低通滤波算法设计 左函未

1 设计目的1.掌握图像频域增强的概念及其计算方法。

2.熟练掌握傅立叶变换和卷积的计算过程。

3.熟练掌握频域滤波中常用的Butterworth低通滤波器。

4.利用MATLAB程序进行图像增强。

5.加深理解和掌握图像频谱的特点和频域低通滤波的原理。

2 设计方案频域增强是利用图像变换方法将原来的图像空间中的图像以某种形式转换到其它空间中，然后利用该空间的特有性质方便地进行图像处理，最后再转换回原来的图像空间中，从而得到处理后的图像。

频域增强的主要步骤是：(1) 选择变换方法，将输入图像变换到频域空间；(2) 在频域空间中，根据处理目的设计一个低通转移函数并进行处理；(3) 将所得结果用反变换得到图像增强。

3 设计内容3.1低通滤波器的设计原理图像在传递过程中，由于噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器H(u，v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。

在傅里叶变换域中，变换系数能反映某些图像的特征，如频谱的直流分量对应于图像的平均亮度，噪声对应于频率较高的区域，图像实体位于频率较低的区域等，因此频域常被用于图像增强。

在图像增强中构造低通滤波器，使低频分量能够顺利通过，高频分量有效地阻止，即可滤除该领域内噪声。

由卷积定理，低通滤波器数学表达式[3]为：G(u,v) = F(u,v)H(u,v)（1）式中，F(u,v)为含有噪声的原图像的傅里叶变换域；（2）H(u,v)为传递函数；G(u,v)为经低通滤波后输出图像的傅里叶变换。

假定噪声和信号成分在频率上可分离，且噪声表现为高频成分。

H 滤波滤去了高频成分，而低频信息基本无损失地通过。

图像增强的方法分为空域法和频域法两种，空域法是对图像中的像素点进行操作，用公式描述如下：G(x,y)=F(x,y) H(x,y)其中是F(x,y)原图像；H(x,y)为空间转换函数；G(x,y)表示进行处理后的图像。

频域法是间接的处理方法，是先在图像的频域中对图像的变换值进行操作，然后变回空域。

例如,先对图像进行傅里叶变化到频域，再对图像的频谱进行某种滤波修正，最后将修正后的图像进行傅里叶反变化到空域，以此增强图像。

可用图1来描述该过程。

将修正后的图像进行傅里叶反变化到空域，以此增强图像。

可用图1来描述该过程。

图1 频域增强模型图2 算法设计流程选择合适的传递函数H(u,v)对频域低通滤波关系重大。

常用频率域低滤波器H(u ，v)有四种：正变换 修正H （U ，V ） 逆变换f （x,y ） F(u,v) G(u,v)g(x,y)设傅立叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为D0，则理想低通滤波器的传递函数为：(3.1-1)式中，D(u,v)=(u 2+v 2)1/2 表示点(u,v)到原点的距离，D 0 表示截止频率点到原点的距离。

滤波后，如图。

3.1.2 Butterworth 低通滤波器n 阶Butterworth 滤波器的传递函数为：（3.1-2）它的特性是连续性衰减，而不像理想滤波器那样陡峭变化。

1(,)(,)0(,)D u v DH u v D u v D ≤⎧=⎨>⎩201(,)(,)1nH u v D u v D =⎡⎤+⎢⎥⎣⎦图3.1 理想低通滤波器应用实例指数低通滤波器是图像处理中常用的另一种平滑滤波器。

它的传递函数为：（3.1-3）滤波后,如图。

图3.2 高斯低通滤波器应用实例在图像处理中，高斯滤波一般有两种实现方式，一是用离散化窗口滑窗卷积，另一种通过傅里叶变换。

最常见的就是第一种滑窗实现，只有当离散化的窗口非常大，用滑窗计算量非常大（即使用可分离滤波器的实现）的情况下，可能会考虑基于傅里叶变化的实现方法。

3.1.4 梯形低通滤波器梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折中。

它的传递函数为：（2.3-4） 01010101(,)(,)(,)(,)0(,)D u v D D u v D H u v D D u v D D D D u v D ⎧<⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪>⎩(,)(,)n D u v D H u v e-=3.2 源程序代码3.2.1理想低通滤波器实践代码：I=imread('E:\asdf.jpg'); %读取一个图像%I=rgb2gray(I);subplot(221),imshow(I); %将显示区划分为2乘2 将原始图片显示在第一个区域内title('原图像');s=fftshift(fft2(I)); %将图像进行傅里叶转换，进行傅里叶平移subplot(223),imshow(abs(s),[]); %所得图像显示在3区域内title('图像傅里叶变换所得频谱');subplot(224),imshow(log(abs(s)),[]);title('图像傅里叶变换取对数所得频谱');[a,b]=size(s); %读取图像参数a0=round(a/2); %数据圆整b0=round(b/2); %数据圆整%低通滤波参数设置d=10; %截止频率for i=1:afor j=1:bdistance=sqrt((i-a0)^2+(j-b0)^2);if distance<=d h=1;else h=0;end;s(i,j)=h*s(i,j);end;end;s=uint8(real(ifft2(ifftshift(s)))); %将图像进行低通滤波subplot(222),imshow(s);title('低通滤波所得图像');I=imread('couple.bmp');Hd=ones(size(I));Hd(r>0.2)=0;figuresurf(Hd,'Facecolor','interp','Edgecolor','none','Facelighting','phong');% 画三维曲面（色）图3.2.2 Butterworth低通滤波器实践代码：clear all;I1=imread(‘kids.tif'); %读取一个图像subplot(221),imshow(I1); %将显示区划分为2乘2 将原始图片显示在第一个区域内xlabel('(a)原始图像');f=double(I1); %数据转换为双精度类型g=fft2(f); %图像傅里叶转换g=fftshift(g); %傅里叶变换平移F2=log(abs(g)); %对傅里叶变换结果取绝对值，然后取对数subplot(223),imshow(F2,[],'InitialMagnification','fit'); %将计算后的矩阵用图像表示colormap(jet); %设置色彩索引图colorbar %显示色彩索引条xlabel('(b)原始图像的傅里叶变换图像');[N1,N2]=size(g); %傅里叶变换图像尺寸n=2; %参数赋初始值d0=5; %截止频率n1=fix(N1/2); %数据圆整n2=fix(N2/2); %数据圆整for i=1:N1 %遍历图像像素for j=1:N2d=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2); %点（i,j）到平面原点的距离if d==0h=0;elseh=1/(1+(d/d0)^(2*n)); %低通滤波函数endresult(i,j)=h*g(i,j); % 图像矩阵计算处理endendF3=log(abs(result)); %对傅里叶变换结果取绝对值，然后取对数subplot(224),imshow(F3,'InitialMagnification','fit');colormap(jet); %设置色彩索引图colorbar %显示色彩索引条xlabel('(c)滤波后的傅里叶变换图像')result=ifftshift(result);X2=ifft2(result);X3=uint8(real(X2)); %显示无符号8位数，即256级的灰度图像subplot(222),imshow(X3)xlabel('(d)Butterworth低通滤波图像');I1=imread('kids.tip');[f1,f2]=freqspace(size(I1),'meshgrid');D=0.3;r=f1.^2+f2.^2;n=4;for i=1:size(I1,1)for j=1:size(I1,2)t=r(i,j)/(D*D);Hd(i,j)=1/(t^n+1);endendfiguresurf(Hd,'Facecolor','interp','Edgecolor','none','Facelighting','phong');% 画三维曲面（色）图3.2.3 高斯低通滤波器实践代码：IA=imread('D:\laoshi.jpg'); %读取一个图像[f1,f2]=freqspace(size(IA),'meshgrid'); %读取图像参数D=100/size(IA,1); %赋初始值给Dr=f1.^2+f2.^2; %计算低通频率r范围Hd=ones(size(IA)); %将图像数字矩阵数据化为1for i=1:size(IA,1) %遍历图像for j=1:size(IA,2)t=r(i,j)/(D*D);Hd(i,j)=exp(-t);endendY=fft2(double(IA)); %将图像进行傅里叶变换Y=fftshift(Y); %将频域原点移到图像中心Ya=Y.*Hd; %滤波，矩阵点乘Ya=ifftshift(Ya); %将图像进行反傅里叶变换Ia=real(ifft2(Ya)); %保存变换后的实部figuresubplot(2,2,1),imshow(uint8(IA));title('原图像');subplot(2,2,2),imshow(uint8(Ia));title('高斯低通滤波处理');figuresurf(Hd,'Facecolor','interp','Edgecolor','none','Facelighting','phong');% 画三维曲面（色）图3.2.4梯形低通滤波器实践代码：IA=imread('kids.tip');IB=imread('kids.tip'); %读取一个图像[f1,f2]=freqspace(size(IA),'meshgrid'); %读取该图像的参数%D=100/size(IA,1);D0=0.1; %设置初始D0值D1=0.4; %设置初始D1值r=sqrt(f1.^2+f2.^2); %计算频域内低通滤波阈值Hd=zeros(size(IA)); %将图像数字化矩阵化为0Hd(r<D0)=1; %遍历图像for i=1:size(IA,1)for j=1:size(IA,2)if r(i,j)>=D0 & r(i,j)<=D1Hd(i,j)=(D1-r(i,j))/(D1-D0);endendendY=fft2(double(IA)); %将IA图像进行傅里叶转换Y=fftshift(Y); %将频域原点移动到图像中心Ya=Y.*Hd; %滤波，矩阵点乘Ya=ifftshift(Ya); %将图像进行反傅里叶变换Ia=real(ifft2(Ya)); %保存变换后的实部figuresubplot(2,2,1),imshow(uint8(IA));subplot(2,2,2),imshow(uint8(Ia));figuresurf(Hd,'Facecolor','interp','Edgecolor','none','Facelighting','phong');% 画三维曲面（色）图4 功能仿真图4.1 理想低通滤波器实践结果截图：图4.1 理想低通滤波器滤波后图4.2 理想低通滤波器三维曲面图4.2 Butterworth低通滤波器实践结果截图：图4.3 Butterworth低通滤波器滤波后图4.4 Butterworth低通滤波器三维曲面图图4.5 高斯低通滤波器滤波后图4.6 高斯低通滤波器三维曲面图图4.7 梯形低通滤波器滤波后图4.8 梯形低通滤波器三维曲面图5分析1.理想低通滤波器由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。