换元法求函数值域

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换元法求值域

解：变形为 u
3 4
x2
x
3 4
(
x
2)2 3
1 3
，而由
y2
x
x2 4
0得
x [0, 4] ；所以
u x2 y2 值域为[0,16].
四、换元法
换元法是求函数值域的重要方法，其目的是通过换元把复杂的函数化为常见、简单的函数.
（一）一般换元
1.形如 y a[ f (x)]2 bf (x) c(a 0) 或可化为此形的
于是 r2
1
2
3 2
sin 2
[72 , 2] ，所以
f
(x,
y)
x2
y2
r2
[
2 7
, 2].
5.形如 y ax b k cx2 dx e 及其变式的
686
典型例题：求函数 y 2x 1 2 x2 2x 3 的值域.
解：函数化为 y 2x 1 2
4 (x 1)2
，设
设 f (x) t 化为二次函数的条件值域，然后再求.
典型例题：若 f (x) 1 log2 x(1 x 4) ，求函数 g(x) f (x2 ) [ f (x)]2 的值域.
解：变形为
g(x)
log
2 2
x
4 log2
x
2
；因为
f
(x)
的定义域为[1, 4] ，则
f
(x2 )
的定义
域为[2, 1] [1, 2] ，[ f (x)]2 的定义域为[1, 4] ，所以 g(x) 的定义域为[1, 2] .设 log2 x t ，
1.若
x,
y
R
，且
x

函数值域的常见求法8大题型(解析版)

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

用换元法求函数值域

1用换元法求函数值域【自我诊断】1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1的值域为_________．【答案】(0，1]．2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________．【答案】[72，＋∞)．【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)．方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________．【答案】[3，＋∞)．【解析】f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)．4.函数y ＝e x3＋e x的值域为___________．【答案】(0，1)．【解析】f (x )的定义域是R ，令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)，则y ＝t －3t ＝1－3t ，由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t∈(0，1)．函数y ＝e x3＋e x的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x3＋e x的值域为___________．【答案】(－∞，0)．6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．2 【答案】[－494，＋∞)．【解析】令t ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，x ∈R ，则t ∈[－2，＋∞)，y ＝t 2＋3t －10＝(t ＋32)2－494，t ∈[－2，＋∞)，在[－2，－32]单调减，在[－32，＋∞)单调增，当t ＝－32，y ＝－494．函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是[－494，＋∞)．【跟踪训练】1．（1）y ＝x ＋x －1的值域是________；（2）y ＝x －x －1的值域是________．【答案】（1）[1，＋∞)；（2）[34，＋∞)．2．函数y ＝2e x3＋e x 的值域为___________．【答案】(0，2)．。

换元法求函数值域

换元法求函数值域某些函数能够利用代数或三角代换将其化成值域简单确立的另一函数，进而求得原函数的值域，其题型特点是函数分析式含有根式或三角函数公式模型。

形如 y ax bcxd (a 、 b 、 c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，能够令 t = cx d (t0), 则有 t 2cx d ∴ xt 2 d∴ y a t 2 db t ；进而就把原函数化cc成了对于 t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数 t 的取值范围。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中相同发挥侧重要的作用。

例 1、求函数 y 3x 1 3x 的值域。

剖析：函数 y3x1 3x 形如 y axbcx d (a 、b 、c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，所以，能够考虑用换元法。

解：令 t13x(t0) ，则 t 21 3x1 t 2∴ x3∴原函数可化为 y31t 2 t = t 2 t 1= (t 1)2 5324∴ 其函数图像如图 1 所示 ∴当 t1时，即 x1 时245y 获得最大值 y max = , 无最小值。

∴函数 y 3x 1 3x 的值域为（ -∞，5] 。

4例 2、求函数 y 4x 12x 3 的值域。

解：[换元法]令 t 2x 3t 2 3(t 0) ，则 x2∴原函数可化为 yt 23 1 t 2t 2t1 )2 39425 2(t84∵t 0∴当 t0时，即 x 3时， y 获得最小值y min =5，无最大值。

2∴函数 y4x12x 3的值域为 [ 5，+∞）。

例 3、求函数 y x1x2的值域。

[4]剖析：函数y x1x2的定义域为 [-1， 1] ，我们注意到 1 sin t 1 (t),所以,对于定义域为[-1，1]的函数,我们能够考虑用22x sin t (2t) 进行三角换元。

2解：函数y x1x2的定义域为 [-1 ，1] ，设 x sin t (t) ，22则原函数 y x1x2可化为y sin t cost = 2 sin(t)4∵t∴t324442看图像（图 2）可知2sin(t)124∴ 1 2 sin(t) 2 ∴1y24即原函数的值域为 [-1 ，2] 。

换元法求二次型函数的值域

换元法求二次型函数的值域作者：刘亚丽来源：《新校园·学习版》2009年第09期一元二次函数的值域非常重要,但在实际学习中,直接求二次函数的值域的情况并不是很多,相反,以其他函数为载体,需要转化成二次函数后再求值域的二次型问题却非常多,本文对如何使用换元法求常见的几种二次型函数的值域作一简单介绍.1.含有二次根式的二次型[分析]观察其中自变量x出现的位置及其指数的情况,可以发现加号前面的有理项中的x的次数是加号后面无理项中的 x 的次数的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),这两项构成了事实上的二次项和一次项的关系,因此可以使用换元法转化成二次函数的值域问题.说明:使用换元法的时候,无论在什么情况下,都要保证新的变元与换掉的代数结构的取值范围相一致,这围,以防出错.2.含有指数式的二次型例2:求函数 y =4 x + 2 x+1 +3的值域.[分析]根据指数式的运算法则,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x·2 1 = 2·2 x,因此可考虑把原函数看成是关于 2 x 的二次函数来解决问题.解:∵ y =(2 x)2 + 2·2 x+3,令2 x=t,则 t >0,且y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).∵t >0,∴y>(0+1)2+2=3.∴函数 y = 4 x+2 x+1 +3 的值域为( 3,+∞).3.含有对数式的二次型例3:求函数 y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.[分析]根据对数的运算法则,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函数看成是关于 log 2 x 的二次函数.解:∵y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,则 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).∴函数y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域为[1,+∞).4.含有特殊三角函数式的二次型例4:求函数 y = cos2x+4sinx 的值域.[分析]原函数是由两个不同名也不同角的三角函数相加而成,因此先要根据二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,将它们化成同角同名的三角函数.这样就可以把原函数看成是关于 sin x 的二次函数了.解:∵cos2x=1-2sin2x ,∴y=1-2sin2x+4sinx.令sinx= t,则-1≤ t ≤1,并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.∵-1≤t≤1,∴-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.∴函数 y = cos 2 x + 4 sin x 的值域为 [-5,3].说明:如果在一个关于三角函数的解析式中同时出现了 sinx ± cosx 和 sin x cos x 这样两种结构,并且除来确定.。

函数值域之换元法

综合理论课程教育研究292 学法教法研究换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。

一、一般换元法【例1】求函数的值域. 解：令，则且，函数的值域为【变式.重要公式：有着本质的联系！【例2】(2005福建)已知实数满足，求.● 反思: 角的范围为什么这么取？【变式1】求函数的最大值.答案：.【例4】(2009辽宁竞赛) 函数解：，令所以答案是.三、双换元【例5】求函数的值域.解：方法1：平方当时，；当或1时，.函数的值域为. 方法2：双换元令，则，其中，则解函数值域之换元法谢金辉（福建省晋江市内坑中学福建晋江 362200）【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02综合理论课程教育研究学法教法研究 293五、结论换元当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。

【例8】已知，且，求的取值范围. 解：设，令，六、小结通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学.【变式1】实数满足，设，求的最大值和最小值.解：设，则而《溶液中的离子反应》为化学反应原理三大“支柱”之一。

因其涵盖内容广，涉及化学反应原理的核心，成为高考化学的重要热点，该部分内容常以“溶液中离子浓度大小比较”形式呈现，其题型多为选择题，这种题型考查的知识点多、灵活性、综合性较强，有较好的区分度，它能很有效地考查学生对强、弱电解质、电离平衡、电离度、水的电离、pH 值、离子反应、盐类水解等基本概念的掌握。

高中数学函数值域求法十一种(详解)

智愛高中數學函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，Rx ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,215. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

简析求函数值域的方法(修订)

例说求函数值域的基本方法值域是全体函数值所构成的集合，值域也是构成函数的三要素之一。

由于求函数值域所涉及到的知识面较宽，所用到的数学思想与数学方法也相应较多，因此、求函数的值域往往是数学考察的基本内容之一，本文将举例说明求函数值域常用的一些基本方法，仅供参考。

一、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

例：求函数1y 的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、常数分离法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例：求函数125x y x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，∵72025x ≠+，∴12y ≠-， ∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

三、配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。

例．求函数562---=x x y 的值域解：由562---=x x y 44)3(2≤---=x ]4,(-∞∈∴y四、换元法：利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如)0,,,(≠-±-=a d c b a d cx b ax y 均为常数且。

例1．求函数x x y -+=12 的值域解：（换元法）设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y [)(]4,41,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下，对称轴y t t例2：求函数21x x y -+=的值域解：（三角代换法） 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x[][]2,12,1)4s i n (2s i n c o s s i n c o s -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设)0,cos (22,sin πθθπθπθ≤≤=≤≤-=a a 或设（2）若题目中含有122=+b a ，则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤ （3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0（4）若题目中含有21x +，则可设θtan =x ，其中22πθπ<<- （5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ，则可设θθ22sin ,cos r y r x == 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ五、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

函数值域的求法典例精讲

函数值域的求法典例精讲1、换元法：例1：函数()2f x x =-的值域是（）A.[)0,+∞ B.17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。

解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞ ()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（）A.()0,+∞ B.()()0,11,+∞ C.{}|1x x ≠ D.()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2xx f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞ ，所以可得()()30,11,ty =∈+∞ （2）如前文所说，()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域解：()()214282228xx xx f x +=--=-⋅-令2xt =[]2,2x ∈- 1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=--()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。

对11x x e e +-进行变形可得：12111x x xe e e +=+--，从而将1x e -视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：()100,xe x ->⇒∈+∞12111x x xe e e +=+-- 令1xt e =-()0,t ∴∈+∞()211,t ∴+∈+∞()1ln 0,1x x e y e +∴=∈+∞-答案：（1）B（2）[]9,0-（3）()0,+∞例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为（）A.[]18,2-- B.[]11,6-- C.[]18,6- D.[]11,2--思路：依题意可知()()()22222223log 3log log 4log 6g x x x x x =+-+=---，所以可将2log x 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是()g x 的定义域，由已知()f x 的定义域为[]1,4，则()()()22g x f xf x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为：21414x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈，而不是[]1,4解：()()22223log 3log g x x x =+-+()222232log log 6log 9x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222log 4log 6x x =---()f x 的定义域为[]1,4，且()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦21414x x ⎧≤≤∴⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈令2log t x =，则[]0,1t ∈()224622y t t t ∴=---=-+-[]11,6y ∴∈--，即()g x 的值域为[]11,6--答案：B 2、数形结合例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数()()()(),,M f x f x M f x M f x M≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数()22,20,121,0x x x f x M x ⎧--≤≤⎪==⎨->⎪⎩，则()M y f x =的值域为（）A.[]2,1- B.[]1,2- C.(],2-∞ D.(],1-∞-（2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}2min 23,1,53f x x x x =++-，则()f x 的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以y M =为分界线，()f x 图像在y M =下方的图像不变，在M 上方的图像则变为y M =，通过作图即可得到()M f x 的值域为[]2,1-（2）本题若利用{}min ,,a b c 的定义将()f x 转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()f x为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()f x 的最大值点为21y x =+与53y x =-在第一象限的交点，即211253x y x y y x=⎧=+⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以()max 2f x =答案：（1）A（2）2例5：已知函数()()()()222222,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，（其中{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x 的值域为A ，()2H x 的值域为B ，则A B = ______________思路：由()()12,H x H x 的定义可想到其图像特点，即若将()(),f x g x 的图像作在同一坐标系中，那么()1H x 为()(),f x g x 图像中位于上方的部分，而()2H x 为()(),f x g x 图像中位于下方的部分。

三角换元法求值域

三角换元法求值域什么是三角换元法三角换元法是一种常用的数学方法，用于求解含有三角函数的方程中的变量的范围，即求解该变量的值域。

三角换元法通过将方程中的变量通过三角函数的相关性质进行转换，从而简化方程的求解过程，得到变量的取值范围。

为什么需要三角换元法在数学中，我们常常遇到含有三角函数的方程，例如sin(x) = 0，cos(x) = 1等。

这些方程的解并非简单的数值，而是涉及到角度的取值范围。

为了求解这些方程，我们需要确定所涉及的变量的范围，即求解变量的值域。

三角换元法可以通过将方程中的变量通过三角函数的相关性质进行转换，从而将原始方程转化为一个新的方程，该方程中的变量的范围更加明确。

通过求解新的方程，可以得到原始方程中变量的值域。

三角换元法的基本原理三角换元法主要基于三角函数的性质进行变量的转换。

常用的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

以下是常用的三角函数的性质：1.sin(x)的值域为[-1, 1]，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

2.cos(x)的值域为[-1, 1]，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

3.tan(x)的值域为(-∞, +∞)，即tan(x) ∈ R。

基于以上性质，我们可以利用三角函数的相关性质进行变量的转换，从而求解变量的值域。

具体的步骤如下：Step 1: 观察原方程中的三角函数，确定需要进行的变量转换。

Step 2: 利用三角函数的性质，将原方程中的变量通过三角函数的相关公式进行转换。

Step 3: 得到转换后的方程，该方程中的变量的范围更加明确。

Step 4: 求解转换后的方程，得到变量的值域。

三角换元法的示例我们以一个简单的示例来演示三角换元法的步骤和过程。

考虑方程sin^2(x) + cos(x) = 1，我们需要求解变量x的值域。

Step 1: 观察原方程中的三角函数，确定需要进行的变量转换。

在该方程中，我们可以看到sin(x)和cos(x)两个三角函数。

换元法求值域

换元法是一种常用的函数求值域的方法，通过引入一个新的变量代替原函数中的表达式，从而将问题转化为容易求解的形式。

这种方法在处理一些复杂的函数时非常有效。

首先，我们需要理解换元法的思想。

换元法本质上是一种代数变形技巧，通过将原函数表达式中的变量替换为另一个变量，可以简化函数的表达式，从而更容易找到函数的值域。

在换元过程中，需要保证新旧变量之间存在明确的对应关系，并且新变量的取值范围应该在新函数的定义范围内。

接下来，我将通过一个具体的例子来说明如何使用换元法求值域。

假设我们要求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 4的值域。

方法一：引入新变量t将原函数表达式中的x替换为t，得到f(t) = 3t^2 - 2t + 4。

此时，我们需要找到一个合适的t 的取值范围，使得f(t)的值在范围内变动。

显然，当t的取值在原函数的定义域内时，f(t)的值也在定义域内。

因此，我们可以通过解二次方程来找到t的取值范围。

解二次方程得到t的取值范围为[1/6, +∞)，此时f(t)的值域为[7/3, +∞)。

方法二：利用基本不等式求值域我们还可以利用基本不等式来求值域。

由于f(x) = 3x^2 - 2x + 4是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x = 1/3，因此当x > 1/3时，f(x)单调递增；当x < 1/3时，f(x)单调递减。

因此，我们可以得到f(x)的值域为[f(1/3), +∞)。

由于f(1/3) = 7/3，因此f(x)的值域为[7/3, +∞)。

通过以上两种方法，我们可以得到函数f(x) = 3x^2 - 2x + 4的值域为[7/3, +∞)。

通过换元法，我们可以将一些复杂的函数问题转化为易于求解的形式，从而得到函数的值域。

这种方法的关键在于选择合适的变量和变形技巧，以便将原函数转化为易于求解的形式。

同时，还需要注意新旧变量之间的关系和取值范围，以确保求解的正确性。

除了上述例子中的二次函数外，换元法在处理其他类型的函数时也具有广泛的应用。

三角换元法求值域

三角换元法求值域一、引言三角换元法是高中数学中的一个重要概念，其在解决函数的值域问题时有着重要的应用。

本文将详细介绍三角换元法的概念、原理和具体步骤，并通过实例演示如何利用三角换元法求出函数的值域。

二、三角换元法概述1. 三角函数与反三角函数在介绍三角换元法之前，需要先了解一些基本的三角函数和反三角函数。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示为sin(x)、cos(x)和tan(x)。

而对于反三角函数，常见的有arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)，它们分别表示为sin^-1(x)、cos^-1(x)和tan^-1(x)。

2. 什么是三角换元法在高中数学中，我们经常需要求出一个函数的值域。

而对于某些比较复杂或者不好求解的函数，我们可以通过使用一些特殊的方法来简化计算。

其中，就包括了三角换元法。

三角换元法是一种利用基本三角公式将含有根式或分式等形式比较复杂的代数式转化成含有简单三角函数（如sinx、cosx、tanx等）的形式，从而便于求解的方法。

通过三角换元法，我们可以将函数转化为一个简单的三角函数，然后根据该三角函数的性质来确定其值域。

三、三角换元法原理1. 基本三角公式在使用三角换元法时，需要掌握一些基本的三角公式。

常见的基本三角公式有：（1）sin^2(x) + cos^2(x) = 1（2）1 + tan^2(x) = sec^2(x)（3）1 + cot^2(x) = csc^2(x)这些基本公式是进行三角换元法时不可或缺的工具。

2. 代数式转化为三角函数在使用三角换元法时，我们需要将一个含有根式或分式等形式比较复杂的代数式转化为含有简单三角函数（如sinx、cosx、tanx等）的形式。

具体来说，我们可以利用基本三角公式将代数式中的某些部分转化为sinx、cosx或者tanx等形式。

例如：（1）√(a² - x²)，可以转化为a sinθ或者a cosθ；（2）√(a² + x²)，可以转化为a tanθ或者a cotθ；（3）(a² - x²)/(a² + x²)，可以转化为sin²θ或者cos²θ等。

换元法求函数值域例题

当然可以，以下是一个使用换元法求函数值域的例题，用1500字回答：题目：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的值域。

解答：首先，我们观察函数f(x)的形式，发现它具有形式$f(x) = x^3 - 6x^2 + ax$，其中a为待定参数。

由于$f(x)$中含有一个常数项，我们可以利用换元法将其分离出常数项，从而得到一个更易于求解的值域问题。

步骤如下：1. 将原函数中的常数项分离出来，得到$f(x) = x(x-3)(x-1) + 1$。

2. 令$t = x-3$，则原函数变为$g(t) = t(t+1)(t-1) + 1$。

3. 由于$g(t)$中只含有一次项和二次项，因此可以利用求导的方法求出其极值点，从而得到值域。

具体步骤如下：1. 求导：$g^{\prime}(t) = 0 \Rightarrow t = - 1$或$t = 1$。

2. 当$t < - 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减；当$- 1 < t < 1$时，$g^{\prime}(t) > 0$，函数单调递增；当$t > 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减。

3. 极值点处的函数值为极值点。

在上面的步骤中，我们需要对每个情况进行讨论，找到合适的极值点处的函数值，并将其代入原函数的定义域中，求得最终的值域。

由于上述方法涉及到较复杂的讨论和推导过程，下面我们用具体数值来求解这个例子。

具体数值解法：假设定义域为$x \in [0,4]$，将原函数变形为：$f(x) = (x-3)^3 - (x-3) + 4$。

此时定义域变为[0,4]，可得到值域如下：当x=4时，ymin=7当x=0时，ymax=26所以函数的值域为[7,26]。

方法总结：换元法是一种常用的求函数值域的方法。

通过将原函数中的某个变量看作一个整体，利用另一个变量来替换原函数中的变量，从而将原函数转化为一个更易于求解的形式。

函数求值域方法之值域换元法

函数求值域方法之值域换元法值域换元法是函数求值域的一种方法，它主要通过对自变量进行换元，将原函数转化为一个新的函数，从而求得函数的值域。

下面将介绍值域换元法的基本思路和具体的步骤。

1.基本思路值域换元法的基本思路是通过对自变量进行合适的换元操作，将原函数转化为一个新的函数，使得新函数的值域更易于确定。

一般来说，我们会选择使得新函数具有更简单形式的换元操作。

2.具体步骤值域换元法的具体步骤如下：（1）选择合适的换元变量。

一般来说，我们会选择一个使得新函数具有更简单形式的变量作为换元变量。

换元变量的选择需要根据具体问题进行分析和判断，一般有一定的经验和技巧。

（2）进行换元操作。

根据换元变量的选取，对原函数进行相应的换元操作，得到新的函数表达式。

换元操作需要保证函数的定义域和值域在变换之后保持不变。

（3）确定新函数的值域。

通过分析新函数的特点和性质，可以更容易地确定新函数的值域。

常用的方法包括求导、分析函数的极值和边界值等。

（4）确定原函数的值域。

根据新函数的值域和换元关系，可以通过逆变换的方式确定原函数的值域。

逆变换的具体方法需要根据具体问题进行分析和判断。

3.示例分析下面通过一个具体的例子来说明值域换元法的应用。

例如，求函数f(x)=x^3在定义域为[-1,1]上的值域。

（1）选择合适的换元变量。

由于函数f(x)=x^3是一个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，因此可以选择u=x^3作为换元变量。

（2）进行换元操作。

将x^3替换为u，可得到新函数g(u)=u。

（3）确定新函数的值域。

新函数g(u)=u是一个线性函数，其值域为(-∞,+∞)。

（4）确定原函数的值域。

由于u=x^3，因此可以通过求解u=x^3关于x的逆变换，即x=u^(1/3)，得到原函数的值域为(-1,1)。

4.注意事项在进行值域换元法求解时，需要注意以下几个方面：（1）换元操作需要保证函数的定义域和值域在变换之后保持不变。

（2）选择合适的换元变量可以使求解过程更简单和直观。

函数值域的几种求法_杨龙婷

１５０科技资讯　ＳＣＩＥＮＣＥ　＆　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００８ＮＯ．１８ＳＣＩＥＮＣＥ　＆　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ科　技　教　育函数的值域是函数的三要素之一，在学习函数中，求函数的值域是重点也是难点。

高考中也经常出现求值域问题，尤其是二次函数的最值最为常见。

下面就求函数的值域归结几种常见方法。

１　单调性法：利用函数在定义域的单调性确定值域的方法例１：求函数的值域。

解析：先证明函数的单调性，在求值域。

解：要使函数有意义，必须满足ｘ＋３≥０，１－ｘ≥０ ∴－３≤ｘ≤１。

又是随ｘ的增大而增大的，是随ｘ的增大而减小的，故在［－３，１］上是增函数。

而ｆ（－３）＝－２，　ｆ（１）＝－２，∴－２＝　ｆ（－３）　≤ｆ（ｘ）　≤ｆ（１）＝２。

既函数的值域是［－２，２］。

２　配方法就是一元二次函数化成含有自变量的平方式与常数的和，再根据自变量的取值范围确定函数的值域的方法。

例２：已知函数ｙ＝x 2－４ｘ＋３，求当ｘ∈Ｒ时的值域；（２）当ｘ∈［a ，＋∞）时的值域。

解（１）∵ｙ＝x 2－４ｘ＋３＝（x －２）２－１，x ∈Ｒ，∴函数的值域是［－１，＋∞）（２）∵ｙ＝（x －２）２－１，x ≥a¡∴当时a ≥2，x=2函数有最小值－１。

当＞２时，x －２≥a －２＞０，∴（x －２）２≥（a －２）２。

故当a ＞２时，x ＝２时函数有最小值为x 2－４a+3。

注意：配方后，要根据自变量的取值范围，结合不等式的性质或二次函数的单调性求值域。

３　判别式法对于一个函数，能够化为关于自变量的一元二次方程，可由自变量为实数，得一元二次方程有实数解，判别式，从而确定函数的值域。

例３：求函数的值域．［解］函数可化为（y －１）x ２＋２（y ＋１）x+3（y －１）＝０，x ∈Ｒ。

当时y ≠１，x ＝０∈Ｒ故y ＝１是函数的一个值。

当y ≠１时，∵　x ∈Ｒ∴△　４（y ＋１）x ２－１２（y －１）2≥０。

求值域的方法

函数值域的求解函数值域的求法主要有以下10种方法：（1）观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a=++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.（3）几何法：根据所给数学式子的特征，构造合适的集合模型.（4）均值不等式法.（5）换元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如y ax b=++问题可通过换元将原问题转化为二次型.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的跟的判别式求值域.一般地，形如y Ax=+22ax bx cydx ex f++=++的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围须为实数集R）.（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如y=y ax b=+0ac>时可利用单调性法.（9）有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”. （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.一、观察法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例题1 已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

解：因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y ，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

请体会两者的区别。

例题2求函数1y =的值域.解析：0≥，所以函数的值域为[)1,+∞.变式1 函数()221x y x R x =∈+的值域是________.二、配方法对解析式配方，然后求函数的值域。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

函数值域求法十五种

函数值域求法十五种在函数中，定义域和值域都起着重要的决定作用。

值域是由定义域和对应法则共同确定的。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2.常见的函数值域求解思路包括：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷可以用函数的单调性求值域。

⑸其他方法。

1.直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，可以求得函数的值域。

例1.求函数的值域。

解：显然函数的值域是：2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2.求函数解：将函数配方得：当x=-1时。

的值域。

由二次函数的性质可知：当x=1时。

故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例3.求函数解：两边平方整理得：解得：但此时的函数的定义域由由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确定此函数的值域的范围。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

代入方程（1）解得：原函数的值域为：即当时，注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4.求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为。

其定义域为：故所求函数的值域为：函数有界性法：当求函数的值域困难时，可以利用已知的函数有界性来确定函数的值域。

换元法求函数值域

换元法求值域

函数值域的常见求法8大题型(解析版)

用换元法求函数值域

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求值域的方法

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