1数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法

数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了2016年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法． 1 运用公式法

很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列前n 项和n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记：

22

1

231

123(1)2

135(21)12222111111122222

n n

n n n n n n n -++++=

++++

+-=++++=-++++=-

还要记住一些正整数的幂和公式：

2

233332222)1(41

321)12)(1(6

1

321+=++++++=

++++n n n n n n n

题1 (2016年高考全国卷I 文科第17题)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111

==3

n n n n b b a b b nb +++=1，，．

（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．

解 (1)在11n n n n a b b nb +++=中选1n =，得1221a b b b +=，即1111

1,233

a a +

==． 又因为{}n a 是公差为3的等差数列，所以23(1)31n a n n =+-=-． （2）由（1）得()1131n n n n b b nb ++-+=，即11

3n n b b +=

，得{}n b 是以1为首项，13

为公比的等比数列，得1

13n n b -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

.

所以{}n b 的前n 项和11

1313122313

n n n S --

=

=-⋅-． 2 倒序相加法

事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法． 题2 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S ． 解 显然，这些既约分数为：

31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m

有 )31

()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S

也有 )3

1

()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S

所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+=

题3 求数列{}123n ++++的前n 项和n S .

解法1 因为211

123(1)()22

n n n n n +++

+=

+=+，所以 22221

[(123)(123)]2

n S n n =+++

+++++

+

1111

(1)(21)(1)(1)(2)2626

n n n n n n n n ⎡⎤=

++++=++⎢⎥⎣⎦ 解法2 因为

233

1211123(1)C C C (2)2

n n n n n n n ++++++

+=

+==-≥ 所以

33333

333

343542121

C (C C )(C C )(C C )C (1)(2)(2)6

n n n n S n n n n +++=+-+-+

+-==

++≥ 进而可得1

(1)(2)(6

n S n n n n =

++∈N *). 解法3 (倒序相加法)可得

1(12)(123)(123)n S n =+++++++++++

1(21)(321)[(1)(2)1]n S n n n =++++++

++-+-+

+

1

212[(1)(1)][(2)(2)(2)](1111)n n n S n n n n n n --=+-+-+-+-+-+

++++

+个个()

3个()

把它们相加，得

31(2)2(2)3(2)(2)n S n n n n n =++++++

++

1

(123)(2)(1)(2)2

n n n n n =+++++=

++ 1

(1)(2)6

n S n n n =

++ 3 裂项相消法

题4 (2016年高考天津卷理科第18题)已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的*n ∈N ，n b 是n a 和1n a +的等比中项.

（1）设22*1,n n n c b b n +=-∈N ，求证：数列{}n c 是等差数列；

（2）设1a d =，()

22

1

1n

k

n k k T b ==

-∑，*

n ∈N ，求证：2111

2n

k k

T d =<∑

. 解 (1)可得2

1n n n b a a +=，所以

22

1n n n c b b +=-=121n n n n a a a a +++-=12n da + ①

()212122n n n n c c d a a d +++-=-=

所以数列{}n c 是等差数列.

(2)可得1(1)(1)n a a n d d n d nd =+-=+-=，还可得①式在这里也成立，所以

()()()22

2222

1234212n n n T b b b b b b -=-++-++

+-+=

()2422n d a a a ++

+=()222(2462)21d n d n n =++++=+

所以

()2222111111111111

12121212n

n n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪+++⎝

⎭⎝⎭∑∑∑ 4 分组求和法

题5 求1111111111122424

2n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++

+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

． 解 设1

1111242

n n a -=+

+++

，得1

122

n n a -=-

．

所以本题即求数列1122n -⎧⎫

-

⎨⎬⎩

⎭

的前n 项和：