现象，引起了不少讨论。
有人认为，实际上它们即使存在，也无法加以观察。
想想如果四周的光向一个物体集中，则因为没有光到达我们的眼睛，我们不可能看见这个物体或者发现这个现象（见参考文献[2] ）。
[编辑]广义初值问题的解波动方程中u 是线性函数，并且不随时间和空间坐标的平移而改变。
所以我们可以通过平移与叠加球面波获得方程各种类型的解。
令φ(ξ,ε,δ) 为任意具有三个自变量的函数，球面波形F 为狄拉克δ函数（数学语言是：F 是一个在全空间积分等于1且非零区间收缩至原点的连续函数的弱极限）。
设(ξ,ε,δ)位一族球面波的源点，r 为距源点的径向距离，即：可定义称为三维波动方程的影响函数，其意义为(ξ,ε,δ)点在t=0 时刻受到短促脉冲δ函数作用后向空间中传出的波的影响，系数分母 4πc 是为方便后续处理而加上的。
若u 是这一族波函数的加权叠加，且权函数为φ，则从δ函数的定义可知，u 还能写成式中α、β和γ是单位球面S 上点的坐标，dω为S 上的面积微元。
该结果的意义为：u(t,x,y,z) 是以(x,y,z) 为圆心，ct 为半径的球面上φ的平均值的t 倍：从上式易得平均值是关于t 的偶函数，所以若那么以上得出的便是波动方程初值问题的解。
从中可以看出，任意点P 在t 时刻受到的波扰动只来自以P 为圆心，ct 为半径的球面上，而这个球的内部点在这一时刻对P 点的状态完全没有影响（因为它们的影响之前就已经传过P 点了）。
换一个角度分析，假设三维空间中任意点P' 在t=0 时刻受到一个脉冲扰动δ，那么由此发出的球面波在传过空间中的任意其它点Q 后，便再也不会对Q 的运动状态产生影响，这就是在物理学中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也称为无后效现象，表示传过的球面波不会留下任何后续效应。
下面我们便可以解释上一小节中留下的问题了。
事实上，前面所得到的球面波解仅在奇数维空间中存在。
偶数维空间中波动方程的解是弥散的，也就是说波阵面掠过区域仍然会受其影响。
以下面的二维波动方程（极坐标形式，注意和上一小节三维形式的差别）为例：可以从三维形式的解通过降维法得到二维波动方程的影响函数：其中设点M(x,y) 到点(ξ,ε) 距离为d，那么从影响函数中可以看出，当t >d /c 即初始扰动已传过M 点后，M 仍在受到它的影响。
二维球面波（柱面波）的这一性质决定了它不能作为传递信号的工具，因为这种波（事实上包括所有偶数维空间中的球面波）经过的点受到的是交织在一起的各个不同时刻的扰动。
[编辑]标量形式的二维波动方程二维波动方程的直角坐标形式为：如前所述，我们可以从三维波动方程的解中将u 视为与其中一个自变量无关（降维法）来得到二维形式的解。
将初始条件改写为则三维形式的解就变成其中α和β是单位球面上点的头两个坐标分量，dω是球面上的面积微元。
此积分可变换为在(x,y) 为中心， ct 为半径的圆域D 上的积分：从这个结果也能得到上一小节最后的结论。
二维波动方程解的一个例子是紧绷的鼓面的运动。
[编辑]边值问题[编辑]一维情形一根自身绷紧，两端分别固定于x=0 和x=L 的弹性弦在t>0 时刻，0 < x < L 上运动满足波动方程。
在边界点处，可以要求u 满足各种边界条件。
通常遇到的边界条件都可归纳成下列形式：其中a、b 非负。
若要弦的两端固定不动，对应上面式子中a、b 趋于无穷大。
求解偏微分方程的分离变量法要求寻找以下形式的解：将上述假设形式代入原方程中可以得到：为使边值问题有非平凡解，本征值λ须满足这是固有值问题的斯图姆-刘维尔理论的一个特例。
若a、b 为正数，则对应的所有本征值均为正数，方程的解为三角函数。
使u 和ut 满足平方可积条件的解可以通过适当选取u 和ut 三角级数展开来求得。
[编辑]多维情形一维初始值-边值理论可以拓展至任意维空间中。
考虑m 维空间（坐标简写为x）中的域D ，B为D的边界。
当0<t 时，位于D 内的点x 满足波动方程。
在D 的边界上，解u 须满足其中n 是B 上指向域外的法向矢量，a 是定义在B 上的非负函数。
要求u 在B 上始终为0的边界条件相当于令a 趋于无穷。
初始条件为其中f 和g 是定义在D 内的函数。
这个问题可以通过将f 和g 展开成域D 内拉普拉斯算子满足边界条件的本征函数系的叠加来求解（这是分离变量法的一般步骤）。
也就是求解在域D 内满足在边界B 上满足的本征函数系v 。
在二维情形下，上述本征函数系可以理解成绷紧地张在边界 B 上的鼓面的自由振动模态。
若B 是一个圆，则这些本征函数是关于极角自变量ζ的三角函数与关于极轴自变量r的整阶贝塞尔函数的乘积。
更详细的说明参见英文版条目亥姆霍兹方程。
在三维形式下，若边界是空间中的球面，那么本征函数是关于球坐标下两个极角自变量的球面调和函数，乘以关于径向自变量ρ的半奇数阶贝塞尔函数。