数列基础知识练习

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数列基础知识训练巩固练习

数列基础知识训练巩固练习知识覆盖全面,题型全面,难度中等偏易,注重基础.1．数列{a n }中，若223n S n =+,则该数列通项n a =2．等比数列{a n }中,4a 1 ， 2a 2 ，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4=3. 设数列 ,14,11,22,5,2，则24是这个数列的第项.4.数列{}11322-+-n n 中数值最大的项是第项.5.已知n m ≠,且n a a a m ,,,,321和n b b b b m ,,,,,4321都是等差数列，则=--2313b b a a 6. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，则n =7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；8. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .9. 共12+n 项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为10.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .11.等差数列{}n a 共10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .12. 若实数数列4,,,,1321a a a 是等比数列，则=2a .13.已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a14.n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .15.等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和为 16.{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，则131211a a a ++= .17.等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .18.等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =19.数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，数列{}n a 的通项公式为20.数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，数列{}n a 的通项公式为21.数列{}n a 中，111,33nn n a a a +==+，数列{}n a 的通项公式为 22.等比数列{}n a 中，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a .23.等差数列{}n a 中，公差 21=d ，若6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a .24.数列1111,,,...,,...1212312...n++++++的前n 项和=n S 25.数列{}n a 中，)1(1+=n n a n ，若{}n a 的前n 项和为20102009，则项数n = 26.某工厂去年的产值为P ，计划在5年内每年比上一年产值增长10％，则从今年起5年内该工厂的总产值为27.数列{}n a 中,n n n a 3)12(⋅-=，则其前n 项和n S ＝________.28．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则n 为时Πn 最大29.已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________.30．如图，则第10行的第2个数是________．二、解答题31.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．32.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=. ⑴求321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++ ；⑶求n a a a a ++++ 321.33.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T bb b = ，且1n T =，求n 的值.34.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值； ⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．35.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，142n n S a +=+. ⑴设数列{}n b 中，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是等比数列；⑵设数列{}n c 中，n nn a c 2=，求证：{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.。

中职数学基础模块知识点、典型题目系列---6.数列(适合打印,经典)

第六章数列第1节数列的概念及通项公式一、数列：按一定次序．．．．排成的一列数（项、项数，分类：有穷数列，无穷数列）二、简单数列1.自然数列 1，2，3，4，... n a n =2.偶数数列 2，4，6，8，... n a n 2=3.奇数数列 1，3，5，7，... 1-2n a n =4.1,4,9,16,... 2n a n =5.1,8,27,64,... 3n a n =6.-1,1,-1,1,... ()n 1-=n a7.1,-1,1,-1,... ()1n 1-+=n a三、通项公式：将第n 项n a 表示成含有n 的式子。

【习题】1．根据通项公式写项（1）已知数列{}n a 的通项公式为()121++-=n n a nn ，写出它的前4项。

（2）已知数列{}n a 的通项公式为112+-=n n a n ，写出它的前5项。

2.根据项写通项公式。

（符号：一负一正()n 1-，一正一负()11-+n ）（1）21，32，43，54，··· （2）-5，10，-15，20，···（3）31，61-，91，121-，··· （4）21，43-，65，87-，··· （5）312⨯，534-⨯，756⨯，978-⨯，··· 3.判断数列中的项（1）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-2312n n ，问53是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？（2）数列(){}1+n n ，问420是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？第2节等差数列及其通项公式教学过程：一、定义：设数列{}n a 的公差为d ，则d a a n n =-+1即d a a n n +=+1【习题】在等差数列{}n a 中，311=a ，321+=+n n a a ,写出数列前5项，并判断是否为等差数列。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数）（3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

基础知识一、按叫数列,数列中的都叫这个数列的项;在函...

解法3：设递推式an＝3an－1＋2，可以化为：an＋1－t＝3(an－t)．即an＋1＝3an－2t. ∴2 ＝－ 2t ， ∴ t ＝－ 1 ，于是得 an ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3(an ＋ 1) ，
(这是手段之二)
数列 {an ＋ 1} 是公比为 3 的等比数列，其首项为 a1 ＋ 1 ＝2，∴an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
(3)对于递推式为an＋1＝pan＋qn(p，q为常数)．
对于递推式an＋1＝pan＋qn，可两边除以qn＋1，得
＝再解． (4) 当然，本例各小题也可以采取“猜想归纳法”，先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式，最后用数学引辅助数列{bn}，bn＝，得bn＋1
归纳法证明．
[解析] (1)由已知得an＋1－an＝
(3)这个数列的第________项最小；
(4)这个数列前________项的和最小．答案：－18 11 2或3 6或7
3．已知数列{an}的前 4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式an＝________. 答案：2n－1 4．数列 {an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则
总结评述：解这类题需要我们从多角度思考，全方
位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，作为基本数列或特殊数列，方可迅速获解．
【例2】
(1)已知{an}中，a1＝
，an＋1＝
，求an.
(2)数列{an}中，a1＝1，对于n＞1(n∈N*)有an＝3an－1＋
2，求an. (3)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝求an.
令 “ n” ＝ 1,2 ， „ ， (n － 1) ，代入后 (n － 1) 个等式累加，

1小学奥数等差数列基础知识（已整理）

1小学奥数等差数列基础知识（已整理）小学奥数等差数列基础知识1、数列定义：（1） 1，2，3，4，5，6，7，8，…(等差)（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，…(等差)（3） 1，4，9，16，25，36，49，…(非等差)若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。

以此类推，数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8，，1002、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

我们将这个差称为公差例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

3、计算等差数列的相关公式：（1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。

求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

例：求等差数列3，5，7，的第10项，第100项，并求出前100项的和。

解：我们观察这个一个等差数列，已知：首项=3，公差=2，所以由通项公式，得到第10项：第几项＝首项＋（项数－1）×公差第10项=3+（10-1）×2=21第100项：第几项＝首项＋（项数－1）×公差第10项=3+（100-1）×2=201前100项的和：总和＝（首项＋末项）×项数÷2前100项的和=3+5+7+ 201=（3+201）?100÷2=10200.练习1：1、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（2835）2、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（2112）3、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？(16)项数＝（末项－首项）÷公差＋116＝（47－2）÷3＋14、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？（20400）第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差总和＝（首项＋末项）×项数÷25、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项（101）？第50项是多少？（197）项数＝（末项－首项）÷公差＋1 第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差6、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝总和＝（首项＋末项）×项数÷2（1+2008）×2008÷2=20170367、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝总和＝（首项＋末项）×项数÷2【（2+2000）×1000÷2】-【（1+1999）×1000÷2】=1001000-1000000=1000方法二：（2-1）+（4-3）+……＋（2000-1999）=10008、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝总和＝（首项＋末项）×项数÷2（1＋2＋……＋60）-（3+6＋……＋60）=5709、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。

数学等比数列试题答案及解析

数学等比数列试题答案及解析1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．2.已知等比数列{}的前项和为,且，则数列的公比的值为（）A．2B．3C．2或-3D．2或3【答案】C【解析】由已知得，，即，，即，解得或，选C．【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式基础知识，意在考查基本运算能力.3.函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为2，最大值为4，故，即，而，因此选A.【考点】本题考查函数与等比数列等知识，意在考查学生综合运用知识解题的能力.4.等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，已知S3= a2+10a1，a5= 9，则a1= （）A．B．- C．D．-【答案】C【解析】由S3 = a2+10a1得，a2+a3= a2+10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5= 9，所以= 9，解得，故选C.【考点】本小题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式,考查数列中基本量的计算，属容易题，掌握等比数列的基础知识是解决好本题的关键.5. ·大纲理）已知数列满足，，则的前10项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴.∴数列是以为公比的等比数列.∵，∴. ∴.故选C.【考点】等比数列求和6.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.7.(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn 与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn ＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.【答案】（Ⅰ）（2）证明见解析【解析】解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．8.已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）设，常数且，证明：【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。

数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λnd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·，∴21n a n =+( 附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………，（2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

等差等比数列基础知识复习

数列专题复习（一）等差数列1.定义：2.通项公式：3.前n 项和公式：4.性质：基础训练：1.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝2.在等差数列中,,则.3.数列{}n a 满足112n n a a -=+（*2,n n N ≥∈）, 21a =,n S 是{}n a 的前n 项和，则21S = .4.设等差数列的前项和为，若则 .5.等差数列的前项和为，且则6. 已知首项为23，公差为整数的等差数列{}n a ，且670,0a a ><（1）求数列的公差；（2）求前n 项和n S 的最大值；（3）当n S >0时，求n 的最大值。

{}n a 7a 4a 3a }{n a 6,7253+==a a a ____________6=a {}n a n n S 535a a =95S S ={}n a n n S 53655,S S -=4a =7.数列{n a }的前n 项和为210n S n n =-，求数列{}n a 的通项公式。

8. 等差数列的判定和证明（1）已知数列{}n a ，*12112,2232)n n a a a a n n N +===+≥∈，（，判断{}n a 是等差数列吗？（2）已知各项均为正数的数列{}n a 满足1n n a a -=2*2)n n N ≥∈（，，判断数列{lg n a }是否是等差数列。

（3）已知数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=-*2)n n N ≥∈（，，数列{}n b 满足11n n b a =- （*n N ∈）①求证数列{}n b 是等差数列；②求数列{}n a 中的最大项与最小项，并说明理由。

（一）等比数列1.定义：2.通项公式：3.前n 项和公式：4.性质：基础训练：1.在各项都为正数等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++等于A 33B 72C 84D 1892.等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 前4项和为3.等比数列{}n a 中，若331,3a S ==，则q =4.等比数列{}n a 中，7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a 等于5. 在数列{}n a 中，()10,1n n S ka k k =+≠≠，（1）求证：{}n a 是等比数列；（2）求通项公式n a 。

2022年高考数学一轮复习专题专题47 数列基础知识与典型例题(解析版)

an bn
的表达式，结合
an bn
为整数求得正整数 n 的值.
【详解】
由题意可得 S2n1 T2n1
2n 1 a1 a2n1
2
2n 1 b1 b2n1
2n 2n
1 an 1bn
an bn
，
2
则
an bn
S2n1 T2n1
32n 1 39 2n 1 3
3n 18 n 1
3
15
，
n 1
2n2
4n
故选：D.
6．已知an 为等差数列， Sn 为其前 n 项和.若 a5 S5 5 ，则 a1 （）
A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
【答案】C
【分析】
根据等差数列的公式，列方程求解.
【详解】
设等差数列的首项为 a1 ，公差为 d ，
因为
a5
S5
5
，所以
5a1a141d0d
5
5
，解得：
由递增数列和无穷数列的定义知 D 项正确.
答案：D
等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示： an an1 d (n 2)或an1 an d (n 1)
2、通项公式：若等差数列an 的首项是 a1 ，公差是 d ，则 an a1 n 1d ．
专题 47：数列基础知识与典型例题（解析版）一、基本概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．
无穷数列：项数无限的数列．

数列基础知识训练题20130417

数列基础知识训练题20130417一．选择题：1.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（）A.18B.20C.22D.242.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = ( ) （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 4. 已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =( ) A ．35 B.33 C.31 D.29 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = ( )(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 56.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n +=-∈N ，若则32b =-，1012b =，则8a = ( )（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11二．填空题解答题：7.设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ． 8.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++= ________. 9.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .10.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .11. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+，（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。

高三数学第一轮夯实基础（知识梳理+典例讲解+习题自测）《等差数列及其前n项和》课件

5．2 等差数列及其前 n 项和考纲点击 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.了解等差数列与一次函数的关系．
考点梳理
1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于①__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的②__________，一般用字母 d 表示；定义的表达式为：③__________(n∈N*)． 2．等差数列的通项公式设等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝④__________.
(2)∵TSnn＝32nn－＋13， ∴TS1155＝32× ×1155－＋13＝4343＝43. ∵S15＝15a12＋a15＝15a8， T15＝15b12＋b15＝15b8， ∴ab88＝1155ba88＝TS1155＝43.
点评：此类问题解法的关键是将性质 m＋n＝p＋q⇔am＋ an＝ap＋aq 与前 n 项和 Sn＝na12＋an结合在一起，采用整体思
∵13a7＝S13＝377，∴a7＝29. 故所求的中间项为 29.
题型四等差数列前 n 项和的最值问题. 例 4 已知数列{an}满足 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前 n 项和为 Sn，且 a3＝10，S6＝72.若 bn＝12an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值．
解析：依题意得 Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2 ＋2(2k＋1)＝24，解得 k＝5，故选 D.
答案：D
5．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则 a2＋a4＋a6＋a8＝ __________________.
解析：依题意得 a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3 ＋a7)＝74.

(完整版)等比数列基础知识点+练习

等比数列复习资料题数列专题（三）：等比数列知识点等比数列的基本观点和等差数列的差别与联系1.等比数列等差数列an 1a nqa n 1and 或 a nan 1d定义：q 或a nan 1公比： q公差：d递加数列： a 1 0, q 1 a 1 0, 递加数列： d 0 单一性：0, 0 q则反之0 递减数列： a 11递减数列： d 通项公式：a n a 1q n 1a n a 1n1 d① 等比中项：若成等比数列①等差中项：若 a, A,b 呈是等差数列a, A, ba b性质：则A2ab则A ②若 m n p q,则 a m a na p a q2 ②若 m n p q,则 a m a n a p a q① 定义法： a n1 等差数列的判断： ②等差中项法：③通项公式法： 2.① 定义法： a n2 等比数列的判断：a n 1 ②等比中项法：a n 1d n 2,且 n N * 或 a n 1 a nd 数列 a n 为等差数列 2a n a n1a n 1 (n 2, 且 n N * )数列 a n 为等差数列a n kn b(k,b 为常数 ) 数列 a n 为等差数列 q n2, 且 n N *或an 1q数列 a n 为等比数列a na n2a n1a n 1 ( n 2,且 n N * )数列 a n 为等比数列注意： ① a n 1a n d (d 为常数， n N * ) 对随意的 n N *恒建立，不可以几项建立就说a n 为等差数列。

②an 1q(q 为常数， n N * ) 对随意的n N * 恒建立，不可以几项建立就说 a n 为等比数列。

a n①假如两个数呈等差数列，则可设为 1 等差数列的假定 ②假如三个数呈等差数列，则可设为③假如四个数呈等差数列，则可设为a d ,a d;a d ,a, a d ;a 3d, a d , a d ,a 3d.①假如两个数呈等比数列，则可设为a类比,aq;3.q2 等比数列的假定②假如三个数呈等比数列，则可设为 a,a,aq;qa a3③假如四个数呈等比数列，则可设为 q 3 , q , aq, aq .考点一等比数列的通项公式：利用方程的思想求出等比数列的首项a 1 和公比 qa n a 1q n 1例 11（ 2013 北京高考）等比数列a n 知足 a 2a 4 20， a 3 a 5 40，则公比 q _________a 1 q a 1 q 320① 方程①q a 1 q 2a 1 q 420qa 12解：a 1 q 2 a 1q 440②a 1 q 2 a 1 q 440 q 2等比数列复习资料题2（ 2014江苏高考）已知等比数列a n的各项均为正数，且a，a62a 4,则a6________21 a8分析：① 运用解方程的思想，求首项a1和公比 q②若求出首项 a1和公比 q很麻烦，数字很大或很难办理时，有时需要整体代换解： a8a6 2a4a1q 7a1 q52a1 q3q4q 2 2 q 4q 2q22a6a2 q 44 2 021舍q加强练习：1已知等比数列a n的公比为正数，且 a2a69a4， a21,则 a1A. 3B.3C.1D.1 332已知等比数列a n中，且 a6 a234， a6a230, 则 a4A. 8B.16C.8D.163已知等比数列a n中，知足a1，2，则a32 a3 a54a6A.1B.1C.2D.1244已知等比数列a n中，且 a1a2324， a3a436, 则 a5a6________ 5已知等比数列a n中，且 a5a627， a7a881,则 a3a4________①等比中项 :成等比数列，则G2；考点二等比数列的性质a,G, b ab②若 m n p q,则 a m a n a p a q例 22014天津高考设 a n是首项为 a1 , 公差为 1 的等差数列，S n为其前 n项和，若S1， S2， S4成等比数列，则a1A 2B2C 1D1 22分析：利用等比中项的性质。

高考数学复习知识点讲解与练习31 等比数列及其前n项和

高考数学复习知识点讲解与练习高考数学复习知识点讲解与练习专题3131 等比数列及其前n 项和项和[基础强化]一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若S 6＝9S 3，S 5＝62，则a 1＝( ) A． 2 B．2 C． 5 D．3 【解析】D设等差数列{a n }的公差为d .∵S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8， ∴5a 1＋5×42d ＝2 4a 1＋4×32d ，a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，整理得 3a 1＋2d ＝0，a 1＋2d ＝4，解得 a 1＝－2，d ＝3.∴a 5＝a 1＋4d ＝－2＋12＝10.故选D.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝18，4a 2a 4＝4a 3－1，则a 2＝( )A．±14 B．14 C．±116 D．116【解析】A设等差数列{a n }的首项为a 1，则由等差数列{a n }的前n 项和为S n 及S 10＝15，得10（a 1＋a 10）2＝15，所以a 1＋a 10＝3.由等差数列的性质，得a 1＋a 10＝a 4＋a 7，所以a 4＋a 7＝3.又因为a 4＝52，所以a 7＝12.故选A.3．等比数列{a n }中，若a n >0，a 2a 4＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则公比q ＝( ) A．14 B．12 C．2 D．4 【解析】B设等差数列{a n }的公差为d ，则33a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，得d ＝－32a 1，又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝－10.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A．7 B．8 C．15 D．16 【解析】C∵S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，∴a 1＋a 6＝16，又a 4＋a 5＝24，∴(a 4＋a 5)－(a 1＋a 6)＝8， ∴3d －d ＝8，d ＝4.5．设{a n }是公比为q ＞1的等比数列，若a 2 010和a 2 011是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 012＋a 2 013＝( )A．18 B．10 C．25 D．9 【解析】B设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝22，所以2a 5＝22，即a 5＝11. 又因为S 11＝（a 1＋a 11）×112＝2a 6×112＝143，解得11a 6＝143，即a 6＝13.所以公差d ＝a 6－a 5＝2，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝11＋(n －5)×2＝2n ＋1，所以S n ＝（a 1＋a n ）n2＝(n ＋2)n . 令(n ＋2)n >195，则n 2＋2n －195>0，解得n >13或n <－15(舍).故选B.6．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89，则当T n 取得最大值时，n的值为( )A．2 B．3 C．4 D．6【解析】D∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，∴a3＝－3，∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.7．[2024·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )A．14 B．12 C．6 D. 3【解析】B∵Sn＝an2＋bn，∴{a n}为等差数列，∴S7＝（a1＋a7）×72＝（a2＋a6）×72＝（3＋11）×72＝49.8．[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )A．120 B．85 C．－85 D．－120【解析】C由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{a n}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋n（n－1）2×9]－[9(n＋1)·n＋n（n－1）2×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋27×262×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块).故选C.9．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为S n，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是( )A．{a n }为单调递增数列 B．S 6S 3＝9C．S 3，S 6，S 9成等比数列 D．S n ＝2a n －a 1 【解析】A方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 4＝0，a 5＝5，∴ 4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 4＝0，a 5＝5，∴ 4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得a 1＝－3，d ＝2.选项A，a 1＝2×1－5＝－3；选项B，a 1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S 1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.二、填空题10．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．【解析】4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.11．[2023·全国乙卷(理)]已知{}a n 为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.【解析】2解析：由等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d 得S n n ＝a 1＋n －12d ＝a 1＋(n －1)d 2，所以{S n n }仍是等差数列，其公差是原等差数列公差的一半，所以S 2 0242 024－S 2 0232 023的值为2.12．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________．【解析】2解析：方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为2S 3＝3S 2＋6，所以2(a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d )＝3(a 1＋a 1＋d )＋6，所以6a 1＋6d ＝6a 1＋3d ＋6，解得d ＝2.方法二设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由2S 3＝3S 2＋6，可得2×3a 2＝3(a 1＋a 2)＋6.整理，得a 2－a 1＝2，所以d ＝2.[能力提升]13．[2023·全国甲卷(理)]设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4＝( )A．158 B．658C．15 D．40 【解析】1.5解析：设此等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，由题意得，S 12＝84，a 1＋a 5＋a 9＝16.5，即 12a 1＋12×112d ＝84，3a 5＝3（a 1＋4d ）＝16.5，解得 a 1＝1.5，d ＝1，所以夏至的日影子长为1.5尺．14．设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为S n，则( )A．Sn＝2a n－1 B．S n＝3a n－2C．Sn＝4－3a n D．S n＝3－2a n【解析】AC对于A，易知3d＝a5－a2＝12－18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a1＝a2－d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a3＋a4＝a2＋a5＝18＋12＝30，所以选项C正确；对于D，因为an＝a1＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a10＝2＞0，a11＝0，a12＝－2＜0，所以当n＝10或n＝11时，S n最大，所以选项D错误．故选AC.15．记Sn为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________．【解析】B方法一由题意得an＝a1＋2π3(n－1)，cos an＋3＝cos [a1＋2π3(n＋2)]＝cos(a1＋2π3n＋4π3)＝cos (a1＋2π3n＋2π－2π3)＝cos (a1＋2π3n－2π3)＝cos an，所以数列{cos an}是以3为周期的周期数列，又cos a2＝cos (a1＋2π3)＝－12cosa1－32sin a1，cos a3＝cos (a1＋4π3)＝－12cos a1＋32sin a1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cos a1＝cos a2≠cos a3，cos a1＝cos a3≠cos a2，cos a2＝cos a3≠cos a1.下面逐一讨论：①当cos a1＝cos a2≠cos a3时，有cos a1＝－12cos a1－32sin a1，得tana1＝－3，所以ab＝cos a1(－12cos a1＋32sin a1)＝－12cos2a1＋32sin a1cos a1＝－12cos2a1＋32sin a1cos a1sin2a1＋cos2a1＝－12＋32tan a1tan2a1＋1＝－12－323＋1＝－12.②当cos a 1＝cos a 3≠cos a 2时，有cos a 1＝－12cos a 1＋32sin a 1，得tan a 1＝3，所以ab ＝cos a 1(－12cos a 1－32sin a 1)＝－12cos 2a 1－32sin a 1cos a 1＝－12cos 2a 1－32sin a 1cos a 1sin 2a 1＋cos 2a 1＝－12－32tan a 1tan 2a 1＋1＝－12－323＋1＝－12.③当cos a 2＝cos a 3≠cos a 1时，有－12cos a 1－32sin a 1＝－12cos a 1＋32sina 1，得sin a 1＝0，所以ab ＝cos a 1(－12cos a 1－32sin a 1)＝－12cos 2a 1＝－12(1－sin 2a 1)＝－12.综上，ab ＝－12，故选B.方法二取a 1＝－π3，则cos a 1＝12，cos a 2＝cos (a 1＋2π3)＝12，cos a 3＝cos (a 1＋4π3)＝－1，所以S ＝12，－1，ab ＝－12，故选B.16．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．【解析】－1，－78解析：方法一由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋7－d 2n ，设f (x )＝d 2x 2＋ 7－d 2x ，则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，故7.5＜12－7d ＜8.5，解得－1＜d ＜－78.方法二由题意，得a 8＞0，a 9＜0，所以7＋7d ＞0，且7＋8d ＜0，即－1＜d ＜－78.。

数列基础知识及例题

三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列一、填空题1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________2. 在等差数列中已知13d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 3. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 4. 正整数前n 个数的和是___________5. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________二、选择题1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（）A.84B.72C.60D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（）A.6B.3C.12D.43. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（）A.160B.180C.200D.2204. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（）A.45B.75C.180D.300三、计算题1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数：（1）151,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ；（2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及2. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式3. 如果等差数列{}n a 的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n 项和的公式。

等比数列一、填空题1. 若等比数列的首项为4，公比为2，则其第3项和第5项的等比中项是______．2. 在等比数列｛a n ｝中，(2)若S 3=7a 3，则q ＝______；(3)若a 1＋a 2＋a 3＝-3，a 1a 2a 3＝8，则S 4=____．3. 在等比数列｛a n ｝中，(1)若a 7·a 12=5，则a 8·a 9·a 10·a 11=____； (2)若a 1＋a 2＝324，a 3+a 4＝36，则a 5＋a 6＝______； 4. 一个数列的前n 项和S n ＝8n-3，则它的通项公式a n ＝____．二、选择题3、已知｛a n ｝是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于 [ ]A ．5B ．10C ．15D ．204、.等差数列｛a n ｝的首项a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于 [ ]A ．3B ．2C ．-2D ．2或-25、.等比数列｛a n ｝中，a 5＋a 6＝a 7-a 5＝48，那么这个数列的前10项和等于 [ ]A ．1511B ．512C ．1023D ．10246、.等比数列｛a n ｝中，a 2＝6，且a 5-2a 4-a 3＝-12，则a n 等于 [ ]A ．6B ．6·(-1)n-2C ．6·2n-2D ．6或6·(-1)n-2或6·2n-2数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝，n；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )，累积法，如a n ＋1a n ＝f (n )；(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法： ①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k =-++③222111*********();12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++⑤=<<=(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项 [题型1] )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

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1、等差数列与等比数列比较:
(1)各项为正的等比数列{}n a ,其对数数列)1,0}({log ≠>a a a n a 为等差数列. (2)数列{}n a 为等差数列,则数列C C n a
}({为正常数)为等比数列.
3、数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解): ①倒序求和法:(等差数列的求和); ②错位相减法:(等比数列和差比数列);
例1:求和:*)(4324
3
2
N n na a a a a n
∈+++++Λ. ③裂项相消法:(数列中的各项可以拆成几项,然后进行消项); 例2:求和:
)
12()12(1751531311+⋅-++⨯+⨯+⨯n n Λ. 例3:求数列}1
1{
++n n 的前n 项和.
④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法); 例4:求数列:ΛΛΛ,3211
,,3211,211,
1n +++++++的前n 项和n S . ⑤分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用求和公式来求解); 例5:求数列ΛΛ,2
1,,8
14,4
13,2
12,21
-+
n n 的前n 项之和.
⑥公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解). ⑦.累差迭加法
一、选择题：
1.（全国 5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
2.（上海卷14）若数列{a n }是首项为1，公比为a －3
2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，
则a 的值是（）
A ．1
B ．2
C ．12
D ．5
4
3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*
p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10
a 等于（） A ．165-
B ．33-
C ．30-
D ．21-
4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞U （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞U
5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )
（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15
6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =( )
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为
A.63
B.64
C.127
D.128
9.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（） A ．16
B ．24
C ．36
D ．48
10.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，41
252=
=a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ= （A ）16（n --41）（B ）16（n --21）（C ）332（n --41）（D ）3
32（n
--21）
11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42
S
a =（）
A. 2
B. 4
C.
152
D.
172
二、填空题：
12.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为。

13、在公差不为0的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知111==b a ，22b a =，38b a =；（1）求{}n a 的公差d 和{}n b 的公比q ；
（2）设2++=n n n b a c ，求数列{}n c 的通项公式n c 及前n 项和n S .
14、已知数列{}n a 是等差数列，且12,23211=++=a a a a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n
n n a b 3=，求数列{
}n b 的前n 项和的公式．
15、已知数列{}n a 的前n 项和(1)
,2
n n n S -=
且n a 是n b 和1的等差中项。

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若1
(2,).n n
c n n N na +=≥∈求234n c c c c ++++L ；
16．（2013年高考四川卷（文））在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中
项,
求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
17．（2013年山东卷（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足
*12121
1,2
n n n b b b n N a a a +++=-∈g g g ,求{}n b 的前n 项和n T。