对数函数的定义域、值域、定点
对数函数知识点(一)
对数函数知识点(一)对数函数定义对数函数是指满足以下条件的函数： - 底数为正实数且不等于1；- 函数定义域为实数集合中大于0的数； - 函数值域为实数集合。
常见的对数函数1.自然对数函数–底数为常数e（自然对数的底数），记作ln(x)或logₑ(x)。
–特点：以常数e为底的对数函数，在微积分中有广泛的应用。
2.以10为底的常用对数函数–底数为常数10，记作log₁₀(x)或log(x)。
–特点：以10为底的对数函数，在计算中常常用到。
对数函数的性质1.定义域和值域–自然对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
–以10为底的常用对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
2.基本性质–对数函数的图像总是位于一、二象限。
–对数函数的图像与直线y=x关于y=x对称。
3.特殊值–自然对数函数ln(x)当x=1时，ln(1)=0。
–以10为底的常用对数函数log(x)当x=1时，log(1)=0。
4.对数函数的性质–对数函数有唯一的反函数即指数函数。
–对数函数满足对数运算法则，如log(xy)=log(x)+log(y)。
5.对数函数的性质与图像–对数函数的图像有一个特点，就是随着自变量x的增大，函数值增长缓慢，近似于直线y=0。
–对数函数在x>1时，图像急剧上升；在0<x<1时，图像急剧下降。
应用领域•对数函数在科学计算、金融领域、生物学及工程学中有广泛的应用。
•对数函数常常用于解决指数增长与衰减问题、复杂的计算问题、百分比增长问题等。
以上为对数函数的相关知识点和详解。
对数函数作为数学中重要的函数之一，在各个领域中都有广泛的应用。
希望通过本文的介绍，能够对对数函数有更深入的了解。
对数函数的性质和图像对数函数的性质1.指数和对数的关系–对数函数是指数函数的反函数。
对于正实数a和b，有以下关系：logₐ(b) = x if and only if aˣ = b。
–例如，log₂(8) = 3，因为2³ = 8。
2.1.2对数函数及其性质
且 1 . 8 ＜2 . 7
∴ log 0 . 3 1 . 8 ＞ log 0 . 3 2 . 7
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直 接进行判断.
问题 引入
问题 引入
细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式
对调字母x, y
y 2
x
x = log2 y x = loga y
y = log2 x
y = loga x
ya
x
(a＞0,且a≠ 1)
§2.2.2
对数函数及其性质
新课探究
一般地，我们把函数y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
0<a<1
y=ax y
(0,1) 1
a>1
y y=1 y=1 x R （0，+∞） 定点（0，1）
(0,1) 1
y=ax
图 象
0
定义域 值域
0
x
性 过定点 质
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值 与1的大 小关系
当x 0时，y 1 当x 0时， 0 y 1 当x 0时， y 1
叫做对数函数. 其中 x是自变量, 函数的定义域是 （ 0 , +∞）
在直角坐标系中画出函数 y log2 x 的图象。
列表
新课探究
x
y log2 x
§5.3 对数函数的图像与性质
.
解： 因为x 2 2 x 5 , 2 对一切实数都恒有 x 2 x 5 4 , 所以函数定义域为R, 从而 log2 ( x 2 x 5) log2 4 2 ,
2
即函数值域为 [ 2, ).
例题解析 2 (3) y log1 ( x 4 x 5)
由(2) 当a
2
,
综合(1)(2)得 1
x 0 且0 a 1 .
例题解析
1 当 1 x 0 时( x x )的 最 大 值 为 4
2
1 1 2 所以0 x x ，所以 loga ( x x ) loga 4 4
2
所以 原函数定义域为：
(2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以 log0.71.6 >log0.71.8.
例题解析 例 3 求下列函数的定义域、值域：
(1) y 2
x 2 1
解：要使函数有意义,必须：2 2 即： x 1 2 1 x 1 2 值域:因为 1 x 1所以 1 x 0
练习 97页1 例6 在同一坐标系内函数y= x 与 y= 2 的函数图像
log
2
x
2.利用对称性画图. 因为指数函数y=2x (0<a≠1)与对数函数
y=log2x(0<a≠1) 的图像关于直线y=x
对称.
Y
5
Y=2x
Y=X ● ●
4
3 2 ● ● 1●
●
●
Y=log2x
-1 O -1
(3) y=log(x-1)(3-x); (4) y=log0.5(4x-3).
对数函数的定义域值域定点课件
定义域是函数自变量 可以取值的范围，而 值域是函数因变量取 值的范围。
对数函数的值域特点
对于任意实数x，都有唯一一个以x为底数的对 数值，记作log(x)。
当底数a的取值范围为(0,1)时，log(x)为负无穷大； 当底数a的取值范围为(1,∞)时，log(x)为正无穷大。
对数函数的值域为实数集。
对数函数的应用实例解析
信号处理
在信号处理领域，对数函数被用 于将非线性信号转换为线性信号 ，使得信号的幅度差异能够在同 一比例尺下表示。
统计分析
在统计分析中，对数函数被用于 转换数据，使得不同尺度的数据 能够在同一尺度上进行比较和分 析。
THANKS。
对数函数的性质分析
对数函数是单调递增函数
01
当底数a>1时，函数随着x的增大而增大；当0<a<1时，函数随
着x的增大而减小。
对数函数是定义域上的凸函数
02
对于定义域中的任意x，都有$y=log_a(x)$，且当x>1时，$y$
随x的增大而增大；当0<x<1时，$y$随x的增大而减小。
对数函数与指数函数互为反函数
03
$y=log_a(x)$与$y=a^x$互为反函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
与其他函数的比较
01
02
03
与一次函数相比
对数函数图像不是直线， 而是呈现出曲线形式。
与二次函数相比
对数函数图像没有二次函 数图像的拐点，但具有单 调性。
与指数函数相比
指数函数的底数可以取任 意正实数，而对数函数的 底数必须大于0且不等于1 。
对数函数是非奇非偶函数，这 是因为对于任意的实数$x$和 $y$，都有$log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)$，因此无 法满足奇函数或偶函数的定义 。
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
人教版高中数学《对数函数的图象和性质》教学课件
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
值域 : R
过定点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
质 y loga x与y log 1 x的图象关于x轴对称 底大图右
a
典例精讲
例3 比较下列各组中，两个值的大小：
3
y log 1 x
2
性质： ① y loga x与y log 1 x的图象关于x轴对称
a
② 在第一象限底大图右
探索发现
y
2
认真观察函数
1 11
y=log2x
42
0 1 23 4
x
-1
的图象填写下表 -2
图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸
定义域 : ( 0,+∞)
值域: R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是：增函数
典例精讲
例2 求下列函数的定义域：
（1） y loga x2 (a 0,且a 1)
解: ∵x2 ﹥0 即x ≠ 0 ∴函数y= logax2 的定义域是{x| x ≠ 0}
（2）y log a (4 x)
解:∵ 4-x﹥0即x﹤4 ∴函数y=loga (4-x) 的定义域是{x|x﹤4}
y
探索发现
2
认真观察函数
1 11
42
y lo g 1 x
0 123 4
x
-1
2
的图象填写下表
-2
图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象 逐渐下降
高一数学对数函数2
( 0 a 1)
例2:比较下列各组中两个值的大小:
(1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8
(1)考察对数函数y=log2x,因为 2>1, 3<3.5所以 解: log23<log23.5 (2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以
2.2.2对数函数2
讲课人：郑雨生 内蒙古卓资县职业中学
复习
指数数函数的定义、图象、性质
一定义： 函数y=logax(a>0,a≠, 定义域是(0,+，叫对 数函数。
图 象
定义域 值域 单调性 奇偶性 过定点 0<x<1 x>1
0 <a < 1
y
1
a> 1
y 0
1
o
x
x
x( 0,+) R 单调递减 非奇非偶 (1,0) y> 0 y<0
(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为
(3) 因为 3-x>0 x-1>0 x-1≠ 所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为
(1,2)
(4)因为 4x-3>0 x>3/4
log0.5(4x-3)0 定义域为
4x-3≤
x( 0,+) R 单调递增 非奇非偶 ( 1,0 ) y<0 y>0
Y
3
Y=log2x Y=lgx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
2 1
O -1 -2 -3
Y=log1/2x
《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数PPT
-1
2
2
1
化简可得 ≤x2≤2.
2
再由 x>0 可得 2≤x≤
2
2
答案:(1)A (2)
, 2
2
2
2
2
1
,
2,故函数 f(x)的定义域为
2
,
2
2 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
反思感悟 定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,
偶次根式被开方式大于或等于零等.
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
值域
过定点
单调性
奇偶性
(0,+∞)
R
(1,0),即当 x=1 时,y=0
在(0,+∞)
在(0,+∞)
上是增函数
上是减函数
非奇非偶函数
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 (
)
A.0.5 B.2
C.e D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-
高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数及其性质(二)
loga M loga N loga MN
判断对数函数奇偶性: f ( x) f ( x) 0或f ( x) f ( x) 0
(2) g ( x) lg
解：
x 1 x
2
x2 1 x
2 2
定义域为 R
2 lg ( x ) 1 x lg g ( x) g ( x)
3 2
3
u g ( x) x ax a 在 (, 1 3)上是减函数,
2 且当 x (, 1 3) 时, g ( x) x ax a 0
2 f ( x ) log x 0 a 1 时, a 4x 3
在 (3, ) 上递减, 在 (, 1) 上递增
2 f ( x ) log ( x ax a) 在区间 (, 1 3) 6 、若 2
上是增函数, 求 a 的取值范围?
解： 由于 y log 2 u 在 (0, )上是减函数, 则
解之，得函数定义域为
1 3 {x | x 2且x 1且x } 2 2
2 y log ( x 4 x 7) 的值域？ 2：求 3, 定义域： R 值域：
{x | x R且x 2} 值域： R 定义域：
2″
y log 2 ( x 2 4 x 4)
求 a的取值范围？
二次项系数 是否为0?
解得 0 a 1
故函数定义域为R时, 0 a 1.
改变条件为：
3′已知函数 若 值域 为 值域 y lg(ax2 2ax 1)， 求 a 的取值范围？
R
解： (1) a 0 时， y lg 1 ,此时不 × 满足题设条件 ； (2) a 0 时，设 u ax2 2ax 1, 因为函数 y的值域是R, 则 a 0 解得 a 1 4a2 4a 0
2.2.2 对数函数及其性质
3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它 例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示： 函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质 如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。
23.知识讲解_对数函数及其性质_基础
解法 1：当 a 1 时， y loga x 在(0，+∞)上是增函数，且 4.2<4.8，所以， loga 4.2 loga 4.8 当 0 a 1时，y=logax 在(0，+∞)上是减函数，且 4.2<4.8，所以， loga 4.2 loga 4.8
【变式 1】求函数 y
3 x3 1
的定义域.
log1 (x 1) 1
2
【答案】(1， 3 ) ( 3 ，2] 22
【解析】因为 lxog11 (x01) 0 ，
2
log
1 2
(
x
1)
1
x 1
所以
0
x
1
1
，
x
3
2
所以函数的定义域为(1， 3 ) ( 3 ，2]. 22
类型三、对数函数的单调性及其应用
举一反三：
【变式
1】设
a
log
1 3
2
，
b
log
1 2
3
，
c
( 1 )0.3 3
，则（
）
A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． b＜c＜a D． b＜a＜c
【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．
【答案】D
【解析】∵ a log1 2 0 ， b log1 3 0 ，
3
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值. 要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域
优先的观念. 例 3. 比较下列各组数中的两个值大小：
高中数学课件对数函数图像及其性质
知识探究
探究1:设点P(m，n)为对数函数 y loga x 图象上任意一点，则 n loga m ，从而
有 m a n .由此可知点Q（n，m）在哪个
函数的图象上？
y ax
探究2:对数函数 y loga x 的图象与指数
练一练
例1：比较以下各组中，两个值的大小： log23与 log28.5
解法1：画图找点比上下 解法2：利用对数函数的单调性
y
log28.5
y log2 x
考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1,
log23
01 3
8.5 x
∴ y=log 2 x在〔0，+∞〕 上是增函数；
∵3<8.5
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log 2 0.8 log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
3
3
log1.5 6 ＜ log1.5 8
log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m ＜ n
•例2：比较以下各组中，两个值的大小： • loga5.1与 loga5.9
∴ log23< log28.5
∴ log23< log28.5
比较两个同底对数值的大小时:
小 １.观察底数是大于1还是小于1〔 a>1时为增函数
〔 0<a<1时为减函数〕
结 ２.比较真数值的大小；
３.根据单调性得出结果。
你能口答吗？ 变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
对数函数及其性质课件
解得65<x<3，所以原不等式的解集为65，3.
1 (2)∵logx12>1⇔lloogg222x>1⇔1＋lo1g2x<0⇔lolgo2gx2＋x 1<0⇔－1<log2x<0
⇔2－1<x<20 x>0
⇔12<x<1，
∴原不等式的解集为12，1.
题型三 对数函数性质的综合应用 【例 3】 (12 分)已知函数 f(x)＝logaxx－＋11(a>0 且 a≠1)， (1)求 f(x)的定义域； (2)判断函数 f(x)的奇偶性和单调性． 审题指导 本题考查对数函数的性质及其应用．
题型一 对数函数单调性的应用
【例 1】 比较下列各组对数值的大小：
(1) 1.6，
2.9；
(2)log21.7，log23.5； (3)log78，log0.34； (4)loga5，loga6.(a>0，且 a≠1) [思路探索] 利用对数函数的单调性性质进行对数值的大小比较．
解 (1)∵y＝
对数函数及其性质的应用
自学导引 1．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)与 y＝ax 互为反函数，它们 的图象关于直线 y＝x 对称．对数函数 y＝logax 的定义域是指 数函数 y＝ax 的值域 ，而 y＝logax 的值域是 y＝ax 的定义域． 2．y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象一定在 y 轴的右侧，图象过 定点(1,0)；y＝loga|x|(a>0，a≠1)的图象关于 y 轴对称．
2．利用对数函数的性质可以比较两个对数值的大小 (1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． (2)比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①利用对数 换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系 比较大小；②利用对数函数图象的相互位置关系比较大小． (3)若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
对数函数常见题型
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；②3log (1)y x =-；③(1)log x y x +=；④log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；②()log a y x a =∈R ；③8log y x =；④ln y x =；⑤()log 2x y x =+；⑥42log y x =；⑦()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2 B ．2-C ．12-D ．12跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C 2D ．12题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()4f x x=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．无法确定跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)23．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,03．已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ )A ．2-B ．2C ．1D ．1-题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
对数函数
∴x＝10y－1.∴f－1(x)＝10x－1.
∴f(1)＋f－1(1)＝(1＋lg 1)＋101－1＝2.
课堂测试(对数函数)
1、函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为()．
解析f(x)在(0，＋∞)上为减函数，只能是A或D.f(1)＝1，只能是A.
②若a和x不在同一区间，则logax的符号为负；
③若x=1，则logax=loga1=0.
口决：同正异负
例2—1函数y＝ax与y＝－logax(a＞0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是()．
解析：分a＞1与0＜a＜1两种情况考虑，两函数单调性应该相反．答案：A
例2—2给出四个函数图象分别满足：
例4若a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝loga(5x－10)＋2恒过定点P的坐标是__________．
答案：
变式4已知函数 恒过定点(1,10)，则 ＝________.
5、对数函数的定义域与值域
(1)函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域与值域
①定义域：(0，＋∞)
②值域：R
(2)复合函数法求函数的值域的步骤：
对数函数(教师版)
1、对数函数的概念
(1)对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的特征：
特征
判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．
例1－1函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．
变式2—2函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是()
对数函数的图像和性质
巩固练习
下图是对数函数①y=logax②y=logbx③ y=logcx④y=logdx的图像,则a,b,c,d与1的大 小关系是 ( B ) A. a>b>1>c>d B. b>a>1>d>c C. 1>a>b>c>d D. a>b>1>d>c
y
1 O
① ② ③ ④
x
人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在 考古工作中常用14C的含量来确定有机物的年代. 已知放射性物质的衰减服从指数规律: C(t)=C0e-rt, 其中t表示衰减的时间,C0表示放射性物质的原始 质量,C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量. 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰 减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C的半 衰期大约是5730年,由此可确定系数r.人们又知 道,放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的.
y y=2x y=x
P(a,b)
函数y=log 2 x的图像 与函数y=2 x 的图像 关于直线y=x对称
函数y=f(x)的图像和 它的反,b)
y=log2x x
(0,1) (1,0)
1.根据下列中的数据(精确到0.01),画出函数 y=log2x,y=log3x和y=log5x的图像.并观察图像,说 明三个函数图像的相同与不同之处.
例题讲解
例4 求下列函数的定义域: (1)y=logax2; (2)y=loga(4-x). 解 (1)因为x2>0, 即 x≠0, 所以函数y=logax2的定义域为{x|x≠0} (2)因为4-x>0, 即 x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域为{x|x<4}
例5 比较下列各题中两个数的大小: ①log25.3,log24.7; ②log0.27,log0.29; ③log3π;logπ3 ④loga3.1,loga5.2(a>0,a≠1)
对数函数-数学
∴-2<x<-1或1<x<3 ∴函数的定义域是 {x| -2<x<-1或1<x<3}
对数函数的定义 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小
对数函数定义
函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数. 其中 x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +∞）
y
㈠ y = log2x
y＝log2x 的反函数为 y＝
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3
2x
1 x y= log 1x 的反函数为 y =( ) 2 2
2
y＝ 2x y＝x
1 x y =( ) 2
8 7 6 5 4 3 2 1
y y＝x
y＝log2x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
x
x
过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质
＝ N化成对数式,会得到 logaN ＝ b 求指数函数 y ＝ ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的反函数
从 y ＝ ax 可以解得：x ＝ logay 因此指数函数 y ＝ ax 的反函数是 y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 又因为 y ＝ ax 的值域为（0，＋∞） 所以 y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 的定义域为（0，＋∞）
设计者：黄琴
2004.11
一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做 指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R.
图
y=1
a > 1 y y=ax
(a>1) (0,1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义 底数 图像
y ax
y log a x
0 a 1
a 1
(1)定义域：R (2) 值域： (3) 定点：（0,1） (4)当 x 0 时，
a 1
0 a 1
性质
(0, )
(1)定义域： (0, ) (2) 值域：R (3) 定点：（1,0） (4)当
，
a 0, a 1
在区间
1 ,2
上的最大值比
最小值大 1，求a值 例3：求
y log 2 x 2 2 x 3 函数的值域。
例4：求
y lg x lg x 2 3
2
定义在
1,10
的值域。
探究3：函数过定点的问题
例1：函数
y 2 a x 2 3
2.求对数类函数的值域问题要注意真数位置大于0；
3.函数过定点，即无论参数的值如何变化，函数图像均过其点。
作业：
设函数 1)
f ( x) log 2 (a x b x )且f (1) 1, f (2) log 2 12
求a，b的值； 2） 求f(x）在[1，2]上的最大值。
性质
当
y 1
(4)当 x 0 时，
0 y 1
0 y 1
单调性 (5)单调递增
x0
时，
当 x 0 时x 1 时， y 0
y0
(4) 当
当 0 x 1 时
y0
x 1 时
y 0
(5) 单调递减
(5) 单调递增
(5) 单调递减
对称性
底数互为倒数的两指数函数图像关于y 轴对称 在第一象限内，越靠近x轴底数越大
底数互为倒数的两对数函数图像关于x 轴对称 在第一象限内，越靠近y轴底数越小
趋势
探究一：定义域问题 例一：求下列函数的定义域， a 0, a 1
1） y log a 1 3x
1 y log a ( x 1)
2） y log a x 2
3)
4) y log ( x2) (5 x)
5)
y log 1 ( x 3)
2
6) y (lg( x 1))0
归纳总结：求函数定义域时应注意几点问题：
1）若函数解析式中含有分母，则分母不能为0；
2）若函数解析式中含有偶次根式，要注意偶次根式下非负；
3）0的0次幂和0的负指数次幂没有意义；
4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.
求函数的定义域其实质就是解不等式或者不等式组的过程。
探究二：对数类函数的值域问题：
例1：求
f x log 3 x
定义在
1 ,3
上的值域。
例2：已知
f ( x) log a x
的图像过定点___________________?
例2：函数 y
log a x 1 的图像过定点_____________，y log a ( x 1) 3过定 y 2 log a ( x 1) 3
的呢？
点____________?
归纳总结： 1.求函数的定义域的实质就是解不等式或不等式组；