解三角形专题考点及例题讲解

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初中数学解直角三角形知识点讲解及例题解析

解直角三角形知识点讲解及例题解析一、知识点讲解： 1、解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为 2、其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高） 3、角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4、直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5、直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8 说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。

【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

《解直角三角形》专题复习一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（a b c h •=•）由上图可得：AB •CD=AC •BC二、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°c asin =∠=斜边的对边A Ac bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aab cot =∠∠=的对边的邻边A A A锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1；（3）弦切关系tanA=A Acos sin cotA=AA sin cos（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)AC BDsin A sin c A ，cos b c A 12S ab =）结论：直角三角形斜边上的高）测底部不可到达物体的高度BP=xcot α 东西 2八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题辅助线构造抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用【解直角三角形】经典测试题（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（）A. sin65°< cos26°B. sin65°> cos26°C. sin65°= cos26°D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1图15、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（）．A ．3B ．22C ．3D ．3227、如果∠A 是锐角，且3sin 4B =，那么（）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（）A.47B.12C ．13D ．09、若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。

解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题备战2023年高考数学

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题06解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2a b c b c a bc +++-=，那么ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在ABC 中，()()()2222222a b c b c a b c a b c a bc bc +++-=+-=+-+=，2220b c a ∴+-=，即222b c a +=，则ABC 为直角三角形，故选：B.2．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形3．在ABC 中，1cos b cA c++=，则三角形的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到222c b a =+，进而得到ABC 的形状为直角三角形.二、基础知识过关4．ABC ∆中，sin sin A B >是a b >的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，则下列关系不成立的是（）A ．cos a cB =⋅B ．tan tan 1A B ⋅=C ．cos b c A =⋅D ．tan a b B=6．ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若ABC 是锐角三角形,则（）A ．sin cos AB <B ．tan tan 1A B >C ．cos()0A B +>D ．sin()sin A B C+>二、填空题7．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos bA c=，则ABC 的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．8．ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且满足2cos a b C =，则此三角形的形状是_____.【答案】等腰三角形【分析】利用正弦定理边角互化，由π()A B C =-+结合三角函数和差公式和角的范围即可得B C =，即可得到结果.【详解】因为2cos a b C =，所以由正弦定理可得sin 2sin cos A B C =，又在ABC 中π()A B C =-+,所以sin sin()sin cos sin cos 2sin cos A B C B C C B B C =+=+=，所以sin cos sin cos 0C B B C -=即sin()0C B -=，由,(0,π)B C ∈，故B C =，则此三角形的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形四、解题技巧实战1．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且(cos cos )a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状；2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB⋅+⋅=⋅(1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2tan tan cos cos A BA B B A+=+．（1）证明：2a b c +=；4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：2sin a bc C--=.1．（2022·高三课时练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos cos a A b B c C +=，判断ABC 的形状．2．（2022春·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c =sin cos b A B =．(1)判断ABC 的形状；(2)若O 为ABC 所在平面内一点，且O ，C 在直线AB 的异侧，22OA OB ==，求OC 的最大值．五、跟踪训练达标θ32在AOB 中，由正弦定理可知：sin AB 由余弦定理可知，2cos OB OBA ∠=∴233sin cos 4AB OBC AB AB θ-∠=-=∴在OBC △中，由余弦定理可得：2222cos OC OB BC OB BC 3．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（1）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222b c a bc +=+，tan tan tan A B A B ++，判断ABC 的形状；（2）在ABC 中，120,B AB == A 的平分线AD =，求AC 的长.2sin 2ADB ∠∴=，由题意知060ADB ∠<< 4．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．(1)若aa bba b c+=++，判断ABC 的形状；(2)若ABC 不是钝角三角形，求ac的取值范围．5．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ (1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；(2)若ABC 是锐角三角形，求sin C 的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明；(2)若a b ¹，求sin sin sin A B C ++的取值范围．7．（河北·模拟预测）在△ABC 中，()12cos c b A =+，求证：2A B =.所以A B B -=或180A B B -+=(舍)，所以2A B =8．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．9．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，求证：（1）()()222222tan tan 0a b c A a b c B --+-+=；（2）2222cos 2cos 211A B a b a b-=-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据余弦定理将2222222cos ,2cos bc A ac B a b c a b c ==---+-代入左式，整理结合正弦定理，即可证明等式；（2）用二倍角公式将cos2,cos2A B 转化为sin ,sin A B ，再由正弦定理，即可证明等式.10．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，sin sin sin sin a b C B c A B--=+.(1)求A ；(2)若33c b =，证明：2c b =.11．（2023·高三课时练习）在ABC 中，22sin cos 222+=(1)求B 的大小；(2))2a c b +=，证明：a c =.12．（2020春·山东济南·高三统考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点.（1）证明：CD =.（2）已知4a =，6b =，4CD =，求ABC 的面积.。

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx

实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。

c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。

c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

专题11 三角形(解析版)

专题11 三角形知识点1：与三角形有关的线段1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

知识点2：与三角形有关的角1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°2.有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

4.三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点3：多边形与内角和1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°8.多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

9.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n边形共有23)-n(n条对角线。

三角形是初中数学中几何部分的基础图形，定义、概念、定理、性质比较多，要想深刻理解和吃透知识点很难，所以要有方法和策略。

解三角形题型分类讲解

解三角形知识点总结及题型分类讲解一、知识点复习 1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ，则B 有两解；如果1sin =B ，则B 有唯一解；如果1sin >B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ；（2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.（4）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+. 二、典型例题题型1、计算问题（边角互换）例1、在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为答案：=C 23π 例2、已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++=．答案：2例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．求角A 的大小；答案：π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中，已知b=40,c=20,C=60。

专题01 三角形(突破核心考点)【知识梳理+解题方法+专题过关】 (解析版)

专题01三角形（突破核心考点）【聚焦考点+题型导航】考点一三角形三边关系考点二三角形的稳定性考点三三角形中的高线、中线、角平分线考点四三角形的内角、外角考点五多边形的对角线、内角和【知识梳理+解题方法】一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：ìïìííïîî直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：ìïìííïîî不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。

第十四讲解三角形解析版

第十四讲：解三角形【考点梳理】 1. 正弦定理在ABC ∆中，R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为ABC ∆外接圆半径). 变形形式：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===（2）RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）C B A c b a sin :sin :sin ::=2. 余弦定理①A bc c b a cos 2222-+=；②B ac c a b cos 2222-+=；③C ab b a c cos 2222-+=。

推论：①bc a c b A 2cos 222-+=；②ac b c a B 2cos 222-+=；③ab c b a C 2cos 222-+=3. 三角形面积公式Cab B ac A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆4. 重要结论（1）在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A 、、的对边，C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>>. （2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+. ①cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ①斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅①sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ①在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=. 【典型题型讲解】考点一：正、余弦定理【典例例题】例1．（2022·广东揭阳·高三期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin B b A +=. (1)求角A ；(2)若a =ABCb c >，求b 和c 的值. 【答案】 (1)解：在ABCcos sin B b A +=，cos sin sin A B B A C +=，又()C A B =π-+，()cos sin sin A B B A A B ++，即sin sin sin B A A B =，sin 0,tan B A ≠∴=()0,,.3A A ππ∈∴=(2)解：由余弦定理及三角形面积公式得2222cos 331sin 23ABC b c bc a S bc ππ⎧+-==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，即2232b c bc bc ⎧+-=⎨=⎩，因为b c >，所以解得2,1b c ==.例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①b a =，①2sin tan b A a B =，①()()sin sin sin ac A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积. 【答案】（1）π3B =；（2【详解】（1）选①，由正弦定理得sin sin B A = ①sin 0A ≠，cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，①0πB <<，①ππ5π666B -<-<， ①ππ66B -=，①π3B =.选①，①2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B=，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅， ①sin 0A ≠，①1cos 2B =， ①()0,πB ∈，①π3B =.选①，①()()sin sin πsin A B C C +=-=，由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，①222a cb ac +-=，①2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，①()0,πB ∈，①π3B =.（2）①()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-，①221632a c b +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号，①min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC 的面积1sin 2S ac B =【方法技巧与总结】在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=. 【变式训练】1．（2022·广东东莞·高三期末）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos a b C c B =+. (1)求a ；(2)若3A π=，ABC ABC 的周长. 【答案】(1)1a =；(2)3. （1）解：因为2cos cos a b C c B =+，由正弦定理得sin sin cos sin cos a A B C C B =+，即()sin sin a A B C =+，由B C A +=π-，得()sin sin sin a A B C A =+=，因为sin 0A >，所以1a =. （2）解：由1sin 2ABC S bc A ==△，3A π=，得12bc =，解得1bc =，由2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，即222b c +=. 由()22224b c b c bc +=++=，得2b c +=，故3a b c ++=，所以ABC 的周长为3.2．（2022·广东汕尾·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin .A C B A C -=-(1)求角B(2)当b =3时，求ABC 的面积的最大值．【答案】(1)3B π=(1)由正弦定理得：22()a c b ac -=-，整理得222b a c ac =+-，所以2221cos 22a c b B ac +-==，因为(0,)B π∈，所以3B π=(2)因为2222b a c ac ac ac ac =+-≥-=，所以9ac ≤（当且仅当a c =时等号成立），所以ABC 面积的最大值max 19sin 2S B =⨯=3．（2022·广东惠州·一模）在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1cos2cos cos B A C B -=-+，且AD DC =. (1)求证：2b ac =；(2)当BD b =时，求cos ABC ∠. 【答案】（1）证明：因为()1cos2cos cos B A C B -=-+所以()()22sin cos cos B A C A C =--+，所以22sin cos cos sin sin cos cos sin sin B A C A C A C A C =+-+所以2sin sin sin B A C =，结合正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得2b ac =，命题得证. （2）解：由题意AD DC =知，点D 是边AC 的中点，则()12BD BA BC =+两边平方整理得22242BD BA BC BA BC =++⋅，即22242cos b c a ac ABC =++∠根据余弦定理2222cos b c a ac ABC =+-∠两式相加得22252a cb +=，再由余弦定理222222532cos 224b b ac b ABC ac b -+-∠=== 4．（2022·广东·一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下面给出有关ABC 的三个论断：①222a c b ac +-=；①2cos c b B =；①cos sin a C C b c =+.化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）论断①：3B π=；论断①：2C B =或2C B π+=；论断①：3A π=；所有可能的真命题有：①①⇒①和①①⇒①.【详解】论断①中，由余弦定理得：2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，()0,B π∈，3B π∴=.论断①中，2cos c b B =，由正弦定理得：sin 2sin cos sin2C B B B ==，()0,C π∈，()20,2B π∈，2C B ∴=或2C B π+=，论断①中，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++，sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C ∴=++，sin cos sin sin A C A C C =+，()0,C π∈，sin 0C ∴≠，cos 1A A =+，cos 2sin 16A A A π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,A π∈，5π,666ππA ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66A ππ∴-=，解得：3A π=以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有： ①①⇒①和①①⇒①.5．（2022·广东湛江·一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C B C A ++=. (1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 周长的最大值. 【答案】．(1)23π(2)2(1)由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得222b c bc a ++=,即222b c a bc +-=-，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==-，又0A π<<，所以23A π=. (2)由a =1）可知223b c bc ++=，则2222()3()3()()44b c b c b c bc b c ++=+-≥+-=，得24()b c ≥+，即2b c +≤，所以2a b c ++≤1b c ==时，取得等号），所以ABC周长的最大值为2+6．（2022·广东广州·一模）①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知①ABC 的面积为221sin 2a b C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)证明：sin 2sin A B =；(2)若3cos 2a Cb =，求cos A .【答案】(1)证明见解析；(2).（1）由题设，221sin 21sin 2a b C ab C ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，又sin 0C ≠，所以221212b b a a =-，由正弦定理可得22si sin s n 2sin in A B A B -=，所以22sin (sin sin )(sin sin )(sin sin sin sin )B A B A B A B A B +==-+-，又sin sin 0A B +≠，所以sin sin sin B A B =-，即sin 2sin A B =. （2）由（1）及题设，3sin cos 2sin cos sin 2A CBC B ==，且sin 0B >，所以3cos 4C =∈，则43C ππ<<，故sin C =，又2222222275sin sin sin sin 316cos 22sin sin 4sin 4B a b c A B CC ab A BB -+-+-====，可得sin B =若cos B =<，则56B ππ<<，而2334A B ππ<+<，故不合题设；所以cos B =所以cos cos[()]cos()sin sin cos cos A B C B C B C B C π=-+=-+=-38844==-. 7．（2022·广东汕头·一模）在①2C B =；①ABC；①()sin B C +=补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，1a =，2b =， ______？. 【详解】若选①，则3A B π=-，且A B C <<, 因为1a =，2b =，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ==，则()12sin 3sin B B π=-，即12sin 3sin B B=, 所以2sin3sin B B =，32(3sin 4sin )sin B B B -=，得25sin 8B =，因为(0,)B π∈，所以sin B =因为 A B C <<，所以角B 为锐角，所以cos B =所以sin sin 22sin cos 2C B B B ====所以由正弦定理得2sin sin b Cc B=== 若选①，则由ABC1a =，2b =，得1sin sin 2ab C C ==所以3cos 4C =±，当C 为锐角时，3cos 4C =，此时由余弦定理得 22232cos 1421224c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c = 当C 为钝角时，3cos 4C =-，此时由余弦定理得 22232cos 1421284c a b ab C =+-=++⨯⨯⨯=，所以c =综上，c =c = 若选①，由()sin B C +=()()sin sin sin B C A A π+=-== 由正弦定理得sin sin a b A B=，则2sin 3sin 11b A B a ===>，所以三角形不存在考点二：正弦、余弦定理在几何中的应用【典例例题】例1．（2022·广东佛山·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos (2)cos a C b c A =-. (1)求角A 的大小；(2)若2,b BC =边上的中线AD =ABC 的面积. 【答案】(1)3π（1）解；因为cos (2)cos a C b c A =-，所以sin cos (2sin sin )cos A C B C A =-，所以sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，即 sin 2sin cos B B A =，因为 (),0,A B π∈，所以 1sin 0,cos 2B A ≠=，所以3A π=；（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos a c b bc A =+-，即2242a c c =+-①，在ADB 中，由余弦定理得222222a a c AD AD ADB ⎛⎫=+-⋅⋅⋅∠ ⎪⎝⎭，在ADC 中，由余弦定理得222222a a b AD AD ADC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅∠ ⎪⎝⎭，因为,2,ADC ADB b AD π∠+∠===两式相加得22462a c +=+①，由①①得2c =，所以11sin 22sin 223ABCSbc A π==⨯⨯⨯= 例2．（2022·广东汕头·高三期末）在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ．已知2b cos B =c cos A +a cos C ． (1)求B ；(2)若a =2，b =，设D 为CB 延长线上一点，且AD ①AC ，求线段BD 的长．【答案】(1)3B π=(2)4BD =+(1)2cos cos cos b B c A a C =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B B C A A C =+sin()sin C A B =+=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 1cos 2B ∴=3B π∴=. (2)由（1）知3ABC π∠=，2,a BC b CA ===由正弦定理：sin sin BC CA BAC ABC=∠∠得2sin sin 3BAC ∠sin BAC ∴∠， 4BAC π∴∠=或34BAC π∠=（舍去）， 53412C ππππ∴∠=--=， AD AC ⊥，所以由cos CA C CD ∠=得cos()64CACD CB BD ππ=+=+，26cos()64BD ∴+=++4BD ∴=+例3．（2022·广东珠海·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且)cos a bC C =+．(1)求B ；(2)已知BC =D 为边AB 上的一点，若1BD =，2ACD π∠=，求AC 的长．【答案】(1)6B π= (2)AC =(1)①)cos a bC C =+，①)sin sin cos A BC C =+，即sin cos cos sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，所以cos sin sin B C B C =，因为sin 0C >，所以cos B B =，所以tan B ，因为()0,B π∈，所以6B π=．(2)因为BC =1BD =，6B π∠=，根据余弦定理得2222cos 112217CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，①CD = ①2BDC A π∠=+∠，①sin sin cos 2BDC A A π⎛⎫∠=+∠= ⎪⎝⎭．在BDC 中，由正弦定理知，sin sin BC CD BDC B =∠∠，2=①cos A =，①tan CD A AC ==，①AC =．【方法技巧与总结】利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解. 【变式训练】1．（2022·广东中山·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a b c Ab a B+==．（1）求A ；（2）如图，已知2AB =，D 为AC 的中点，点P 在BD 上，且满足1AP CP ⋅=，求PAC △的面积．【答案】（1）2π；（2）PACS =【详解】解：（1）由sin cos a Ab B=，可得sin cos sin sin A B B A =，又sin 0A ≠，则tan 1B =．因为(0,)B π∈，所以4B π=．由a b c b a +=，可得22a b bc =+，即22222a c b c b ac a+-+=，所以2cos c b a B +=．由正弦定理可得sin sin 2sin cos C B A B +=，则sin()sin 2sin cos A B B A B ++=，可得sin sin()B A B =-，则B A B =-或π+-=B A B （舍去），所以22A B π==．（2）因为1AP CP ⋅=，所以cos 1AP CP APC ⋅∠=．又因为2222cos AC AP CP AP CP APC =+-⋅∠，所以226AP CP +=．因为2222cos CP CD DP CD DP CDP =+-⋅∠，2222cos AP AD DP AD DP ADP =+-⋅∠，两式相加可得222222CP AP CD AD DP +=++，解得DP = 如图，过点P 作PE AC ⊥，则PAC ABCS EP DP SAB BD ==== 又因为122ABCS AB AC=⋅=，所以PACS=2．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =.(1)若AC =ABC 的面积； (2)若6ADC π∠=，4CD =，求tan CAD ∠.【答案】(1)1 (2)2(1)（1）因为1AB =，AC 34ABC π∠=，由余弦定理可得 2222cos AB BC ABC AB BCAC ⋅⋅∠=+-，代值化简得BC =（舍去），11sin 1122ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=△； (2)（2）设CAD θ∠=，在ACD 中，由正弦定理可得s n sin i C A D C CDA θ=∠①，由AB AD ⊥可得2BAD π∠=，则2BAC πθ∠=-，3424ACB ABC BAC πππππθθ∠=-∠-∠=--+=-，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC ABABC ACB =∠∠①，①②得sin sin sin sin ABC CD ACB ADC ABθ∠∠=⋅∠，整理得sin 2cos θθ=，化简得tan 2θ=，故tan 2CAD ∠=.3．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形ABCD 中，,,4,362∠=∠=∠===ADB BDC BCD AD CD ππ．(1)求AB ；(2)求ABC 的面积．【答案】(1)2AB =；(2)ABC S (1)因为BCD △为直角三角形，,36==BDC CD π∠，所以3==∠=BC BD DBC π．在ABD △中，4,6==∠=AD BD ADB π，由余弦定理，得2222cos46AB AD BD AD BD π=+-⋅⋅=，所以2AB =．(2)由（1）知2AB =，BD =4=AD ，所以222AB BD AD +=，所以ABD △为直角三角形，且2ABD π∠=，所以5236ABC ABD CBD πππ∠=∠+∠=+=，故15sin 26ABCSAB BC π=⋅⋅=4.如图，在ABC 中，BAC B ACB ∠∠∠､､对边分别为a b c ､､，且cos sin c c B C+=.(1)求角B 的大小；(2)已知10b a c =+=，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，且2AD DC =，求四边形ABCD 的面积.【答案】．(1)60B =.(2) (1)解：由正弦定理及已知，得sin sin cos sin C C B B C ∴+=，sin 0C ⋅≠，cos 1B B -=，12sin cos 12B ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， ()1sin 302B ∴-=，又0180B <<，所以3030B -=，即60B =； (2)解：由A ､B ､C ､D 四点共圆得180,120c c B D D +==，设,2AD x DC x ==，在三角形ADC 中，由余弦定理得2222(2)4cos120,2,x x x x =+-∴=所以1sin 2ACD SAD DC D =⨯=11sin sin6022ABCS AB BC B ac =⨯=， 22222(7)2cos60,28()3a c ac a c ac =+-=+-，24ac ∴=124sin60632ABCS∴=⨯⨯=ABCDS =5．（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，3DC =，60BDC ∠=︒ (1)求BC 的长； (2)求sin A 的值.【答案】 (1)依题意，由余弦定理得：2222cos BC DB DC DB DC BDC =+-⋅∠1491272=+-⨯=，解得：BC =(2)依题意，由正弦定理得：sin sin BC DBBDC DCB=∠∠，所以2sin sinDB BDC DCB BC∠∠===因为DB DC <，所以DCB ∠为锐角，所以cos DCB ∠===因为BDC A DCA ∠=∠+∠，所以A BDC DCA BDC DCB ∠=∠-∠=∠-∠，所以()sin sin 60sin60cos cos60sin A DCB DCB DCB =︒-∠=︒∠-︒∠12==.6．（2022·广东广州·二模）在平面四边形ABCD 中，90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒== (1)求ACD △的面积； (2)若9cos 16ACB ∠=，求34AB BC +的值；【答案】．(2)8.(1)解：在ACD △中，60,6,D AC CD ∠=︒==22221cos22CD AD AC D AD CD +-===⋅⋅，解得AD =，所以11sin 22ACDSAD CD D =⋅⋅⋅∠==；(2)解：在ACD △中，60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DC D DAC=∠=3sin 4DAC ∠=，又90A ∠=︒，所以3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，所以sin CAB ∠=，又9cos 16ACB ∠=，所以sin ACB ∠=所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB =∠∠∠∠39416==在ABC 中，sin sin sin AB BC ACACB CAB B==∠∠==，所以6564AB BC ===，，所以335+4844AB BC +=⨯=.【巩固练习】一、单选题1．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，sin 7C =，2c =,3b =，则cos B 的值为（） A．BC．D．【答案】C 【详解】根据正弦定理得sin sin b c B C =，得3sin 7sin 2b C B c ===，所以cos B == 故选：C.2．在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4sin sin sin 3b B c C a A +=，则sin tan sin sin A AB C的值为（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【详解】由已知及正弦定理得22243b c a +=，所以2222cos 26b c a a A bc bc+-==，所以sin tan sin sin A A B C ＝222sin 66cos sin sin A bc a A B C a bc=⋅=.故选：C.3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，sin C =，3b =，2c =．则cos B 的值为（）A． BC．D．【答案】C 【详解】在ABC中，因为sin C =，3b =，2c =，由正弦定理sin sin b c B C =得：3in s B =sin B = 因为b c >，所以B C >.所以cos B === 故选：C4．（2022·北京昌平·二模）在①ABC 中，45,4,B c ︒∠==只需添加一个条件，即可使①ABC 存在且唯一.条件：①a =；①b =①4cos 5C =-中，所有可以选择的条件的序号为（）A ．①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】B 【详解】对于①，4,45,c B a =∠=︒=2222cos 10b a c ac B =+-=，得b =①ABC 存在且唯一，符合题意；对于①，4,45,c B b =∠=︒=，所以，sin sin c b C B =，解得sin sin c B C b ==c b <，所以，C B ∠<∠，所以C ∠为锐角，此时，①ABC 存在且唯一，符合题意；对于①，44,45,cos 5c B C =∠=︒=-，所以，2C ππ<<，得3sin 5C =，进而sin sin c bC B =，可得sin sin 5c B b C ===123c b =<=，与C B ∠>∠矛盾，故①不符题意. 故可以选择的条件序号为：①① 故选：B 二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin 3sin b A b c B =-，且1cos 3A =，则下列结论正确的是（）A ．3a c b +=B．tan A =C ．ABC 的周长为4c D ．ABC2【答案】ABD 【详解】由正弦定理得()3ba b c b =-，整理得3a b c =-，即3a c b +=，A 正确；由1cos 3A =可得sin A ==sin tan cos A A A ==B 正确；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又3a b c =-，可得()2221323b c b c bc -=+-⋅，整理得32b c =，ABC 的周长为843a b c b c ++==，C 错误；由上知：3a b c =-，32b c =，可得2,3a c b a ==，则ABC的面积为2112sin 223bc A a a =⋅⋅=，D 正确.故选：ABD.6．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知ABC 中，3,5,7,AB AC BC O ===为ABC 外接圆的圆心，I 为ABC 内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（）A ．ABCB ．ABCC ．8AO BC ⋅=D ．1AI BC ⋅=【答案】BCD 【详解】在ABC 中，22235712co 2s 35A +-==-⨯⨯，所以sin A =，设ABC 外接圆半径为R，则2sin 3BC R A ===，则R =A 错误；设ABC 内切圆半径为r ，则()113573522ABCSr =++=⨯⨯，解得r =B 正确；因为132cos 14AB BAO OA ∠===，152cos 14AC CAO OA ∠===，所以()A AO BC AO AO A C AB A OC AB --⋅=⋅=⋅⋅538=-⨯=，故C 正确；设内切圆与三角形分别切于,,D E F ，则设,,AE EF x CE CD y BD BF z ======，537x y x z y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得195,,222x y z ===，所以1AI ==，则1cos 2BAI ∠=，1cos 2CAI ∠=，所以()A AI BC AI AI AI C AB AC AB --⋅=⋅=⋅⋅111513122=⨯⨯-⨯⨯=，故D 正确. 故选：BCD.三、填空题7．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积S ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________．【详解】解：可令sin sin 4,A B k +=sin sin 6,B C k +=sin sin 5,C A k += 将上式相加：15sin sin sin ,2A B C k ++= 由此可解的：357sin ,sin ,sin ,222A kB kC k === 由正弦定理：::3:5:7,a b c = 又因为：15,a b c ++=解得：a =3，b =5，c =7.所以1522a b c p ++== 代入海伦公式解得：S8．在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22230b c ac --=，sin()2sin A B A +=，则cosC ___________．【详解】①sin()2sin A B A +=，①sin 2sin C A =, 由正弦定理得2c a =，① 22230b c ac --=，①22222b c c ac -=+，由余弦定理得：2222cos b c a ac B -=-，①2224cos a ac B c ac -=+， ① 222228cos 42a a B a a -=+， ①228cos 4a B a -=，解得1cos 2B =-，又①0πB <<，①2π3B =, 将2c a =代入22230b c ac --=得b =, 由正弦定理可得sin sin b c B C =，即22πsin sin 3c C =，解得sin C = 又①π02C <<，①cos C ===.四、解答题9．已知在三角形ABC 中，2a b =，三角形的面积12S =．(1)若4b =，求()tan A B +；(2)若3sin 5C =，求sin sin A B ，．【答案】(1)(2)sin A =sin B =或sin A =sin B = 【解析】(1) ①2113sin 2sin 16sin 12sin 224S ab C b C C C ==⋅==⇒= 而sin tan()tan(π)tan cos C A B C C C+=-=-=-分情况讨论，当C 为锐角时，cos 0cos C C >⇒==①tan()A B +=当C 为钝角时，cos 0cos C C <⇒==tan()A B +=(2)22113sin 2sin 12225S ab C b C b ==⋅==,因为0b >，所以b a ==分情况讨论，当C 为锐角时，4cos 0cos 5C C >⇒= 由余弦定理，222cos 366c a b ab C c =+-=⇒=由正弦定理，10sin sin sin sin a b c A A B C ==⇒==⇒=，sin B =当C 为钝角时，4cos 0cos 5C C <⇒=-，由余弦定理，222cos 164c a b ab C c =+-=⇒=由正弦定理，sin sin sin sin a b c A A B C ==⇒===sin B = 10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(cos )2b a b c a B -=-．(1)求角A 的大小；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上的高．【答案】(1)3A π=【解析】(1)22cos 2b a b c a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222()2cos a b ca B bc -=-． 222222()a b c a b bc ∴-=+--，222b c a bc ∴+-=，2221cos =22b c a A bc +-∴=．又(0,)A π∈，3A π∴=． (2) 11sin 8sin 223S bc A b π==⨯⨯==2b ∴=．故由余弦定理可知a ==而1122S ah h ==⨯=解得h =BC ． 11．在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． (1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．【答案】(1)3A π=(2)134【解析】(1)21sin cos sin cos cos sin sin cos sin 6662A A A A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111132cos 2sin 2442644A x A π⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭； ()0,A π∈，112,666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，262A ππ∴-=，解得：3A π=.D 是BC 中点，12282ABC ADC SS AC DE DE ∴==⨯⋅==又1sin 2ABC S AB AC A AB =⋅==3AB =；在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 9642449BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=，7BC ∴=，则72CD =，134CE ∴=. 12．已知对任意θ，ϕ，都有：()()22sin sin sin sin θϕθϕθϕ-=+-，若ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .a b ，且()sin sin 3sin a A b B A B -=-.(1)求c ； (2)若2b a =，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，若4AH =，求ABC 的面积S .【答案】(1)3c =(2)3S =(1)由对任意θ，ϕ，都有：()()22sin sin sin sin θϕθϕθϕ-=+-，可得，()()22sin sin sin sin A B A B A B -=+-设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理，有：2sin sin sin a b c R A B C===，故：2sin a R A =，2sin b R B = 所以：()2222sin sin 2sin 2sin 2sin sin a A b B R A R B R A B -=-=- ()()2sin sin R A B A B =+-()()2sin sin 3sin R C A B A B =-=-由a b ，故A B ≠，则()(),00,A B ππ-∈-⋃，()sin 0A B -≠所以，2sin 3R C =，即3c =如图所示：2b a =，3c =，4AH =，CH AH ⊥由4AH =，3AB =，得1BH =，又CH AH ⊥ 所以22221CH BC BH a =-=-，2222416CH AC AH a =-=-，则224116a a -=-，解得a =2CH =所以ABC 的面积1132322S AB CH =⋅⋅=⨯⨯= 故ABC 的面积为3.。

专题一解三角形课件人教新课标

AC 等于( B )
(A)5 (B) 5 (C)2 (D)1
解析:由 S = △ABC 1 acsin B 得 1 × 2 ×1×sin B= 1 ,所以 sin B= 2 ,cos B=± 2 ,
2
2
2
22Leabharlann 所以若 cos B=- 2 ,由余弦定理得 2
AC= AB2 BC2 2AB BC cos B = 12
数学
模块复习专题一解三角形
数学
运用正、余弦定理求解三角形的面积问题是高考的热点内容,其次是求三角形的边和角及解三角形应用举例,选择、填空、解答均有,难度中等偏下.
数学
考点一三角形的面积问题
1.(2014 高考新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 2
数学
考点二求三角形的边或角
3.(2014 高考广东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知
bcos C+ccos B=2b,则 a =
.
b
解析:根据正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入已知
式子中,可得 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即 sin A=2sin B,由
.
解析:把正弦定理 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 代入已知得
(2+b)(a-b) =(c-b)·c, 所以(2+b)(2-b)=(c-b)·c.所以 4-b2=c2-bc,所以 b2+c2-bc=4.
所以 cos A= b2 c2 a2 = 4 bc 4 = 1 .所以 A=60°.

2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解

2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+−.(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期；(2)若当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式. (),f x m ≥求实数m 的取值范围. 请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.【解析】（1）222()cos cos )sin cos cos sin f x x x x x x x x x =+−=+−π2cos22sin(2)6x x x +=+．所以函数()f x 的最小正周期πT =．由πππ2π22π,Z 262k x k k −+++∈剟，解得ππππ,Z 36k x k k −++∈剟．所以函数()f x 的单调增区间为ππ[π,π],Z 36k k k −++∈，（2）若选择①由题意可知，不等式()f x m …恒成立，即min ()m f x …．因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x +剟．故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为1π2f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭．所以1m −…，实数m 的取值范围为(],1−∞−．若选择②由题意可知，不等式()f x m …有解，即max ()m f x …．因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x +剟．故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以2m …，实数m 的取值范围(],2−∞．例2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a 2b =；③sin sin sin ++=−B C a c A b c ；④21cos sin sin 24−⎛⎫−= ⎪⎝⎭B C B C ． (1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．【解析】（1）对于③，()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++−=⇒=−∈∴=−；对于④，()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +−−=⇒−−=−，即()1cos 2B C +=−，且π,0,,πA B C A B C ++=<<，则π3A =，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．（2）选①②③：2π2,3a b B ===时，由余弦定理：22221cos22a c b B ac +−=⇒−=整理得：210c −=且0c >，则c =，ABC ∴的面积为31sin 28ABC S ac B ==．选①②④：π2,3a b A ===时，由余弦定理：2222143cos 224b c a c A bc c+−+−=⇒=，整理得：2210c c −+=，则1c =，ABC ∴的面积1sin 2ABC S bc A ==．例3．（2022春·浙江·高二期中）在①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+，②2cos 2b A a c +=，222sin B a c b =+−三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．(1)求角B 的大小； (2)如图所示，当sin sin A C +取得最大值时，若在ABC 所在平面内取一点D （D 与B 在AC 两侧），使得线段2,1DC DA ==，求BCD △面积的最大值．【解析】（1）若选①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+，由正弦定理得，()()()c a c a b a b −=−+，整理得222a c b ac +−=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===，又0πB <<，所以π3B =；若选②2cos 2b A a c +=，由余弦定理得222222b c a b a c bc+−+=，化简得222a c b ac +−= 所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===，又0πB <<，所以π3B =；222sin B a c b =+−，sin 2cos B ac B =，化简得tan B 0πB <<，所以π3B =；（2）由（1）得2π3A C +=，故2π03A <<，所以2π3πsin sin sin sin sin 326A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+−==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由ππ5π666A <+<，所以当ππ62A +=即π3A =时，sin sin A C + 令,ACD ADC θα∠=∠=，AB AC BC a ===，在ACD 中由正弦定理可得，1sin sin a αθ=，所以sin sin a αθ=，由余弦定理可得22221221cos 54cos a αα=+−⨯⨯⨯=−，所以()2222222cos 1sin sin a a a a θθθ=−=−()22254cos sin cos 4cos 42cos ααααα=−−=−+=−，因为1,2DA DC ==，可得π02θ<<，所以cos 2cos a θα=−，1π12sin cos sin 232BCD S a a θθθ⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭)1π2cos sin sin 23ααα⎛⎫=−+=− ⎪⎝⎭ 当且仅当ππ=32α−即5π=6α时,等号成立，所以BCD △．本课结束。

六招搞定解三角形专题

解三角形专题【秒杀总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【典型例题】例题1.(2023秋·山西太原·高三统考期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2 +bc=a2．(1)求证：A=2B；(2)求6b+2cb cos B的取值范围．【解析】(1)由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A，a2-b2=c2-2bc cos A∵b2+bc=a2，∴a2-b2=bc∴c2-2bc cos A=bc∴b(1+2cos A)=c，由正弦定理得bsin B=csin C，∴sin B(1+2cos A)=sin C=sin(A+B)，∴sin B=sin(A-B)，∵0<A,B<π，∴0<B<A<π，∴B=A-B，∴A=2B (2)由(1)得A=2B,c=b(1+2cos A)，∴6b+2cb cos B=6+24cos2B-1cos B=8cos B+4cos B，∵A=2B，又0<A+B<180∘，∴0<B<π3，∴12<cos B<1，函数f x =8x+4x在12,22上单调递减，在22,1上单调递增f12 =f1 =12，f22 =82∴82≤8cos B+4cos B<12，∴6b+2cb cos B的取值范围为82,12．例题2.(2023·浙江·统考一模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a +b a +c=sin C -A 2sin C +A 2．(1)若A =π4，求B ；(2)求c a +c b的取值范围．【解析】(1)由正弦定理得a +b a +c =sin A +sin B sin A +sin C，又a +b a +c =sin C -A 2sin C +A 2，所以sin A +sin B sin A +sin C =sin C -A 2sin C +A 2，因为sin A +sin C =2sin C +A 2cos C -A 2，所以sin A +sin B =2sin C +A 2cos C -A 2⋅sin C -A 2sin C +A 2=2cos C -A 2sin C -A 2=sin C -A ，因为sin B =sin π-B =sin C +A ，所以sin A =sin C -A -sin C +A =-2cos C sin A ，因为0<A <π，所以sin A >0，故cos C =-12，又0<C <π，所以C =2π3，因为A =π4，所以B =π-A -C =π12．(2)由(1)得C =2π3，所以由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =a 2+b 2+ab ，记T =c a +c b =c a +b ab ，则T 2=c 2ab ⋅a +b 2ab =a b +b a +1 a b +b a +2 ，因为a >0,b >0，所以b a +a b ≥2b a ⋅a b =2，当且仅当b a =a b ，即a =b 时，等号成立，即b a +a b≥2，故T 2≥3×4=12，则T ≥23，所以c a +c b ≥23，即c a +c b∈23,+∞ ．例题3.(2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测)已知△ABC ，D 为边AC 上一点，AD =1，CD =2.(1)若BA ⋅BD =34，BC ⋅BD =0，求S △ABC ；(2)若直线BD 平分∠ABC ，求△ABD 与△CBD 内切圆半径之比的取值范围.【解析】(1)如图1，AD =1，CD =2，所以BA =BD +DA =BD +12CD =BD +12BD -BC =32BD -12BC ，因为BA ⋅BD =34，BC ⋅BD =0，所以BA ⋅BD =32BD -12BC ⋅BD =32BD 2-12BC ⋅BD =32BD 2=34，故BD 2=12，则BD =22，即BD =22，又BC ⋅BD =0，则BC ⊥BD ，故BC =CD 2-BD 2=142，不妨记∠ABD =α，AB =m ，则cos α=AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD =m 2+12-12m =2m 2-122m ，因为BA ⋅BD =BA BD cos α=34，所以m ×22×2m 2-122m =34，解得m =2，则cos α=2×2-122×2=34，因为0<α<π，所以sin α=1-cos 2α=74，所以S △ABC =S △ABD +S △BCD =12AB ⋅BD sin α+12BD ⋅BC =12×2×22×74+12×22×142=378.(2)如图2，不妨设△ABD 与△CBD 内切圆的半径分别为r 与R ，因为直线BD 平分∠ABC ，所以由角平分线性质定理得AB BC =AD CD=12，记AB =c ，则BC =2c ，记∠ABC =β，则cos β=AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =c 2+4c 2-92×c ×2c =5c 2-94c 2，因为BD =BA +AD =BA +13AC =BA +13BC -BA =23BA +13BC ，所以BD 2=49BA 2+19BC 2+49BA BC cos β=49c 2+19×4c 2+49c ×2c×5c 2-94c2=2c 2-2，因为AB +BC >AC ，即c +2c >3，则c >1，所以BD =2c 2-2，即BD =2c 2-2，因为S △ABD S △BCD =12AD ⋅h 12CD ⋅h =12(h 为顶点B 到AC 的距离)，又S △ABD =12AB +BD +AD r =12c +2c 2-2+1 r ，S △BCD =12BC +BD +CD R =122c+2c2-2+2R，所以c+2c2-2+1r2c+2c2-2+2R=12，则r R=12×2c+2c2-2+2c+2c2-2+1=121+c+1c+2c2-2+1，令t=c+1，则c=t-1，t>2，所以c+1c+2c2-2+1=tt+2t-12-2=11+2-4t，因为t>2，所以0<1t<12，则0<2-4t<2，故1<1+2-4t<1+2，所以2-1<11+2-4t<1，即2-1<c+1c+2c2-2+1<1，所以22<121+c+1c+2c2-2+1<1，故22<r R<1，所以△ABD与△CBD内切圆半径之比的取值范围为2 2,1 .例题4.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin A-sin B3a-c =sin Ca+b．(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．【解析】(1)sin A-sin B3a-c=sin Ca+b，由正弦定理得：a-b3a-c=ca+b，即a2+c2-b2=3ac，由余弦定理得：cos B=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，因为B∈0,π，所以B=π6；(2)锐角△ABC中，a=2，B=π6，由正弦定理得：2sin A=bsinπ6=csin C，故b=1sin A,c=2sin Csin A=2sin A+π6sin A=3sin A+cos Asin A，则b+c=3sin A+cos A+1sin A=3+1+1cos Atan A=3+1+1+tan2Atan A=3+1tan A+1tan2A+1，因为锐角△ABC中，B=π6，则A∈0,π2，C=π-π6-A∈0,π2，解得：A ∈π3,π2，故tan A ∈3,+∞ ，1tan A∈0,33 ，则1tan 2A +1∈1,233 ,3+1tan A +1tan 2A+1∈1+3,23 ，故b +c ∈1+3,23 ，a +b +c ∈3+3,2+23所以三角形周长的取值范围是3+3,2+23 .例题5.(2023·全国·高三专题练习)设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a =b cos A -a cos B ．(1)求证：B =2A ；(2)求b +c a的取值范围．【解析】(1)a =b cos A -a cos B ，由正弦定理得：sin A =sin B cos A -sin A cos B ，由积化和差公式可得：sin A =12sin B +A +12sin B -A -12sin A +B -12sin A -B =12sin B -A -12sin A -B ，因为12sin A -B =-12sin B -A ，所以sin A =sin B -A ，因为三角形ABC 为锐角三角形，故A ,B ∈0,π2，所以B -A ∈-π2,π2，故A =B -A ，即B =2A ；(2)由(1)知：B =2A ，由正弦定理得：b +c a =sin B +sin C sin A =sin2A +sin B +A sin A =sin2A +sin3A sin A，其中sin3A =sin 2A +A =sin2A cos A +cos2A sin A =2sin A cos 2A +cos2A sin A ，因为sin A ≠0，所以b +c a =2sin A cos A +2sin A cos 2A +cos2A sin A sin A=2cos A +2cos 2A +cos2A =2cos A +2cos 2A +2cos 2A -1=4cos 2A +2cos A -1=4cos A +14 2-54，由B =2A ∈0,π2 得：A ∈0,π4，由C =π-A -B =π-3A ∈0,π2 ，解得：A ∈π6,π3 ，结合A ∈0,π2 可得：A ∈π6,π4 ，cos A ∈22,32 ，故b +c a =4cos A +14 2-54在cos A ∈22,32上单调递增，所以b +c a =4cos 2A +2cos A -1∈4×12+2-1,4×34+3-1 ，即b +c a ∈2+1,3+2 .例题6.(2023·全国·高三校联考阶段练习)△ABC 中，D ，E 是边BC 上的点，∠BAD =∠CAE ，且BD ⋅BE CD ⋅CE=13.(1)若BC =3，求△ABC 面积的取值范围；(2)若AB =1，BC =2，平面内是否存在点P ，使得∠ABP =∠BCP =∠CAP ？若存在，求sin ∠ABP ；若不存在，说明理由.【解析】(1)由面积公式可得：S △ABD S △ADC=BD CD =12×AD ×AB ×sin ∠BAD 12×AD ×AC ×sin ∠CAD =AB ×sin ∠BAD AC ×sin ∠CAD ，S △ABE S △AEC =BE CE =12×AE ×AB ×sin ∠BAE 12×AE ×AC ×sin ∠CAE =AB ×sin ∠BAE AC ×sin ∠CAE ，因为∠BAD =∠CAE ，故∠CAD =∠BAE ，由BD ⋅BECD ⋅CE =13可得AB ×sin ∠BAD AC ×sin ∠CAD ×AB ×sin ∠BAE AC ×sin ∠CAE =13即AB AC=13，建立如图所示的平面直角坐标系，则 B 0,0 ,C 3,0 ，则A x ,y ，则x -3 2+y 2=3×x 2+y 2，整理得到：x +32 2+y 2=274，故△ABC 的BC 边上的高的范围为0,332，故其面积的取值范围为：0,934(2)因为AB =1，故AC =3，故AC 2+AB 2=4=BC 2，故△ABC 为直角三角形且∠ABC =60°,∠ACB =30°,如图，设∠ABP =α，则∠CBP =60°-α，故∠CPB =120°，同理∠PCA =30°-α,∠APC =150°,∠APB =90°，故PB =1×cos α=cos α，而3sin ∠APC=CP sin α，故CP =23sin α，在△PBC 中，由余弦定理可得：4=cos 2α+12sin 2α-2×cos α×23sin α×-12 ，整理得到：4=cos 2α+12sin 2α+23cos α×sin α所以4cos 2α+4sin 2α=cos 2α+12sin 2α+23cos α×sin α，整理得到：3=8tan 2α+23tan α，解得tan α=-32或tan α=34，但α为锐角，故tan α=34，故sin α=319=5719故P 存在且sin ∠ABP =5719.例题7.(2023·全国·高三专题练习)在①2a cos A =b cos C +c cos B ；②tan B +tan C +3=3tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN =2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【解析】(1)若选①2a cos A =b cos C +c cos B ，由正弦定理可得2sin A cos A =sin B cos C +sin C cos B =sin B +C即2sin A cos A =sin A ，又sin A >0，所以2cos A =1，即cos A =12，因为A ∈0,π ，所以A =π3；若选②tan B +tan C +3=3tan B tan C ，即tan B +tan C =-3+3tan B tan C ，即tan B +tan C =-31-tan B tan C ，所以tan B +tan C 1-tan B tan C=-3，即tan B +C =-3，所以tan π-A =-3，即tan A =3，因为A ∈0,π ，所以A =π3；(2)依题意AN =23AB ，AM =12AC ，所以AG =AB +BG =AB +23BM =AB +23AM -AB =AB +2312AC -AB =13AB +13AC ，因为C 、N 、P 三点共线，故设AP =λAN +1-λ AC =23λAB +1-λ AC ，同理M 、B 、P 三点共线，故设AP =μAB +1-μ AM =μAB +121-μ AC ，所以23λ=μ1-λ=121-μ ，解得λ=34μ=12 ，所以AP=12AB +14AC ，则GP =AP -AG =12AB +14AC -13AB +13AC =16AB -112AC =1122AB -AC ，因为S △ABC =12bc sin A =32，所以bc =2，又△ABC 为锐角三角形，当C 为锐角，则AC ⋅BC >0，即AC ⋅AC -AB >0，即AC 2-AC ⋅AB >0，即b 2-12bc >0，即2b >c =2b ，所以b >1，当B 为锐角，则AB ⋅CB >0，即AB ⋅AB -AC >0，即AB 2-AC ⋅AB >0，即c 2-12bc >0，即2c >b ，即2⋅2b>b ，所以0<b <2，综上可得1<b <2，又GP =112⋅2AB -AC ，则144GP 2=2AB -AC 2=4AB 2-4AB ⋅AC +AC 2=4AB 2-4AB ⋅AC +AC2=4c 2-2bc +b 2=16b2-4+b 2因为1<b <2，所以1<b 2<4，而f x =16x-4+x 在1,4 上单调递减，所以f x ∈4,13 ，即16b 2-4+b 2∈4,13 ，即144GP 2∈4,13 ，所以12GP ∈2,13 ，则GP ∈16,1312 .【过关测试】1.(2023·湖南衡阳·校考模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin A sin B +sin C +b sin B b sin A +c sin B=1(1)求角C ；(2)CD 是∠ACB 的角平分线，若CD =433，△ABC 的面积为23，求c 的值.【解析】(1)由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb =1，即a b +c+b a +c =1，整理得a a +c +b b +c =a +c b +c ，化简得a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12，又C ∈0,π ，则C =π3；(2)由面积公式得12ab sin C =12ab ×32=23，解得ab =8，又CD 是∠ACB 的角平分线，则S △ACD S △BCD=12⋅CA ⋅CD ⋅sin π612⋅CB ⋅CD ⋅sin π6=CA CB =AD BD ，即AD BD =b a ，则CD =CA +AD =CA +b a +b AB =CA +b a +b CB -CA =a a +b CA +b a +b CB ，所以CD 2=a a +b CA +b a +b CB 2=a 2a +b 2CA 2+2ab a +b 2CA ⋅CB +b 2a +b 2CB 2，即163=a 2b 2a +b 2+2ab a +b 2⋅ab ⋅12+a 2b 2a +b2，整理得163=3a 2b 2a +b2，又ab =8，解得a +b =6，则a 2+b 2=a +b 2-2ab =20，由(1)知c 2=a 2+b 2-ab =20-8=12，则c =23.2.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，已知AB =1，BC =7，D 为AC 上一点，AD =2DC ，AB ⊥BD .(1)求BD 的长度；(2)若点P 为△ABD 外接圆上任意一点，求PB +2PD 的最大值.【解析】(1)设BD =x ，CD =y ，则AD =2y .在△ABD 与△CBD 中，由余弦定理知：AB 2=BD 2+AD 2-2BD ⋅AD ⋅cos ∠ADB ，即x 2+4y 2-4xy cos ∠ADB =1，BC 2=BD 2+CD 2-2BD ⋅CD ⋅cos ∠CDB ，即x 2+y 2-2xy cos ∠ADB =7.∵∠ADB +∠CDB =π，∴cos ∠ADB +cos ∠CDB =0，可得x 2+2y 2=5.∵AB ⊥BD ，∴AD 2=AB 2+BD 2，即1+x 2=4y 2.解得x =3，y =1.∴BD =3.(2)由(1)知：△ABD 中，∠ABD =π2，AD =2，AD 为△ABD 外接圆的直径.P 为△ABD 外接圆上任意一点，当P 在B 点时，PB +2PD =2PD =23.当P 在D 点时，PB +2PD =PB =3.当P 在优弧BAD 上时，∠BPD =∠BAD =π3，设∠PBD =θ0<θ<2π3 ，则∠PDB =2π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin 2π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin 2π3-θ +4sin θ=2sin 2π3cos θ-cos 2π3sin θ +4sin θ=5sin θ+3cos θ=27sin (θ+φ)tan φ=35,0<φ<π2 ，当θ+φ=π2时，PB +2PD 的最大值为27.当P 在劣弧BD 上时，∠BPD =π-∠BAD =2π3，设∠PBD =θ0<θ<π3 ，则∠PDB =π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin π3-θ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin π3-θ +4sin θ=2sin π3cos θ-cos π3sin θ +4sin θ=3sin θ+3cos θ=23sin θ+π6.当θ+π6=π2时，PB +2PD 的最大值为23.综上，PB +2PD 的最大值为27.3.(2023·全国·高三专题练习)如图，某城市有一条MO 从正西方通过市中心O 后转向东偏北60°方向ON 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在MO ，NO 上分别设置两个出口A ，B ，B 在A 的东偏北θ的方向(A ，B 两点之间的高速路可近似看成直线段)，由于A ，B 之间相距较远，计划在A ，B 之间设置一个服务区P .(1)若P 在O 的正北方向且OP =2km ，求A ，B 到市中心O 的距离和最小时tan θ的值；(2)若B 到市中心O 的距离为10km ，此时P 设在∠AOB 的平分线与AB 的交点位置，且满足OP 2+BP 2≥11OP ⋅BP ，则求A 到市中心O 的距离最大时tan θ的值.【解析】(1)由题意可知∠AON =2π3,∠OAB =θ，若P 在O 的正北方向，则OP⊥OA ，在Rt △AOP 中，OA =2tan θ，在△OPB 中，∠B =π3-θ,∠OPB =π2+θ，由正弦定理可得OP sin ∠B =OB sin ∠OPB，所以OB =2sin π2+θ sin π3-θ =2cos θ32cos θ-12sin θ=43-tan θ，则OA +OB =2tan θ+43-tan θ=2tan θ+23-tan 2θ+3tan θ=2-tan θ+3 2+33tan θ+3 -6tan θ+3=233-tan θ+3+6tan θ+3 ≥233-2tan θ+3 ⋅6tan θ+3=63+463，当且仅当tan θ+3+6tan θ+3，即tan θ=6-3时，取等号，所以A ，B 到市中心O 的距离和最小时tan θ=6-3；(2)因为OP 2+BP 2≥11OP ⋅BP ，所以OP 2+BP 2-2OP ⋅BP ≥9OP ⋅BP ，即OP -BP 2≥9OP ⋅BP ，即OB 2≥9OP ⋅OP -OB ，因为OP 平分∠AOB ，所以∠AOP =∠BOP =π3，则100≥9OP 2-45OP，所以0<OP ≤203，因为S △AOB =S △AOP +S △BOP ，所以12OA OB sin 2π3=12OA OP sin π3+12OB OP sin π3，即10OA =OA OP +10OP ，所以OA =10OP 10-OP =1010OP-1，因为0<OP ≤203，所以当OP =203时，OA 有最大值20，此时在△AOP 中，20sin 2π3-θ =203sin θ，即132cos θ+12sin θ=13sin θ，所以3=32cos θ+12sin θsin θ=32⋅1tan θ+12，所以tan θ=35，所以当A 到市中心O 的距离最大时tan θ=35.4.(2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知△ABC 的外心为O ，M ,N 为线段AB ,AC 上的两点，且O 恰为MN 中点.(1)证明：|AM |⋅|MB |=|AN |⋅|NC |(2)若|AO |=3，|OM |=1，求S △AMNS △ABC的最大值.【解析】(1)证明：设AM =x 1,BM =y 1,AN =x 2,CN =y 2，由余弦定理知：cos ∠AMO =x 12+OM 2-AO 22x 1⋅OM ，cos ∠BMO =y 12+OM 2-BO 22y 1⋅OM，由O 是△ABC 外心知AO =BO =CO ，而cos∠AMO+cos∠BMO=0，所以x12+OM2-AO22x1⋅OM+y12+OM2-BO22y1⋅OM=0，即(x1y1+OM2-AO2)(x1+y1)=0，而x1+y1≠0，因此x1y1=AO2-OM2，同理可知x2y2=AO2-ON2，因此x1y1=x2y2，所以|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|；(2)由(1)知x1y1=x2y2=2，由余弦定理知：cos∠AOM=AO2+OM2-x122AO⋅OM，cos∠AON=AO2+ON2-x222AO⋅ON，代入cos∠AOM+cos∠AON=0得x12+x22=8，设μ=x1y1,λ=x2y2，则μ+λ=x122+x222=4，因此S△AMNS△ABC=AM⋅BMAB⋅AC=μλ(μ+1)(λ+1)=11+5μλ≤11+54=49，当且仅当μ=λ=2时取到等号，因此S△AMNS△ABC的最大值为49.5.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c cos B=2a-b．(1)求C；(2)若AB=AC，D是△ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当∠D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值．【解析】(1)∵在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2c cos B=2a-b．∴由正弦定理得：2sin C cos B=2sin A-sin B，又A=π-B+C，∴2sin C⋅cos B=2sin B+C-sin B=2sin B cos C+2cos B sin C-sin B，2sin B cos C=sin B，∵sin B≠0，∴cos C=12，∵0<C<π，∴C=π3．(2)∵AB=AC，∠ACB=π3，∴△ABC是等边三角形，设AC=x，∠D=θ，∵AD=2，CD=1，∴S△ABC=34x2，S△ADC=12×AD×CD×sin D=sinθ，由余弦定理得AC2=x2=1+4-4cosθ=5-4cosθ，∴S=S△ABC+S△ADC=34x2+sinθ=345-4cosθ+sinθ=534+sinθ-3cosθ=534+2sinθ-π3，∵0<θ<π，∴-π3<θ-π3<2π3，∴当sin θ-π3 =1，即θ=5π6时，平面四边形ABCD 的面积S 取最大值S max =534+2．6.(2023·全国·高三专题练习)如图，四边形ABCD 中，AB 2+BC 2+AB ⋅BC =AC 2．(1)若AB =3BC =3，求△ABC 的面积；(2)若CD =3BC ，∠CAD =30∘，∠BCD =120∘，求∠ACB 的值．【解析】(1)在△ABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =-AB ⋅BC 2AB ⋅BC =-12，因为0∘<B <180∘，所以B =120∘．S △ABC =12AB ⋅BC sin120∘=12×3×1×32=334．(2)设∠ACB =θ，则∠ACD =120∘-θ，∠ADC =30∘+θ，∠BAC =60∘-θ．在△ACD 中，由AC sin 30∘+θ =CDsin30∘，得AC =sin 30∘+θ sin30∘CD ．在△ABC 中，由AC sin120∘=BC sin 60∘-θ ，得AC =sin120∘sin 60∘-θ BC ．联立上式，并由CD =3BC 得3sin 30∘+θ sin30∘=sin120∘sin 60∘-θ ，整理得sin 30∘+θ sin 60∘-θ =14，所以sin 60∘+2θ =12，因为0∘<θ<60∘，所以60∘<60∘+2θ<180∘，所以60∘+2θ=150∘，解得θ=45∘，即∠ACB 的值为45∘．7.(2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)在△PAB 中，PA =PB ，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．(1)若∠APB =π3，CD =1，求△PCD 面积的最大值；(2)设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若∠APB ∈π3,π ，且AB ⋅BC ⋅CD ⋅DA 的最大值为49，求R 的值．【解析】(1)由已知∠DPC =∠APB =π3，在△PCD 中，利用余弦定理知1=CD 2=PC 2+PD 2-2PC ⋅PD cos ∠PDC ，结合基本不等式有1≥2PC ⋅PD -2PC ⋅PD cosπ3=PC ⋅PD ，当且仅当PC =PD =1时，等号成立，即PC ⋅PD 的最大值为1，S △PCD =12PC ⋅PD sin π3=34PC ⋅PD ≤34所以△PCD 面积的最大值为34(2)四边形ABCD 存在外接圆，∴∠DAB +∠DCB =π又PA =PB ，∴∠DAB =∠CBA ，∴∠CBA +∠DCB =π，∴AB ⎳CD ，所以四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设∠CBA =θ，∠CAB =x ，在△BAC 中，由正弦定理得，AB sin (π-x -θ)=BC sin x =2R ，∴BC =2R sin x ，AB =2R sin (π-x -θ)=2R sin (θ+x )同理，在△ACD 中，由正弦定理得，CD =2R sin (θ-x )，所以AB ⋅BC ⋅CD ⋅DA =16R 2sin 2x sin (θ-x )sin (θ+x )=16R 2sin 2x sin 2θcos 2x -cos 2θsin 2x =16R 2sin 2x sin 2θ1-sin 2x -cos 2θsin 2x =16R 2sin 2x sin 2θ-sin 2x ∵∠APB ∈π3,π，∴0<x <θ≤π3，∴0<sin 2x ≤sin 2θ∴16R 2sin 2x sin 2θ-sin 2x ≤16R 2sin 2x +sin 2θ-sin 2x 22=4R 2sin 4θ，当且仅当sin 2x =sin 2θ-sin 2x ，即sin 2x =12sin 2θ∵θ∈0,π3 ，∴sin 2θ≤34，当且仅当θ=π3时，等号成立，即4R 2×34 2=49，即R =498.(2023·上海·高三专题练习)△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足b 2=a 2+c 2-ac ．(1)当A 为何值时，函数y =2sin 2A +cos C -3A2取到最大值，最大值是多少？(2)若c -a 等于边AC 上的高h ，求sin C -A2的值．【解析】(1)由b 2=a 2+c 2-ac 得：cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12，因为B ∈0,π ，所以B =π3，y =2sin 2A +cos C -3A 2 =1-cos2A +cos π-π3-A -3A 2=1-cos2A +cos π3-2A =1-cos2A +cos π3cos2A +sin π3sin2A =1+32sin2A -12cos2A =1+sin 2A -π6，因为A ∈0,2π3 ，所以2A -π6∈-π6,7π6 ，所以当2A -π6=π2，即A =π3时，y =2sin 2A +cos C -3A 2 =1+sin 2A -π6 取得最大值，最大值为2；(2)由(1)知：B =π3，由三角形面积公式得：12ac sin B =12bh =12b c -a ，从而ac sin B =b c -a ，由正弦定理得：sin A sin C sin B =sin B sin C -sin A ，因为sin B =32，所以sin A sin C =sin C -sin A ，由和差化积得：sin C -sin A =2cos C +A 2sin C -A 2=2cos π-B 2sin C -A 2=sin C -A2，因为sin 2C +A 2-sin 2C -A2=1-cos C +A 2-1-cos C -A 2=cos C -A 2-cos C +A 2=cos C cos A +sin C sin A -cos C cos A +sin C sin A 2=sin C sin A ，所以sin C sin A =sin 2C +A 2-sin 2C -A 2=sin 2π-B 2-sin 2C -A 2=34-sin 2C -A2，故sin C -A 2=34-sin 2C -A 2，解得：sin C -A 2=12或-32，因为sin C -A2∈-1,1 ，所以sin C -A 2=12.9.(2023·全国·高三专题练习)如图，四边形ABCD 中，∠DAB =∠DCB =π2，AB =3，BC =2，S △ABC=332且∠ABC 为锐角．(1)求DB ；(2)求△ACD 的面积．【解析】(1)由已知S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =332，∴sin ∠ABC =32∵∠ABC 是锐角，∴∠ABC =π3．由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =7，则AC =7．∵∠DAB =∠DCB =π2，∴BD 是四边形ABCD 外接圆的直径，∴BD 是△ABC 外接圆的直径，利用正弦定理知BD =AC ∠ABC =7×23=2213(2)由∠DAB =∠DCB =π2，BD =2213，AB =3，BC =2，则AD =33,CD =433,又∠ABC =π3，则∠ADC =2π3，因此S △ACD =12AD ⋅CD ⋅sin ∠ADC =12×33×433×32=33，故△ACD 的面积为33．10.(2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．【解析】(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC 得：28=22+x 2-2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x -24=0，而x >0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12⋅2⋅4⋅32=23，梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S△ABC 2=53，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =73；(2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2-α，∠DBC =2π3-a ，∠BCA =α-π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA =BC sin ∠BAC 得：2sin α-π6 =BCsin π2-α ，在△BDC 中，由正弦定理CD sin ∠DBC =BC sin ∠BDC 得：5sin 2π3-α =BCsin α，两式相除得：2sin 2π3-α 5sin α-π6 =sin αsin π2-α ⇒2⋅32cos α+12sin α5⋅32sin α-12cos α =sin αcos α，整理得53sin 2α-7sin αcos α-23cos 2α=0，即53tan 2α-7tan α-23=0解得tan α=233或tan α=-35，因为α∈π6,π2，则tan α=233，即tan ∠ABD =233．11.(2023春·河南开封·高三统考开学考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin B -C tan A =sin B sin C ．(1)若A =B ，求sin 2A 的值；(2)证明：a 2+b 2c2为定值．【解析】(1)由sin B cos C -sin C cos B sin Acos A=sin A sin C ,∵0<A <π,∴sin A ≠0,即sin B cos C -sin C cos B =cos A sin C ，∵A =B ，所以sin A cos C -sin C cos A =cos A sin C ,所以sin A cos C =2cos A sin C ,又∵C =π-2A ,∴sin A cos π-2A =2cos A sin π-2A ，-sin A cos2A =2cos A sin2A ，-sin A 1-2sin 2A =4sin A cos 2A ，2sin 2A -1=4-4sin 2A ，解得sin 2A =56；(2)由已知条件得sin B cos C -sin C cos B sin Acos A=sin B sin C ，sin A sin B cos C -sin A sin C cos B =cos A sin B sin C ，sin A sin B cos C =cos A sin B sin C +sin A sin C cos B ，sin A sin B cos C =sin C cos A sin B +sin A cos B ，sin A sin B cos C =sin C sin A +B ,∵A +B =π-C , ∴sin A sin B cos C =sin 2C ,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab，由正弦定理得ab ⋅a 2+b 2-c 22ab =c 2，整理得a 2+b 2c 2=3 ，即a 2+b 2c 2为定值．12.(2023春·江苏南通·高三校考开学考试)如图，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是等边三角形，BC =2，AD =7.(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值.【解析】(1)取BC 中点O ，连接OA ，OD ，因为△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，所以OA ⊥BC .因为△BCD 是等边三角形，所以OD ⊥BC .OA ∩OD =O ，OA ⊂平面AOD ，OD ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD .因为AD ⊂平面AOD ，故BC ⊥AD .(2)在△AOD 中，AO =1，OD =3，AD =7，由余弦定理可得，cos ∠AOD =-32，故∠AOD =150°.如图，以OA ，OB及过O 点垂直于平面ABC 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，可得D -32,0,32 ，所以BD =-32,-1,32 ，CB =0,2,0 ，AB =-1,1,0 ，设n=x 1,y 1,z 1 为平面ABD 的一个法向量，则n ⋅AB =0n ⋅BD =0 ，即-x 1+y 1=0-32x 1-y 1+32z 1=0，令x =3，可得n=3,3,5 .设m=x 2,y 2,z 2 为平面BCD 的一个法向量，则m ⋅CB =0m ⋅BD =0 ，即2y 2=0-32x 2-y 2+32z 2=0，令x 2=3，可得m=3,0,3 .所以cos n ,m =3+0+1531×12=39331，故平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为39331.13.(2023秋·山东菏泽·高三统考期末)在①sin π2+C -12cos B=sin C tan B ；②S =32AB ⋅CA ；③ctan A =-c +2b tan C ．三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．且满足______．(1)求A 的大小；(2)设△ABC 的面积为6，点D 为边BC 的中点，求AD 2的最小值．【解析】(1)选①，由sin π2+C-12cos B =sin C tan B ，化简得：cos C -12cos B =sin C ⋅sin Bcos B，所以2cos B cos C -1=2sin C sin B ，即cos B +C =12，在△ABC 中，cos B +C =-cos A =12，cos A =-12，因为A ∈0,π ，所以A =2π3；选②，S =32AB ⋅CA =32bc cos π-A =12bc sin A ，所以tan A =-3，因为A ∈0,π ，所以A =2π3；选③，ctan A =-c -2b tan C ，由正弦定理和切化弦得sin C sin A cos A=-sin C -2sin B sin Ccos C ，在△ABC 中，sin C ≠0，所以-2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin A +C =sin B ，在△ABC 中，sin B ≠0，因为A ∈0,π ，所以cos A =-12，得A =2π3；(2)由S △ABC =6=12bc sin A ，得bc =83，由AD =AB +12BC ，有AD =12AB +12AC ，所以AD 2=14AB 2+12AB ⋅AC +14AC 2=14c 2+14b 2+12bc -12 ≥2116b 2c 2-14bc =14bc =23，当且仅当b 2=c 2=83时，等号成立，所以AD 2的最小值为23．14.(2023·全国·高三专题练习)如图，P 为△ABC 内的一点，∠BAP 记为α，∠ABP 记为β，且α，β在△ABP 中的对边分别记为m ，n ，2m +n sin β=3n cos β，α，β∈0,π3.(1)求∠APB ；(2)若AB =23，BP =2，PC =3，记∠APC =θ，求线段AP 的长和△ABC 面积的最大值.【解析】(1)已知2m +n sin β=3n cos β，由正弦定理可得2sin α+sin β sin β=3sin βcos β，由sin β≠0，所以2sin α+sin β=3cos β，即sin α=32cos β-12sin β，所以sin α=sin π3-β.因为α，β∈0,π3 ，π3-β∈0,π3 ，所以α=π3-β，则α+β=π3，所以∠APB =π-α+β =2π3.(2)在△APB 中，由余弦定理得知：AB 2=AP 2+BP 2-2AP ⋅BP ⋅cos ∠APB ，即12=AP 2+4+2AP ，因为AP >0，所以AP =2.因为∠APB +∠BPC +∠APC =2π，所以∠BPC =2π-2π3-θ=4π3-θ.S △ABC =S △APB +S △APC +S △BPC=12×AP ×BP ×sin ∠APB +12×AP ×CP ×sin ∠APC +12×BP ×CP ×sin ∠BPC =12×2×2×sin 2π3+12×2×3×sin θ+12×2×3×sin 4π3-θ =3+3sin θ+sin 4π3-θ =3+3sin θ+sin 4π3cos θ-cos 4π3sin θ =3+3sin θ-32cos θ+12sin θ =3+332sin θ-32cos θ =3+3sin θ-π6 ，0<θ<π.因为，-π6<θ-π6<5π6，所以，当θ-π6=π2，即θ=2π3时，△ABC 面积有最大值3+3.15.(2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a =4且cos2A -cos2B =2sin C sin B -sin C .(1)若c =3，求sin C ；(2)若BC 边上的高是AH ，求BH 的最大值.【解析】(1)由cos2A -cos2B =2sin C sin B -sin C 可得：1-2sin 2A -1+2sin 2B =2sin C sin B -2sin 2C ⇒sin 2B +sin 2C -sin 2A =sin B sin C ，即：b 2+c 2-a 2=bc ⇒b 2+c 2-a 22bc=12.即cos A =12，又A ∈0,π ，∴A =π3，由正弦定理得：sin C =c sin Aa=3×324=338.(2)由题意，BH =BA cos B =2R sin C cos B =833sin C cos 2π3-C =4sin 2C -433sin C cos C =2-233sin2C +2cos2C =2-433sin 2C +π3，∵C ∈0,2π3 ⇒2C +π3∈π3,5π3，∴2C +π3=3π2⇒C =7π12时，BH 取得最大值2+433.16.(2023秋·江苏南通·高三统考期末)已知四边形ABCD 内接于圆O ，AB =3，AD =5，∠BAD =120°，AC 平分∠BAD .(1)求圆O 的半径；(2)求AC 的长.【解析】(1)如图，在圆O 中，连接BD ，在△ABD 中，由余弦定理得：BD 2=AB 2+AD 2-2AB ⋅AD ⋅cos120°=9+25-2×3×5×-12=49，所以BD =7，设圆О半径为R ，由正弦定理得：∴2R =BD sin120°=732=1433，所以半径R =733；(2)由余弦定理得cos ∠ADB =AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD =25+49-92×5×7=1314，由于∠ADB ∈0,π ，所以sin ∠ADB =1-cos 2∠ADB =3314，因为AC 平分∠BAD ，所以∠BDC =∠BAC =12∠BAD =60°，所以sin ∠ADC =sin ∠ADB +60° =sin ∠ADB ⋅cos60°+cos ∠ADB ⋅sin60°=3314×12+1314×32=437，由正弦定理得AC sin ∠ADC=2R =1433⇒AC =1433×437=8.17.(2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c -a =2b cos A ．(1)求B 的大小；(2)若b =3，①求a +c 的取值范围；②求aca +c的最大值．【解析】(1)因为2c-a=2b cos A,又asin A=bsin B=csin C,所以2sin C-sin A=2sin B cos A,所以2sin(A+B)-sin A=2sin B cos A,所以2sin A cos B-sin A=0,因为A∈0,π,sin A≠0,所以cos B=12,∵B∈0,π，可得B=π3.(2)①根据余弦定理a2+c2-b2=2ac cos B得a2+c2-ac=9,得(a+c)2=9+3ac，因为ac≤(a+c)24,所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，结合a+c>3，所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)，②设t=a+c,则t∈(3,6],所以aca+c=t2-93t,设f(t)=t2-93t=13t-9t,则f(t)在区间(3,6]上单调递增,所以f(t)的最大值为f(6)=32,所以aca+c的最大值为32.18.(2023·安徽马鞍山·统考一模)已知条件：①tan B+tan Ctan B=2ab；②1+sin2C-cos2C1+sin2C+cos2C=3；③3a=2c sin B+π3.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，c=32，求a2+b2的取值范围.【解析】(1)选择条件①tan B+tan Ctan B=2ab：tan B+tan Ctan B=sin B cos C+cos B sin Csin B cos C=sin(B+C)sin B cos C=sin Asin B cos C=ab cos C，所以ab cos C=2ab，于是cos C=12，又C∈(0,π)，所以C=π3.选择条件②1+sin2C-cos2C1+sin2C+cos2C=3：因为1+sin2C-cos2C1+sin2C+cos2C=2sin C cos C+2sin2C2sin C cos C+2cos2C=2sin C(cos C+sin C)2cos C(cos C+sin C)=tan C，解得tan C=3，又C∈(0,π)，所以C=π3.选择条件③3a=2c sin B+π3：则3a=c(sin B+3cos B)，由正弦定理得：3sin A=sin C sin B+3sin C cos B，即3sin(B+C)=sin C sin B+3sin C cos B，整理得：3sin B cos C=sin C sin B，由sin B ≠0得：tan C =3，又C ∈(0,π)，所以C =π3.(2)由(1)知，C =π3，B =2π3-A ，△ABC 为锐角三角形，所以π6<A <π2，由正弦定理a sin A=b sin B =c sin C =1，得a =sin A ，b =sin B ，于是，a 2+b 2=sin 2A +sin 2B =sin 2A +sin 22π3-A =1-cos2A 2+1-cos 4π3-2A 2=1-12cos2A +cos 4π3-2A =1-1212cos2A -32sin2A 化简得，a 2+b 2=1+12sin 2A -π6，因为π6<A <π2,所以π6<2A -π6<5π6，所以12<sin 2A -π6 ≤1，54<1+12sin 2A -π6 ≤32，故a 2+b 2的取值范围为54,32 .。

解三角形知识点总结及典型例题

课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的正弦公式,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.2两角和与差的余弦公式,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ3两角和、差的正切公式tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 默写上述公式，检查上次的作业课本上的!解三角形知识点总结及典型例题2+=(A x c恒成立，所以其图像与x轴没有交点。

中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是=30A；︒B；=30︒S=ABC题型4 判断三角形形状5] 在【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

解三角形方法与技巧例题和知识点总结

解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。

解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。

三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。

解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。

二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。

正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。

首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。

然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。

同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。

例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。

由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。

解三角形(总结+题+解析)

解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。

高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解

高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：（1）222cos 2b c a A bc+−=① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角；当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A（2）()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）()12S a b c r =++⋅ （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：()12S p a b c ==++（5）向量方法：()()22S a ba b=⋅−⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==−S ∴=cos a b ab C ⋅=∴ ()()22S a b a b =⋅−⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =− 4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。

专题18 解直角三角形问题(解析版)

专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾α sin αcosαtan αcot α0° 0 1 0 不存在30° 12 32 33 345°22 22 1160° 32 12 333 90° 1不存在三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。

3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

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解三角形的应用举例考纲解读 1.利用正、余弦定理解决实际问题中的距离、高度及方向问题；2.利用正、余弦定理解决多边形的计算问题．[基础梳理]实际问题中的常用术语例：①北偏东m °②南偏西n °设坡角为α，坡度为i ，则i ＝hl＝tan α[三基自测]1．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积公式可表示为( ) A ．S ＝12ab sin AB ．S ＝12bc cos AC ．S ＝12a 2sin A sin Csin BD ．S ＝12a 2sin B sin Csin A答案：D2．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB 为( )A.4003 m B.4003 3 m C.2003 3 m D.2003m 答案：A3．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km 答案：B4．(必修5·1.2例题改编)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．答案：6[考点例题]考点一测量高度问题|方法突破[例1] (1)某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如下图所示)，则旗杆的高度为__________米．( )A．103B．203C．20 D．30(2)测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m[解析](1)如图所示，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知CBsin∠CPB＝PBsin∠PCB，∴BP＝CBsin∠CPB·sin∠BCP＝203米，∴在Rt△BOP中，OP＝PB·sin∠PBO＝203×32＝30米，即旗杆的高度为30米．(2)设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.[答案](1)D(2)D[方法提升]方法解读平面图形法把所求问题转化为同一垂面内的三角形空间图形法所求问题与已知条件不在同一个平面内的三角形[母题变式]本例(1)的条件变为观测点C、B与旗杆底部O在地面的同一直线上．求旗杆高度．解析：由题意可知 ∠PCB ＝∠CPB ＝30°， ∴PB ＝BC ＝10 6. 在Rt △POB 中，sin 60°＝PO PB， ∴PO ＝106×32＝152(米)．考点二测量距离问题|模型突破[例2] (1)如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为__________ km.(2)如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B 、C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A 、B 两点之间的距离为________．(其中cos 48.19°取近似值23)[解析] (1)因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49，故AC ＝7. (2)依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠ACB ＝10，所以AB ＝10. [答案] (1)7 (2)10 [模型解法][高考类题](2018·合肥模拟)如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝100 m ．试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到1 m ，2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449)．解析：在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝100 m ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝50(32＋6)≈335，因此BD ≈335 m ，所以B ，D 间的距离与B ，A 间的距离相等，约为335 m.考点三测量角度问题|易错突破[例3] 某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．[解析] 如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B 、C 、D 在一直线上，且AD ＝20，AC ＝20.由题意AB ＝20(3＋1)，DC ＝202， BC ＝(3＋1)·10 2.在△ADC 中，∵DC 2＝AD 2＋AC 2， ∴∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32.∴∠BAC ＝30°，又∵B 位于A 南偏东60°， 60°＋30°＋90°＝180°，∴D 位于A 的正北方向，又∵∠ADC ＝45°，∴台风移动的方向为向量CD →的方向，即北偏西45°方向． [易错提醒]求角度要注意角度的范围，同时理解各种实际角度的概念(如坡度、方向角、方位角)与三角形内角的关系．[纠错训练]在中国南海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘外籍船；在A 处北偏西75°方向，距离A 处2海里的C 处的中国海监船奉命以103海里/小时的速度追截外籍船．同时外籍船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问中国海监船沿什么方向能最快追上外籍船？最少要用多少时间？解析：如图，设中国海监船t 小时后在D 处追上外籍船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t . 在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°. 利用余弦定理可得BC ＝ 6. 由正弦定理，得sin ∠ABC ＝ AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22， ∴∠ABC ＝45°，因此BC 与正北方向垂直．于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12，得∠BCD ＝30°，又CD sin120°＝BC sin 30°，即103t 3＝6，得t ＝610.所以当中国海监船沿东偏北30°的方向能最快追上外籍船，最少要花610小时． [真题感悟]1. [考点二](2014·高考四川卷)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案：C2.[考点一](2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝__________ m.解析：依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理可得600sin 45°＝BC sin 30°，即BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan 30°＝CD BC ＝CD 3002，所以CD ＝100 6 m. 答案：10063. [考点一](2014·高考新课标全国卷Ⅰ改编)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解析：在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN＝150，即山高MN为150 m.在△MNA中，。