数学物理方程期末试卷

数学物理方程期末试卷

2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷

出卷人：欧峥

1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ϕ初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分)

2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进

入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()

2

x l x -，试

写出其定解问题。(10分)

3、试用分离变量法求定解问题(10分)：

.⎪

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x u

t u u u u t x x 2,0,00,40,040

22

4、分离变量法求定解问题(10分)

2

22sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)64(,0)31,(,0)sin tt xx

t

u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ⎧=+<<>⎪⎪⎪

==⎨⎪⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩

5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(002

22

22x u

x u x u a t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ=

6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）

⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0

,2sin 0,,cos 0022

2

22t t t u x u t x x x u a t u

7、用积分变换法求解定解问题（10分）：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u

y u y x y x u

8、用积分变换法求解定解问题(10分)：

⎩⎨

⎧==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt

9、用格林函数法求解定解问题(10分)：

22220

0, y 0, () , .y u u

x y u f x x =⎧∂∂+=<⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩

10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10分)

答案及分析

1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数(,)u x t 满足

2,tt xx u a u = （2分） 其中2T

a ρ

=

.由于左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，所以

(0,0)0,

(0,)sin 0,0,x x u Tu t A t t ω=+=>

因此 sin (0,),0.x A t

u t t T

ω=-

≥ （2分） 又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面，所以 (,)(,)0,x Tu l t ku l t --= 即 (,)(,)0.x Tu l t ku l t += （2分） 而初始条件为 0

(),().t t

t u

x u x ϕψ==== （2分）

因此，相应的定解问题为

200,0,0,sin (0,),(,)(,)0,0.(),().tt xx x

x t t t u a u x l t A t u t Tu l t ku l t t T u x u x ωϕψ==⎧=<<>⎪

⎪

=-+=≥⎨⎪

==⎪⎩ （2分）

2、解：侧面绝热，方程为

2,0,0t xx u a u x l t =<<> （3分）

边界条件为 0

0,,0x x

x l

q

u u t k

====

> （3分）

初始条件为

()

,02

t x l x u

x l =-=<< （3分）

因此，相应的定解问题为：

（1分）

3、解 令)()(),(t T x X t x u =（2分），代入原方程中得到两个常微分方程：

0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ（2分），由边界条件得到0)4()0(==X X ，

对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2

βλ=，得到

22

22

4πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =(1分)，再解)(t T ，得到

16;

22)(t n n n e C t T π-

=（2分），于是

,

4sin

(),(16

1

22x

n e

C t x u t

n n n ππ-

∞

=∑=（1分）再由初始条件得到

1

40)1(164sin 242+-==

⎰n n n xdx n x C ππ（1分），所以原定解问题的解为

,

4sin

)1(16),(16

1

1

22x

n e n t x u t n n n ππ

π-+∞

=-=∑

（1分）

4、解：令(,)(,)()u x t V x t W x =+ （1分）

将其代入定解问题可以得到：

2,(0,0)(0,)0,(,)0

.....(1)4(,0)31(),(,0)sin tt xx t V a V x l t V t V l t x V x W x V x x l l π⎧

⎪=<<>⎪⎪

==⎨⎪⎛⎫⎪=+-= ⎪

⎪⎝⎭⎩

（1分）

222()sin cos 0(2)(0)3,()6a W x x x l l W W l ππ⎧''

+=⎪⎨

⎪==⎩ （1分）

(2)的解为：222

4()sin 3132l x W x x a

l l ππ⎛⎫

=

++ ⎪⎝⎭

（2分）