集合的含义与表示及集合间的关系
集合的基本概念元素集合之间的关系
集合的基本概念元素集合之间的关系第⼀章集合第⼀节集合的概念⼀、要点透析（⼀）集合的有关概念：由⼀些数、⼀些点、⼀些图形、⼀些整式、⼀些物体、⼀些⼈组成的。
我们说，每⼀组对象的全体形成⼀个集合，或者说，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：⼀些元素集在⼀起就形成⼀个集合（简称集）2、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定⼀个集合吗？（1）所有很⼤的实数（）（2）好⼼的⼈（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开⼝⽅向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常⽤数集及记法（1）⾮负整数集（⾃然数集）：全体⾮负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作?注：（1）⾃然数集与⾮负整数集是相同的，也就是说，⾃然数集包括数0（2）⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表⽰，例如，整数集内排除0的集，表⽰成*Z例2.⽤适当的符号（∈?，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（⼆）集合的表⽰⽅法1、列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合例如，由⽅程210x -=的所有解组成的集合，可以表⽰为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表⽰⼀个元素，{}a 表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素例3、设a,b 是⾮零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满⾜条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表⽰为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直⾓三⾓形的集合可以表⽰为：{|}x x 是直⾓三⾓形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有⼀个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中⾄多有⼀个元素，求a 的取值范围3、⽂⽒图：⽤⼀条封闭的曲线的内部来表⽰⼀个集合的⽅法4、何时⽤列举法？何时⽤描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便⽤描述法表⽰，只能⽤列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能⽆遗漏地⼀⼀列举出来，或者不便于、不需要⼀⼀列举出来，常⽤描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同⼀个集合吗？（三）有限集与⽆限集有限集：含有有限个元素的集合⽆限集：含有⽆限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作?，如：2{|10}x R x ∈+=⼆、题型解析（⼀）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四⼤发明B．地球上的⼩河流C．⽅程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三⾓形2⽅程组23211x y x y -=??+=?的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表⽰同⼀集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6⽤适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满⾜的条件为（⼆）集合的表⽰⽅法1⽤列举法表⽰下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ??+=-=?????④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2⽤描述法表⽰下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017?±±±±（三）集合的分类1关于x 的⽅程0ax b +=，当a ，b 满⾜条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满⾜条件_____时，解集是⽆限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表⽰同⼀个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表⽰为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）⽅程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表⽰为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的⽅法表⽰下列集合：（1）⼆次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的⾃变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试⽤列举法表⽰集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????且③12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-?-++≠其中不能表⽰“在直⾓坐标系xOy 平⾯内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯⼀实施解}，试⽤列举法表⽰集合A。
集合的含义与表示及集合间的关系
课题1.1.1-2集合的含义与表示及集合间的关系【新课讲授】一.试一试(15分钟)阅读教材p1～p4，并完成下列知识要点填空和练习。
1．知识要点填空：（1）集合 ：一般地，称为集合(简称为集).叫作这个集合的元素.（2） 元素与集合的关系：a 是集合A 的元素就说，记作，如果a 不是集合A 的元素就说，记作a A ∉ （注意：元素和集合的关系只能是属于或者不属于）（3）常见数集及记法：自然数集记作，Q 表示集，整数集记作 ，正整数集记作，R 表示.（4）集合的表示：i,集合通常用字母表示，如A,B,C 等.元素通常用小写字母表示，如a,b,c 等.ii,列举法：把表示集合的方法，如方程方程2560x x -+=的解集可表示为.正奇数组成的集合可表示为 . iii,描述法：用 表示集合的方法.如不等式30x ->的所有解组成的集合可表示为：注意：你在表示集合时怎样去选择合适的方法？（4）集合的分类：叫有限集，叫无限集.叫空集，空集记作.二.问题1：元素与集合有“属于”、“不属于”的关系；数与数之间有“相等”、“不相等”的关系；那么集合与集合之间有什么样的关系呢？2、概念的形成问题1的探究：具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系（1）A ＝{1，2，3}， B ＝{1，2，3，4，5}（2）A={菱形}， B ＝{平行四边形}（3）A={x|x>2}， B={x|x>1}具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢？（1）子集的定义：文字语言：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集。
符号语言：B A ⊆或A B ⊇。
练习1、用适当的符号填空：0{0}， {正方形}{矩形}，三角形{等边三角形}{梯形}{平行四边形}，{x|-1<x<5}{x|2<x<4}3、概念的深化问题2、如果集合A 是集合B 的子集，那么对于任意的A x ∈，有B x ∈；那么对于集合B 中的任何一个元素，它与集合A 之间又可能是什么关系呢？问题2探究：具体实例2：(1)、A ＝{x|x<-4或x>2}，B={x|x<0或x>1}(2)、A ＝{x|-1<x<3}，B={x|-3<2x-1<5}（2）相等关系：如果集合A B ⊆，且A B ⊆，则A=B 。
「高中数学必修1-4知识点总汇」
数学必修1-5常用公式及结论必修1: 一、集合１、含义与表示：(１)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性(２)集合的分类;有限集，无限集 （3）集合的表示法:列举法,描述法,图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。
记作A B ⊆ 真子集:若A 是Ｂ的子集,且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则Ａ是Ｂ的真子集，记作Ａ≠⊂B 集合相等:若:,A B B A ⊆⊆,则A B =3. 元素与集合的关系:属于∈ 不属于：∉ 空集:φ4、集合的运算：并集：由属于集合Ａ或属于集合Ｂ的元素组成的集合叫并集,记为 AB交集:由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集,记为AB补集:在全集Ｕ中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集,记为U C A５.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个； 6．常用数集:自然数集:Ｎ 正整数集:*N 整数集：Z 有理数集:Q 实数集：R 二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 <=＞ f (– x ） = – f （ x ） ,偶函数 <=> f (–x ） = f （ ｘ ）(注意定义域)2、性质：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形;（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性１、定义：对于定义域为Ｄ的函数f ( x ),若任意的x １, x 2∈D,且x １ < ｘ2① f （ x 1 ） < f ( x 2 ) ＜=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) ＜ ０ ＜＝> ｆ ( x ）是增函数② f ( x 1 ) > ｆ ( x ２ ) ＜=＞ f ( x 1 ) – f ( x 2 ） > 0 <=> ｆ ( x )是减函数2、复合函数的单调性: 同增异减三、二次函数ｙ = ax 2 +b ｘ + c （0a ≠)的性质1、顶点坐标公式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22， 对称轴:a bx 2-=，最大（小）值:a b ac 442-2.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (２)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; （3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则：（１）ａm• a n ＝ ａｍ+ n ，(2)nm n m aa a -=÷,(3)( a m ) n =a m n （４）（ ab ） ｎ= ａ n • b n（5) n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）a 0＝ 1 ( ａ≠0)（７)n n a a 1=- （8）m n m n a a =(9）m n m naa 1=-2、根式的性质(１）na =．(2）当na =; 当n 为偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.4、指数函数ｙ = a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：Ｒ ； 值域:（ 0 , +∞) （２）图象过定点（０，1）5.指数式与对数式的互化: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>． 五、对数与对数函数1对数的运算法则：(１）a b = N <=> b ＝ log a N （２)lo ｇ a 1 = 0（3）l ｏg a a = １（４)lo ｇ a a b = b(5)alog a Ｎ= Ｎ（6)lo ｇ a (MN ） = lo ｇ a M ＋ lo ｇ a N (７)l ｏｇ a (NM) = l ｏg a M -- l ｏg a Ｎ(8）lo ｇ a N b ＝ b ｌog a Ｎ （9）换底公式：log a N ＝aNb b log log(１0)推论 log log m na a nb b m=（0a >,且1a >,,0m n >，且1m ≠,1n ≠， 0N >). (1１）l ｏｇａＮ =aN log 1（12）常用对数：lg N = log 10 N （１3）自然对数：ln A = ｌog e Ａ （其中 e = 2.７１8２８…) 2、对数函数y = ｌog ａ ｘ (a > ０且a ≠1)的性质:（1)定义域:( 0 , ＋∞) ； 值域:Ｒ （2)图象过定点（1，0)六、幂函数y = ｘ a 的图象:（1) 根据 a例如: y = x 2 21x x y == 11-==x xy 七.图象平移:若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位, 得到函数b a x f y +-=)(的图象； 规律:左加右减，上加下减八. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ,有(1)xy N p =+.九、函数的零点：１.定义:对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。
1.集合的含义及基本关系
1. 集合的含义及基本关系（1）集合的概念：把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.一、单选题1．给出下列四个关系式：(1)√3∈R ；（2）Z ∈Q ；（3）0∈ϕ；（4）ϕ⊆{0}，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程x 2=2的实数根3．集合{x ∈N|x −3<2}用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}4．设集合M ={x|x ≥4},a =√11，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ∈MB ．a ∉MC ．{a}∈MD ．{a}∉M5．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a∈AD ．a ＝A7．方程x 2–1=0的解集可表示为A ．{x =1或x =–1}B ．{x 2–1=0}C ．1，–1D ．{1，–1}8．下列元素与集合的关系表示正确的是( )①1-∈N *∉Z ；③32∈Q；④π∈Q A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④ 9．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知单元素集合A ={x|x 2−(a +2)x +1=0}，则a =A ．0B ．−4C．−4或1D．−4或011．下列所给关系正确的个数是（）①π∈R Q；③0∈*N；④|−4|∉*N．A．1B．2C．3D．4 12．设集合S={x|(x−2)(x−3)≥0},T={x|x>0}，则S∩T=A．[2,3] B．（−∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）13．设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则∁A B=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10} 14．已知集合M={0,1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M15．已知集合A={0,1},B={−1,0,a+3}，若A⊆B，则a的值为A．−2B．−1C．0D．116．集合A={1,2,3}，则集合A的子集个数是（）A．6B．7C．8D．917．已知集合A={0,1,2}，B={1,m}.若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2二、填空题18．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P由小于√11的实数构成，则2√3_____P;（2）若集合Q由可表示为n2+1(n∈N∗)的实数构成，则5____ Q.19．已知集合A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，则实数m的值为__________.20．满足条件{2,3}⊆A ⊂≠{1,2,3,4}的集合A有__________个．21．集合A={0,1}，写出A的所有子集__________．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性：思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1) 大于3小于11的偶数；(2) 我国的小河流。
三、重要数集：四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集：无限集：空集：六、集合的表示方法1、列举法：例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法：3、Venn图：例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} ．一、子集的定义：一般地,对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集。
记作：读作：Venn图表示：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义：一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集．记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠ Φ）③任何一个集合是它本身的子集，即 A A④对于集合A ，B ，C ，如果 A B,且B C ，则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ，求实数x,y 的值．例4 已知集合 与集合 满足Q P ， 求a 的取值组成的集合A 作业布置1．教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m －1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围．3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算（1）观察集合A,B,C元素间的关系：(1) A={4，5，6，8}B={3，5，7，8} C={3，4，5，6，7，8}(2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A∪B.例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系：A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，C={5，8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
1.集合的含义表示
2判断下列集合有何区别: (1) { 1 , 2 , 3 } (2) { 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3} 3判断下列集合有何区别: (1) { 1 , 2 , 3 } (2) { 3 , 2 , 1}
确定性 互异性 无序性
集合的表示法: 二.集合的表示法 集合的表示法 1.列举法 列举法: 列举法 原则(1)元素不能重复写 原则 元素不能重复写 (2)元素顺序可以颠倒写 元素顺序可以颠倒写 (3)元素必须写在花括号内 元素必须写在花括号内 练习2:请用列举法表示下列集合 练习 请用列举法表示下列集合 （1）由book中的字母构成的集合 ） 中的字母构成的集合 （2）20的正约数组成的集合 ） 的正约数组成的集合 （3） ）
有限集(finite set) 有限集
3、集合的分类: 、集合的分类
无限集(infinite set) 无限集
空集(empty set) 空集
4、集合的简单应用 、 ①写方程、不等式的解集 写方程、 ②满足一定条件的数的取值范围 满足一定条件的数的取值范围 ③数轴上或平面上的点集
补充例题 例1 若 x ∈ R ，则 { x − 2 x ,3, x }中的元素 应满足什么条件？ 应满足什么条件？
作业： 作业： 1 用列举法表示下列集合
(1 ){ x | x 是 12 的约数， x ∈ N } 的约数， {( （ 2） x , y ) | x ∈ {1 , 2 }, y ∈ {1 , 2 }} ( 3 ){( x , y ) | x + y = 2 , x − 2 y = 0 } ( 4 ){ x | x = ( − 1 ) n } ( 5 ){( x , y ) | 3 x + 2 y = 16 , x ∈ N , y ∈ N }
专题 集合的概念与表示、集合间的关系(解析版)
专题05 集合的概念与表示、集合间的关系集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的知识梳理知识结构模块一： 集合的概念整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．典例剖析【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【难度】★【答案】(1)(3)(5)集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母CBA、、…来表示，集合中的元素用c b a、、…表示，如果a是集合A的元素，就记作Aa∈，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作Aa∉，读作“a不属于A”【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．M∉0B．M∈2 C．M∉-4D．M∈4【难度】★【答案】D常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作*N全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集+R）、有理数集Q（负有理数集-Q）、整数集Z（正整数集+Z）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集*N；【例3】用“∈”或“∉”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)13______Z；(4)－12______R；(5)1______N*；(6)0________N．【难度】★【答案】(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程012=+x的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．【例4】已知集合}=A∈x=，且A中只有ax++,0x21{2Rx一个元素，求x的值．【难度】★★【答案】0a或1==a【例5】已知},0,1{2xx∈，求实数x的值．【难度】★【答案】1-【例6】已知集合S的三个元素a．、b、c 是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【难度】★【答案】D【例7】设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则1∈A (a．≠1)．1a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明．【难度】★★【答案】(1)若a ．∈A ，则a -11∈A ，又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A ． ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A ，∵12∈A ，∴11－12＝2∈A ，∴A 中另外两个元素为－1，12． (2)若A 为单元素集，则a ＝a-11，即a ．2－a ．＋1＝0，方程无解．∴a ．≠a -11，∴A 不可能为单元素集【例8】设P、Q为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a ＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【难度】★★【答案】8对点精练1．下列几组对象可以构成集合的是() A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人【难度】★★【答案】D2．用符号∈或∉填空：（1）0{0}（2）0φ（3）0N（4）0Z（5（6）2-Z【难度】★【答案】(1)∈(2)∉(3)∈(4)∈(5)∉(6)∈3．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小数为1； ②若a ∈N ，则N a ∉-；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．3 【难度】★★ 【答案】A4．由422、、a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a ．的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D．2【难度】★★【答案】C5．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．【难度】★★【答案】①④⑤6．已知集合M ＝{－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x ． 【难度】★★【答案】x ＝－3或x ＝2．7．设集合},12{},,2{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==．若B b A a ∈∈,，试判断b a +与B 、A 的关系． 【难度】★★ 【答案】A b a B b a ∉+∈+,8．已知集合},032{2R m x mx R x A ∈=+-∈=，且A 中只有一个元素，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】31,0集合的表示方法常用列举法和描述法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程0652=+-x x 的解的集合，可表示为{2,3}，也可表示为{3,2} 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程0652=+-x x 的解的集合可表示为}065{2=+-x x x ．集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限模块二：集合的表示方法集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．典例剖析【例9】写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合【难度】★【答案】（1）{}2；（2）{}12,14,15,16,18【例10】用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点（4）}75,64,53,42,31{ 【难度】★★【答案】（1）},15{N k k x x ∈+=；（2）},,0),{(R y R x xy y x ∈∈>；（3）},,12),{(2R y R x x x y y x ∈∈+-=；（4）}5,,2{*≤∈+=n N n n nx x【例11】用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈- 【难度】★【答案】（1）()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0；（2）{}3,1-；（3）∅；（4）{}--7,1,1,3,4【例12】用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【难度】★★【答案】（1）}6,4,2{；（2）}x∈+=；（3）x{N,2n3nyyxx∈>x<∈,0,0,}R)y{(R,【例13】下列表示同一个集合的是（）A．)}3,2{(2,3{==NM},M B．}3,2{2,3{(==N)},C．)}3,2{(=N0{M},M D．φ==N},2,3{=【难度】★【答案】B【例14】已知集合}A∈xxxZ=≤∈==，用-,2},,1B{2A{yxyx列举法分别表示集合BA、【难度】★★【答案】}3,0,1{-=BA-2,1,0,1=,2},{-【例15】设∇是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意A b a∈,，有A∇，则称Aba∈对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C ．有理数集D ．无理数集 【难度】★★ 【答案】C【例16】设cb a ,,为实数，)1)(1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f ，记集合},0)({},,0)({R x x g x T R x x f x S ∈==∈==，若T S ,分别为集合T S ,的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A ．0,1==T S 且B ．1,1==T S 且C ．2,2==T S 且D ．3,2==T S 且 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】【例17】设集合},,{22Z b a b a x x M ∈-==，求证：（1）奇数属于M （2）偶数)(24Z k k ∈-不属于M（3）属于M 的两个整数，其积属于M 【难度】★★★【答案】（1）M k Z k k k k ∈+∴∈-+=+12),()1(1222；（2）假设M k ∈-24，则可设),,(2422Z b a b a k ∈-=-即ba b a b a b a k +--+=-与 ))((24的奇偶性相同，))((b a b a -+∴是奇数或者是4的倍数，这与24-k 是偶数且不是4的倍数矛盾，故假设不成立，即M k ∉-24 （3）设,,,,22222121d c x b a x M x x -=-=∈且则2222222222222221)()())((bc ad bd ac d b c b d a c a d c b a x x +-+=+--=--=，M x x ∈211．用适当的方法表示下列集合．对点精练(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(2)由所有非负偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．【难度】★★【答案】(1){3，5，7，11，13，17，19};(2){x|x ＝2n，n★N};(3){(x，y)|x<0且y<0}2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y ＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？【难度】★★【答案】(1)不是；(2)①表示的是函数的定义域，x的取值范围；②表示的是函数的值域y的取值范围；③表示的是点集，是坐标平面内的点},{y x构成的集合，且这些点的坐标满足12+=xy3．用列举法表示下列集合：（1）}yxx∈∈+=yx),3,{(NNy,（2）}yyxx∈-≤={(2Z,1,2),xx（3）}xyy∈∈=+x,,3{NyN【难度】★★【答案】（1）)}0,3(),1,2(),2,1(),3,0{(；（2）)}3,2(),3,2(),0,1(),0,1(),1,0{(--；-（3）{0,1,2,3}4．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合．【难度】★★【答案】（1）{(,)|0,0}<<，它是无限集；（2）x y x y-，共有5个元素，是有限集；（3）{2,2,4,6,8}{|107,}=+∈，它是无限集．x x k k Z5．集合{}2=+中实数m的取值集合M=4,3A m m【难度】★★【答案】{}≠-≠且m m m|416．给出下列四种说法①任意一个集合的表示方法都是唯一的；②集合{}-是同一个集合2,1,0,1-与集合{}1,0,1,2③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合；④集合{}|01x x <<是一个无限集．其中正确说法的序号是 ．（填上所有正确说法的序号） 【难度】★★ 【答案】②③④7．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求【难度】★★【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M8．用列举法表示集合：},110{Z m Z m m M ∈∈+== 【难度】★★ 【答案】{}9,4,1,0,2,3,6,11----9．已知集合},2{},,2{22R x x x y y B R x x x y x A ∈-==∈-==，描述集合B A 与之间的区别 【难度】★★【答案】集合A 表示的是函数的定义域，集合B 表示函数值的取值范围子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”．模块三：集合之间的关系典例剖析【例17】已知A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A B=C．B A⊆D．A∈B【难度】★【答案】D相等的集合：对于两个集合A和B，若A B⊆且B A⊆则称集合A 与集合B 相等，记作A B =．也就是说，集合A 和集合B 含有完全相同的元素． 【例18】已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值 【难度】★★ 【答案】21-=c真子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作B ≠⊂A 或A ≠⊃B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”．【例19】已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值． 【难度】★★【答案】21,31,0-子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则有2n个子集，21n-个非空子集，21n-个真子集．【例20】定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为 【难度】★★ 【答案】4空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．图示法（文氏图）：用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图．（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）空集∅是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；（3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”； （4）判定A B =，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且任意x B x A ∈⇒∈”；（5）判定B ≠⊂A ，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在0x B x A ∈⇒∉”；（6）易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅；（7）R Q Z N ≠≠≠⊂⊂⊂．【例21】已知集合A Z k k x x B Z k k x x A 则},,21{},,21{∈==∈+==________B ．【难度】★★【答案】A B ⊆【解析】方法一 (列举法)对于集合A ，取k ＝…，0，1，2，3，…，得A ＝},27,25,23,21{⋯⋯ 对于集合B ，取k ＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B ＝},252,231,21{⋯⋯，，，故A B ⊆．方法二 (通分法)集合A ：x ＝2k ＋12 (k ∈Z )，分子为奇数．集合B ：x ＝k 2 (k ∈Z )，分子为整数，∴A B ⊆．【例22】设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆ 【难度】★★【答案】}4,2,1{}3,2,1{}2,1{===C C C 或或【例23】设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【难度】★★【答案】1≤aa或-,1=【例24】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．【难度】★★【答案】{m|m≤3}【例25】若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【难度】★★【答案】32-，【例26】已知(){}(){}1,||1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★【答案】B ≠⊂A【例27】已知()2f x x px q =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，(){}|B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦，（1） 求证：A B ⊆；（2） 如果{}3,1A =-，用列举法表示集合B ．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）{1,B =-【例28】已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是 ，若A B ⊆，实数m的取值范围是【难度】★★【答案】4m;4≤>m对点精练1．下列五个关系式：（1）{}∅=0；（2）0=∅；（3）0；（4）{}∅⊇0；（5）{}0≠∅；其中正确的个数∈∅是（）A．2 B．3 C．4 D．5【难度】★【答案】A2．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值【难度】★★【答案】x＝y＝－13．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A 有________个．【难度】★★【答案】164．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【难度】★★【答案】{0，1，2，3，4，5}5．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值．【难度】★★【答案】26．已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【难度】★★【答案】（1）空集；（2）7．已知集合B A,,},=若{,},,1{2，则实数b a,分别baab=aBA=a是【难度】★★【答案】0,1-8．设集合},421{},,412{Z k k x x N Z k kx x M ∈+==∈+==，则 (A 与B 的包含关系)【难度】★★【答案】N M ≠⊂9．设集合}0,,{},,,{2222y x y x Q xy y x y x P -+=+-=，若Q P =，求y x ,的值及集合Q P ,【难度】★★【答案】}0,1,1{-10．已知}0{},21{<-=<<=a x x B x x A ，若B A ≠⊂，求实数a 的取值范围【难度】★★【答案】}2{≥a a模块四：集合的概念和集合间的关系的能力拓展 典例剖析【例29】集合，且、、恰有一个成立，若且，则下列选项正确的是( )A ．，B ．，C ．，D ．，【难度】★★★【答案】B【解析】【例30】 若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符()*{,,S x y z x y z N =∈、、x y z <<y z x <<z x y <<}(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．【难度】★★【答案】6【解析】【例31】设P 是一个数集，且至少含两个数，若对任意,a b P ∈，都有)0(,,,≠∈-+b P b a ab b a b a ，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集Q},|2{∈+=b a b a F 也是数域．给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M Q ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题是 ．(填序号) 【难度】★★★ 【答案】③④【例32】已知},2{},,,3614{Z k k x x B Z n m n m x x A ∈==∈+==，求证BA =【难度】★★★【答案】（1）先证B A ⊆，设A a ∈，则存在Z m m ∈21,，满足)187(236141111n m n m a +=+=，B A B a Z n m ⊆∈∴∈+即,,18711（2）再证A B ⊆，设B b ∈，则存在Z k ∈1，满足)2(36)5(142111k k k a +-==，A B A b Z k k ⊆∈∴∈-即,,2,511【例33】已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体，对任意R x ∈，存在非零的常数t 使)()(x f t t x f ⋅≥+成立，其中非零常数t 叫做函数)(x f 的一个特征参数（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由 （2）试证明：函数2)(x x f =是集合M 中的一个元素，并求出2)(x x f =的所有特征参数组成的集合【难度】★★★ 【答案】（1）1=t 即可；（2）,02)1(,)(2222<≥++-≥+t t tx x t tx t x 可求得即1．已知},64{},,2{*2*2N b b b x x P N a a x x M ∈+-==∈+==，确定M与P 的关系 【难度】★★★ 【答案】P M ≠⊂2．已知集合},,14{},,12{Z m m x x B Z n n x x A ∈±==∈+==求证B A =对点精练【难度】★★★ 【答案】略 3．集合{}12|,,,M x x m m n Z x x M ==+∈∈、、下列元素中哪些一定属于M ?（1）12x x +； （2）12x x ⋅； （3）122(0)x x x ≠【难度】★★ 【答案】 （1），（2）4．设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和 【难度】★★★【答案】含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个；…，含有10的子集有92个，∴9(123...10)228160++++⨯=集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确．用描述法表示集合时，一定要明确研究的代表元素是什么，如；表示的是由二次函数的自变量组成的集合，即的定义域；表示的是由二次函数的{}4|2-=x y x 42-=x y 42-=x y {}4|2-=xy y 42-=xy 反思总结函数值组成的集合，即的值域；表示的是由二次函数的图像上的点组成的集合，即的图像．要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集有．22-n．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关42-=x y {}4|),(2-=x y y x 42-=x y 42-=x y系．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示．1．选择适当的方法表示下列集合． (1)Welcome 中的所有字母组成的集合； (2)所有正偶数组成的集合；(3)二元二次方程组⎩⎨⎧==2xy xy 的解集； (4)所有正三角形组成的集合． 【知识点】集合的表示 【难度】★★ 【题型】填空题【答案】(1)列举法：},,,,,{m o c l e W ．课后练习(2)描述法：}xx∈=．kk,{*2N(3)列举法：)}1,1(),0,0{((4)描述法：}xx{是正三角形2．由实数x x x、、-所组成的集合，其元素最多有几个？【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】23．若集合}01xA是空集，则实数a的值为=ax+{=【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题 【答案】04．已知集合}14{2有唯一解=+-=a x x a A ，用列举法表示集合A【知识点】集合的表示 【难度】★★ 【题型】解答题 【答案】}2,2,417{--=A5．集合},023{2R a x ax x A ∈=+-=（1）若A 是空集，求a 的取值范围 （2）若A 中只有一个元素，求a 的值并把这个元素写出来（3）若A 中至多一个元素，求a 的范围【知识点】集合的概念 【难度】★★ 【题型】解答题【答案】（1）89>a ；（2）890==a a 或；（3）890≥=a a 或6．已知集合}044{2<+-=a x x x M ，且M ∉2，则实数a 的取值范围是 【知识点】集合的概念 【难度】★★ 【题型】填空题 【答案】}1{≥a a7．用适当的符号填空： （1）∅}01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ； （3）{1}}{2x x x =；（4）0}2{2x x x =．【知识点】集合间的关系【难度】★【题型】填空题【答案】，，，8．定义集合运算：，，．设集合，则集合的所有元素之和为_______________【知识点】集合的概念【难度】★★【题型】填空题【答案】189．已知{25}=+≤≤-，B A⊆，求m的B x m x mA x x=-≤≤，{121}取值范围。
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集合的含义与表示及集合间的关系
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★☆☆☆☆
（2018年新课标II 理）已知集合(){}22|3 A x y x y x y =
+≤∈∈Z Z ，，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5
D ．4 【参考答案】A
【解题必备】（1）求解此类问题时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解此类问题的两个先决条件.学！科网
（2）集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
（3）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n
-.熟练记忆此类结论可快速准确得解.
1．已知单元素集合()2
{|210}A x x a x =-++=，则a = A ．0
B ．4-
C ．4-或1
D ．4-或0
2．已知集合(){}22,|,,2M x y x y x y =+=为实数且，(){},|,,2N x y x y x y =+=为实数且，则M N
的元素个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是_________．
1．【答案】D 【解析】
集合()2{|210}A x x a x =-++=为单元素，则2(2)40a ∆=+-=，解得4a =-或0.
故选D ．
2．【答案】B 【解析】联立方程组2222
x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以2210x x -+=.判别式0∆= ，所以M N 的解集只有一个.
所以选B ． 【名师点睛】本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题.。