线性相关与无关的判断方法
判断向量组线性相关的方法-向量组线性相关
.
精品 判断向量组线性相关的方法
1．
0=α⇔α线性相关 2． βα与的对应分量成比例⇔βα与线性相关
3．含有零向量的向量组是线性相关的
4．向量组m
ααα 21,)2(≥m 线性相关⇔该组中至少有一个向量可由其余的1-m 向量线性表出
5．部分相关则整体相关
6．设向量组r ααα 2
1,可由向量组s βββ 21,线性表出 （1）如果r>s,则
r ααα 21,线性相关； （2）如果r ααα 21,线性无关，则s r ≤
7．n+1个n 维向量必线性相关(个数大于维数)
8．该向量组的秩小于它所含向量的个数
⇔向量组线性相关 9．n 个n 维的向量构成的行列式=0 ⇔该向量组是线性相关的
10．线性相关向量组中每个向量截短之后还相关
判断向量组线性无关的方法
1．
0≠α⇔α线性无关 2． βα与的对应分量不成比例⇔ βα与线性无关
3．向量组m
ααα 21,)2(≥m 线性无关⇔该组中任何一个向量都不能由其余的1-m 向量线性表出
4．整体无关则部分无关
5．线性无关向量组中每个向量加长之后还无关
6．该向量组的秩等于它所含向量的个数
⇔ 向量组线性无关 7．n 个n 维的向量构成的行列式≠0 ⇔该向量组是线性无关的
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线性相关与无关的判断方法
线性相关与无关的判断方法
在判断两个向量之间是否线性相关或线性无关时，可以采用以下方法：
1. 零向量判断法：如果向量中存在一条零向量（所有分量都为0），则这些向量线性相关。
2. 线性组合法：对于向量集合 {v1, v2, ..., vn}，如果存在一组称为非零标量 {a1, a2, ..., an}，使得 a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0（其中0表示全零向量），则这些向量线性相关；否则，它们线性无关。
3. 行列式法：将向量排列成一个矩阵，取这个矩阵的行列式。
如果行列式的值不等于0，则向量集合线性无关；如果行列式的值等于0，则向量集合线性相关。
4. 线性方程组法：将向量集合看作一个齐次线性方程组的系数矩阵，求解方程组。
如果方程组有非零解，则向量集合线性相关；如果方程组只有零解，则向量集合线性无关。
这些方法可以用于判断向量集合的线性相关性，并且不需要特定的标题来描述。
(完整版)抽象向量组线性相关性的判定与证明
3.抽象向量组线性相关性的判定与证明对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法.方法1 定义法：先设，然后对其作恒等变形，如用某个矩阵同乘该式两边，或对该式拆项重新组合等. 究竟用什么方法应当从已知条件去寻找信息，通过一次或多次恒等变形来分析能够不全为零还是必须全为零，从而得知是线性相关还是线性无关.方法2 求秩法：要论证线性相关或线性无关，可将其构成矩阵，利用或来说明.方法3 利用有关结论，如“等价的向量组有相同的秩”等. 方法4 反证法.例1 已知向量组线性无关. 设，，讨论的线性相关性 .解法1 利用定义. 设，代入的表达式，有整理得由于线性无关，所以有其系数行列式从而方程组有非零解，即不全为零(或求得方程组的通解任意；取得)，故线性相关.法2 利用矩阵的秩. 将看做行向量，令，其中因为线性无关，所以，又可求得，从而. 又知因此，故线性相关.注上题中，如将看做列向量，则有其余证明同法2.例2 已知向量组，令，，证明：(1) 当为偶数时，向量组线性相关；(2) 当为奇数时，向量组与同时线性相关或线性无关.证(1) 法1 当为偶数时，由于所以线性相关.法2 设数组，使得(*)代入的表达式并整理得令，则上式成立. 该齐次方程组的系数行列式(两条线行列式)故有非零解，即存在不全为零的数使(*)式成立，从而线性相关.(2) 当为奇数时，将看做列向量，则有其中由于，所以可逆，从而这表明向量组与可以互相线性表出，即它们等价，从而有相同的秩. 故当向量线性无关，即秩为时，向量组的秩也是，即线性无关；而当线性相关时，也线性相关.注上题中，如将看做行向量，则有例3 向量组线性无关，则下列线性无关的向量组是．(A) ，，，；(B) ，，，；(C) ，，，；(D) ，，，应填:(B)．分析法1．观察可知(A)线性相关；(C)线性相关；(D) 线性相关．由排除法可知应选(B)．法2 ．对(B)，设拆项重组为由线性无关知，系数行列式所以方程组只有零解，，从而(B)线性无关．用此法可知(A)，(C)，(D)均线性相关．法3 ．对(B)，设。
向量组线性相关与线性无关的判定方法
V ol .32N o.5M ay 2016赤峰学院学报(自然科学版)J our nalofChi f eng U ni ver s i t y (N at ur alSci ence Edi t i on )第32卷第5期(上)2016年5月向量组线性相关与线性无关的判定方法侯雯昕(华东师范大学经济与管理学系,上海200062)摘要:向量组的线性相关性是线性代数理论的基本概念,它与向量空间、子空间等概念有密切关系,同时在解析几何以及常微分方程中有广泛应用.本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法,包括利用线性相关性的定义、行列式的值、矩阵的秩及齐次线性方程组的解等判定向量组的线性相关性,并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词:向量组;线性相关;线性无关;行列式;矩阵中图分类号:O 151.2文献标识码:A文章编号:1673-260X (2016)05-0004-02向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解和掌握,实际上,向量组的线性相关与线性无关是相对的,只要掌握了线性相关的判定,线性无关的判定也就没有问题了.因此,本文主要论述了向量组的线性相关性的几种判定方法.1线性相关及相性无关的概念及性质1.1定义设有n 维向量组a 1,a 2,…,a n ,如果存在一组不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性相关;如果仅当k 1,k 2,…,k n全为0时,上式k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0才成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性无关.1.2性质由向量组的概念易知向量组的线性相关性具有以下简单性质:(1)含有零向量的向量组线性相关.(2)若单个向量a ≠0,则向量组是线性无关的;相反,则向量组线性相关.(3)含有n+1个向量的n 维向量组必定线性相关.(4)向量组中一部分向量线性相关,则该向量组线性相关;若向量组线性无关,则其任一部分向量组线性无关.因此,一个向量组不是线性相关就是线性无关,为了更好的理解线性相关和线性无关,下面列出它们之间的不同点.(1)定义不同:线性相关的向量组是,存在不全为零的一组数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立而线性无关的向量组,只有当k 1=k 2=…=k n =0,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.(2)线性表示问题:线性相关向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示;而线性无关的向量中任何一个向量都不能由其余n-1个向量线性表示.(3)与线性方程组的关系:若a 1,a 2…a n 线性相关,则存在不全为零的数x 1,x 2,…,x n ,使a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n=0,即[a 1,a 2,…,a n]x 1x 2x n⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0或A X =0有非零解;而线性无关,则是A x=0只有零解.由此也可以看出研究向量的线性相关与方程组有着直接的关系.2向量组线性相关性的判定2.1利用定义法判定这是判定向量组的线性相关的基本方法,即给定向量组A :a 1,a 2,…,a n 如果存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组A 是线性相关的.否则,如果不存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.也就是说,只有当k 1,k 2,…,k n 全为零,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0,则称向量组A 是线性无关的.例如,证明向量组β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1线性相关,则需要证明设存在4个数k 1,k 2,k 3,k 4,使得k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0.因此需将β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1代入上式有:k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α3+α4)+k 4(α4+α1)=0,即收稿日期:2016-03-234--. All Rights Reserved.(k 1+k 4)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3+(k 3+k 4)α4=0,取k 1=k 3=1,k 2=k 4=-1,则有k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0,由线性相关性的定义可知,向量组β1,β2,β3,β4线性相关.2.2利用齐次线性方程组的解判定对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a n ,若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0有非零解则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性相关的;若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0只有零解,则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性无关的.例如,判断x 1=(-1,1,1),x 2=(-2,1,2),x 3=(-1,2,-1)的线性相关性.需要令k 1x 1+k 2x 2+…+k n x n =0,即:将三组值代入后解方程组,可得k 1=0,k 2=0,k 3=0,故x 1,x 2,x 3是线性无关的.2.3利用矩阵的秩判定设向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m )的秩的大小来进行判定.(1)当R (A )=m 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的;(2)当R (A )<m 时,则向量组A :aa 1,a 2,…,a m 是线性相关的.2.4利用行列式的值来判定(1)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m ),即A 为m 阶方阵,则有:①当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.(2)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 的个数m 与维数n 不同时,则有:①当m >n 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当m <n 时,转化为上述来进行判定,即选取m 个向量组成的m 维向量组,若此m 维向量组是线性相关的,则添加分量后,得到的向量组也是线性相关的.2.5利用反证法判定有些题目中,直接证明结论常常比较困难,而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义、定理、公理相悖的结果,从而说明原结论成立.例如,向量组A :a 1,a 2,…,a m 中任一向量a i 不是它前面i -1个向量的线性组合,且a i ≠0,证明向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.可用反证法证明,假设向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性相关,则存在不全为零的m 个数k 1,k 2,…,k m ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0.由此可知,k m =0,否则由上式可得a m =k 1k m a 1-k 2k m a 3-…-k m -1k ma m -1即a m 可由它前面m -1个向量线性表示,这与题设矛盾,因此k m =0.从而有k 1a 1+k 2a 2+…k m -1a m -1=0.同理可得k m -1=k m -2=…=k 3=k 2=0,最后得到k 1a 1=0因为a i ≠0,所以k 1=0,但这又与k 1,k 2…k m 不全为零矛盾.因此,向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性无关.2.6利用向量组在线性空间中象的线性关系判定线性空间V 中向量组a 1,a 2,…,a r 线性相关的充要条件是它们的象σ(a 1),σ(a 2)…σ(a r )线性相关.因为由k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r =0可得k 1σ(a 1)+k 2σ(a 1)+…+k r σ(a r )=00.进而有σ(k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r )=0.2.7利用方程组法判定方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a s 线性相关的充要条件是以a 1,a 2,…,a s 的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组的有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线性无关.3小结本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析,并且给出了一些判定方法,由于向量组的线性相关性是线性代数中一个基础和重点的问题,仅限于这些讨论是远远不够的,还有待我们作进一步的研究.———————————————————————参考文献:〔1〕张禾瑞.郝鈵新.高等代数.高等教育出版社,2007.130-270.〔2〕杨燕新.王文斌.关于向量组线性相关的集中判定.山西农业大学学报,2005(8):292-294.〔3〕李先富.胡劲松.判断向量组线性相关性的另外一种方法.四川理工学报,2005(8):94-95.〔4〕肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法.伊犁师范学院,2008(12):58-59.5--. All Rights Reserved.。
线性代数167;4.2
(4)设
短的无关
长的无关；
j
a1
a2
j j
,
arj
j
a1 j
a2 j
长的相关
,
( j 1,2,,m),
短的相关。
arj
ar1, j
即j 添上一个分量后得向量j. 若向量组A: 1, 2, ···,
m线性无关, 则向量组B: 1, 2, ···, m也线性无关; 反
言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.
证明: 本定理的4个结论均由定理4证明.
(1) 记A=(1, 2, ···, m), B= (1, 2, ···, m, m+1),
则有: R(B)R(A)+1. 若向量组A线性相关, 则由定理4知
R(A)<m, 从而R(B)R(A)+1<m+1. 因此, 根据定理4得, 向量组B线性相关.
证二是利用定理4, 证明向量组构成的矩阵的秩等 于向量组向量的个数, 借用齐次线性方程组只有零解 的结果证明其系数矩阵的秩;
证三仍是利用定理4, 但过程利用了矩阵秩的性质.
线性相关性是向量组的重要性质, 给出如下结论:
定理5: (1)若向量组A:1, 2, ···, m线性相关, 则
向量组B: 1, 2, ···, m, m+1也线性相关; 反言之, 若
2. 线性相关与线性无关的判定方法: 定义, 5个定 理(难点).
思考题
试证明:
(1) 一个向量线性相关的充要条件是=O; (2) 一个向量线性无关的充要条件是O; (3) 两个向量, 线性相关的充要条件是存在k1使 =k1 或者存在k2使 =k2, 但两式不一定同时成立.
线性代数习题答案第四章
线性代数习题答案第四章第四章线性相关性与线性无关性线性代数是数学中的重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
在线性代数的学习过程中，理解线性相关性与线性无关性是非常重要的一部分。
本文将针对线性代数习题第四章中的相关问题进行讨论和解答。
一、线性相关性与线性无关性的定义在开始解答具体问题之前，我们先来回顾一下线性相关性与线性无关性的定义。
定义1：对于向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，则称向量组V是线性相关的；否则，称向量组V是线性无关的。
定义2：如果向量组V中的任意一组向量都是线性无关的，则称向量组V是极大线性无关的。
根据以上定义，我们可以通过求解线性方程组来判断向量组的线性相关性与线性无关性。
二、线性相关性与线性无关性的判断1. 问题一已知向量组V1={(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：我们可以将向量组V1写成矩阵形式，即：A = [(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)]然后，我们将矩阵A进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(-1,2,1), (0,0,0), (0,0,0)]由于矩阵B中存在一行全为零的情况，因此向量组V1是线性相关的。
2. 问题二已知向量组V2={(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：同样地，我们将向量组V2写成矩阵形式：A = [(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)]进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(1,1,1), (0,1,2), (0,0,0)]由于矩阵B中不存在一行全为零的情况，因此向量组V2是线性无关的。
3. 问题三已知向量组V3={(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定在空间向量中，我们可以通过线性相关性的判定来确定向量组是否存在不必要的向量。
这对于数学学习和应用来说都是非常有用的，因此本文将介绍空间向量间的线性相关性判定的基本概念和推导过程。
一、向量的线性组合首先我们需要了解向量的线性组合是什么。
向量的线性组合是指通过给定的若干个向量，分别乘以相应的标量，然后将它们相加而得到的新向量，例如：设有向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)和c=(c1,c2,c3)，则它们的线性组合可以表示为：λ1a + λ2b + λ3c = (λ1a1 + λ2b1 + λ3c1, λ1a2 +λ2b2 + λ3c2, λ1a3 + λ2b3 + λ3c3)其中λ1、λ2和λ3是实数，称为向量a、b和c的系数。
二、向量的线性相关与线性无关在了解了向量的线性组合之后，我们来看什么是向量的线性相关和线性无关。
如果存在一组不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得向量组V1，V2，……，Vn的线性组合为0，即：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么我们称向量组V1，V2，……，Vn是线性相关的；否则，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时向量组的线性组合才为0，我们就称向量组V1，V2，……，Vn是线性无关的。
换句话说，如果存在不全为0的系数使得线性组合为0，那么向量组就是线性相关的；如果要使得线性组合等于0，必须每一项的系数都为0，那么向量组就是线性无关的。
三、判断向量组的线性相关性现在让我们来看如何判断向量组的线性相关性。
在三维空间中，设有向量组V1，V2，……，Vn，我们想要判断它们是否线性相关。
如果存在不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性相关的。
反之，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性无关的。
向量的线性相关与线性无关
向量的线性相关与线性无关向量是线性代数中的一个重要概念，它与线性相关与线性无关的关系密切相关。
本文将对向量的线性相关性和线性无关性进行详细介绍，并给出具体的例子。
在线性代数中，我们将一个非零向量集合中的向量称为线性相关的，如果存在一组不全为零的实数，使得这些实数与向量的乘积之和为零。
换句话说，对于线性相关的向量集合，存在一组非零解，使得线性组合等于零向量。
否则，向量集合则被称为线性无关。
接下来，我们可以通过一个例子来更好地理解这个概念。
假设我们有两个向量a和b，它们分别为[1, 2]和[2, 4]。
我们可以看到，向量b是向量a的倍数，即存在一个不为零的实数k，使得k * a = b。
因此，这两个向量是线性相关的。
这可以通过以下的等式来证明：2*[1, 2] = [2, 4]。
因此，我们称向量a和向量b是线性相关的。
那么如何判断一个向量集合是否线性无关呢？我们可以通过求解线性方程组来判断。
如果方程组的只有零解，那么向量集合是线性无关的。
我们可以使用矩阵来表示向量集合，其中每列是一个向量。
假设我们有三个向量a，b和c，它们分别为[1, 2, 3]，[2, 4, 6]和[1, 0, 1]。
我们可以构建一个矩阵A，它的列向量是a，b和c。
我们可以将其写成如下形式：A = [1, 2, 3][2, 4, 6][1, 0, 1]为了判断这三个向量是否线性无关，我们需要将其转化为一个线性方程组，并求解出该方程组的解。
将A与一个未知向量乘积等于零向量，我们可以得到一个线性方程组：A * x = 0。
其中x是一个未知向量，0是零向量。
将上述的线性方程组进行求解，我们可以得到如下的简化形式：x1 + x2 = 0x1 + x3 = 03x1 + 2x2 + x3 = 0通过求解上述线性方程组，我们可以发现只有一个解，即x1 = 0，x2 = 0，x3 = 0。
因此，该向量集合是线性无关的。
通过这个例子，我们可以得出以下结论：1. 如果一个向量是零向量，那么它是线性相关的，因为可以通过与任意实数相乘等于零向量。
数学向量的线性相关与线性无关教案
数学向量的线性相关与线性无关教案一、引言在数学中，向量是一种常见的概念，它在多个领域中都得到广泛应用。
了解向量的线性相关与线性无关关系对于理解向量空间的性质和进行向量运算非常重要。
本教案将介绍向量的线性相关和线性无关的概念、判定方法以及相关的定理。
二、概念解释1. 向量的线性相关性在数学中，若存在不全为零的标量组合，使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关。
也就是说，如果存在不全为零的标量c₁、c₂、...、cₙ，使得向量v₁、v₂、...、vₙ的线性组合c₁v₁+c₂v₂+...+cₙvₙ=0，则称这些向量线性相关。
2. 向量的线性无关性相反地，如果不存在不全为零的标量组合，使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性无关。
也就是说，如果对于任意不全为零的标量c₁、c₂、...、cₙ，使得向量v₁、v₂、 (v)的线性组合c₁v₁+c₂v₂+...+cₙvₙ=0，则称这些向量线性无关。
三、判定线性相关与线性无关的方法1. 利用行列式判定若向量v₁、v₂、...、vₙ组成的矩阵A的行列式值det(A)等于零，则这些向量线性相关。
若行列式值det(A)不等于零，则这些向量线性无关。
2. 利用向量的线性表示判定对于给定的向量组v₁、v₂、...、vₙ，若存在一组不全为零的标量c₁、c₂、...、cₙ，使得线性组合c₁v₁+c₂v₂+...+cₙvₙ=0，则这些向量线性相关。
否则，这些向量线性无关。
四、线性相关与线性无关的定理1. 若向量组中存在一个零向量，则这个向量组是线性相关的。
2. 若向量组中的向量个数大于向量的维数，则这个向量组是线性相关的。
3. 若向量组中的向量个数小于向量的维数，则这个向量组是线性无关的。
4. 若向量组中的向量个数等于向量的维数，则需通过行列式或线性表示进行判定。
五、案例分析考虑以下向量组：v₁ = (1, 2, 3)、v₂ = (3, 4, 5)、v₃ = (2, 4, 6)。
线性相关判断方法总结
线性相关判断方法总结线性相关是线性代数中一个非常重要的概念，它指的是向量空间中的向量之间存在一定的线性关系。
线性相关性的判断对于矩阵的求解、方程组的解法、以及向量空间的性质等方面都有着重要的意义。
在实际应用中，我们经常需要对向量的线性相关性进行判断，因此掌握线性相关判断方法是非常重要的。
一、向量的线性相关性定义。
在向量空间V中，如果存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得。
k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。
其中a1、a2、…、an为向量，则称向量a1、a2、…、an线性相关。
二、线性相关判断方法总结。
1. 行列式法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，构造矩阵M=[a1, a2, …, an]，计算M的行列式值，如果行列式值不为0，则向量组A线性无关，否则线性相关。
2. 向量组的线性表示。
判断向量组A={a1, a2, …, an}是否线性相关，可以将向量组中的向量表示为线性组合，然后判断线性组合的系数是否存在非零解。
如果存在非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
3. 矩阵的秩。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的矩阵M的秩与向量的个数进行比较，如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关，否则线性无关。
4. 线性方程组。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的线性方程组Ax=0进行求解，如果方程组有非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
5. 内积法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，计算任意两个向量的内积，如果存在内积为0的向量对，则向量组线性相关，否则线性无关。
三、线性相关判断方法的应用。
线性相关判断方法在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、工程学、物理学等领域中都能够看到相关的应用。
在数据分析中，线性相关性的判断可以帮助我们理解变量之间的关系，进而进行合理的数据处理和分析。
在机器学习领域，线性相关性的判断也是非常重要的，它可以帮助我们筛选出对模型训练有意义的特征变量，提高模型的预测准确性。
向量组线性相关与线性无关解析
向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2 向量组线性相关和线性无关的定义定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域P 中没有不全为零的数12,m k k k ，使0332211=++++m m k k k k αααα ，称它是线性无关.3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α，()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.命题3 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关. 证明 设m ααα,,,21 线性相关，s m m m ++ααααα,,,,,,121 是包含m ααα,,,21 的一组向量，由于m ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12,m k k k 使得0332211=++++m m k k k k αααα 此时有0001332211=+++++++++s m m m m k k k k αααααα ,因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121 线性相关.证毕.由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.3.2.1 运用定义判定由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,, ，证明，当m 为偶数时，123,,,m ββββ线性相关.证明 令1122330ββββ+++=m m k k k k ，即()()()01322211=++++++a a k a a k a a k m m ，又即()()()0121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k ，取1,142131-========-m m k k k k k k ，则有0332211=++++m m k k k k ββββ .由线性相关的定义知，m βββ,,,21 线性相关.3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例2 设向量组()()()1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321--=-=-=ααα，判断321,,ααα的线性相关性.解()()0,0,0,04,453,2,242321321321321332211=-+++---++=++k k k k k k k k k k k k k k k ααα得0321===k k k ，于是321,,ααα线性无关.例3 设向量组m ααα,,,21 线性无关，且可由向量组m βββ,,,21 线性表示.证明：m βββ,,,21 也线性无关，且与12,,,m ααα等价.证明 如果m βββ,,,21 线性相关，假设r βββ,,,21 是它的一个极大无关组，如果m r =,就说明了m βββ,,,21 就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下面考虑m r <.又因为向量组m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示，则m ααα,,,21 也可由m βββ,,,21 线性表示,于是有r m ≤,矛盾！由于m βββ,,,21 线性无关，则()m R m =βββ,,,21 ,又m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示,所以，{}≅m βββ,,,21 {}m m βββααα,,,,,,,2121 等价，所以()m R m m =βββααα,,,,,,,2121 .于是m ααα,,,21 和m βββ,,,21 都是{}m m βββααα,,,,,,,2121 的极大无关组.所以它们是等价的，证毕.命题6 设m ααα,,,21 为n 维列向量,矩阵),,,(21m A ααα =. (i)当()m A R <时，向量组12,,m ααα线性相关; (ii)当()m A R =时，向量组12,,m ααα线性无关.例4 判断向量组()12,1,0,5αT=,()27,5,4,1αT=-- ,()33,7,4,11αT=--线性相关性.解 利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯形矩阵=A 2731-5-70445-1-11⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-1-54403727-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101101107-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000001107-5-1 由行阶梯形矩阵知()23RA =<,所以向量组321,,ααα是线性相关的.上面是以321,,ααα为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用321,,ααα为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.3.2.3 利用行列式的值判断命题7 若()()()nn n n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,21222212112111 ===ααα,以n ααα,,,21 作为列向量构成的矩阵),,,(21n A ααα =是一个方阵，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n a a a a a a a a a A 212221212111(i)当0=A 时，向量组ααα12,,n 线性相关. (ii)当A 0≠时，向量组ααα12,,n 线性无关.例 5 设()αT=11,1,1,()()ααTT==231,2,3,1,3,t 问t 取何值时，向量组321,,ααα线性相关.解 向量组321,,ααα的个数和维数相等都为3，=A 531321111-=t t可见当5=t 时，0=A ，所以向量组321,,ααα线性相关.3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断对于()111211,,,n a a a αT=,()212222,,,n a a a αT=,()12,,,m m m nm a a a αT=的线性相关判断命题8 若m ααα,,,21 为系数向量的齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，则向量组m ααα,,,21 线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组m ααα,,,21 线性无关.例6 已知()11,1,1α=,()21,2,3α= ,()31,3,t α= (i)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？ (ii)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？(iii)当向量组321,,ααα线性相关，将3α表示为1α和2α的线性组合. 解 设有实数321,,x x x 使0332211=++αααx x x 则可以得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020320321321321tx x x x x x x x x 其系数行列式 =D t31321111(i)当5≠t 时，0≠D ，方程组只有零解，即0321===x x x ，这时，向量组123,,a a a 线性无关.(ii)当5=t 时0=D 方程组有非零解，即存在不全为零的数，321,,x x x 使，0332211=++αααx x x此时321,,ααα线性相关，(iii)当5=t 时，由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531321111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002101-01,此时有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x令2,121==x x ，有ααα-+=12320,从而3α可由12,αα,表示ααα=-+3122.在运用定义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用定义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法.区别是，适用的前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出的向量组；秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向量组的线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法.以上是从向量组的分量是否具体给出两个大的方面介绍了向量组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向量组的分量是具体给出的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，定理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义，定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力.3.2.5 用反证法在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例7 设向量组m ααα,,,21 中任一向量i α不是它前面1-i 向量的线性组合，且0≠i α证明向量组m ααα,,,21 线性无关.证明 假设向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数mk k k k ==== 321使得,0332211=++++m m k k k k αααα , ○1 不妨设0≠m k 由上式可得,mm m m m m k a k k a k k a k a 112211------= ,即m α可以由它前面1-m 个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0=m k .于是○1式转化为011332211=++++--m m k k k k αααα ，类似于上面的证明可得0221====--k k k m m ,○1式转化为011≠αk ,但01≠α，所以01≠k 这与m k k k === 21不全为零的假设相矛盾,所以向量组线性无关. 3.2.6运用相关结论判定定理1 向量n ααα,,,21 )2(≥n 线性相关的充要条件是这n 个向量中的一个为其余1-n 个向量的线性组合.例8 判断向量组1α= (0,3,1,-1), 2α= (6,0,5,1), 3α= (4,-7,1,3)是否线性相关？解 将321,,ααα以行排成矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--317415061130→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000011302472 矩阵A 化为阶梯形矩阵后出现零行，则321,,ααα中必有一向量能被其余剩下的向量线表示，故由定理1知，向量组321,,ααα线性相关.我们注意到，例9中的矩阵A 在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定n ααα,,,21 中必有一个向量能被其余剩下的1-n 个向量线性表示，从而向量组线性相关.定理2 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.例9 判断向量组：=1α ()1,2,4,0,1T, =2α()0,1,8,1,2T, =3α ()0,2,3,0,5T的线性相关性.解 取=1β()1,0,0T，=2β()0,1,1T，=3β()0,2,0T，因为由321,,βββ为列向量的行列式不为零，所以向量组321,,βββ线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所得向量组321,,ααα是线性无关的.定理3 任意1+n 个n 维向量必线性相关.定理 4 如果向量组123,,,m αααα可由向量组s βββ,,,21 线性表示，若s m >,则123,,,m αααα线性相关.证明 设02211=+++n n x x x ααα ，由已知可知()m i kk k k j sj jis si i i i 112211==+++=∑=ββββα带入上式可得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111要证明123,,,m a a a a 线性相关，只需证明存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得02211=+++n n x x x ααα 成立，即只要存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111中的每一个j β前的系数均为零即可.要使每个j β前面的系数为零，则可得到,⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111m sm s s m m m m x k x k x k x k x k x k x k x k x k 因为s m >即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解,所以123,,,m a a a a 线性相关.定理 5 如果向量组r βββ,,,21 可以由123,,,r αααα线性表示为且123,,,rαααα是线性无关的，设r j a rj jij i ,,2,1,1==∑=αβrrr r r r a a a a a a a a a A 212222111211=，若0≠A 则r βββ,,,21 线性无关.证明 设02211=+++r r k k k βββ ,将()r i a a a a r ir i i rj jij i 2,122111=+++==∑=ααααβ代入上式，得()()()022112222211211221111=++++++++++++r r rr r r r r r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a ααα 由123,,,r αααα线性无关,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r rr r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a则r βββ,,,21 线性无关,所以系数全为零，即方程组只有零解，0212222111211212221212111≠=rrr r r rrrr rr r a a a a a a a a a a a a a a a a a a得证！例10 设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组123,,,r αααα线性无关，求向量组r βββ,,,21 的线性相关性.解 因为r βββ,,,21 由123,,,r αααα线性表示，由定理5可得,0110011011≠== A因为123,,,r αααα线性无关，且0≠A 所以r βββ,,,21 线性无关.结束语本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判定方法，总介绍定义入手，介绍了它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结了一些方法，例如；利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.参考文献[1]姚慕生，吴泉水，高等代数学[M]，第2版，上海，复旦大学出版社，2008.[2]刘仲奎，杨永保，程辉，等，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[3]钱吉林，高等代数题解精粹[M]，北京，中央民族大学出版社,2002.[4]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[5]董明秀，判断向量组线性相关与线性无关[J]，考试周刊，12;7（2013）， 61-63.[6]黄娟霞，关于向量组线性相关性的初步探讨[J]，广东石油化工学报，18;11(2012)， 40-44.[7]段辉明，李永红，线性相关性若干问题的分析和探究[J]，科技创新导报，15;9(2013)，20-23.Identification Method of Linear Dependence and Linear IndependenceAbstract The vector group’s Linear dependence and linear independence are most abstract concepts in linear algebra. How to determine Linear dependence and linear independence is the key factor to understand vector correctly. This paper introduces the relationship between determinant, matrix, the solution of linear equations and it, also concludes the methods to determine the vector's linear dependence and linear independent.Keywords Vector group Linear dependence Linear independence Matrix Rank。
怎么判断线性相关
怎么判断线性相关
可以通过线性相关的定义入手去判断向量组是否线性相关。
令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
也可以通过线性相关的性质入手去判断：
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关；
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
怎么判断向量组的线性相关性
怎么判断向量组的线性相关性
可以通过线性相关的定义入手去判断向量组是否线性相关。
令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关。
若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
也可以通过线性相关的性质入手去判断：
1、当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关。
2、当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。
3、通过向量组的正交性研究向量组的相关性。
4、通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性。
线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
5、通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的。
若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
向量组的概念：
在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，向量分为行向量和列向量。
而由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应，即矩阵由行向量组组成，或列向量组组成。
方向相同，大小相等的向量叫做向量组。
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念。
判断向量组是否线性相关的方法有很多。
下面将介绍几种常见的判断方法。
方法一：线性组合法设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，若存在一组不全为0的系数c1,c2,…,cn，使得c1v1+c2v2+…+cnvn=0，则向量组V是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。
这个方法主要是利用了线性组合的概念，通过求解线性方程组的方法来判断向量组的线性相关性。
方法二：行列式法将n个向量作为列向量排列成一个n×n的矩阵A，即A=[v1,v2,…,vn]，计算矩阵A的行列式det(A)。
若det(A)=0，则向量组V是线性相关的；若det(A)≠0，则向量组V是线性无关的。
这个方法主要是利用了行列式的性质，当行列式为0时，表示该矩阵的行（或列）向量线性相关。
方法三：秩的概念定义矩阵A=[v1,v2,…,vn]，将矩阵A进行高斯消元或初等变换，得到阶梯形矩阵B。
如果B的主对角线上所有元素都不为0，那么向量组V 是线性无关的；如果B的主对角线上有一个元素为0，那么向量组V是线性相关的。
这个方法主要是利用了矩阵的秩的概念，即矩阵的秩等于阶梯形矩阵的主对角线上非零元素的个数。
方法四：向量的线性组合关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果存在一个向量vi （i从2到n），可以由剩余的n-1个向量线性表出，即vi可以表示为其他向量的线性组合，那么向量组V是线性相关的；如果任意一个向量都不能由剩余的其他向量线性表出，那么向量组V是线性无关的。
这个方法是一种直观的判断方法，通过观察向量之间的线性组合关系来判断向量组的线性相关性。
方法五：向量的长度关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果向量v1的长度大于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性无关的；如果向量v1的长度小于等于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性相关的。
判断向量组的线性相关性与无关性
龙源期刊网
判断向量组的线性相关性与无关性
作者：董秀明
来源：《考试周刊》2013年第33期
摘要：行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，矩阵特征向量的性质等可应用于向量组线性相关性与无关性的判断.本文总结了判断向量组的线性相关性与无关性的六种方法.
关键词：向量组线性相关线性无关
向量组的线性相关性与无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，是学习的难点.对于初
学者来说，其定义难以理解，判别方法也难以掌握，下面就判别方法进行总结.
1.利用已知结论法
直接利用以下的已知结论，只要进行简单的观察或运算，就能非常容易判断向量组的线性相关性与无关性.
结论1：单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关.
结论2：若两个向量对应分量成比例，则必相关；若不成比例，则线性无关。
结论3：含零向量的向量组必线性相关.
结论4：若存在一个部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；若整个向量组线性无关，则任意部分组线性无关.
结论5：含有一个以上向量的向量组线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可以由其他向量线性表出.
结论6：若向量组线性无关，则对其中每个向量在相同位置任意增加多个分量后所得向量组仍线性无关.
结论7：若向量组线性相关，则对其中每个向量在相同位置任意减少多个分量后所得向量组仍线性相关.
结论8：若向量中向量的个数大于向量维数，则向量组必线性相关.。
线性相关和线性无关
, , , 12
, m
线性相关,则
能由 , , 12
, m
线性表
示, 且表示法是唯一的.
18
四、线性相关/无关的基本性质
1、m个n维向量（m > n)一定线性相关， 即向量个数比向量维数大的时候向量组一定线性相关
2、若R n中的n个向量1 , 2 , ...., n 线性无关, 则R n中 任何一个向量 都可以由1 , 2 , ...., n线性表示,
9
R(A)=? m
否 有非零解
是 只有零解
1 0 1
Q 2 2
0
0
1
,
2
,
线性相关
3
3 5 2
10
总结：
设1 , 2 , ...., m是一组n维向量,则判断线性相关或者线性无关
主要看是否存在一组不全为0的数k1, k2,L , km , 使得:
k11 k22 L kmm 0
a1i
a11 a12 K
引例：
如果向量 与 方向相同或方向相反，则称为共线或平行
如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们共面
我们很明显可以得到与 之间的代数关系：
存在唯一的实数 ， .
r
或者 存在不全为0的实数 与，使得k1 k2 0.
1
2
3
1
也可以得到1,2,3 之间的代数关系：
存在唯一的实数 与，使得1 2 3. r
且表示方法唯一 3、向量组线性无关,其部分组线性无关 4、向量组线性相关,其扩大组线性相关
19
2
,
线性无关,证明:
3
(1)1 2 ,2 3,3 1 线性相关
(2)1 2 ,2 3,3 1 线性无关
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线性相关与无关的判断方法
1、定义法
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
3、线性重要性质
（1）向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，
α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。
（2）向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。
反之不一定成立。
（3）零向量可由任一组向量线性表示。
（4）向量组α1，α2，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。
（5）设α1，α2，……，αm线性无关，而α1，α2，……，αm，ß线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，且表示是唯一的。