工程数学场论

div A 0 表明该点处无源,
若向量场 A 处处有 div A 0, 则称 A 为无源场.
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定理: 在直角坐标系中，矢量场
A P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
在任一点M(x, y, z)的散度为
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2. 数量场的等值面
在数量场
中，称曲面
为该
Hale Waihona Puke Baidu
数量场的等值面. 在平面场
中，称曲线
为它的等值线,如等温线、等高线等.
等值面
等值线
由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有
一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间，
而工且程互数学不-----相----矢交量.分析与场论
通量 A d l P dx Q dy R dz
工程数学---------矢量分析l 与场论
l
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例1. 设有平面矢量场 A y i x j,
y
l 为场中的星形线 x R cos3 ,
y R sin3 , 求 A沿l正向的环量 .
R
o
x
解: A d l y dx x dy
1) grad u : 模 : u 的最大变化率之值
u 2) l grad u l0 gradl u 3) grad u M为等值面 u(x, y, z) C
n grad u
在点 M 处的法向量，指向数量场 u(M) 增大的一方.
M uC
注：矢量场 grad u称为由数量场u产生的梯度场.
例4. 作出数量场 u xy 所产生的梯度场的矢量线.
解: 数量场 u xy 所产生
的梯度场为
grad u y i x j
其矢量线满足微分方程
dx dy yx
所以矢量线方程为：
x2 y2 C
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第三节 矢量场的通量与散度
r x i y j x i (x2 1) j
它在点 P 的切向量为
r P (i 2x j) P i 4 j
cos 1 ,
17
cos 4
17
yP o 1 2 x
u u s M l M
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60 17
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2. 梯度 定义：设有矢量场u u(x, y, z),在点 M (x, y, z) 处,
简单曲线: 没有重点的连续曲线；
简单曲面: 没有重点的连续曲面；
1.通量
定义：设有矢量场 A(M ) ，沿其
中有向曲面S某一侧的曲面积分
A dS
S
叫做矢量场 A 向积分所沿一侧
穿过曲面S的通量.
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S
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通量的表示
设 A P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
A d S 0
S
推论3：若在矢量场 A 内某些点上有div A 0，或
div A不存在，而在其他点上div A 0，则穿出包围
这些点的任一封闭曲面的通量都相等.
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例2. 求矢量场
A (3x2 2yz)i ( y3 yz2 ) j (xyz 3xz2 ) k
u l
M0
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定理1:若函数 u u(x, y, z) 在点 M0 (x0 , y0 , z0 )处可微，
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
u u cos u cos u cos
l x
y
z
证明: 由函数 u(x, y, z)在点 M0 可微 , 得 u u x u y u z o() x y z
解: 由基本公式得
div r div r grad r
由于
div r div(x i y j z k ) 3
grad grad exyz exyz ( yz i xz j xy k )
故
div r 3exyz exyz 3xyz
3(1 xyz)exyz
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3.矢量场的矢量线 矢量线: 设 C 为矢量场
中的曲线，如果C
上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.
设
为曲线上一点，
r OM xi yj zk
d r dxi dyj dzk
A
因为 d r A , 所以矢量线满足
dx dy dz Ax Ay Az
第二章 场 论
第一节 场
1. 场: 如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着 某个物理量的一个确定的值，则称在该空间定义了关于 该物理量的一个场. 如果该物理量是数量，称它为数量 场；如果该物理量是矢量，称它为矢量场或向量场. 分别用
及
表示.
与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.
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又 dS d y d zi d z d xj Rdx d yk
所以通量为
A dS P d y d z Q d z d x Rdx d y
S
S
通量的物理意义
当 > 0 时, 表明S 内有正源; 当 < 0 时, 表明S 内有负源 ; 当 = 0 时, 不能判定S内有无源.
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div A P Q R A x y z
证明：由奥-高公式
A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S
S
(
P x
Q y
R z
)
d
v
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又由中值定理得
( P x
Q y
R ) z
dV
P
x
s M M0
M M0
M0M
MC M0
存在，则称此极限为
在点 处沿曲线C(正向)的
方向导数，记作
u s
M0
定理2:若在点 M (x, y, z)处函数u u(x, y, z) 可微、
曲线C光滑，l 为 C 在 M处 的切线方向（正向）， 则
u u
s 工程数学---------矢量分析与场论
l
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l
l
2 R sin3 d(R cos3 ) R cos3 d(R sin3 ) 0
2 (3R2 sin4 cos2 3R cos4 sin2 )d 0
3R2 2 sin2 cos2 d 3 R2
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f
(r)
1
r
f (r) r0
x
r
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第二节 数量场的方向导数与梯度
1.方向导数
定义1：设
M
是数量场u
0
u(M
)
中的一点，若沿方向 l
l
lim u lim u(M ) u(M 0 )
M M0
M M0
M0M
存在，则称此极限为 在点
M M0
处沿 l 方向的方向导数，记作
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A AM
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例1. 求矢量场 A (z y)2 i zj yk 过点 (1, 2,1)
的矢量线方程.
解：矢量线所满足的微分方程为
dx dy dz (z y)2 z y
由 dy dz 得
zy
y 2 z 2 c1
dx d ( y z)
又由合比定理
(z y)2 z y
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可得 dx ( y z)d( y z)
有
2x (y z)2 c2
将点 (1, 2,1) 代入
2
x
y2 (
y
z
2 z)2
c1
c2
得 c1 c2 3
所以所求矢量线方程为：
y2 z2 3 2x ( y z)2 3
例1. 设 n 是曲面 2z xy 0 在点 M (2,3,3)处指向下侧 的法向量，求函数 u xyz 在点M处沿 n 的方向导数 .
解: 法向量为 (y, x, 2) M (3 , 2 , 2)
所以
n (3 , 2 , 2)
方向余弦为 cos 3 , cos 2 , cos 2
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运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
u vu uv
(5) ( )
v
v2
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例3.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 M (2,-1,1)
的梯度。
解:
div
A
P
Q
R
6x 3y2 z2 xy 6xz
x y z
令 u div A
grad
u
i
u
j
u
k
u
x y z
(6 y 6z)i (6y x) j (2z 6x)k
grad u M i 4 j 14k
Q y
R z
M*
V
其中 M *为 中的某一点, 所以
div A lim M V
P Q R
lim
M
x
y
z
M*
P Q R x y z
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推论1：奥-高公式的矢量形式
A d S div Ad v
S
推论2：若在封闭曲面 S 内处处有 div A 0，则
17
17
17
而 u yz 9, u 6, u 6
x M
M
y M
z M
所以
u n
M
(u cos
x
u cos
y
u cos )
z
M
27 17
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例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用矢量形式表示为
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第四节 矢量场的环量及旋度
1.环量
定义：设有矢量场 A(M ) ，沿其中 l
封闭有向曲线 l 的曲线积分
Adl
A l
l
叫做矢量场 A 按积分所取方向沿曲线 l 的环量.
表示 A P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
d l dx i dy j dz k
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散度的运算公式
(2) (CA) C A (4) (uA) u A u A
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例3. 已知 exyz , r x i y j z k , 求 div r.
(u cos u cos u cos ) o()
x
y
z
故 u lim u u cos u cos u cos
l 0 x
y
z
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定义2：设
M
是数量场u
0
u(M
)
l
中的一点，若沿曲线C 之正向
lim u lim u(M ) u(M 0 )
S
3d x d y d z H 3
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2.散度
定义：设有矢量场 A(M ) ，若
lim
lim
A dS
S
M V M V
存在，则称此极限为 在点 处的散度，记作 div A.
说明: 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, 散度绝对值的大小 div A 0 表明该点处有负源, 反映了源的强度.
称向量 G u i u j u k 为数量场 u(M) 在 x y z
点 M 处的梯度, 记作 gradu,即
grad u u i u j u k x y z
引入哈密顿算子：
有
grad u u
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性质： 方向：u 变化率最大的方向
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例1. 设由矢径 r x i y j z k
z
构成的矢量场中，有一由圆锥面
H
x2 y2 z2 及平面 z H (H 0) 所围成的封闭曲面S, 试求 r 从S内
r
o
y
穿出S的通量.
x
解: 由奥-高公式
r d S
S
x d y d z y d x d z z d x d y