平衡中的临界
平衡中的临界极值问题
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
专题八 静、动态平衡 平衡中的临界与极值问题 (课件) 人教版2023-2024学年高三一轮复习
【答案】D 【详解】AB．对小球受力分析，如图所示,根据受力平衡可得 F mg tan , T mg ,移动过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，
cos
cosθ逐渐减小，则水平拉力F逐渐增大，细线的拉力逐渐增大，故 AB错误；CD．以铁架台、小球整体为研究对象，根据受力平衡可得 FN (M m)g ，f F,可知桌面对铁架台的支持力不变，即铁架台对桌面的压力不变； 铁架台所受地面的摩擦力变大，故C错误，D正确。 故选D。
经典例题
[典例1]（2024·全国·高三专题练习）如图所示，壁虎在竖直玻璃面上斜 向上匀速爬行，关于它在此平面内的受力分析，下列示意图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【详解】壁虎在竖直玻璃面上匀速爬行，属于匀速直线运动，对壁虎进行受力分析 由图可知，F与mg大小相等，方向相反。 故选A。
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
(1)整体法
研究外力对系统的作用 各物体运动状态相同
同时满足上述两个条件即可采用整体法。
(2)隔离法
分析系统内各物体各部分间相互作用 各物体运动状态可不相同
物体必须从系统中隔离出来,独立地进行受力分析,列出方程。
变式训练
变式3（2023秋·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）一 铁架台放在水平桌面上，其上用轻质细线悬挂一小置运动到虚线位置，铁架台始 终保持静止。则在这一过程中（ ） A．水平拉力F不变 B．细线的拉力变小 C．铁架台对桌面的压力变大 D．铁架台所受地面的摩擦力变大
A．5N
B．6N C．7.5N D．8N
【答案】B
【详解】设F与水平方向夹角为θ，根据平衡知识可知：F cos (mg F sin ) ，解得
2024届高考物理复习讲义：专题强化二 动态平衡 平衡中的临界与极值问题
专题强化二动态平衡平衡中的临界与极值问题学习目标 1.学会运用解析法、图解法等处理动态平衡问题。
2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关的计算。
考点一动态平衡问题1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。
2.做题流程方法解析法1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。
3.根据自变量的变化确定因变量的变化。
例1(2021·湖南卷，5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图1所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。
凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。
用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是()图1A.推力F先增大后减小B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大C.墙面对凹槽的压力先增大后减小D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大答案C解析对小滑块受力分析，如图甲所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力F N始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，由平衡条件得F＝mg cosα、F N＝mg sinα，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力F N一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得，墙面对凹槽的压力大小F N1＝F sinα＝12mg sin2α，水平地面对凹槽的支持力F N2＝Mg＋mg－F cosα，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由π2逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。
甲乙跟踪训练1.如图2所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E 表面光滑，重力为G；M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上。
处于平衡状态中的极值问题和临界问题
处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
动态平衡问题平衡中的临界、极值问题课件59
问题解决能力
02
学生能够独立分析和解决一些复杂的动态平衡问题，具备了一
定的问题解决能力。
创新思维Байду номын сангаас养
03
课程鼓励学生提出新的想法和解决方案，培养了学生的创新思
维和解决问题的能力。
未来研究方向展望
更复杂的动态平衡问题
研究更复杂的动态平衡问题，如非线性、时变等条件下的临界、 极值问题。
临界、极值问题的优化算法
不等式法
通过构建不等式并求解，找到物体 的极值状态。
数值模拟法
通过计算机模拟物体的运动过程， 找到极值状态和对应的物理量。
03
CATALOGUE
平衡中的极值问题
极值条件的确定
确定平衡状态
首先分析物理系统或数学 模型的平衡状态，明确平 衡条件。
寻找极值条件
在平衡状态下，寻找使某 一物理量达到极值的条件 ，如最小势能、最大承载 力等。
动态平衡
物体在受到外力作用下，通过内部调节保持平衡状态，如人 体在行走中的平衡。
临界条件的确定
临界状态
物体处于平衡与不平衡之间的临界状态，稍微偏离平衡就会导致失稳。
临界条件
使物体保持平衡的最小条件，如支撑面的大小、摩擦系数等。
临界问题的求解方法
01
02
03
解析法
通过建立数学模型和方程 ，求解临界条件下的物理 量。
结果讨论
结合已有知识和文献资料，对实验结果进行深入 分析和讨论，解释实验现象的原因和机制。
结果应用
将实验结果应用于实际问题中，提出针对性的建 议和措施。
06
CATALOGUE
课程总结与展望
课程重点回顾
1 2 3
高中物理-平衡中的临界极值问题-答案
微专题4平衡中的临界极值问题1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.2.多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．1．如图所示，两质量均为M＝10kg的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量m＝1kg，现用一竖直向上的力F拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为θ＝53°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是()A．力F的大小为80NB．力F的大小为90NC．轻绳对甲物体的拉力大小为60ND．轻绳对甲物体的拉力大小为80N答案B解析对甲、乙两物体分别受力分析，由平衡可知μ(Mg－F T sin53°)＝F T cos53°，解得绳子的拉力F T＝50N，则对滑轮受力分析可知F＝2F T sin53°＋mg＝90N，故选B.2．如图两个体重相同的人静止坐在秋千上，两秋千绳子能承受的最大张力是一样的．往两人身上同时慢慢加相同重量的物体，直到绳子断开，则下面的叙述正确的是()A．甲中绳子先断B．甲、乙中绳子同时断C．乙中绳子先断D．不确定答案C解析人的重力和两根绳子拉力的合力等值反向，合力一定，两分力夹角越大，分力越大，所以夹角越大，绳子拉力越大．则乙中绳子容易断，A 、B 、D 错误，C 正确．3．(多选)如图所示，一个重为5N 的大砝码用细线悬挂在O 点，在力F 作用下处于静止状态，现不断调整力F 的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是()A ．调整力F 的方向的过程中，力F 最小值为2.5NB ．力F 在竖直方向时，力F 最小C ．力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力最小D ．当力F 处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F 大小相等答案ACD 解析对砝码受力分析如图所示根据平行四边形定则，可知当F 的方向与另一侧细线垂直时，力F 最小，最小值为F min ＝G sin 30°＝2.5N ，故A 正确，B 错误；当力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力F T ＝0最小，故C 正确；当力F 处于水平方向时，力F 与细线拉力F T 的合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg tan 30°＝33mg .当力F 处于斜向右上与水平方向夹角为60°时，此时F 、细线拉力F T 与竖直方向的夹角相等，则两力大小相等，合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg 2cos 30°＝33mg ，故D 正确．4.如图所示，足够长的光滑平板AP 与BP 用铰链连接，平板AP 与水平面成53°角并固定不动，平板BP 可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m 的均匀圆柱体O 放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g .在使BP 板由水平位置逆时针缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是()A ．平板BP 受到的最小压力为0.8mgB．平板BP受到的最小压力为0C．平板AP受到的最小压力为0.6mgD．平板AP受到的最大压力为1.25mg答案A解析圆柱体受重力，平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，将F1与F2合成为F，如图：圆柱体一直处于平衡状态，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1与F2的合力F与重力等值、反向、共线；从图中可以看出，BP板由水平位置逆时针缓慢转动过程中，F1越来越大，F2先减小后增大；由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值F2min＝45mg，根据牛顿第三定律，平板BP受到的最小压力为45mg，故A正确，B错误；当平板BP沿水平方向时，平板AP对圆柱体的弹力F1＝0，即平板AP受到的最小压力为0，故C错误．由图可知，当BP转到竖直方向时，AP对圆柱体的弹力F1最大F1max＝mgcos53°＝53mg，根据牛顿第三定律知，平板AP受到的最大压力为53mg，故D错误．5．(2022·湖南长郡中学高三月考)固定斜面上的物体A用跨过滑轮的细线与小砂桶相连，连接A的细线与斜面平行，不计细线与滑轮间的摩擦力，若要使物体A在斜面上保持静止，砂桶中砂的质量有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为m1和m2(m2＞0)，重力加速度为g，由此可求出()A．物体A的质量B．斜面的倾角C．物体A与斜面间的动摩擦因数D．物体A与斜面间的最大静摩擦力答案D解析设物体A的质量为M，砂桶的质量为m0，物体与斜面间的最大静摩擦力为F fm，斜面倾角为θ，由平衡条件可得物体A将要上滑时，有m0g＋m1g＝Mg sinθ＋F fm.物体A将要下滑时，有m 0g ＋m 2g ＝Mg sin θ－F fm ，可得F fm ＝m 1g －m 2g 2，即能求解物体A 与斜面间的最大静摩擦力，不能求出其他的物理量，则A 、B 、C 错误，D 正确．6．三角形具有稳定性，生活中随处可见利用三角形支架固定的物体．浴室里洗手盆下的支架、空调外挂机的支架、手机支架等如图甲所示．现有一个悬挂物体的支架，如图乙所示，倾斜支撑杆a 端用铰链固定在墙上，且Oa 杆不可伸长，拉杆bO 左端可上下移动和旋转并且可伸缩以便调节拉杆的长度，轻绳一端固定在O 点，另一端悬挂重物．已知初始时bO 杆水平，aO 杆与竖直方向成60°角，悬挂物质量为m ，重力加速度为g .(1)初始状态下，aO 、bO 杆的作用力大小分别为多少？(2)保持O 点不动，调节拉杆的长度同时左端向上移动到某点c 后固定，可使拉杆上的作用力最小，此时cO 与竖直墙面的夹角为多少？此时aO 、cO 的作用力大小分别为多少？答案(1)2mg 3mg (2)30°12mg 32mg 解析(1)对O 点受力分析如图a 所示，可得F a cos 60°＝mg ，F a sin 60°＝F b ，联立可得F a ＝2mg ，F b ＝3mg(2)重力大小方向不变，aO 方向不变，分析可知，当cO 与aO 垂直时，cO 上的拉力最小，如图b 所示，由几何关系可得此时cO 与竖直墙面的夹角为30°，受力分析如图所示，可得可得F a ′＝12mg ，F c ＝32mg .7．筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一．筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”．如图所示，用筷子夹质量为m 的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .为使小球静止，求每根筷子对小球的压力F N 的取值范围．答案mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ)解析筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示．有2F N sin θ＋2F f cos θ＝mg ，F f ＝μF N ，联立解得F N ＝mg 2(sin θ＋μcos θ)，筷子对小球的压力最大时，小球恰好不上滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示．有2F N ′sin θ＝mg ＋2F f ′cos θ，F f ′＝μF N ′，联立解得F N ′＝mg 2(sin θ－μcos θ)，综上可得，筷子对小球的压力的取值范围为mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ).8.如图，倾角为α＝37°的粗糙斜劈固定在水平面上，质量为5kg 的物体a 放在斜面上且与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.一根平行于斜面的不可伸长的轻质细线一端固定在物体a 上，另一端绕过两个光滑小滑轮固定在c 处，滑轮2下吊有一物体b 且β＝74°，物体a 受到斜劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：保证系统静止时，b 的质量范围．答案1.6kg ≤m b ≤8kg 解析a 刚要下滑时b 的质量最小，a 受到沿斜面向上的静摩擦力作用，m a g sin α＝μm a g cos α＋F T.研究b的受力情况2F T cos β2＝m b1g，联立解得m b1＝1.6kg，a刚好上滑时，a受到沿斜面向下的静摩擦力作用，m a g sinα＋μm a g cosα＝F T′，研究b的受力情况2F T′cos β2＝m b2g，联立解得m b2＝8kg.综上可知，保证系统静止时，b的质量范围为1.6kg≤m b≤8kg.。
平衡中的临界和极值
平衡中的临界和极值
【原创版】
目录
1.临界平衡状态的定义
2.压杆的临界力
3.提高压杆稳定性的方法
4.总结
正文
一、临界平衡状态的定义
临界平衡状态是指杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在这个状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
这种状态在物理学中被称为临界状态，对应的力称为临界力或临界载荷，用 Fcr 表示。
二、压杆的临界力
压杆是指在轴向压力作用下，两端固定且杆件截面呈圆形的杆。
当压杆所承受的轴向压力达到临界力时，压杆将处于临界平衡状态。
此时，压杆的稳定性已经非常差，任何微小的扰动都可能导致压杆失去平衡。
三、提高压杆稳定性的方法
为了提高压杆的稳定性，可以采取以下几种方法：
1.增加压杆的截面面积：通过增加压杆的截面面积，可以增大压杆的抗弯能力，从而提高其稳定性。
2.改变压杆的材料：选用高强度、高刚度的材料可以提高压杆的稳定性。
3.调整压杆的长度：缩短压杆的长度可以减小其弯曲变形，从而提高
稳定性。
4.添加支撑：在压杆的适当位置添加支撑，可以减小压杆的弯曲变形，提高稳定性。
四、总结
临界平衡状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在临界状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
高中物理：力平衡中的临界问题
高中物理：力平衡中的临界问题1.临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。
2.临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。
3. 解决临界问题的基本思路（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程,找出临界状态。
（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。
（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题4.三类临界问题的临界条件（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。
（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。
即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
【总结提升】所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。
物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。
数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值。
平衡中的临界和极值
平衡中的临界和极值在生活中，平衡是一个重要的概念。
无论是身体的平衡还是心灵的平衡，我们都需要在各个方面寻找一个稳定的状态。
然而，有时候平衡并不仅仅是指两个方向的均衡，而是涉及到临界与极值的问题。
临界是指我们在寻找平衡时，达到不可忽略的边界状态。
这种状态可能会引起突破或者转折，有时甚至可能导致平衡的破裂。
而极值则是指某一方向上的最大或最小值，是达到理想平衡状态的极限。
平衡中的临界与极值是一个复杂而微妙的主题，不同的领域和情境下有着不同的定义和解释。
在物理学中，临界点是指物质在一定条件下由一种状态转变为另一种状态的边界点。
当水温降低到0摄氏度时，水会从液态变为固态，这个临界点就是冰点。
而极值则可以用来描述物质的特性，比如熔点和沸点。
在生物学中，平衡中的临界与极值也有着重要的意义。
人体的各种生理指标，如体温、血压、血糖等，在一定范围内的波动是正常的，但一旦超出了临界值，就可能导致疾病的发生。
高血压和低血糖都会对身体健康产生重大影响。
此时，我们需要通过药物治疗或生活方式的改变来恢复平衡。
在心理学和哲学中，平衡中的临界与极值是更为抽象而深刻的概念。
心理学家卡尔·荣格提出的个体心理理论中，他认为个人必须在自我和集体无意识之间寻求平衡。
个体心理是我们日常意识所能察觉到的内容，而集体无意识则包含了我们的本能、冲动和潜意识。
荣格认为，只有当个体心理与集体无意识达到平衡时，我们才能达到身心的和谐。
在生活中，平衡中的临界与极值也经常存在。
我们在工作和生活之间寻求平衡时，常常会遇到工作压力和生活满足之间的临界点。
有时候我们会为了工作进入超负荷的状态，但如果长时间处于极限状态，可能会导致身心俱疲。
另放松和休息过多也可能导致懒惰和效率下降。
我们需要在工作和生活之间找到一个合适的平衡点，既能保持高效的工作状态，又能享受生活的乐趣。
与平衡中的临界和极值有关的还有人际关系。
在人际关系中，我们常常需要在个人的利益和集体的利益之间寻求平衡。
第二章 专题四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
另外两个力方向均发生变化，但两者的夹角不变.作出不同
状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列
式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不
同位置判断各力的大小变化，如图5所示.
图5
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专题四
动态平衡问题
平衡中的临界、极值问题
方法5：相似三角形法
特征：一个恒力，两个变力，找出几何三角形.
000 kV的高压线上带电作业的过程.如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔
上的O点，另一端固定在兜篮D上.另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一
端连接兜篮，另一端由工人控制.身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动
到处于O点正下方E点的电缆处.绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备
( √
)
[解析] 对系统整体受力分析可知，竖直方向受到的地面的支持力始终等于系统所
受的重力，故正确.
(2)斜面所受地面的摩擦力一定增加.
(
√ )
[解析] 对整体受力分析，可知斜面所受地面摩擦力一定增大，故正确.
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专题四
动态平衡问题
命题点3
平衡中的临界、极值问题
正弦定理法的应用
3. [2024河北邯郸开学联考]《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1
运动到B点的过程中，夹角θ从0°增大到90°，所以推力F一直减小，滑块受到的支持
力一直增大，A、B错误.将滑块和工件看作一个整体，对整体受力分析，如图所
示，根据平衡条件可得N＝(m＋M)g－F cos θ＝(m＋M)g－mg cos 2 θ，f＝F sin θ＝
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mg cos θ sin θ＝ mg sin 2θ，夹角θ从0°增大到90°，地面对工件的支持力 N一直增
平衡中的临界、极值问题
平衡中的临界、极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.常见的临界状态有:(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
2.极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或解析法进行分析.3.解决临界问题和极值问题的方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.【例1】如图所示，轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点，轻绳OC一端悬挂一重物。
已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。
问悬挂的重物的重力不得超过多少?【例2】如图所示，质量为m 的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F 水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小.【例3】如图所示，一球A 夹在竖直墙与三角劈B 的斜面之间，三角劈的重力为G ，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多少？【例4】如图将质量为m 的小球a 用轻质细线悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于静止状态，且悬线与竖直方向的夹角θ=30°，重力加速度为g ，则F 的最小值为( ) A.√33mg B.12mgC.√32mgD.√2mg随堂练习1.倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A ，物体A 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。
高考物理《平衡中的临界和极值问题》真题练习含答案
高考物理《平衡中的临界和极值问题》真题练习含答案1.如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F .已知砖夹的质量为m ，重力加速度为g ，砖夹与砖块之间的滑动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是( )A ．F 2μB ．F μC ．F －mg 2μD ．F －mg μ答案：C解析：工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，砖夹处于平衡状态，在竖直方向满足F ＝mg ＋2f ，砖夹与砖之间恰好达到最大静摩擦力f ＝μN ，联立解得，砖夹与砖块一侧间的压力的最小值为N ＝F －mg 2μ，C 正确． 2．(多选)如图所示，质量为m 的小球固定在一轻杆的一端，轻杆另一端通过光滑铰链固定于O 点．现给小球施加一拉力F ，使小球与轻杆在竖直平面内绕O 点缓慢转动，转动过程中拉力F 与轻杆的夹角始终为θ＝60°.则从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中( )A ．拉力F 有最大值，为233mg B ．拉力F 有最小值，为233mg C ．轻杆对小球的弹力F N 先增大后减小D ．轻杆对小球的弹力F N 先减小后增大 答案：AC解析：选取小球运动过程某一状态，对其受力分析，作出支持力与拉力的合成图，如图所示，由题意知，α＋β＝120°在力的三角形中应用正弦定理得mg sin 60° ＝F sin β ＝F N sin α，从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中，β从90°减小到0，sin β逐渐减小，拉力F 逐渐减小，因此当β＝90°时，F 最大，此时F ＝233mg ，α从30°增加到120°，sin α先增大后减小，弹力F N 先增大后减小，当α＝90°时，F N 最大．综上所述，A 、C 正确，B 、D 错误．3.[2024·海南省白沙学校期末考试]如图所示，物体的质量为2 kg ，两根轻细绳AB 和AC 的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC ＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F ，若要使绳都能伸直，下列F 中不可能的是(取g ＝10 m/s 2)( )A ．43 NB ．83 NC ．103 ND ．123 N答案：A解析：由平衡条件有，水平方向有T B cos θ＋T C ＝F cos θ，竖直方向有T B sin θ＋F sin θ＝mg ，整理有T B ＝mg sin θ －F ，T C ＝2F cos θ－mg cos θsin θ .若要使绳都能伸直，则T B 和T C 均大于零，所以应该有mg 2sin θ <F <mg sin θ ，解得2033 N<F <4033N ，本题选不可能的，故选A.4.[2024·山东省青岛市第一中学校考阶段练习](多选)质量为M 的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止．当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如图所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉木块，木块匀速上升(已知木楔在整个过程中始终静止).可取sin 37°＝0.6.下列说法正确的有()A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75B．当α＝37°时F有最小值C．当α＝30°时F有最小值D．F的最小值为0.96mg答案：ABD解析：物块匀速下滑时，有mg sin 37°＝μmg cos 37°，解得μ＝0.75，A正确；物块匀速上升时，有F cos α＝mg sin θ＋μ(mg cos θ－F sin α)，整理得F＝mg sin 2θ，当α＝θ＝cos （θ－α）37°时F有最小值，最小值为F＝0.96mg，B、D正确，C错误．5.[2024·江苏省无锡期中考试]如图所示，倾角θ＝37°的质量为m＝10 kg的粗糙斜面体A，置于粗糙水平面上，A与地面间的动摩擦因数足够大，质量m2＝1 kg的B物体经平行于斜面的不可伸长的轻质细线跨光滑定滑轮悬挂质量为m3的物块C.已知A、B间的动摩擦因数为0.5，视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，求：(1)若不悬挂物块C时，通过计算，判断B是否会自行下滑；(2)欲使B能静止在斜面A上，C的质量范围；(3)若m3＝0.5 kg时，地面对A的摩擦力的大小．答案：(1)会自行下滑(2)0.2 kg≤m3≤1 kg(3)4 N解析：(1)若不悬挂物块C时，通过受力分析可知，重力沿斜面向下方向分力为G x＝m2g sin θ＝6 N重力沿垂直斜面向上方向分力为G y＝m2g cos θ＝8 NA、B间的动摩擦因数为0.5，则摩擦力大小为f＝μF N＝μG y＝4 N明显G x>f可得B会自行下滑；(2)当悬挂物块C时，通过受力分析如图当摩擦力沿斜面向上时拉力T有最小值为T min＝G x－f＝2 N 解得质量m3min＝0.2 kg当摩擦力沿斜面向下时拉力T有最大值为T min＝G x＋f＝10 N 解得质量m3max＝1 kg得C的质量范围为0.2 kg≤m3≤1 kg(3)当m3＝0.5 kg时，拉力T大小为T＝m3g＝5 N地面对A的摩擦力f＝T cos θ＝4 N。
平衡中的临界与极值问题
平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松驰的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大．研究的基本思维方法：假设推理法．2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析．例1 重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？解析 木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小．木块受力分析如图所示，由平衡条件知：F cos α－μF N ＝0，F sin α＋F N －G ＝0解上述二式得：F ＝μG cos α＋μsin α令tan φ＝μ，则sin φ＝μ1＋μ2，cos φ＝11＋μ2可得F ＝μG cos α＋μsin α＝μG1＋μ2cos (α－φ) 可见当α＝φ时，F 有最小值，即F min ＝μG1＋μ2答案μG 1＋μ2与水平方向成α角且tan α＝μ 解决极值问题和临界问题的方法(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．(2)数学解法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． 突破训练1 如图1 所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小 ( )图1A ．可能为33mgB ．可能为52mgC ．可能为2mgD ．可能为mg答案 BCD 解析 本题相当于一悬线吊一质量为2m 的物体，悬线OA 与竖直方向夹角为30°，与悬线OA 垂直时外力F 最小，大小为mg ，所以外力F 大于或等于mg ，故B 、C 、D 正确．。
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平衡中的临界、极值问题
一、知识要点
临界问题是指：当某种物理现象（或物理
状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”． 常见问题的出现：1.与摩擦力相关的临界；2.与最大张力相关的临界；3.与弹力发生突然
变化的临界 二、例题分析
例题1、如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面．
例题2、如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为α的斜面上，已知物体A 的质量为m ，物体A 和斜面间动摩擦因数为μ（μ<tan θ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B 质量的取值范围．
例题3、重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为
，一人欲用最小的作用力F 使木板做匀速运
动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
例题4、如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线
成θ＝60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
同步练习：
1.如图所示，能承受最大拉力为10N 的细线OA 与竖直方向成
角，能承受最大拉力为5N 的
细线OB 水平，细线OC 能承受足够大的拉力，为使OA 、OB 均不被拉断，OC 下端所悬挂物体的最大重力是多少？
2.如图所示，一球A 夹在竖直墙与三角劈B 的斜面之间，三角劈的重力为G ，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的。
问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大?(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
3.一个底面粗糙、质量为M 的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面夹角为30°，用一端固定的轻绳系一
质量也为M 小球，小球放在斜面上，轻绳与斜面的夹角为 30°，如图所示.若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k 倍，为使整个
系统静止，k 的最小值为多少？
4、如图，重为G 的木块，在力F 的推动下沿水平地面匀速滑动。
若木块与地面间的动摩擦因数为μ，F 与水平方向成α角。
试说明：若α超过某一个值时，不论推力F 多大，木块都不可能滑动，并求出这个角度。
5．如图所示，物体A 质量为2 kg ，与斜面间的动摩擦因数为0.4.假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则若要使A 在斜面上静止，物体B 质量的最大值和最小值是多少？。