第九章+参数估计

即当样本容量n充分大时， 即当样本容量 充分大时，估计量将在概率 充分大时 意义下越来越接近于被估计的参数本身， 意义下越来越接近于被估计的参数本身 ， 则该估计量是被估计参数的一致估计量。 则该估计量是被估计参数的一致估计量。 ˆ
设θ 是未知参数θ的估计量， 对于任意小的正数ε，如果有 ˆ lim P( θ − θ 〈ε )=1
ˆ ˆ 该区间的两个端点θ1和θ 2
分别称为置信下限和置信上限。 分别称为置信下限和置信上限。 α为显著性水平，1－α称为置信度。 为显著性水平， － 称为置信度 称为置信度。 为显著性水平
区间估计的具体做法是：从点估计值开始， 区间估计的具体做法是：从点估计值开始， 向两侧展开一定倍数的抽样平均误差，并估 向两侧展开一定倍数的抽样平均误差， 计总体参数很可能就包含在这个区间之内。 计总体参数很可能就包含在这个区间之内。
S S x − Zα / 2 n ≤ µ ≤ x + Zα / 2 n p (1 − p ) 或：p − Z ≤ P ≤ p + Zα / 2 α /2 n
p (1 − p ) n
对参数µ的区间估计的步骤： 对参数 的区间估计的步骤： 的区间估计的步骤 ⑴首先从总体抽取一个样本，根据 首先从总体抽取一个样本， 收集的样本资料求出它的均值。 收集的样本资料求出它的均值。 ⑵根据合乎实际的置信水平查表求得概率度。 根据总体标准差和样本容量求出抽样平均误差。 ⑶根据总体标准差和样本容量求出抽样平均误差。 以样本均值为基准， ⑷以样本均值为基准，向两侧展 倍的抽样平均误差的区间。 开Z倍的抽样平均误差的区间。 倍的抽样平均误差的区间 参数P 参数P和σ的区间估计步骤和参数 µ的区间估计步骤相类似。 的区间估计步骤相类似。 的区间估计步骤相类似
ˆ 设θ 为未知参数θ的估计量，若
ˆ E (θ ) = θ
ˆ 则称θ 为θ的无偏估计量。
2、一致性 、 一致性是指当n→∞时 ， 估计量依 时 一致性是指当 概率收敛于总体参数的真实值。 概率收敛于总体参数的真实值。
一致性是指当n→∞时， 估计量依概率收敛于总体参数的真实值 。 时 估计量依概率收敛于总体参数的真实值。 一致性是指当
抽样平均误差通常用希腊字母 抽样平均误差通常用希腊字母 σ来表示，为便于区别，通常 来表示，为便于区别， 来表示
用σ x 表示抽样平均数的抽样平均误差，
σ p 表示抽样成数的抽样平均误差。
它反映抽样平均数（或抽样成数） 它反映抽样平均数（或抽样成数）与 总体平均数（或总体成数） 总体平均数（或总体成数）的平均误 差程度，因此也称为抽样标准差。 差程度，因此也称为抽样标准差。 也称为抽样标准差
二、区间估计
（一）区间估计的相关知识 1、 精确性和可靠性 、 也即效度和信度） （也即效度和信度） 效度和信度之间既有密切联系， 效度和信度之间既有密切联系，又有 明显区别，是相互矛盾的两个方面。 明显区别，是相互矛盾的两个方面。
效度和信度之间的关系有四种类型： 效度和信度之间的关系有四种类型： 信度高， ⑴信度高，效度未必高 信度低， ⑵信度低，效度必然低 效度高， ⑶效度高，信度必然高 效度低， ⑷效度低，信度未必低 总之，信度是效度的基础， 总之，信度是效度的基础，是效度的必要条 件而非充分条件；效度是信度的目的和归宿， 件而非充分条件；效度是信度的目的和归宿， 没有效度的信度会失去其本来的意义。 没有效度的信度会失去其本来的意义。
0.50σ 1.00 σ 1.50 σ 1.64 σ 1.96 σ 2.00 σ 3.00 σ 4.00 σ 5.00 σ
概率度Z 0.50 1.00 1.50 1.64 1.96 2.00 3.00 4.00 5.00
（二）区间估计的方法
区间估计就是用一个取值区间及其 出现的概率来估计未知参数。 出现的概率来估计未知参数。 区间估计就是用一个取值区间及其出现的概率来估计未知参
⑶抽样极限误差 抽样极限误差就是变动的抽样指标与确定的 总体指标之间抽样误差的可能范围， 总体指标之间抽样误差的可能范围 ， 也称为 允许误差，一般用符号△表示。 允许误差，一般用符号△表示。
∆x = x − µ
∆p = p − P
将上面等式经过变换，可以得到下列不等式： 将上面等式经过变换，可以得到下列不等式：
②抽样平均误差的计算方法 抽样调查可分为简单随机抽样、等距抽样、 抽样调查可分为简单随机抽样、等距抽样、 分类抽样和整群抽样等几种组织形式。 分类抽样和整群抽样等几种组织形式。 不同的组织形式， 不同的组织形式，计算抽样平均误差的方法 也是不同的。其中， 也是不同的。其中，简单随机抽样的抽样平 均误差的计算是最基本的。 均误差的计算是最基本的。
抽样误差越小，说明抽样指标代表 抽样误差越小， 性越高，推断的精确度就越高； 性越高，推断的精确度就越高； 反之，抽样误差越大，说明抽样指标 反之，抽样误差越大， 代表性越低，推断的精确度就越低。 代表性越低，推断的精确度就越低。
⑵抽样平均误差 ①抽样平均误差的概念 抽样平均误差是指所有可能组成样本的抽样指 包括抽样平均数和抽样成数） 标（包括抽样平均数和抽样成数）与总体指标 包括总体平均数和总体成数）的平均离差， （包括总体平均数和总体成数）的平均离差， 也就是一系列抽样平均数（或抽样成数） 也就是一系列抽样平均数（或抽样成数）与总 体平均数（或总体成数）的标准差。 体平均数（或总体成数）的标准差。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱZ=
那么∆ x = Zσ x ; ∆ p = Zσ p 则：x − Z σ x ≤ µ ≤ x + Zσ x p − Zσ p ≤ P ≤ p + Zσ p
σx
∆x
或Z =
∆p
σp
表9－3 －
概率度与概率关系表 概率P（Z） 0.3829 0.6826 0.8864 0.9000 0.9500 0.9545 0.9973 0.9994 0.99999 误差范围△
总之， 总之，如果一个估计量 满足无偏性、 满足无偏性、一致性和 有效性这三个标准， 有效性这三个标准，就 可称其为最佳估计量。 可称其为最佳估计量。
万亩， 例1，某县某年水稻播种面积为 ，某县某年水稻播种面积为2.78万亩，从中 万亩 不重复抽样调查了100亩，实测后，样本平均 不重复抽样调查了 亩 实测后， 亩产量为600千克，样本标准差为 千克， 千克。 亩产量为 千克 样本标准差为15.2千克。要 千克 求用点估计确定全县平均亩产量和总产量。 求用点估计确定全县平均亩产量和总产量。
第九章 参数估计
本章重点： 本章重点： 1、评价估计量的标准 、 2、抽样误差 、 3、常用参数的区间估计 、 本章难点： 本章难点： 1、评价估计量的标准 、 2、抽样误差 、
第一节 参数估计的基本方法
参数估计也叫抽样估计， 参数估计也叫抽样估计，就是根 据样本统计量对总体参数进行估 计或推断的统计过程和统计方法。 计或推断的统计过程和统计方法。 参数估计的基本方法主要包括点 估计和区间估计两种。 估计和区间估计两种。
当总体为N，样本容量为 时 当总体为 ，样本容量为n时，抽样 平均误差的计算公式如表9－ 所示 平均误差的计算公式如表 －1所示 表9－1 － 抽样平均误差的计算公式
抽样方法 重复抽样 不重复抽样
σx
σ
2
σ
n
P(1 − P) n
n (1 − ) n N
2
σP
P(1 − P) n (1 − ) n N
置信区间的大小主要由Z 和σ（或σ p） x 这两个量所决定，并为2Zσ（或2Zσ p）。 x
参数的区间估计就归结为分别不同的抽 参数的区间估计就归结为分别不同的抽 样分布计算概率度和分别不同的抽样组 织方式计算抽样平均误差这两者 。
在实际进行区间估计时， 在实际进行区间估计时，如果总体标准差 未知，只要用样本标准差代替就可以了。 未知，只要用样本标准差代替就可以了。
解：由题意知，N = 2.78万亩 n = 100亩 x = 600千克
µ = 600千克 总产量 = N µ = 2.78 × 600 = 1668 （万千克）
则
点估计的优点是： 点估计的优点是： 简便易行，原理直观， 简便易行，原理直观， 常为实际工作所采用。 常为实际工作所采用。 其缺点是： 其缺点是： 无法知道估计的准确程度有多大， 无法知道估计的准确程度有多大， 误差可能有多大。 误差可能有多大。
2、抽样误差 、 ⑴抽样误差的概念 在抽样调查中，误差的来源可分为 在抽样调查中， 非抽样误差和抽样误差两大类。 非抽样误差和抽样误差两大类。
①非抽样误差 非抽样误差是指在实际进行抽 样调查时， 样调查时，由随机因素以外的 其他因素所造成的误差。 其他因素所造成的误差。 ②抽样误差 抽样误差是指由于随机抽样的 偶然因素所产生的样本统计量 与总体参数之间的差别。 与总体参数之间的差别。
µ − ∆x ≤ x ≤ µ + ∆x
P − ∆p ≤ p ≤ P + ∆p
实际推断公式： 实际推断公式：
x − ∆x ≤ µ ≤ x + ∆x
p − ∆p ≤ P ≤ p + ∆p
用抽样极限误差除以抽样平均误差， 用抽样极限误差除以抽样平均误差， 表示抽样极限误差为抽样平均误差 的若干倍， 的若干倍，这个倍数在数理统计中 称为概率度， 表示。 称为概率度，用Z表示。即： 表示
θˆ1 x1， ，xn）及θˆ2 x1， ，xn）， （ ⋯ （ ⋯
对于给定的α（ ＜ ＜ ），满足： ），满足 对于给定的 （0＜α＜1），满足：
ˆ ˆ P (θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) = 1 − α ˆ ˆ 则称随机区间(θ1，θ 2 )是θ的
置信度为1－ 的置信区间 的置信区间。 置信度为 －α的置信区间。
对于上述公式需要说明的几点是： 对于上述公式需要说明的几点是： ⑴成数的平均数是成数本身，成数的方 成数的平均数是成数本身， 差是P（ 差是 （1-P） 。 ） 在其他条件相同时， ⑵在其他条件相同时，不重复抽样的抽 样误差要小于重复抽样的抽样误差。 样误差要小于重复抽样的抽样误差。 很大时， ⑶当N很大时，不论用重复抽样还是用 很大时 不重复抽样公式计算抽样平均误差， 不重复抽样公式计算抽样平均误差，其 结果相差很小。 结果相差很小。 ⑷抽样调查的组织方式也会影响到抽样 平均误差的大小。 平均误差的大小。 在统计实践中， ⑸在统计实践中，经常采用以下几种方 法来代替总体标准差。 法来代替总体标准差。