大学运筹学课程知识点总结

1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8

3105120106max 21212

1x x x x x x z

2.将下述线性规划问题化成标准形式。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束

4,03,2,12321422245243min 43214

32143214

321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z

解：令z z -='，'

'4'

44x x x -=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214

2222455243'max 6

5''4'43216'

'4'43215'

'4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应

图解法中的可行域的哪个顶点。

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 2

121212

1x x x x x x x x z

解：①图解法：

②单纯形法：将原问题标准化：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=++=+++=0,,,825943510max 4213

212

1x x x x x x x x x x x x z C j

10 5 0 0 θ 对应图解法中的点

C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0

x 4

8 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10

x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5 x 2 3/2 0 1 5/14 -3/14 B 点 10

x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj

35/2

-5/14

-25/14

单纯型法步骤：转化为标准线性规划问题；找到一个初始可行解，列出初始单纯型表；最优性检验，求cj-zj ，若所有的值都小于0，则表中的解便是最优解，否则，找出最大的值的那一列，求出bi/aij ，选取最小的相对应的xij ，作为换入基进行初等行变换，重复此步骤。

4.写出下列线性规划问题的对偶问题。

（1）()()()⎪⎪

⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====

∑∑∑∑====n j m i x n j b x m i a x t s x c

z ij j

m i ij i

n

j ij m i n

j ij

ij

,,1;,,10

,,1,,1..min 1111

ΛΛΛΛ ()⎪⎩⎪⎨⎧==≤++=+=+=∑∑无约束

j i ij

j m i n

i m

j j m i i i y x n j m i c y y t s y b y a w ,,,1;,,1..max 1

1

ΛΛ

（2）()()()()⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥++==<=≤=∑∑∑===n n j x n n j x m m m i b x a m m i b x a t s x c z j j i n j j ij i

n

j j ij n

j j

j ,,1,10,,2,1,1..max 11111

11

1ΛΛΛΛ无约束

()()()()⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==<=≥=∑∑∑===m m i y m m i y n n j c y a n n j c y a t s y b w i i j

m

i i ij j

m

i i ij m

i i

i ,,1,2,10,,1,2,1..min 1111

11

1

ΛΛΛΛ无约束

5. 给出线性规划问题

()

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=4,10966283..42max 3214322

14214321Λj x x x x x x x x x x x x t s x x x x z j 要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为()T

X 0,4,2,2*=，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 解：

（1）()

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≥+≥+≥+++≥+++++=4,10114

322..9668min 314343214214

321Λj y y y y y y y y y y y y t s y y y y w j （2）因为0,,321>x x x ，第四个约束取等号，根据互补松弛定理得：

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧=+=+=+++=++0143224434

32142

1y y y y y y y y y y 求得对偶问题的最优解为：⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0,1,53

,54*

Y ，最优值min w=16。

例已知原问题

Max z =x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4

x 1 +2x 2 +2x 3 +3x 4≤202x 1 +x 2 +3x 3 +2x 4´≤20x 1、x 2、x 3、x 4≥ 0

和对偶问题

Min w =20y 1 +20y 2

y 1 +2y 2≥12y 1 +y 2≥22y 1 +3y 2≥33y 1 +2y 2≥4y 1、y 2≥ 0

已知对偶问题的最优解y 1 =1.2、y 2 =0.2，最优值min w=28，求原问题的最优解及最优值。