基本不等式综合测试题
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．44．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1x－1的最小值为________．(2)已知0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式专题训练试卷
基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。
- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。
- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。
- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。
所以答案是C。
2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。
根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。
所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。
3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。
综合基本不等式题
不等式综合题一．选择题（共10小题）1．（2015•洛阳一模）若∀x∈（0，），均有9x＜log a x（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范[2，222．（2014秋•德州期末）当0＜x≤时，（）x＜log a x，则a的取值范围是（），），3．（2013秋•余江县校级期中）若x∈[﹣1，1]时，2＜a恒成立，则实数a的取值范围，，，4．（2014秋•和平区校级月考）已知θ∈（0，），则的最小值为（）+25．（2013•日照二模）已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b，则6．（2013•绵阳模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）C．9D．17．（2011秋•九原区校级期中）a，b是正实数，则+的最小值是（）8．（2011•太和县校级模拟）已知正实数a、b满足a+b=1，则的最大值为（）B，则的最小值为（）x+2≤λ二．填空题（共12小题）11．（2012•公安县校级模拟）若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．12．（2012秋•奉节县校级期中）设x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数m的最小值为．13．（2009•天心区校级模拟）关于x的不等式lg（20﹣5x2）＞lg（a﹣x）+1的整数解只有1，则实数a的取值范围是．14．不等式log a x≥（x﹣1）2恰有2个整数解，则a的取值范围是．15．（2013春•武汉校级期中）已知a＞b，且ab=3，则的最小值为．16．（2013秋•海陵区校级期末）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是．17．（2014•安徽模拟）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是．18．（2015•潍坊一模）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是．19．（2011春•福田区校级期中）给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x+2﹣3的最小值是﹣2；（3）函数的最小值是；（4）函数y=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x3为奇函数且在（﹣∞，0）内单调递增；其中真命题的序号有：（把你认为正确的命题的序号都填上）20．（2010•普陀区校级模拟）△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=，S△MCA=x，S△MAB=y，则的最小值为．21．（2009秋•如皋市期中）已知，且t是大于0的常数，的最小值为9，则t=．22．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为．2015年05月15日daydayup525的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•洛阳一模）若∀x∈（0，），均有9x＜log a x（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范[2，22＜＜＜＜的图象交于（a=应满足2．（2014秋•德州期末）当0＜x≤时，（）x＜log a x，则a的取值范围是（），），时，）（时，函数）））的图象交于（）点时，，应满足＜3．（2013秋•余江县校级期中）若x∈[﹣1，1]时，22x﹣1＜a x+1恒成立，则实数a的取值范围，，，xlg﹣=xlglg﹣=lg =lg＜＞4．（2014秋•和平区校级月考）已知θ∈（0，），则的最小值为（）+2，==（）∴（，5．（2013•日照二模）已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x}且a＞b，则{x|x{x|x}∴当且仅当6．（2013•绵阳模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）；由1=；化+9满足=11=，∴+9当且仅当±时取a=∴时，要注意条件7．（2011秋•九原区校级期中）a，b是正实数，则+的最小值是（）+））+2当且仅当时取到等号．8．（2011•太和县校级模拟）已知正实数a、b满足a+b=1，则的最大值为（）B结合已知条件可得，的最大值解：∵=（当且仅当，=9．（2007秋•沙坪坝区校级期中）已知A、B、C三点共线，O为直线外任意一点，且，则的最小值为（）为直线外任意一点，且∴≤λ=，=t=t=二．填空题（共12小题）11．（2012•公安县校级模拟）若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．y=y=y=最小值为故答案为12．（2012秋•奉节县校级期中）设x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数m 的最小值为﹣4．，不等式13．（2009•天心区校级模拟）关于x的不等式lg（20﹣5x2）＞lg（a﹣x）+1的整数解只有1，则实数a的取值范围是[2，）．＜1）﹣，则，）14．不等式log a x≥（x﹣1）2恰有2个整数解，则a的取值范围是（，2]．，15．（2013春•武汉校级期中）已知a＞b，且ab=3，则的最小值为．∴，则由基本不等式可得≥，即（b=16．（2013秋•海陵区校级期末）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是24．，===S==时，三角形面积有最大值17．（2014•安徽模拟）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是4．把+：∵是=∴+=≥18．（2015•潍坊一模）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是8．+的乘以+（+∴+（）=2+2+4+2当且仅当=，时等号成立，∴+19．（2011春•福田区校级期中）给出下列命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x+2﹣3的最小值是﹣2；（3）函数的最小值是；（4）函数y=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内递减；（5）幂函数y=x3为奇函数且在（﹣∞，0）内单调递增；其中真命题的序号有：（2）（3）（5）（把你认为正确的命题的序号都填上）1+2，配方可求；，的最小值是1+23=y=x+2﹣，的最小值是20．（2010•普陀区校级模拟）△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=，S△MCA=x，S△MAB=y，则的最小值为18．解：∵，∠=x+y=，即∴=10++10+221．（2009秋•如皋市期中）已知，且t是大于0的常数，的最小值为9，则t=4．，由，由M=（1+t+2=9=9sinx=，故所求22．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为16．=，且=满足+=1=，=，﹣=，即有=+=当且仅当+=1，。
基本不等式试题
基本不等式试题一、试卷内容1. （10分）若\(a,b\in R^{+}\)，且\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
2. （10分）已知\(x>0\)，求\(y = x+\frac{1}{x}\)的最小值。
3. （10分）若\(a,b\in R^{+}\)，\(ab = 1\)，求\(a + b\)的最小值。
4. （15分）设\(x,y\in R^{+}\)，且\(2x + y = 1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。
5. （15分）已知\(a>0,b>0\)，\(a + b = 4\)，求证：\(\sqrt{ab}\leqslant2\)。
6. （20分）若\(x\in(0,+\infty)\)，求函数\(y = \frac{x^{2}+3x + 3}{x + 1}\)的最小值。
7. （10分）设\(a,b\in R^{+}\)，\(a^{2}+\frac{b^{2}}{2}=1\)，求\(a\sqrt{1 + b^{2}}\)的最大值。
二、答案与解析1. 因为\(a,b\in R^{+}\)，根据基本不等式\(ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^{2}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立。
已知\(a + b = 1\)，则\(ab\leqslant(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)，所以\(ab\)的最大值为\(\frac{1}{4}\)。
2. 因为\(x>0\)，根据基本不等式\(y=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)即\(x = 1\)时等号成立，所以\(y\)的最小值为\(2\)。
3. 因为\(a,b\in R^{+}\)，根据基本不等式\(a + b\geqslant2\sqrt{ab}\)，已知\(ab = 1\)，则\(a + b\geqslant2\)，当且仅当\(a = b = 1\)时等号成立，所以\(a + b\)的最小值为\(2\)。
不等式综合练习(含答案)
一、选择题（每小题6分，共42分） 1.不等式ax 2+5x+c>0的解集为（21,31），那么a,c 为（ ） A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 答案：B解析：由题意得21,31为方程ax 2+5x+c=0的两根是a<0. 故2131+=-ac a =⨯2131,5, ∴a=-6,c=-1.2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是（ ）A.0B.-1C.1D.2 答案：A解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A. 3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为（ ）A.［21，+∞） B.（-∞,-1]∪［21,+∞) C.{-1}∪［21，+∞） D.［-1，21］答案：C解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立， 当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x ≥21. 4.设a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则a ∶b ∶c 等于（ ） A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案：B解析：|ax+b|<c a c b --⇔<x<a b c -，故a c b --=-2,abc -=1即a ∶b ∶c=2∶1∶3.5.设U=R ，A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621答案：A 解析：∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立. 当m=0时，不等式恒成立. 当m ≠0时， 则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621.∴m 的取值范围为［0，1621）. 6.已知a>0,集合A={x||x+2|<a},B={x|a x>1},若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.（0，1）C.（0，1）∪（2，+∞）D.(0,1)∪（1，+∞） 答案：C解析：A={x|-a-2<x<a-2}当0<a<1时，B={x|x<0}又a-2<0故此时A ⊆B ，则A ∩B ≠∅. 当a>1时，B={x|x>0},∵A ∩B ≠∅,∴a-2>0,即a>2.∴a 的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）. 7.(2010辽宁沈阳模拟，1)若不等式xxa ++12-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a 等于（ ） A.0 B.-4 C.-6 D.-8 答案：B 解析：∵不等式xxa ++12≥0， 即为1)3(+--x a x ≤0的解集为{x|-7≤x<-1},∴a-3=-7. ∴a=-4.选B.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.不等式2||||3+-x x ≥21的解集是__________________.答案：［-34,34］ 解析：∵|x|+2>0故原不等式为6-2|x|≥|x|+2即|x|≤34,-34≤x ≤34. 9.若关于x 的不等式a 2-4+4x-x 2>0成立时，不等式|x 2-4|<1成立，则正数a 的取值范围是_______. 答案：（0，5-2]解析：a 2-4+4x-x 2>0⇒2-a<x<2+a.|x 2-4|<1⇒-5<x<5,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-.52,52a a 即0<a ≤5-2.10.(2010江苏南通一模，14)若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________________. 答案：（-∞,1］解析：由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a 的取值范围是（-∞,1］. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010福建厦门一中模拟，17)解不等式：|x 2-3x-4|<x+1.解析：不等式等价于⎩⎨⎧>--<--⇔⎪⎩⎪⎨⎧--<+-+<--)2(.032)1(,054,43)1(,1432222x x x x x x x x x x 解①得-1<x<5,解②得x<-1或x>3，故原不等式的解集为{x|3<x<5}. 12.已知|x-1|≤2且|x-a|≤2,求： （1）当a<0时，求x 的范围；（2）若x 的范围构成的集合是空集，求a 的取值范围. 解析：|x-1|≤2⇒-1≤x ≤3. |x-a|≤2⇒-2+a ≤x ≤a+2. (1)当a<0时，a+2<3,-2+a<-1.①当a+2≥-1,即a ≥-3时，x 的取值范围为［a+2,3］; ②当a+2<-1,即a<-3时，x . (2)由题意得 a+2<-1或-2+a>3. 故所求a 的取值范围为a<-3或a>5.13.已知全集U=R ，A={x|x 2-2x-8<0},B={x||x+3|>2},C={x|x 2-4ax+3a 2<0}. (1)C ⊆(A ∩B),求a 的取值范围； （2）C ⊆（A ）∩（B ），求a 的取值范围.解析：A={x|-2<x<4},B={x|x>-1或x<-5}. ∴A ∩B={x|-1<x<4}.当a>0时，C={x|a<x<3a}; 当a=0时，C=∅;当a<0时，C={x|3a<x<a}. (1)若C ⊆A ∩B,则a=0或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥>⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<.43,1,04,13,0a a a a a a 或∴a ∈［-34,31］. （2）（A ）∩（B ）={x|-5≤x ≤-2}.若C ⊇(A)∩(B),则⎪⎩⎪⎨⎧->-<<.2,53,0a a a∴-2<a<-35,即a ∈(-2,-35). 14.已知a>1,设P ：a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1,试寻求使得P 、Q 都成立的x 集合.解析：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-.0)2)((,12,02)2(,12,1)2()1(,01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a<2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a>2-a1, 故x ∈{x|x>2或2-a 1<x<a};若a=2,则有x ∈{x|x>23,且x ≠2};若a>2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 若x ∈{x|x>a 或2-a1<x<2}. 高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
基本不等式专题训练
基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。
5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。
三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。
7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。
8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。
参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。
又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。
当且仅当a=b=21时，等号成立。
2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。
而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。
选项B显然不成立。
3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。
当且仅当a=b=c=31时，等号成立。
二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。
5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。
基本不等式训练习题
基本不等式训练习题一、选择题1. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a + b > 0C. a² > b²D. 1/a < 1/b2. 已知x > y，则下列不等式中一定成立的是（）A. x y > 0B. x² > y²C. 1/x < 1/yD. x + 1 > y + 13. 若a < b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a b > 0C. ab > 0D. 1/a > 1/b二、填空题1. 若a > b，则a b __________ 0。
2. 已知x < y，且x, y均为正数，则1/x __________ 1/y。
3. 若a < b < 0，则a² __________ b²。
三、解答题1. 已知x > y，证明：x + 1 > y + 1。
2. 已知a > b，且a, b均为正数，证明：a² > b²。
3. 若a < b < 0，证明：ab > 0。
4. 已知x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + y² > 0。
5. 已知a, b为正数，且a > b，证明：1/a < 1/b。
四、综合题1. 已知x, y为实数，且x > y，求证：x² y² > 0。
2. 若a, b, c为实数，且a > b > c，证明：a c > b c。
3. 已知a, b为正数，且a > b，求证：a² + b² > 2ab。
4. 若x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + 2xy + y² > 0。
(完整word版)基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式测试卷docx
基本不等式测试卷姓名：班级：得分：一、选择题(每题 5 分，共 30 分)1.若a>0,b>0, 则下列不等式中不成立的是（）A.a+b+√ab ≥2√2 B.(a+b)(1a+1b)≥4C.22√ab ≥a+b D.2aba+b≥√ab2.若x>0,则x+4x的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.53.设x,y是正实数且x+y=1, 则1x +1y的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 84.若0<x<1则x(1−x)的最大值为（）A.12B.14C. 1D. 25.设a>0,b>0,若√3是3a与3b的等比中项，则1a +1b的最小值为（）A.8B. 4C. 1D. 146若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）A.245 B.285C.5D.6二、填空题(每题 5 分，共 30 分)1. 函数y=x+1x(x>0)的最小值为——2. 若x,y满足x+2y=1, 则2x+4y的最小值为______3. 若0<a<1,0<b<1, 且a≠b, 则a+b, 2√ab,2ab,a2+b2中最大的是—–。
4. 设x>−1,则函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值为______。
5.已知x>0,y>0, 且1x +9y=1, 则x+y的最小值为______6.若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立则a的取值范围是_____三、解答题(每题 10 分，共 40 分)1. 已知x>0,y>0, 且x+2y=1, 求1x +1y的最小值2.当x>0时 , 求y=2−x−4x的最大值。
3.已知a,b,c均为正实数，且a+b+c=1, 求证：(1a −1)(1b−1)(1c−1)≥8。
4.要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的总长为35米。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋ca ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
(最新整理)基本不等式练习题(带答案)
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基本不等式1. 若a ∈R ,下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ )Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3。
设x 〉0，则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A 。
10B 。
。
。
5. 若x ， y 是正数，且141xy+=，则xy 有 （ ）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166。
若a ， b ， c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111a b c++≥．a b c ++≤7. 若x 〉0， y >0，且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2 D ．11xy≥8. a ，b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 ( ） Ａ．22a b ab a b +≤+ 22a b aba b +≤+ Ｃ．22ab a ba b +≤+ Ｄ．22ab a ba b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有( ）Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10。
基本不等式(含答案)
3.4 基本不等式一、选择题（共10小题；共50分）1. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=( )A. 3B. 32C. 23D. 132. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A. v1+v2+v33B.1v1+1v2+1v33C. √v1v2v33 D. 31v1+1v2+1v33. 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√344. 若a,b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√345. 设0<a<b，a+b=1，则12，b，2ab，a2+b2中最大的是( )A. 12B. bC. 2abD. a2+b26. 已知正实数a，b满足1a +2b=√ab，则ab的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是( )A. 5.2mB. 5mC. 4.8mD. 4.6m8. 设正实数a，b，c满足a2−3ab+4b2−c=0，则当abc 取得最大值时，2a+1b−2c最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 39. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件10. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A. y=x+1x B. y=cosx+1cosx(0<x<π2)C. y=2√x2+2D. y=e x+4e x−2二、填空题（共5小题；共25分）11. 设a,b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为．12. 将一根长10米的铁丝围成一个矩形，当矩形的宽为米时，所围成矩形的面积最大．13. 给出下列不等式的证明过程：①若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2；②若x>0，则cosx+1cosx ≥2√cosx⋅1cosx=2；③若x<0，则x+4x ≤2√x⋅4x=4；④若a,b∈R，且ab<0，则ba +ab=−[(−ba)+(−ab)]≤−2√(−ba)⋅(−ab)=−2．其中证明过程错误的是（填序号）．14. 已知x>0，y>−1，且x+y=1，则x2+3x +y2y+1最小值为．15. 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(V20)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要小时（不计货车的车身长）．三、解答题（共3小题；共39分）16. 已知0<x<13，求函数y=x(1−3x)的最大值．17. 回答下列问题：（1）已知x<3，求4x−3+x的最大值；（2）已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x +3y的最小值．18. 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）答案第一部分 1. D【解析】由题意得 ab =1λ×a ×(λb )≤1λ×(a+λb 2)2=1λ，当且仅当 a =λb =1 时，等号成立，所以 1λ=3，即 λ=13． 2. D【解析】设三个连续时间段的时长分别为 t 1，t 2，t 3，依题意有 v 1t 1=v 2t 2=v 3t 3=l ，总的增长量为 3l ，则 t 1+t 2+t 3=l (1v 1+1v 2+1v 3)．故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为3l t 1+t 2+t 3=31v 1+1v 2+1v 3．3. B 【解析】3a +3b ≥2√3a ⋅3b =2√3a+b =6，当且仅当 3a =3b ，即 a =b =1 时，3a +3b 取得最小值 6．4. B5. B【解析】取 a =14，b =34，得 b >a 2+b 2>12>2ab ．6. C7. B8. B9. B 【解析】设平均每件产品的生产准备费用和仓储费用之和为 y ，则 y =800x+x 8≥2√800x⋅x 8=20，当且仅当 800x=x8，即 x =80 时取得最小值．10. D【解析】对于选项A ：当 x <0 时，A 显然不满足条件； 选项B ：y =cosx +1cosx≥2，当 cosx =1 时取等号，当 0<x <π2 时，cosx ≠1，B 显然不满足条件； 对于C ：不能保证 √x 2+2=√x 2+2，故错；对于D ：因为 e x >0，所以 e x +4e x −2≥2√e x ⋅4e x −2=2， 故只有D 满足条件． 第二部分 11. 3√2【解析】(√a +1+√b +3)2=a +b +4+2√a +1⋅√b +3≤9+2×(√a+1)2+(√b+3)22=9+a +b +4=18,所以 √a +1+√b +3≤3√2，当且仅当 a +1=b +3 且 a +b =5，即 a =72，b =32 时等号成立． 12. 5213. ①②③14. 2+√315. 8【解析】提示：物资全部运到B市需要的时间为：400V +16×(V20)2V=400V+V25≥2√400V⋅V25=8，当且仅当400V =V25，即V=100时，等号成立．第三部分16. 因为0<x<13，所以1−3x>0．y=x(1−3x)=13[3x⋅(1−3x)]≤13[3x+(1−3x)2]2=112．当且仅当3x=1−3x，即x=16时，取等号．所以当x=16时，函数取得最大值112．17. （1）因为x<3，所以x−3<0，所以4 x−3+x=4x−3+(x−3)+3=−[43−x+(3+x)]+3≤−2√43−x(3−x)+3 =−1.当且仅当43−x=3−x，即x=1时，等号成立，所以43−x+x的最大值为−1．（2）因为x，y是正实数，x+y=4，所以1 x +3y=(1x+3y)x+y4=14(4+yx+3xy)≥1+2√34=1+√32,当且仅当yx =3xy，即x=2(√3−1)，y=2(3−√3)时等号成立．故1x +3y的最小值为1+√32．18. 由于＂年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元＂，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年总维修费用为0.2+0.2x2⋅x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y =10+0.9x +0.2+0.2x2⋅x x=1+10x +x 10≥1+2√10x ⋅x10=3当10x=x10，即 x =10（负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用 10 年报废，年平均费用 y 最小．答：这种汽车使用 10 年报废最合算．。
基本不等式综合练习
基本不等式练习1.已知向量且，若x,y 均为正数，则的最小值为（ ）A 、24B 、8C 、D 、2.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、D 、3.设，且，则的最大值是（ ）A 、 40B 、10C 、4D 、24.不等式对任意恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、 5.若正数满足，，则的最小值是（ ）A 、2B 、C 、D 、6.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数m 的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、7.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。
8.已知，，则的最小值是 。
9．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是。
10.若直线过点（1，2），则的最小值是 。
a =(3,2),b =(x ,1-y )a //b 3x +2y 835392112x >0,y >0x +4y =40lg x +lg y x 2+2x <a b +16b a a ,b Î(0,+¥)(-2,0)(-¥,-2)È(0,+¥)(-4,2)(-¥,-4)È(2,+¥)a ,b 1a +2b =12a -1+1b -22521+4x ,y 1x +4y =1x +4y <m 2-3m (-1,4)(-¥,-1)È(4,+¥)(-4,1)(-¥,0)È(3,+¥)x >1x +1x -1³a a x >0,y >0lg2x +lg8y =lg21x +13y x >0xx 2+3x +1£a a x a +yb =1(a >0,b >0)2a +b11.已知正实数满足，那么的最小值是 。
12.已知函数只有一个零点，则的最小值是 。
最新基本不等式试题(含答案)
1.若a R ，下列不等式恒成立的是D.— 14. 设x,y • R ,且x • y =5,则3x 3y 的最小值是（ )A. 10B. 63C.4.6D.18 35. 若x , y 是正数，且1- =1,则 xy 有 x y()A .最大值16B.最小值丄16C.最小值16D . 最大值丄166. 若 a , b , C €R ,且 ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是()A. a 2b 2C 2 _2 B 2.(a ■ b ■ C ) - 3C. 1 丄丄_2“3D. a b c_、. 3a b c( A )c . 2ab1 2B .a 2b 2D. a3. 设 x >0,则y =3 —3x —丄的x最 大 值为()A .3B . 3 一 3 -2c . 3- 2. 32. 若 0 ::: a ::: b 且 a • b = 1 , 则下列四个数中最大的是A. a 2 1 aC. a 2 ■ 9 6aD . lg(a 2 1) . lg | 2a |7. 若 x >0, y >0,且 x +y 空4,则下列不等式中恒成立的是A .1 1B .x y 4 丄丄1x yC .,刃一2D 11 xy8. a,b是正数，则a b, ,0b, 2ab三个数的大小顺序是()2 a ba b 2abA. ab <B .•.矶a %2ab2 a+b 2 a b2ab a bC. ab <D. . a^ 2ab a b<a +b 2 a +b 29. 某产品的产量第一年的增长率为P,第一年的增长率为q,设这两年平均增长率为X,则有（)A. x = p qB. x ::：P qC. qD.x_p q2 2 2 2 10. 下列函数中，最小值为4的是(). 4A. y 二xB. y _sin x 4（0 ：：:x sin xC. y 二e x 4e丛D. y =log3 x 4log x311. 函数y =x .1「x2的最大值为12. 建造一个容积为18m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元. 13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是_____ .2 214. 若x, y为非零实数，代数式15的值恒为正，对吗?y x y x15.已知：x2 y2 =a, m2 n2 =b(a,b 0),求m)+ny 的最大值.16.已知f(x) =logx(a ・0且a=1,x R ).若花、x< R ,试比较扣区)")］与f (宁)的大小，并加以证明17.已知正数a，b 满足出=1( 1)求ab的取值范围；(2)求abab的最小值.对所有的正整数n 都成立.§ 3.4基本不等式经典例题：【解析】 证法一 假设(1-a)b ，(1-b)c ，(1-c)a 同时大于寸, T 1 — a >0, b>0,「. (1 一？ b > (1 -a)b •,：二寸,18.设a . = .,1 2 • i 2 3 •…一 n n 1 .证明不等式n(n 1) 2:::a nn 12 2同理—丄,(―丄.三个不等式相加得2 .2，不可能，2 2 2 2 2 2二(1 — a )b , (1 — b)c , (1 — c) a 不可能同时大于-.4证法二 假设(1_a)b , (1-b)c 1, (1-c)a 1 同时成立，4441 — a>0 , 1 — b>0 , 1 — c>0 , a>0 , b>0 , c>0 ,1 (1 -a)b(1 -b)c(1 -c)a •64即(1-a)a(1-b)b(1-c)c 右.(*) 又 T (1-a)a < (1 ? a —,11 同理(1 — b)b < , (1-c)c <44(1 —a)a(1 —b)b(1 —c)c < 丄与( * )式矛盾，64故(1 _a)b,(1 _b)c,(1 _c)a 不可能同时大于1.4当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C; 1O.C;11.1; 12.23600 ; 13. 2 1;14.2对;15.. ab当且仅当X 1 = X 2时，取“=”号.16. 【解析】为+x 2 f (xj f(X 2)=log a X 1 log a X 2 =log a (X 1X 2), f (2 )=log aX 1 X 2X 1、 X 2 R ,X 1X 2 乞(xX 2)22 )当 a 1 时，有loga^x?) _ log a(X泸).. , 、％+ X2 1 X<H x2…—lo g a(X i X2)乞叮og a (—-). [log a % log a X2]岂log a(- -).2 2 2 2 即![f(X!) f(X2)]乞f(X^^2).2 2当0 .： a :: 1 时，有log a(x i X2)_ log a (勺X2)2•1 为X2即二[f(xj f(X2)] — f (—-).2 217. (1) 0, 1 (2)1 4」17 418.【解析】证明由于不等式k-k(k 1)「(k化2—1对所有的正整数k成立，把它对k从1到n(n > 1)求和，得到又因 1 2「n』如2-3 5 2n -1 1 (n -1)23■ 5潜…卜2^ ：：：丄[1 3 5 •…(2n 1)]=丄・2 2 2 2 2因此不等式叫」y：丄二】对所有的正整数n都成立.2 2。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
不等式综合测试题
松山中学高三不等式综合测试题(B )满分：150分 时量：120分钟 时间：2019-05-03一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1. 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A .ab ＞ac B . c (b －a )＜0 C .cb 2＜ab 2 D . ac (a －c )＞02. 不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于( )A .8B .2C .－4D .－83. 某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的数量相同，且需要云费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( ) A.2000件 B. 5000件 C. 2500件 D. 1000件4. 不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A .{}10|<≤x xB . {}10|-≠<x x x 且C . {}11|<≤-x xD .{}11|-≠<x x x 且5. 若实数a ，b 满足a ＋3b －2＝0，则3a ＋27b ＋3的最小值是( ) A .18 B .6C .2 3D .96. 不等式x (x ＋2)x －3＜0的解集为( )A . {}302|<<-<x x x 或B . {}322|><<-x x x 且C . {}02|>-<x x x 或D . {}30|><x x x 且7. 若关于x 的不等式x 2－px －q ＜0的解集为(2，3)，则关于x 的不等式qx 2－px －1＞0的解集为( ) A .(2，3)B .（－3，－2）C .(13，12)D .(－12，－13)8. 如果x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( )A .最大值64B .最小值64C .最大值164D .最小值1649. 下列函数中最小值为2的有( ) (1) y ＝x ＋1x ；(2) y ＝tanθ＋cot θ，θ∈(0，π2)；(3) y ＝sinθ＋2sinθ，θ∈(0，π2)；(3) y ＝x 2＋2＋1x 2＋2. A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个10. 函数y ＝log a (x 2＋mx －m ) (a ＞0且a ≠1)的值域为R ，则m 的取值范围是( )A .－4＜m ＜0B .－4≤x ≤0C .m ＞0或m ＜－4D .m ≥0或m ≤－4 11. lg9·lg11与1的大小关系是( )A.lg9·lg11＞1B. lg9·lg11＝1C. lg9·lg11＜1D. 不能确定.12. 现有200根相同的钢管堆放成正三角形垛，使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管有( ) A .20 根 B .10根 C .9根 D .19根二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若关于x 的不等式axx －1＜1的解集为{}21|><x x x 或，则实数a 的值是______________ 14. 不等式2x ＋1＞x ＋1的解集为___________________________________.15. 已知3＜a ＋b ＜5，7＜a －b ＜11，则b 的取值范围是____________________，5a －b 的取值范围是_______________________.16. 已知a ＞1，b ＞1，且ab －a －b ＝1，那么a ＋b 的最小值为___________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10分)已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，m ＞0，求证：m a －c ＜mb －d .18. (10分)解关于x 的不等式x 3－x 2－3x ＋ax 2－x －2＞x19. (12分)已知a ，b 为不相等的正数，试比较a a b b 与a b b a 的大小20. (12分)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{}0,|><<m n x m x . (1)试判断a 、b 、c 的符号.(2)求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集.21. (12分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2. 用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙品种产品各6个，问：A、B两种规格金属板各用多少张，才能完成计划，并使总的用料最省？22.(14分)某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费用9000元；汽车的维修费各年为：第一年为2000元，第二年为4000元，第三年为6000元，以每年2000元的增量递增，问这种汽车最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少)？参考答案一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 12； 14. Ø；15. (－4，－1)， (27， 43)； 16. 2＋22；三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. 证明：∵ a ＞b ＞0，c ＜d ＜0， ∴ －c ＞－d ＞0 ∴ a －c ＞b －d ＞0∴1a －c ＞1b －d ＞0 又∵ m ＞0， ∴ m a －c ＞m b －d18. 解：不等式化为：x 3－x 2－3x ＋a x 2－x －2 －x ＞0 即：－x ＋a x 2－x －2＞0 即 x －a x 2－x －2＜0∴ (x －a )(x 2－x －2)＜0 ∴ (x －a )(x ＋1)(x －2)＜0(1) 当a ＜－1时， 不等式的解集为：}21|{<<-<x a x x 或 (2) 当a ＝－1时，不等式的解集为：}211|{<<--<x x x 或(3) 当－1＜a ＜2时， 不等式的解集为：}21|{<<-<x a x x 或 (4) 当a ＝2 时， 不等式的解集为：}1|{-<x x(5) 当a ＞2 时，不等式的解集为：}21|{a x x x <<-<或19. 解：a b b a b a b a ＝ba ba -)( ∵a ，b 为不相等的正数∴当a ＞b ＞0时，ab ＞1，a －b ＞0 ∴ b a b a -)(＞1∴ 当b ＞a ＞0时，0＜ab ＜1，a －b ＜0 ∴ b a ba -)(＞1总之，∴ ba ba -)(＞1，即：ab b a b a b a ＞1 又∵ a b b a ＞0 ∴ a a b b ＞a b b a20. 解：(1) 由已知可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为m ，n ，均为正根，且抛物线的开口向下.∴ a ＜0，－b a ＞0，ca＞0 ∴ a ＜0，b ＞0，c ＜0(2) 方法一：由(1) 知，m ＋n ＝－b a ①， mn ＝ca ②∴ －b c ＝－b a ÷c a ＝m ＋n mn ＝1m ＋1n ， a c ＝1mn ＝1m ·1n∴1m 和1n是方程cx 2＋bx ＋a ＝0 的两个根，又 c ＜0 ∴ 不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<m x n x x 11|或 方法二：由(1)知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为m ，n ，且均为正根则方程cx 2＋bx ＋a ＝0 的两个根是1m 和1n答：用去A 规格的金属板5张，B 规格金属板5张时能完成计划，并且使总用料最少2522 22. 解：设汽车使用n 年最合算，则由题意，得：平均每年的费用为： y ＝100000＋9000n ＋[2000n ＋1000n (n －1)]n＝100000n ＋1000n ＋10000≥2100000n·1000n ＋10000 ＝30000 (元)由100000n＝1000n ，得 n ＝10 (年) 答：这种汽车最多使用10年报费最合算.。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
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（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．4
【分析】
【详解】
A.由基本不等式可知 ，故A不正确；
B. ，即 恒成立，故B正确；
C.当 时，不等式不成立，故C不正确；
D.当 时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
8．C
【分析】
将所求式子整理为 ，利用 ，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
， ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
【详解】
分别令 排除A，D．选项C等号不成立，排除C.（即 不合题意.）
对于B选项， ，所以B选项正确.
故选：B．
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式判断不等式是否成立，属于基础题.
3．C
【分析】
由题意可得 ,可得 ,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.
【详解】
解:已知 ,则
,
当且仅当 ,即 时等号成立.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
A． 或 B． 或
C． D．
11．已知正实数a，b，c，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
12．下列结论正确的是（）
A．当 且 时，
B． 时， 的最大值是2
C． 的最小值是2
D．当 时， 的最小值为4
二、填空题
13．若 且 ，则 取值范围是_______________.
14．已知 ，则 的最小值为___________
所以 的最小值为:
故选:C
【点睛】
本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.
4．D
【分析】
先对 通分得到 ,根据 ,得出 ,最后利用基本不等式即可得出最小值,需要注意等号成立的条件.
【详解】
解:已知
则
当且仅当 时,等号成立.
故选:D
【点睛】
本题考查基本不等式,需要注意”一正二定三相等”.
基本不等式综合测试题
一、单选题
1．设正实数 ， 满足 ，则当 取得最小值时， ( )
A．1B．2C．3D．4
2．下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
3．已知 ,则 的最小值为( )
A．4B．6C．7D．10
4．已知 ,则 的最小值是（）
A．1B． C．4D．2
5．已知 ,下列各不等式恒成立的是( )
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．
【分析】
利用基本不用等式可求得结果.
【详解】
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．（1） ；（2） .
19．（1） 或 （2）-1，2
【分析】
（1）因为 ，所以 等价于 ，在 的范围内解出 即可.
（2）应用基本不等式求出最小值，并求出取最小值时 的值.
【详解】
解： ，则 等价于 且
即 ，所以 或 ，又 ，
所以若 ，则 或 .
（2）
当且仅当 ，即 时“=”成立，
所以 的最小值为-1，此时 .
【点睛】
本题考查应用基本不等式求最小值，属于基础题.
【分析】
（1）将函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出最值；
（2）根据（1）的结果，将不等式化为 ，解对应的一元二次不等式，即可得出结果.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
即函数 的最小值为 ；
（2）为使不等式 恒成立，只需 ，
由（1）知 ，解得 ，
即实数 的范围为 .
【点睛】
当且仅当 时，即 时等号成立，所以 的最大值是2，所以是正确的；
对于C中，由 ，
当且仅当 时，即 （无解），所以不正确；
对于D中，当 时，由 ，
当且仅当 时，即 （不成立），所以不正确.
故选：B.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．C
【分析】
由基本不等式可得 ，所以 ，从而得解.
【详解】
因为
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 恒成立，
所以 ，
解得 ．
故选：C.
11．C
【分析】
令 ，则 ，代入 整理化简后利用基本不等式即可求解.
，故B选项不恒成立；
，当且仅当 即 时取等号，故C选项中的不等式恒成立，
因为 ， ， ，当且仅当 ， ，即 时取等号，故D选项中的不等式恒成立，
故选：B．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
易错点睛：基本不等式的应用注意：“一正二定三相等”，注意检验等号成立的条件.
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．B
【分析】
根据基本不等式“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，当 时， ，此时 ，
当且仅当 时，等号成立，所以不正确；
对于B中，当 时，由 ，
5．D
【分析】
当 时， ，选项 不成立；当 时， ，选项 不成立； ，由基本不等式可得选项 成立.
【详解】
取 时， ，可判断选项A,B不正确；
取 时， ，可判断选项C不正确；
因为 同号， ，
当且仅当 时，等号成立，选项D正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题.
6．A
【分析】
根据正数 ， 满足 ，可得 ，然后由 ，利用基本不等式求出 的最小值．
【详解】
正数 ， 满足 ， ．
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
的最小值为18．
故选: ．
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
7．B
【分析】
根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得 ，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.
15．5
【分析】
本题首先可根据 得出 ，然后将 转化为 ，再然后令 ，将上述式子转化为 ，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
因为 ，所以 ， ， ，
则 ，
设 ，则 ，上述式子可转化为 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ， 的最大值为 ，
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
22．已知函数
（1）若 ，求方程 的解；
（2）若对于 恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
最值，整理计算即可.
【详解】
，当且仅当 时，等号成立，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查基本不等式求最小值，注意等号的成立条件，是基础题.
2．B
【分析】
利用特殊值排除AD选项，根据基本不等式等号成立的条件排除C选项，利用基本不等式，证得B选项成立.
【详解】
令 且 ，解得 ，
所以
，当且仅当 时等号成立，
故选：C
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.