心理统计方差分析
心理学统计第五部分重复测量方差分析
心理学统计第五部分重复测量方差分析在心理学研究中，有时候研究者需要评估一个或多个因素对参与者的多个测量结果的影响。
这种情况下，重复测量方差分析（Repeated Measures Analysis of Variance，简称为RM ANOVA）是一种常用的统计方法。
重复测量方差分析是一种比较多个组内变量平均数差异的方法，它比较了每个组内变量的差异以及每个组间变量的差异。
与传统的方差分析不同，重复测量方差分析考虑了相同参与者在不同条件下的多次测量结果，因此能够更准确地评估因素对测量结果的影响。
首先，我们需要明确的是，在重复测量方差分析中，我们的因变量是一个连续的测量结果，而自变量是一个或多个处理条件。
例如，我们可能想要评估一个新药物是否对人们的注意力产生影响，我们可以将注意力测量结果作为因变量，而药物与安慰剂作为自变量。
重复测量方差分析有三个基本的假设。
首先，我们假设不同处理条件下的测量结果的总平均数相等，即每组的平均值相等。
其次，我们假设各个处理条件下的测量结果有一定的方差。
最后，我们假设不同处理条件下的测量结果相互独立。
重复测量方差分析有一些优点和注意事项。
首先，这种方法可以减少误差变异，因为我们可以通过比较同一参与者在不同条件下的测量结果来消除参与者间的差异。
其次，重复测量方差分析可以提高统计功效，以便检测到小的差异。
然而，我们需要注意确保多次测量结果之间的独立性，以及在数据分析中正确处理可能的违反方差齐性和正态分布的情况。
总结起来，重复测量方差分析是一种常用的心理学统计方法，用于评估一个或多个因素对参与者的多个测量结果的影响。
它是一种有效的方法，可以提供关于不同处理条件之间差异的信息。
在分析数据时，我们需要检查数据的正态性和方差齐性，并使用适当的修正方法来应对违反这些假设的情况。
重复测量方差分析为心理学研究提供了一个强有力的统计工具，使得研究者能够更好地理解和解释影响行为和心理过程的因素。
教育与心理统计学 第六章 方差分析五 重复测量实验设计的方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析（五）［测量实验设计的方差分析一、重复测量的方差分析（一）重复测量实验设计的相关含义⑴重复测量实验设计的定义又叫：被试内设计、受试者内设计、单组实验设计、相关样本设计。
是每个被试或每组被试必须接受自变量的所有情况的处理（每个被试接受所有的实验处理水平或处理水平的结合）。
由于被试的行为是重复测量的，所以被试内实验设计也称重复测量实验设计。
（2）重复测量设计的基本原理每个被试者参与所有的实验处理，然后比较相同被试者在不同处理下的行为变化。
这种实验设计下的同一被试者既为实验组提供数据，也为控制组提供数据。
因此，被试者内设计无需另找控制组的被试者。
被试内设计不但节省了被试人数，而且不同组的被试个体差异也得到了最好的控制，被试内设计比被试间设计更有力，能更好的考察实验组和控制组之间的差异，这个优点使得许多研究者更倾向于使用被试内设计。
和被试间设计相反，被试内设计不会受到来自被试个体差异的困扰但却必需面对实验处理之间相互污染的问题。
可以采用平衡技术来控制这些差异。
（3）使用重复测量设计的主要目的重复测量实验设计的目的是所有被试自已做控制，使被试的各方面特点在该因素所有水平上保持恒定，克服被试间设计中存在的被试不同质的问题，以最大限度地控制由被试的个体差异带来的变异。
如果实验者主要想研究一个被试者对实验处理所引起的行为上的变化，一般可以考虑采用被试者内设计。
（二）重复测量实验设计的方差分析的条件重复测量实验设计方差分析是一般方差分析的深化，也具有正态性、变异的可加性和方差齐性等先决条件，还要求各重复测量数据组成的协方差矩阵满足球形性假设。
博克斯指出,若球状性假设得不到满足,则方差分析的F值是有偏的,会增加犯I类错误的可能。
（三）重复测量实验设计的方差分析的过程①建立检验假设；②计算离差平方和与均方；③进行F检验；④列出方差分析表。
二、单因素重复测量的方差分析（一）重复测量实验设计的基本方法实验中每个被试接受所有的处理水平。
心理与教育统计学第13章多因素方差分析
或者说将其他变量的变化效应平均掉）。
交互作用
a1 a2
b1
4
10
b2
7
13
无交互作用
a1
a2
b1
4
10
b2
7
5
有交互作用
多因素方差分析的统计原理
方差分析的基本思想仍是总变异的分解： 完全随机：SST = SSA + SSB + SSAB + SSe 自由度： n-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) n-ab 随机区组：SST = SSR +SSA + SSB + SSAB + SSe 自由度： n-1 r-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1)
平方和与自由度的分解
1、平方和的分解
总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、 B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引 起的平方和SSAB、误差平方和SSe
平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dfT=N-1 ❖ A因素处理间自由度：dfA=a-1 ❖ B因素处理间自由度：dfB=b-1 ❖ 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) ❖ 处理内自由度：dfe=ab(n-1) ❖ dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe
一、多因素方差分析基本概念
（一）交互作用与主效应
当一个因素的水平在另一个因素的不同水平上变化趋势不 一致时，称为两个因素之间存在交互作用（反映两个或两个以 上自变量相互依赖、相互制约，共同对因变量的变化发生影响）。
主效应指实验中由一个因素的不同水平引起的变异，所以 有几个自变量就有几个主效应（主效应就是在考察一个变量是否
心理学研究中的统计分析方法
心理学研究中的统计分析方法心理学研究中的统计分析方法是研究者用来对研究数据进行处理和解释的一种工具，它以数学统计原理为基础，通过运用多种统计方法，对收集到的研究数据进行描述、推断和解释，从而为研究者提供科学可信的研究结论。
以下将介绍心理学研究中常用的统计分析方法。
一、描述统计方法1.频数和百分比：用于描述变量的分类情况，统计各个分类的频数和所占的百分比。
2.中心趋势参数：包括平均数、中位数和众数，用于描述变量的集中趋势。
3.离散程度参数：包括标准差、方差和范围，用于描述变量的离散程度。
4.分布形态参数：用于描述变量的分布形态，如偏度和峰度。
二、推论统计方法1.参数检验方法：用于对总体参数进行估计和检验，如t检验、F检验和卡方检验。
-t检验适用于两组样本之间的差异检验，如独立样本t检验和配对样本t检验。
-F检验适用于两个以上组别的样本之间的差异检验，如单因素方差分析和双因素方差分析。
-卡方检验适用于分类变量之间的关联性检验，如卡方独立性检验和卡方拟合优度检验。
2. 非参数检验方法：用于对总体分布进行估计和检验，不对总体参数进行具体假设，如Wilcoxon符号秩检验和Mann-Whitney U检验。
3.相关分析方法：用于研究变量之间关系的强度和方向，如皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
4.回归分析方法：用于研究变量之间的因果关系，包括线性回归分析、多元回归分析和逻辑回归分析。
5.方差分析方法：用于研究变量之间的差异源自于哪些因素，如方差分析和共线性分析。
2. 聚类分析方法：用于研究多个对象之间的相似性和差异性，将相似的对象聚成一类，如层次聚类和K-means聚类。
3.判别分析方法：用于分类变量的预测和解释，根据已知类别的数据建立判别函数，判别新数据所属的类别。
4.结构方程模型方法：用于研究变量之间的因果关系和模型拟合度，将测量模型和结构模型相结合，对研究模型进行验证。
以上介绍了心理学研究中常用的统计分析方法，研究者可以根据研究设计和研究问题的需要，选择合适的统计方法进行数据分析和解释。
第9章 心理统计方差分析
2684842 . 3072727 .
2
( X ) 2 N
df B 3 1 2 dfT 22 1 21 dfW 21 2 19 F SS B df B 1939 43 . 1.37 SSw df w 1413 08 .
三、利用样本统计量进行方差分析
例9-2 有人研究自尊与对个人表现的反馈类型之间的
关系。让15名被试参加一项知识测验，每组各5名被 试。在积极反馈组，不管被试在测验中的实际表现如 何，都告诉他们水平很高。对消极反馈组的被试，告 诉他们表现很差。对控制组的被试，不管测验分数如 何，都不提供任何反馈信息。最后，让所有的被试都 参加一个自尊测验，测验总分为10分，得到的分数越 高，表示自尊心越强。实验结果如下表所示，试检验 不同反馈类型与自尊之间的关系如何？
（三）计算均方
SS B 258.67 MS B 129.34 df B 2 MSW SSW 24 2.67 dfW 9
（四）计算F值
MS B 129 .34 F 48 .44 MS W 2.67
（五）查F值表进行F检验并做出决断
单侧检验 查 F0.05(2，9）＝4.26; F0.01(2，9）＝8.02;F> F0.01 P <0.01拒绝H0；可认为三组处理之间 总体均数的差别有统计学意义
平方和除以自由度所得的样本方差可作为ห้องสมุดไป่ตู้其总体方差的无偏估计
则，组间方差和组内方差为：
MS组间B MS组内W
SSB dfB SSW dfW
公式9-6
公式9-7
自由度
组间自由度
dfB=k-1 组内自由度 dfW=k(n-1) 总自由度 dfT=nk-1
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析(ANOVA)是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
它是一种实用而广泛应用的工具，常用于研究实验设计、质量控制、医学研究和社会科学等领域。
在本文中，我们将简要介绍方差分析的基本原理和应用，帮助你了解如何使用这一方法进行数据分析。
什么是方差分析？方差分析是一种通过比较组内差异和组间差异来确定不同组均值之间是否显著不同的统计分析方法。
它基于方差的概念，将总体方差分解为组内变异和组间变异，通过计算F值来判断各组均值是否存在显著差异。
方差分析最常见的形式是单因素方差分析，也就是比较一个因素（自变量）对一个因变量的影响。
然而，方差分析也可以应用于多因素实验设计，比较不同因素及其交互作用对因变量的影响。
方差分析的基本原理方差分析的基本原理是比较组内差异和组间差异，确定组间差异是否由于随机因素引起还是真实存在的。
组内差异是指同一组内个体之间的差异，组间差异是指不同组之间个体均值的差异。
方差分析使用方差比的概念来判断组间差异是否显著。
该概念定义为组间方差与组内方差的比值，当组间方差较大且组内方差较小时，该比值较大，表明组间差异显著；反之，该比值较小，表明组间差异不显著。
方差分析通过计算F值来判断组内差异和组间差异的相对大小。
F值是组间均方与组内均方的比值，如果F值大于给定的临界值，则可以推断组间差异显著，否则差异不显著。
方差分析的应用方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。
它可以用于比较不同处理组的均值是否存在显著差异，评估实验结果的有效性和可靠性。
在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验组的平均值是否存在显著差异，例如测试新药物的疗效、评估肥料对作物产量的影响等。
在质量管理中，方差分析可以用于比较不同生产线、不同供应商或不同工艺参数对产品质量的影响，帮助确定最优的质量控制策略。
在社会科学研究中，方差分析可以用于比较不同人群、不同地区或不同时间点的数据，例如比较不同教育水平对收入的影响、比较不同性别对心理健康的影响等。
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第十章方差分析【本章综述】两个平均数之间的差异检验用Z/t检验，那么两个以上的平均数之间差异检验该用何种检验？方差分析主要处理两个两个或以上的平均数之间的差异检验问题。
本章主要介绍方差分析的基本原理，以及完全随机设计和随机区组设计这两种最基本的实验设计数据的方差分析以及事后检验。
【考点分布】方差分析【本章框架】【复习建议】方差分析这一章处处是重点，而且有一定的难度。
同学们在复习时旨在把握方差分析的原理以及在不同的实验设计中的变异来源，抓住这一精髓灵活地应对不同类型的题。
第一节 方差分析的原理与基本过程(一)方差分析的基本原理1. 方差分析依据的基本原理就是方差的可加性或者说可分解性原则，具体说就是将实验中的总变异分解为几个不同来源的变异。
一般来说，总变异包括组间变异(组间平方和)和组内变异(组内平方和)两部(平方和指观测数据与平均数离差的平方总和)。
2. 其公式如下： ① SS T = SS B + SS W ；∑∑===k j n1i )X (X SS 2ijT 1-t ；∑=∙=kj )X X (n SS 2jB 1-t ；∑∑===k j n1i )X (X SS 2ijW 1-j ；这些公式中，X 的下标j 表示第几组，i 表示某一组中第几个被试，求和符号的起止标记意思与这个相同。
k 表示实验处理数；n 表示每种实验处理下的被试数。
SS T 表示总平方和，所有观测值与总平均数的离差的平方总和，也即实验中产生的总变异；SS B 为组间平方和，几个组的平均数与总平均数的离差的平方总和，表示由于接受不同的实验处理而造成的各组之间的差异以及无法控制的随机实验误差(通常忽略不计)；SS W 为组内平方和，各被试的数值与组平均数之间的离差的平方总和，表示由实验误差(个体差异)造成的变异。
教育与心理统计学 第六章 方差分析六 多因素方差分析、事后检验、协方差分析、统计功效与效果量、重要
第六章方差分析(六)第五节多因素方差分析一、多因素方差分析的定义多因素方差分析是用来研究两个及两个以上控制变量是否会对观测变量产生显著影响。
多因素方差分析不仅能够分析多个因素对观测变量 的独立影响，更能够分析多个控制因素的交互作用是否对观测变量的分布产生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
多因素 方差分析包括完全随机设出随机区组设计。
二、平均数差异检验、单因素方差分析、多因素方差分析比较当需要比较两个以上平均数的差异时，要使用单因素方差分析，而不进行多次平均数差异检验，这样就可以降低统计误差。
如果单次进行 平均数比较率，即显著性水平是a ,进行两两平均数比较的次数是N ,多次两两平均数差异的错误率：P N =l-(l-a)n o 同理多因素方差由于 同时进行两个因素以上的方差分析，亦能降低统计误差，同时，也能处理交互作用。
第六节事后检验(多个平均数之间的比较)一、事后检验[事后多重比较]事后检验的定义：方差分析所要检验的零假设是所有k 个处理的总体平均数没有显著性差异，相应的备择假设是k 个处理中至少有2个处 理的总体平均数之间存在显著差异。
但方差分析不拒绝零假设时，表明至少有2个处理的总体平均数不等，若方差分析F 检验的结果表明 差异显著就必须对各实验处理组的多对平均数进一步分析，做深入比较，判断究竟哪一对或哪几对的差异显著，确定两变量关系的本质。
事后检验也被称作事后多重比较，在这也叫做多个平均数之间的比较。
事后检验的目的：当方差分析表明一个主效应显著时，它只能提供几个变量之间是否存在显著差异的结果，又因为多重t 检验会使得I 型 错误发生的概率大大增加[吃1-Q ：业L 因而我们只能采取事后检验。
二、事后检验的方法[1]N-K 法，也叫q 检验法；[2]HSD 检验(又叫Turkey 真实检验，更敏感，统计检验力更强，要求各组容量相等);[3]Scheffe 检验(匕啜保守，适用于样本容量不等，最大限降低了第一类误差a 水平，可能最安全);⑷费舍的最小显著差异法(LSD);一、协方差分析协方差分析的定义：协方差表示的是交互效应项，将处理引起的变异分解为处理在变量x 上引起的变异、在变量y 上引起的变异和在交互效应项xy 上引起的 变异。
心理统计学公式汇总
心理统计学公式汇总在心理统计学的领域中，各种公式犹如工具，帮助我们理解、分析和解释数据。
下面就为大家汇总一些常见且重要的心理统计学公式。
一、集中趋势的测量1、算术平均数算术平均数是最常用的集中趋势测量指标，其公式为：＼＼bar{X} ＝＼frac{＼sum_{i=1}＾｛n} X_{i}｝｛n}＼其中，＼（＼bar{X}＼）表示算术平均数，＼（X_{i}＼）表示第＼（i\）个观测值，＼（n\）表示观测值的数量。
2、中位数当数据呈现偏态分布时，中位数比平均数更能代表数据的集中趋势。
对于未排序的数据，首先将其从小到大排序。
如果数据个数＼（n\）为奇数，中位数就是位于中间位置的那个数；如果＼（n\）为偶数，中位数则是中间两个数的平均值。
3、众数众数是数据中出现次数最多的数值。
二、离散程度的测量1、极差极差是一组数据中最大值与最小值之差，公式为：＼（R ＝X_{max} X_{min}＼）。
2、方差方差反映了数据相对于平均数的离散程度，其公式为：＼S^2 ＝＼frac{＼sum_{i=1}＾｛n} （X_{i} ＼bar{X}）＾2}｛n 1}＼3、标准差标准差是方差的平方根，公式为：＼（S ＝＼sqrt{＼frac{＼sum_{i=1}＾｛n} （X_{i} ＼bar{X}）＾2}｛n 1}｝＼）。
三、正态分布相关公式1、正态分布的概率密度函数＼f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，＼（＼sigma\）是标准差。
2、标准正态分布若＼（X\）服从正态分布＼（N(＼mu, ＼sigma^2)＼），则＼（Z ＝＼frac{X ＼mu}｛＼sigma}＼）服从标准正态分布＼（N(0, 1)＼）。
四、相关分析1、皮尔逊积差相关系数用于测量两个连续变量之间的线性关系，公式为：＼r ＝＼frac{＼sum_{i=1}＾｛n} （X_{i} ＼bar{X}）（Y_{i} ＼bar{Y}）｝｛＼sqrt{＼sum_{i=1}＾｛n} （X_{i} ＼bar{X}）＾2 ＼sum_{i=1}＾｛n} （Y_{i} ＼bar{Y}）＾2}｝＼2、斯皮尔曼等级相关系数适用于测量两个顺序变量之间的相关性，公式为：＼r_s ＝ 1 ＼frac{6 ＼sum_{i=1}＾｛n} d_{i}＾2}｛n(n^2 1)｝＼其中，＼（d_{i}＼）是两个变量的等级差。
现代心理与教育统计学第九章：方差分析
（五）查F分布临界值做出判断 当dfB=2, dfW=9，设定p=0.01， 查表F0.01（2,9）=8.02，检验值是F=48.44>8.02，p<0.01。
F0.01（2,9）=8.02
（六）陈列方差分析表
变异来变源异来平源方和平方自和由度自由度均方 均方 F F p 组间 组间258.67258.672 2 129.34129.3448.4448.44*0*.01 组内 组内 24 24 9 9 2.67 2.67
组内变异区组变异msr误差变异mse由此总变异的构成由原来的两个部分演变为三个部分总变异组间或处理变异区组变异误差变异组间设计下自变量各水平下被试随机区分而在单因素组内把每个水平下被试进行了等级划分形成了组内效应区组效应
第九章 方差分析
第一节 方差分析基本原理及步骤 第二节 完全随机设计的方差分析
目 录
第三节 随机区组设计的方差分析
第四节 事后检验
第一节 方差分析基本原理及步骤
➢ 补充： 自变量（前因变量）；自变量水平 因变量（后果变量） 组间（被试间）实验设计(自：男，女。因：红色反应时) 组内（被试内）实验设计(自：红，绿。因：男红绿反应时) 混合实验设计(自：男，女；红，绿。因：男女红绿反应时) 实验组、对照组
SB S n X2 nX k2(2470 444 0 6 4 0)4 (5 3 2 2 4 0 8)2
79 6240 20 5 .68 7 12
SW S X 2 n X 2 8 1 76 9 22 4
（二）自由度的分解 总自由度为总容量减去1。本例有12个数据，所以：
思考： 1.如果想要分析A总体和B总体平均数的差异，可以用什么方法
心理与教育学统计-方差分析
多因素方差分析步骤
假设检验
在进行多因素方差分析前，需要 提出研究假设，并确定检验水准 和拒绝域。假设通常涉及多个自 变量对因变量的影响是否显著。
数据收集与整理
根据实验设计的要求，收集相关 数据并进行整理。数据应包括自 变量的不同水平和因变量的观测
值。
01
03
02 04
方差分析表构建
构建方差分析表，计算不同来源 的变异（如组间变异、组内变异 等），以及相应的均方和F值。
方差定义
方差是各数据与其平均数之差的平方 的平均数，用s^2表示。方差用于衡 量一组数据的离散程度，即数据的波 动情况。
方差意义
方差越大，说明数据的波动越大，即 数据越不稳定；方差越小，说明数据 的波动越小，即数据越稳定。
方差与标准差关系
标准差定义
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用来衡量一组数据的离散程度，与方差相比，标准差具有更好的 可解释性。
数据收集
根据实验设计，收集相关数据，包括 自变量和因变量的测量值。
单因素方差分析步骤
建立假设
提出研究假设，即不同水平下的自变量对因 变量没有影响。
构造统计量
计算各组的均值、方差等统计量，以及总的 均值和方差。
进行方差分析
通过比较组内方差和组间方差，判断自变量 对因变量是否有显著影响。
做出决策
根据统计量的值和显著性水平，决定是否拒 绝原假设。
统计推断
根据F分布和给定的显著性水平 ，进行统计推断，判断各个自变 量对因变量的影响是否显著。
交互作用及其解读
交互作用定义
在多因素实验中，当两个或多个自变量同时 作用于因变量时，它们之间的交互作用指的 是这些因素共同作用对因变量产生的影响。 这种影响不能简单地通过单个因素的影响来 解释。
教育与心理统计学第九章：方差分析
自由度的相关公式：
组间自由度dfB=k-1 组内自由度dfw=k(n-1) 总自由度 dfT=nk-1=dfB+dfw
在方差分析中，总是在进行单侧检验。 即F=MSB/MSW F>1,不同的实验处理之间有显著性差异 F<1，不同的实验处理之间差异不大，即实验处理基
第九章 方差分析
第一节 方差分析的基本原理及步骤 第二节 完全随机设计的方差分析 第三节 随机区组设计的方差分析 第四节 事后检验
第一节 方差分析的基本原理及步骤
方差分析（analysis of variance,ANOVA）:探讨一个因 变量和一个或多个自变量之间的关系。主要目的在于 分析实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小， 从而确定试验中的自变量是否对因变量的影响。
例题：9—6
当区组效应显著，说明实验设计采用随机区组设计是成 功的；当区组效应不显著，说明划分区组不成功的。
第四节 事后检验
在方差分析中，F检验的结果中表明差异不显著，说 明实验中的自变量对因变量没有显著影响。如果差异 显著，表明几个实验处理组的两两比较中至少有一对 平均数的差异达到了显著性水平。
两因素被试内设计，其中三名被试
组内设计（被试内设计、随机区组设计、重复测量设 计）——每个被试都要接受所有自变量水平的实验处 理。
（实验设计安排格式）
被试内设计的优点：①被试内设计需要的被试较少， 实验设计方便、有效。②被试内设计比组间设计更敏 感。③心理学的某些领域需要使用被试内设计，即被 试内设计适用于研究练习的阶段性。 ④被试内设 计消除了被试的个体差异对实验的影响。
方差分析主要处理两个以上平均数之间的差异检验问 题。
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
心理与教育统计学课件(张厚粲版)ch9方差分析
三、方差分析的步骤
⑴建立假设: H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ K
H1 : 至少有一对平均数差异显著
⑵求F值: ①求平方和:即求组间平方和,组内平方和及总平 方和 ②求自由度: df B = K − 1; df W = K (n − 1); df t = Kn − 1 ③求方差(均方): SS B SSW
8
四、方差分析的基本条件
㈠总体服从正态分布 变异的可加性（变异的相互独立性） ㈡变异的可加性 ㈢变异的同质性：即各组的变异是相等的，或者说各组的方 变异的同质性： 差彼此无显著差异。
(σ
2 1
2 2 =σ2 =L=σK )
变异的同质性（齐性） 检验常用哈特莱（ Hartley ） 最大 F比率法。即： Fmax =
20
均方 950.1 251.9
F值 3.77*
第二节 完全随机设计的方差分析
三、利用样本统计量进行方差分析
k
∑nj X j
1 .总平均数 : X =
j =1 k
∑nj
j =1
2.因素平方和 : SS B = 3.误差平方和 : SS w =
∑ n j (X j − X t )
k j =1 k
2
∑ n jS 2 j
第九章 方差分析
方差分析又称做变异数分析（缩写 ANOVA），它是一种应用非常广泛的变量分 析方法。其作用就是对引起方差变化的各种因 素进行分析和比较，从而确定各个因素对因变 量是否有显著的影响。 方差分析可以像Z检验一样用来比较两个 或两个以上平均数的差异。但是，它与Z检验 相比具有以下优点：①功效高。Z检验一次只 能比较两个平均数，而方差分析一次可以比较 多个平均数的差异。②功能强。Z检验只能分 析，比较单因素实验结果，对于多因素实验的 交互作用以及同时比较各个因素作用的大小则 无能为力。
心理统计SPSS-第五章 因素型实验设计及方差分析过程剖析
1 2
A1
8 12
A2
16 11
A3
21 16
3
4 5
11
7 13
15
10 12
18
19 22
6
9
14
18
练习
One Way方差分析程序的适用条件： 1.三个以上相等独立被试组在不同条件下接受观测得 到三组以上的独立数据组； 2.来自三个以上不同总体的独立被试组在相同条件下 接受同样的观测，得到三组以上的独立数据组； 3.一般要求因变量必须是连续测量的数据或近似于连
究会得到多组数据，而这些数据必然存在变异。被试差异、测量误 差、其他额外变量的变化等。因素型实验的目的就是考察自变量或准自
变量变化是否引起了因变量数据足够大的改变，以至于可以认为其不同
水平间因变量的差异性并非误差因素造成，而且这种评估是与误差因素 引起数据的变化量相比较而完成的。数据变异可以通过离差平方和或方 差来反映，所以关于数据变异的分析叫方差分析。
续变化的数据；
4.数据总体为正态分布、各数据样本方差齐性。
二、多因素完全随机实验设计方差分析（GLM 方差分析）
当研究的自变量或准自变量不只一个，每个自变量的水平在两个 以上时，就会结合出四个以上的实验处理。将选取来的被试分成四个 独立组，每个组被试只接受一种条件下的实验观察，则构成多因素完 全随机实验设计。其数据分析则要使用SPSS程序中的“General Linear Model-Univariate”模块。 如果进行简单效应检验，可执行类似于下的句法命令： MANOVA SCORE by A(1,2) B(1,2) /design（此句要求先输出完整的方差分析表） /design=A within B(1) A within B(2) B within A(1) B within A(2). （ANOVA命令中不能做简单效应检验）
心理统计学201010F检验
单因素方差分析(1) 单因素方差分析
• 计算（离差）平方和 计算（离差）
Ti T 2 SSA = ∑ ni ( X i − X t ) 2 = ∑ − – 组间平方和： 组间平方和： N i =1 i =1 ni
k k 2
– 组内平方和： = ∑∑ ( X ij −X i ) 2 = ∑∑ X ij2 − ∑ Ti 组内平方和： SSE i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 ni
方差分析
• 方差分析的必要性 多个样本的均值之差的显著性检验 t 检验的误差
方差分析的目的
• 方差分析的基本功能就在于它能对多组 平均数差异的显著性进行检验， 平均数差异的显著性进行检验，而且可 以避免多次逐对 t 检验所造成的错误概 率的累积。 率的累积。
方差分析中的几个概念
• 因素：实验中的自变量称为因素（factor）。 因素：实验中的自变量称为因素（ ）
方差分析表
--------------------------------------------------------------F值 差异来源 平方和 自由度 方差 值 --------------------------------------------------------------70 2 35 3.44 组间差异 122 12 10.17 组内差异 192 14 总差异 ---------------------------------------------------------------
• q 检验（HSD检验） 检验（ 检验） 检验
Xi − X j MSE 1 1 + 2 ni n j
q=
q值表 值表
• 三个条件： 三个条件：
心理学统计 第四部分 不包含重复测量的方差分析
• 完全随机分组，也就是没有其他操作，原则上来 说是要分班均衡，但是也会产生两个差异显著的 班级。 • 那么前边提到的分为三个班级的情况，到底是均 衡还是不均衡呢？ • 很显然两两t检验的方法，并不能解决这个问题。 • 这时，我们需要采用一种新的统计方法，这就是 方差分析。
通过原始数据计算方差 • 组内平方和：
SS X 2 ( X ) 2 / n
SSw SSi ( X ij ( X ij ) 2 / ni ) X ij2 ( X ij ) 2 / ni )
2 i i j j i, j i j
• 令Ti为第i组的分数之和，则
单因素ANOVA的优势：
• 如果采用对组间进行两两t检验，随着成对均数检 验次数的增加，犯一类错误的概率会增加，方差 分析可以解决这一问题； • 即使任何两组均数之间没有显著性差异，方差分 析也能检测出几组均数之间的一个显著性差异。
B基本统计过程
• 样本量不相等的方差分析
• 单因素方差分析基本步骤 • 方差分析原始数据公式
• F分布最显著的特点就是正偏态分布。
• F分布的均数接近于1，等于dfw/(dfw-2). • 当样本量增加时，F均值逐渐逼近1；同时F分布 的偏态会变小。当样本量接近无穷大时，F分布 基本上接近于均数为1的正态分布。
• F值是组间均数的差异与组内变异的比值。
• 当F值等于1时，组间均数的差异与组内的变异相 同，接受零假设；当F值接近0时，组间均数的差 异要远小于组内的变异，说明组间无差异，也接 受零假设；只有当F值远大于1时，组间均数的差 异要大于组内的变异，这时拒绝零假设，组间是 有差异的。 • 因此，方差分析是一种 单侧检验（查表）。
统计分布与方差分析
统计分布与方差分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，统计学中心理学的应用广泛，可以帮助我们更好地理解人类行为和思考过程。
统计分布和方差分析都是统计学的重要内容，本文将从这两方面进行探讨。
统计分布统计分布是指一组数据中不同数值出现的频率，也可以看作是数据分布的概率分布。
例如，一个班级中学生的身高，可以测量每个学生身高，将身高按照一定间隔进行分组，然后计算每个分组中学生的数目，这样就可以得到一个频数分布表。
通常，将频率分布表可视化为直方图和饼图，直观地展示不同数值在数据中出现的比例。
统计分布在心理学中得到广泛应用，比如说，我们可以用统计分布来研究智力测验中得分的分布。
假设有一组100个人的智力测验成绩，我们可以将成绩分为不同的区间，如[90-100], [80-89], [70-79] 等等，然后计算每个区间内的人数。
这样，我们就可以构建一个频数分布表，从中得到这组数据的分布情况。
如果我们将频数分布表可视化成直方图，我们可以看到这组数据的分布情况是否符合正态分布，是否有极端值或异常值等。
方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或更多群体之间的均值是否显著不同。
当我们进行差异比较时，重要的是要确定这些差异是否反映了真实的差异，而不是由于抽样误差或其他随机因素而产生的。
方差分析的主要思想是比较不同来源的变异量，即将变异量分解为各个来源的贡献，从而进行推断分析。
以一个工业生产的示例来说明方差分析的应用。
假设某企业生产不同的产品，并且需要对不同的生产线进行比较，看哪条生产线的产品质量更好。
我们可以随机抽取每个生产线上的几个产品，然后对这些产品的质量进行评估，比如检测成品的重量、坚硬程度、外观、尺寸等等。
使用方差分析可以比较不同生产线的产品的平均质量是否存在显著差异，并确定差异是否由于生产线间的因素引起，而不是由于随机误差或其他因素造成的。
总结统计分布和方差分析都是心理学中非常重要的统计方法。
统计分布用于展示数据中各数值的出现频率和比例，可以为研究人员提供数据基础，并直观地表示数据的特征和性质。
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总变异= 组间变异 + 组内变异
SS总＝SS因素1＋ SS因素2＋…＋ SS误差 MS因素1 = SS因素1 /DF因素1 ……… MS误差 = SS误差 / DF误差 F因素1 = MS因素1 / MS误差 ………
重点：弄清楚处理变异的计算 处理变异计算的关键点：只要搞清楚处理来 源涉及到哪几个处理水平之间的差异性即可。
8
6
生字密度
5： 1
4
10： 1 20： 1 不熟悉
2 非常熟悉
主题熟悉
Estimated Marginal Means of 阅读成绩
14
12
10
8
6
主题熟悉
4 非常熟悉 不熟悉 10： 1 20： 1
2 5： 1
生字密度
方法二：简单效应(simple effect)检验
在因素实验中，一个因素的水平在另一个因素 的某个水平上的变异叫简单效应。 例如在一个2×2两因素实验中，A因素和B因素 各有两个水平。A因素的两个水平在B1水平的 方差叫A在B1水平的简单效应，A因素的两个水 平在B2水平的方差叫A在B2水平的简单效应。 同样，B因素的两个水平在A1水平或A2水平的 方差也是简单效应。 一般来说，只要选做一组即可。
单元内误差（within-cell error） ＋ 残差(residual error)
方差分析适用条件
各样本的独立性：保证变异的可加性 严格要求 （可分解性） 正态性：各单元格的残差必须服从正态 要求不是明显偏态 分布 方差齐性：各单元格满足方差齐（变异 程度相同） 多因素分析中多限于理论探讨
研究的问题 与数据表格
研究问题：如果在文章生字密度的研究中，同时想探讨文章 主题熟悉性对阅读理解的影响，可以做一个两因素完全随机 实验设计。 自变量 a是主题熟悉性，有两个水平（非常熟悉，不熟悉）； b是生字密度，有三个水平（为5：1、为10：1、为20： 1）。 这是2×3的两因素设计，实验有6种处理水平的结合。 被试的分配：随机抽取24名被试，将他们随机分成6 组（每组4人），每组接受一种处理水平的结合。
分析原理------变异分解：
SST = SSA + SSB + SSC + SSAB + SSAC + SSBC
+ SSABC + SSE
研究的问题 与数据表格
研究问题：探讨文章的生字密度、文章的类型和文章的句子 长度对学生阅读理解的影响。
自变量： 生字密度，两个水平a1(5:1)和a2(20:1) 文章类型b1（说明文）和b2（叙述文） 句子长度c1（平均20个词）和c2（平均30个词） ——2×2×2三因素实验设计，共8种处理水平的结合。 被试的分配：研究者选取了8篇特点不同的文章，将32 名五年级学生随机分为8组（每组4人），每组阅读一篇 文章，并测验他们的阅读理解。
随机区组设计
Randomized Block Design
随机区组设计主要用于实验单位之间有明 显差异或实质性差异的情况下。 它通常将被试按照某种性质相同或相近者 分成b个区组，每个区组中的k个被试分别 随机分配到k个处理组中；或对同一个被试 在同一处理不同水平间进行比较。 当处理因素的水平k＝2时，即为配对设计。
7.0
6.5
6.0
句子长度
句 子 长 度 20个 词 句 子 长 度 30个 词 叙述文
5.5 5.0 说明文
文章类型
A*B*C
Estimated Marginal Means of Y At 句子长度 = 句子长度20个词
9 8
7
6
5
生字密度
生 字 密 度 （ 5： 1） 生 字 密 度 （ 20： 1） 叙述文
随机区组实验设计使用区组方法减小误 差变异，即用区组方法分离出由无关变 量引起的变异，使它不出现在处理效应 和误差变异中。
一、单因素随机区组实验设计的数据处理
实验原理
一个自变量，自变量有两个或多个水平 一个无关变量，也有两个或多个水平 自变量的水平与无关变量的水平之间没有交互作用。 当无关变量是被试变量时，一般首先将被试在这个无 关变量上进行匹配，然后将他们随机分配给不同的实 验处理。 ——区组内的被试在此无关变量上更加同质，他们 接受不同的处理水平时，可看作不受无关变量的影响， 主要受处理的影响。 ——区组间的变异反映了无关变量的影响。
简单效应检验和简单简单效应检验
在两因素及多因素完全随机设计中，当发生了 两次交互作用时（交互作用显著），需进一步 做简单效应检验； 当一个三因素完全随机实验设计中发现了显著 的三次交互作用时，需进一步做简单简单效应 检验。 简单简单效应检验如：检验在C1水平上，A因 素在B1和B2水平上的简单简单效应，检验在 C2水平上，A因素在B1和B2水平上的简单简 单效应。
在SPSS中编写syntax实现
图解——了解差异方向如何？ 简单效应检验——得出处理效应显著或不 显著的结论
（二）三因素完全随机实验设计的数据处理
实验原理
研究中有三个自变量，每个自变量有两个或 多个水平。 如果实验中的一个因素有P个水平，另一个因 素有q个水平，第三个因素有r个水平，则研 究中共有p×q×r个处理水平的结合。 它的基本方法是，随机分配被试接受不同的 实验处理水平的结合，每个被试只接受一个 实验处理的结合。如果每一组有n个被试，则 所需被试量是：p×q×r×n
二、多因素完全随机实验设计的数据处理
多因素实验设计 析因设计（Factorial Design）
能够分析出因素之间的作用， 从而为选择最优处理组合提供科学依据
多因素方差分析
（一）两因素完全随机实验设计的数据处理
实验原理
研究中有两个自变量，每个自变量有两个或 多个水平。 如果一个自变量有P个水平，另一个自变量有 q个水平，实验中含p×q个处理的结合，研究 者想知道的是所有处理水平的结合效应。 被试分配：随机抽取若干名被试，随机分成 p×q组，每组被试（每个被试）接受一个实 验处理的结合。如果每组有n个被试，则被试 数目是p×q×n。
方差分析常用术语
因素与水平 因素（factor）：实验中的自变量（分类）。
只有一个自变量的实验称为单因素实验，用单因 素方差分析（One-Way ANOVA）。 有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验， 用多因素方差分析。
水平（level）：因素的不同等级。 单元（cell）：水平组合，即各因素各水平 的组合。如2×4=8个单元——2×4两因素设 计
主效应(Main effects)/交互作用(Interaction): 一个因素的不同水平引起的变异叫因素的主效应；
单因素，自变量不同水平的数据计算的方差即这个自 变量的处理效应，或主效应 多因素，计算一个因素的主效应时应忽略实验中其他 因素的不同水平的差异
多因素，需要估价因素的不同水平之间的复杂变 化关系。当一个因素的效应大小在另一个因素不 同水平上变化趋势明显不一致，称存在交互作用 （交互效应）。
自变量：生字密度，四个水平5:1（a1）、10:1（a2）、 15:1（a3）、20:1（a4） 因变量：被试的阅读理解测验分数。 增加了一个无关变量：智力 被试的分配：在实验前，研究者首先给32个学生做了智 力测验，并按智力测验分数将学生分为8个区组，然后 随机分配每个区组内的4个同质被试分别阅读一种生字 密度的文章。
研究的问题 与数据表格 研究问题：文章的生字密度对学生阅读理解的影响
自变量：生字密度，四个水平5:1（a1）、 10:1（a2）、15:1（a3）、20:1（a4） 因变量：被试的阅读理解测验分数。 被试的分配：研究者随机抽取了32名被试， 把32名被试随机分为四组，每组被试阅读一 种生字密度的文章（实际上每个被试接受一种 水平的处理）。
方差分析分类
根据变量的个数：
单反应变量 (y) 多反应变量 (y1,y2…yk) 单效应因子(A)
双效应因子(A,B)
多效应因子(A,B,C)
无交互效应 有交互效应
方差分析概述
方差分析基本原理
来自于自变量不同处理效应的影响
变异分解
来自于误差因素的影响
根据资料类型以及研究目的，将观测值的 总变异进行分解，然后进行比较（F值）， 评价由某种因素所引起的变异是否具有 统计学意义。
固定因素(Fixed Factor)/随机因素 (Random Factor)：
所有可能的水平是/否出现
协变量（Covariates）:对因变量可能 有影响，需要在分析时加以控制的连续 变量。
可以简单的把因素和协变量理解为分类变 量和连续变量 通过找出协变量与因变量的回归关系来控 制其影响——协方差分析
实验设计与方差分析
实验设计 实验设计的目的：使系统变异的效应最 大，控制无关变异，使误差变异最小
控制变异
主要的实验设计：完全随机设计、随机 区组设计、析因设计、拉丁方设计、正 交设计、嵌套设计、重复测量设计、裂 区设计、均匀设计。
实验设计分类
完全随机、随机区组和拉丁方实验设计
完全随机：随机化方法，非处理效应全归为误差变 异；不够敏感 随机区组：区组技术控制无关变异；提高F检验精度 拉丁方：区组技术分出两个无关变异；进一步提高 多因素可计算出交互作用
编程，轮廓图描述
B*A
Estimated Marginal Means of Y
11 10 9 8 7 6 5 4 3 说明文